Đang tải... (xem toàn văn)
1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Trong vài năm gần đây khi bài thi môn toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, các câu hỏi về Mũ và Logarit xuất hiện với số lượng khá nhiều trong đề thi Nội dung câu[.]
1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong vài năm gần thi mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, câu hỏi Mũ Logarit xuất với số lượng nhiều đề thi Nội dung câu hỏi khai thác nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạng câu hỏi thực gây khó cho thí sinh Nhiều em gặp số loại toán Mũ Logarit cịn lúng túng, đơi khơng Qua thời gian giảng dạy, nhận thấy rằng, nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa biết cách suy nghĩ chưa có cơng cụ để sử dụng Do vậy, để giúp học sinh tự tin có khả giải tốt câu hỏi Mũ Logarit thi đó, việc trang bị cho em kiến thức phương pháp, kỹ thuật xử lý điều cần thiết Với lý đó, tơi chọn đề tài: “KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG KỸ THUẬT HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MŨ VÀ LOGARIT” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh biết cách tiếp cận giải số loại toán mức độ vận dụng, vận dụng cao phần mũ logarit Từ tạo hứng thú, động lực để học sinh học mơn tốn tốt đạt kết cao kỳ thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sách giáo khoa, đề thi thử trường THPT toàn quốc, đề thi THPT QG Học sinh trường THPT Thọ Xuân 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu dạng tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; toán phương trình có liên quan đến mũ logarit thường gặp mà học sinh gặp khó khăn UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.1 Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp đọc hiểu Phương pháp phân tích – tổng hợp NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cở sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở để giải tốn có sử dụng kỹ thuật hàm đặc trưng là: Tính chất Nếu hàm số đơn điệu chiều miền tồn phương trình 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nhiều học sinh chưa làm lúng túng trước toán mũ loagarit cần phải sử dụng hàm đặc trưng để giải 2.3 Giải pháp tiến hành để giải vấn đề Trong phần tơi trình bày hai dạng toán thường gặp định hướng cách giải số… - Dạng tốn phương trình mũ, logarit nghiệm ngun, tìm điều kiện tham Dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Các tốn dạng đề cho phương trình hàm đặc trưng (thơng thường xuất qua số bước biến đổi) từ ta tìm mối liên hệ biến rút vào giả thiết thứ để giải u cầu tốn Nhìn chung dạng tốn ta cần nắm kỹ biến đổi làm xuất hàm đặc trưng kết hợp với kiến thức đạo hàm giải trọn vẹn! Ta có tính chất sau hàm số Tính chất Nếu hàm số đơn điệu chiều miền tồn phương trình Ta dùng kiến thức để giải toán mục này! UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ Cho số thực khơng âm x,y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ m biểu thức A D B C Lời giải Mấu chốt toán phải làm xuất hàm đặc trưng từ rút mối liên hệ Biến đổi giả thiết ta có Xét hàm số đoạn hàm đồng biến ta có Do Vậy phương trình Thế vào biểu thức cần tìm ta Chọn ý B Chú ý Phần tìm giá trị nhỏ hàm biến đơn giản! Để tìm hàm đặc trưng ta phải ln dựa vào biểu thức mũ biểu thức hàm logarit Với thi trắc nghiệm ta lược bỏ bước xét hàm số đơn điệu để suy mối liên hệ Ví dụ Cho số x,y,z thỏa mãn đồng thời Khi GTNN biểu thức UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com bao nhiêu? A B C D Lời giải Ý tưởng toán khơng mới, vấn đề ta phải tìm mối liên hệ biến với nhau, bám sát vào biểu thức dấu logarit để xây dựng hàm đặc trưng Biến đổi giả thiết ta Thế vào giả thiết ta Từ dẽ dàng tìm Chọn ý A Ví