Skkn một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải bài toán đại số bằng phương pháp hình học

VÀ ĐÀO TẠO SỞ GIÁO DỤCSỞ VÀGIÁO ĐÀO DỤC TẠO THANH HỐ * THANH HỐ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG PHỊNG GD&ĐT (TRƯỜNG THPT )** (*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock; ** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Người thực hiện: Lê Thị Liên Chức vụ: Giáo viên (Font Times New Roman, cỡ 16-18, SKKN thuộcCapsLock, lĩnh vựcđậm) (mơn): Tốn TÊN ĐỀ TÀI MỤC LỤC THANH HOÁ NĂM 2020 skkn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………………………………………………………… 2.3 Các biện pháp thực hiện…………………………………… 2.3.1 Cơ sở lý thuyết…………………………………………… 2.3.2 Bài tập ứng dụng……………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………… 2.5 Điểm sáng kiến………………………………… KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận…………………………………………………… 3.2 Kiến nghị…………………………………………………… skkn Trang 1 1-2 2 3 3-4 4-15 16 16 16 17 I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hình học giải tích mơn học chương trình tốn bậc phổ thông đại học, kiến thức sở có liên quan mật thiết với môn học khác đại số, lượng giác, Chính vậy, việc tìm hiểu vận dụng kiến thức hình học giải tích cần thiết giúp việc học tập môn học khác hiệu Hình học giải tích sáng lập đồng thời hai nhà bác học người Pháp Descartes (1596-1650) Ferma (1601-1655) với đặc trưng môn học ứng dụng phương pháp tọa độ đại số vectơ để khảo sát tốn hình học Phương pháp khơng ứng dụng để giải tốn hình học mặt phẳng hay khơng gian ba chiều mà cịn ứng dụng trong khơng gian nhiều chiều với hình dạng phức tạp việc vẽ hình để giải tốn điều khó thực Gần đây, nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, thi tốn Olympic quốc tế hay tạp chí tốn học có nhiều tốn khơng liên quan đến hình học vận dụng kiến thức hình học để giải Một dạng tốn tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số với nhiều phương pháp giải đặc thù, lạ tương đối khó vận dụng học sinh lẫn giáo viên Với tinh thần đổi để nâng cao hiệu giảng dạy, với mong muốn giúp em học sinh có cách nhìn lạ cách giải tập đại số nên lựa chọn đề tài: "Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải toán đại số phương pháp hình học" Hy vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp dạy học hiệu hơn, giúp em học sinh hứng thú học tập 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số, bất đẳng thức, vận dụng phương pháp thích hợp hình học giải tích để giải tốn nêu chương trình phổ thông trung học skkn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài tốn ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số, bất đẳng thức Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp hình học giải tích để giải tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số, bất đẳng thức 1.4 Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, sách tham khảo chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức  Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp  Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm lớp 10A, 10E trường THPT Hà Trung năm học 2019 -2020 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Việc đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực thể qua bốn đặc trưng sau: Một là, dạy học thông qua tổ chức liên tiếp hoạt động học tập, giúp học sinh tự khám phá điều chưa biết không thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Giáo viên người tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập phát kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức biết vào tình học tập tình thực tiễn Hai là, trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại kiến thức có, suy luận để tìm tịi phát kiến thức Ba là, tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành môi trường giao tiếp giáo viên – học sinh học sinh – học sinh nhằm skkn vận dụng hiểu biết kinh nghiệm cá nhân, tập thể giải nhiệm vụ học tập chung Bốn là, trọng đánh giá kết học tập theo mục tiêu học suốt tiến trình dạy học thơng qua hệ thống câu hỏi, tập (đánh giá lớp học) Chú trọng phát triển kỹ tự đánh giá đánh giá lẫn học sinh với nhiều hình thức theo lời giải đáp án mẫu, theo hướng dẫn, tự xác định tiêu chí để phê phán, tìm nguyên nhân nêu cách sửa chữa sai sót Đề tài nghiên cứu thực thực tế tiết dạy nội dung phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức có sử dụng số phương pháp đổi địi hỏi mang tính chất sáng tạo 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua trình quan sát, dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp, thăm dị từ phía học sinh Tơi rút số vấn đề sau:  Về giáo viên: dạy phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức phương pháp hình học giải tích tài liệu khơng có nhiều, khơng chun sâu  Về phía học sinh: cịn chưa biết hay lúng túng giải tập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức phương pháp hình học giải tích 2.3 Các biện pháp thực 2.3.1 Cơ sở lý thuyết [4]  Bất đẳng thức vectơ Trong hệ trục Oxy , cho Dấu xảy hai vectơ hướng hai vectơ vectơ Dấu xảy hai vectơ vectơ véctơ skkn ngược hướng hai Dấu thứ xảy hai vectơ ngược hướng hai vectơ véctơ Dấu thứ hai xảy hai vectơ hướng hai vectơ vectơ  Phương trình đường thẳng Dạng tổng quát:  Phương trình đường trịn Dạng tổng qt: 2.3.2 Bài tập ứng dụng 2.3.2.1 Các toán giải phương trình, bất phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình [3] Hướng dẫn: nhận thấy tập xác định hàm số mà biểu thức dấu tổng bình phương nên ta nghĩ tới biểu thức tính độ dài vectơ Vế trái tổng hai tổng độ dài hai vectơ Nhận thấy: Trên hệ trục tọa độ , chọn: Ta có: Dấu xảy Tức hướng Vậy phương trình có nghiệm Lưu ý: chọn tọa độ vectơ mà sau thực phép tổng hai vectơ phải biến vế phải khơng phụ thuộc vào phải tồn để dấu xảy Ví dụ 2: Giải bất phương trình [4] Hướng dẫn: nhận thấy tập xác định hàm số mà biểu thức dấu tổng bình phương nên ta nghĩ tới biểu thức tính độ dài vectơ Vế phải tổng hai tổng độ dài hai véc tơ skkn Nhận thấy : , Xét hệ trục tọa độ Chọn Ta có: Kết hợp với đề Dấu xảy ngược hướng Tức Vậy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ 3: Giải bất phương trình [3] Hướng dẫn: nhận thấy xuất số bình phương số hạng vế trái Từ ta nghĩ tới việc sử dụng công thức độ dài véctơ Tập xác định Xét hệ trục tọa độ Chọn , Ta có : Bất phương trình xảy dấu Tức hướng Vậy bất phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Tìm để phương trình có nghiệm Hướng dẫn: nhận thấy tập xác định hàm số mà biểu thức dấu tổng bình phương nên ta nghĩ tới biểu thức tính độ dài véc tơ Vế trái hiệu hai hiệu độ dài hai véc tơ Giải: Tập xác định skkn Nhận thấy : Xét hệ trục tọa độ Chọn Ta có : Dấu xảy : không thỏa mãn hay không thỏa mãn hướng (khơng xảy ra) Vậy phương trình có nghiệm Nhận xét: phương trình, bất phương trình chứa mà phương pháp thơng thường bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, mà việc giải khó khăn, mặt khác biểu thức dấu tổng bình phương gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức vectơ Bài tập rèn luyện Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải bất phương trình Bài 5: Giải bất phương trình Bài 6: Giải phương trình 2.3.2.2 Các tốn giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau skkn Hướng dẫn: nhận thấy phương trình (3) hệ giống công thức độ dài véctơ , phương trình (1), (2) dạng tích vơ hướng hai véctơ Vậy nên, hệ trục Oxy chọn Từ phương trình (1) suy Nếu Nếu , từ (3) suy phương nên ta suy Với suy Với , từ (2) suy thay vào hệ ta Mà Thay vào (1) ta suy Thay vào (1) ta Vậy nghiệm hệ Ví dụ 2: Tìm để hệ phương trình có hai nghiệm [2] Hướng dẫn: Rõ ràng xét với hệ có