dụ Cho số thỏa Biết giá trị mãn nhỏ đồng biểu với m,n số nguyên dương Hỏi có bao n thỏa mãn? A B C D Lời giải Nhìn thấy biểu thức logarit viết dạng phân thức ta nghĩ tới hàm đặc trưng Biến đổi gải thiết ta Tuy nhiên vấn đề khó khơng nằm việc biến đổi mà nằm phần sau Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cộng vế theo vế ta Vậy có số thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý D Ví dụ Cho số thực a,b,c thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A B C D Lời giải Một toán phát biểu đơn giản khó Trước tiên biến đổi giả thiết ta Đến sử dụng đại số khó, ý tưởng sử dụng yếu tố hình học tác giả tốn sử dụng điều kiện tương giao mặt phẳng mặt cầu hình phẳng Oxyz Quy đồng giả thiết ta Điều kiện tương giao mặt phẳng mặt cầu UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chọn ý D Ví dụ Tìm tất giá trị thực dương tham số a thỏa mãn bất đẳng thức A B C D THPT Kiến An – Hải Phòng 2017 – 2018 Lời giải Lấy logarit số vế ta Xét hàm số Suy hàm giảm Chọn ý D Nhận xét Qua ví dụ ta phần hiểu ý tưởng phương pháp làm dạng toán Sau tập luyện tập cho bạn Ví dụ Cho thỏa Tìm giá trị nhỏ A B Phương trình đầu tương đương C Lời giải D Xét hàm số , có UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy hàm số đồng biến Phương trình tương đương Theo bất đẳng thức Schwarz ta có Theo bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có Vì Từ nên Đặt ta có , ta có (khơng thỏa mãn) Suy Vậy , hay Ví dụ Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện trị lớn biểu thức A Ta có Giá B C D Lời giải , biến đổi phương trình tương đương UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt , có đồng biến Từ Khi đó, ta có Khi , thỏa điều kiện Vậy Ví dụ Cho thỏa mãn lớn biểu thức A Giá trị thuộc tập đây? B Lời giải C D Ta có Do Ta có nên Xét hàm số Suy hàm số với đồng biến Nên Ta lại có Với UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dấu xảy Mặt khác Dấu xảy , Khi ta có Vậy , Ví dụ Cho hai số thực dương thỏa mãn Khi biểu thức khoảng sau A đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị B Từ giả thiết ta có điều kiện xác định Lời giải thuộc C D Khi Xét hàm số Do hàm số khoảng ta có hàm đồng biến khoảng Bất phương trình trở thành Khi ta chọn điểm rơi để đánh giá đẳng thức sau UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta chọn giá trị dương thỏa mãn để ghép cặp AM – GM cho đẳng thức ngoặc vuông dấu xảy Xét hàm số Ta có Nên hàm sồ đồng biến Vậy phương trình có tối đa nghiệm Dễ thấy nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm Do ta viết lại Dấu xảy ; Suy DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán liên quan đến nghiệm ngun phương trình mũ logarit Ví dụ Có số nguyên số nguyên A thỏa mãn B cho ứng với có khơng ? C D Đề tốt nghiệp THPT 2020 mã đề 1043 Lời giải Ta có Đặt (do ), Đạo hàm Vì với ngun có khơng q giá trị Do đồng biến nên ta có Như có giá trị thỏa u cầu tốn Nhận xét Đây câu khó đề thi THPT Quốc Gia 2020 vừa rồi, điều làm tốn khó so với tốn đề tham khảo dấu bất phương trình giả thiết “khơng có q 127 số ngun y” Như ta nhận dạng lớp tốn phương trình nghiệm ngun mà chương đề cập Sau ví dụ minh họa Ví dụ Có cặp số ngun dương A B thỏa mãn C D Lời giải Từ giả thiết ta có Xét hàm UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có hàm số Do Để đồng biến hay ngun dương Do u cầu tốn Suy Vậy có cặp số nguyên dương Ví dụ Cho phương trình thỏa mãn Hỏi có cặp số nguyên dương A B thỏa mãn phương trình cho? C D Lời giải Biến đổi giả thiết ta Do Thế ngược lại giá trị có y ta thấy có giá trị nguyên y thỏa mãn yêu cầu đề đồng nghĩa có cặp số Chọn ý B Bài tốn tìm điều kiện tham số thỏa mãn phương trình cho Ví dụ Phương trình có nghiệm phân biệt A