nghiệm, mặt khác dạng phương trình đầu phương trình đường trịn, phương trình thứ hai hai phương trình đường thẳng Từ đó, ta có: skkn Các điểm thỏa mãn (1) đường tròn tâm gốc tọa độ bán kính Các điểm thỏa mãn (2) nằm đường thẳng Do tính chất đối xứng nên hai đường thẳng tiếp tuyến, tiếp tuyến đường trịn Ta có Vậy hệ có nghiệm Ví dụ 3: Tìm để hệ sau có nghiệm ướng dẫn: Vì vế trái (1) khơng âm, nên xét H Đặt , Bài toán cho trở thành: Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm Có nhận xét dạng phương trình hệ từ suy phương pháp giải tốn Các điểm thỏa mãn (2) nằm đường trịn tâm gốc tọa độ bán kính , điểm thỏa mãn (1) nằm đường thẳng Ta phải tìm để đường thẳng cắt đường trịn cung phần tư thứ Từ suy hệ cho có nghiệm 10 skkn Kết hợp với , ta suy giá trị phải tìm Ví dụ 4: Tìm để hệ sau có nghiệm [2] Hướng dẫn: Thay coi tham số ta coi Điểm M hệ tọa độ có dạng hệ sau đây: Những điểm hai góc đối đỉnh ( không kể cạnh ) là: biến số Xét hệ tọa độ Hệ cho dễ thấy tương đương với thỏa mãn (1) nằm Những điểm thỏa mãn (2) đường trịn tâm O bán kính Từ suy điểm nghiệm (1) ,(2) cung đường trịn nói ( khơng kể đầu mút cung) Ta có tọa độ A Do B C giao điểm đường thẳng với đường tròn độ B C đường thẳng , nên thấy , có Vậy tọa Cịn D giao điểm đường tròn với 11 skkn Từ có có phương trình Từ suy hệ cho có nghiệm Ví dụ 5: Tìm giá trị tham số Hướng dẫn: Đặt để hệ bất phương trình sau có nghiệm ta có hệ trở thành: Ta nhận dạng bất phương trình hệ , dấu xảy dạng phương trình đường trịn phương trình đường thẳng Miền nghiệm bất phương trình (1) miền biên đường trịn tâm O, bán kính Nghiệm bất phương trình (2) nửa mặt phẳng khơng chứa gốc tọa độ O chia đường thẳng Từ để hệ cho có nghiệm thì : Vậy Ví dụ 6: Tìm giá trị tham số để hệ bất phương trình sau có nghiệm [4] Giải: Ta có : 12 skkn Trong hệ trục , miền nghiệm bất phương trình (1) điểm nằm bên đường trịn tâm bán kính , miền nghiệm bất phương trình (2) điểm nằm nửa mặt phẳng chứa gốc tọa đô bờ đường thẳng Vậy hệ có nghiệm Vậy hệ có nghiệm Bài tập rèn luyện Bài 1: Tìm để hệ bất phương trình sau có nghiệm Bài 2: Tìm để hệ bất phương trình sau có nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình sau Bài 4: Giải hệ phương trình sau Bài 5: Tìm để hệ phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt 13 skkn 2.3.2.3 Các toán giải bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho hai số thỏa mãn điều kiện [1] Chứng minh Hướng dẫn: Ta nhận thấy biểu thức dấu tổng hai bình phương , nên nghĩ tới phương pháp sử dụng bất đẳng thức độ dài véctơ Ta có Xét đường thẳng (d) điểm Lấy điểm thuộc đường thẳng (d) Khi vế trái bất đẳng thức Có thể thấy Gọi nằm phía với đường thẳng (d) đối xứng với qua Giả sử 14 skkn cắt đường thẳng Ta có Dấu xảy Gọi giao điểm với đường thẳng (d) Gọi , Nên ta có : suy Vậy suy Dấu xảy với Vậy dấu xảy Ví dụ 2: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh [1] Hướng dẫn: Ta khai chuyển vế phải tổng hai bình phương Trong hệ trục vẽ đường tròn Lấy điểm Từ (1) ta thấy đường thẳng (2) Từ O kẻ đường vng góc với đường thẳng vng góc giả sử cắt đường tròn đơn vị 15 skkn Gọi chân đường Hiển nhiên ta có với thuộc đường thẳng , ln có Vì thuộc đường tròn (3) Từ (2), (3) suy (1) suy điều phải chứng minh Dấu xảy Ví dụ 3: Cho hai số minh thỏa mãn điều kiện Chứng [2] Hướng dẫn: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng Xét hai đường thẳng và hai điểm Các điểm Bất đẳng thức (1) tương đương với Xét hai điểm độ dài đường gấp khúc nối 16 skkn Mặt khác Do nên (2) hiển nhiên suy điều phải chứng minh Dấu xảy Khi đường thẳng , Ví dụ 4: Cho tương ứng giao điểm Dễ thấy thẳng hàng với hai nên dấu xảy hai số thực thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải: Ta có Xét hệ trục tọa độ Gọi Khi Dễ thấy Đặt Ta có: Suy Ta có Mặt khác: 17 skkn Suy , dấu xảy hay Vậy giá trị nhỏ Ví dụ 5: Xét số thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , với số thực , xét điểm , Khi đó, ta có Gọi trọng tâm tam giác , , ta có , tam giác tương ứng độ dài đường trung tuyến xuất phát từ Theo bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực không âm Bằng cách tương tự, ta có Suy Ta có (2) 18 skkn Từ (1), (2), (3), suy Hơn nữa, kiểm tra trực tiếp ta thấy Vậy giá trị nhỏ Bài tập rèn luyện Bài 1: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh Bài 2: Cho bốn số thỏa mãn điều kiện Chứng minh Bài 3: Cho bốn số thỏa mãn điều kiện Chứng minh Bài 4: Chứng minh với ta có Bài 5: Chứng minh với Bài 6: Chứng minh với ta có ta có Bài 7: Chứng minh với Chứng minh bất đẳng thức Bài 8: Cho hai số Chứng minh thỏa mãn điều kiện 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 skkn Với cách dạy truyền thống, sau học xong phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tiếp tục dạy luyện tập tập với phương pháp giải khác cho học sinh tiếp cận phương pháp dùng phương pháp hình học để giải tốn đại số Tôi cho học sinh làm kiểm tra tiết Kết sau: Lớp Sỉ Điểm < điểm số Số Tỉ lệ % lượng 10A 4 10E 0 Điểm TB Số Tỉ lệ lượn % g 21,5 11,4 12 27,3 Khá Giỏi Số Tỉ lệ % Số Tỉ lệ % lượng lượng 19 51,3 10 27,2 20 45,4 15,9 2.5 Điểm sáng kiến Các dạng toán giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số, bất đẳng thức giải phương pháp phức tạp, sử dụng đánh giá khó khăn ta sử dụng hình học giải tích vào giải cách đơn giản, đặc biệt toán chứa tham số III KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Qua thực tiễn giảng dạy, thực nghiệm sư phạm thân tơi nhận thấy tính khả thi đề tài Đa số học sinh khơng cịn thấy xa lạ với việc giải tốn phương pháp hình học Quan trọng em thấy ý nghĩa đẹp, hay, sáng tạo toán học thúc đẩy cho em tính tích cực sáng tạo tư ln tìm hiểu vấn đề lạ 3.2 Kiến nghị - Mỗi giáo viên cần tìm tịi điều hay , lạ để có cách giải toán đơn giản , tạo cho em trải nghiệm thú vị, tạo niềm vui, hứng thú học tập - Giáo viên cần tự học, bồi dưỡng nâng cao trình độ ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Tăng cường nghiên cứu phương pháp, kĩ thuật dạy học đổi mới, lựa chọn phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Có 20 skkn thực mục tiêu nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Sáng kiến kinh nghiệm thể vận dụng phương pháp dạy học tích cực vào tiết dạy cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm khơng mang tính lí luận sâu sa lý thuyết tốn mà mà thân tơi làm, thực hóa lý thuyết đổi dạy học tiết học cụ thể Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 03 tháng 07năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác TÀI LIỆU THAM KHẢO + Bất đẳng thức ứng dụng ( Phan Huy Khải- Trần Hữu Nam ), nhà xuất giáo dục Việt Nam [1] + Toán nâng cao đại số tập II 10,11,12 (Phan Huy Khải), nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] 21 skkn + Phân tích tìm tịi hướng giải phương pháp suy luận chuyên dề đại số (Nguyễn Thành Long chủ biên, Lê Văn Đoàn, Nguyễn Quang Sơn, Nguyễn Tấn Siêng) nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [3] +Nguồn http://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/hoc360.net [4] 22 skkn ... dạy, với mong muốn giúp em học sinh có cách nhìn lạ cách giải tập đại số nên lựa chọn đề tài: "Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải toán đại số phương pháp hình học" Hy vọng với đề tài... với phương pháp giải khác cho học sinh tiếp cận phương pháp dùng phương pháp hình học để giải tốn đại số Tôi cho học sinh làm kiểm tra tiết Kết sau: Lớp Sỉ Điểm < điểm số Số Tỉ lệ % lượng 10A... 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải bất phương trình Bài 5: Giải bất phương trình Bài 6: Giải phương trình 2.3.2.2 Các tốn giải hệ phương trình,