B đặt C D THPT Trần Nhân Tông – Quảng Ninh lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số liên tục đồng biến có nên hàm số Do từ Xét hàm số suy có ; Lập bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt Suy Chọn ý B Ví dụ Có giá trị nguyên dương tham số để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt? A B C D Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Điều kiện Phương trình ban đầu tương đương UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số với đồng biến có , nên Từ Để có hai nghiệm thực phân biệt có hai nghiệm phân biệt mà , lớn Chọn ý B Ví dụ Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số để phương trình có nghiệm A B C D Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh lần năm học 2017 – 2018 Lời giải UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt Khi Xét hàm Hàm số ln đồng biến Phương trình có nghiệm Chọn ý B Ví dụ Có giá trị ngun tham số mãn điều kiện để tồn cặp số thỏa , đồng thời A B C D Sở Giáo dục đào tạo Bà Rịa Vũng Tàu đề năm 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có Xét hàm số biến Ta có nên hàm số đồng Do phương trình có dạng Thế vào phương trình cịn lại ta Đặt , phương trình có dạng Để phương trình có nghiệm Do có số ngun thỏa mãn UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chọn ý A Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số để phương trình có nhiều nghiệm A B C D THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần – năm học 2017 – 2018 Lời giải Điều kiện Đặt ta Thay vào ta Ta có hệ Do hàm số đồng biến Xét hàm số ; nên suy ; Vẽ bảng biến thiên cho hàm nghiệm ta suy phương trình có nhiều hai Chọn ý B Ví dụ Có số ngun để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn A B Vô số C D THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Điều kiện Biến đổi giả thiết tương đương UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hàm số , , ta có Do hàm số đồng biến Khi phương trình Điều với Xét hàm số , ta có Vẽ bảng biến thiên ta thấy phương trình Do nên có hai nghiệm phân biệt lớn Chọn ý C Câu 30 Tìm tập hợp tất giá trị tham số để phương trình có ba nghiệm phân biệt UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A B C D THPT Chu Văn An – Hà Nội năm học 2017 – 2018 Lời giải Xét hàm số , đồng biến , Biến đổi giả thiết tương đương Khi , (1) Khi , (1) Trường hợp có nghiệm kép , có hai nghiệm phân biệt khác Khi có nghiệm , có hai nghiệm phân biệt Trường hợp có nghiệm kép , có hai nghiệm phân biệt khác Khi có nghiệm , có hai nghiệm UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường hợp (3) có chung nghiệm Khi Vậy , thử lại thỏa yêu cầu toán Chọn ý B Câu 43 Tổng tất giá trị tham số m để phương trình có ba nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Ta có Xét Vậy hàm số , có đồng biến Điều kiện cần để phương trình có nghiệm Trường hợp có nghiệm kép thử lại ta thấy thỏa mãn Trường hợp có nghiệm kép thử lại ta thấy thỏa mãn Trường hợp Ta có có nghiệm chung Thế vào ta có UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... cần phải sử dụng hàm đặc trưng để giải 2.3 Giải pháp tiến hành để giải vấn đề Trong phần trình bày hai dạng tốn thường gặp định hướng cách giải số? ?? - Dạng toán phương trình mũ, logarit nghiệm nguyên,... thuật hàm đặc trưng là: Tính chất Nếu hàm số đơn điệu chiều miền tồn phương trình 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nhiều học sinh chưa làm lúng túng trước toán mũ loagarit... tài sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp đọc hiểu Phương pháp phân tích – tổng hợp NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cở sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở để giải tốn có sử dụng kỹ thuật