Skkn hướng dẫn học sinh tính thể tích vật thể nhờ ứng dụng của tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ NHỜ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Người thực hiện: Mai Thị Bích Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 skkn MỤC LỤC Mục lục Trang Mở đầu Trang Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 *) Tính thể tích vật thể 2.3.2*) Tính thể tích khối trịn xoay 10 2.4 13 Hiệu sáng kiến Kết luận 14 Tài liệu tham khảo skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân ứng dụng tích phân chương nội dung sách giáo khoa giải tích lớp 12, chun đề ơn thi THPT Quốc gia với nhiều kiến thức ứng dụng thực tế quan trọng Trong thực tế sống khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính thể tích vật thể phức tạp Chẳng hạn thể tích khoang tàu, hồ nước có sức chứa Có nhiều học sinh hỏi tơi rằng, chúng em học tốn có q nhiều cơng thức, nhiều tính tốn sử dụng thực tế Và qua đề tài này, muốn cho em thấy toán học đời để giải tốn thực tiễn sống ngày Chính từ tốn tính diện tích, thể tích, chiều dài cung tiền thân đời phép tính tích phân 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ mong muốn đó; q trình giảng dạy với tham khảo ý kiến đồng nghiệp; mạnh dạn đưa sáng kiến: “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích vật thể nhờ ứng dụng tích phân ” Qua sáng kiến mong muốn phần giúp em học sinh q trình ơn thi THPTQG có tài liệu để tự học qua giúp em có thêm niềm tin, hứng thú học tập, biết sáng tạo để giải toán lạ, biết quy lạ quen thấy vẻ đẹp, gần gũi tốn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong khn khổ viết hệ thống lại số dạng tốn tính thể tích 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, mà nội dung vấn đề mẻ, mong muốn tài liệu giúp em ôn tập bổ sung thêm kiến thức đồng thời tự luyện dạng toán skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận Trước hết ôn tập lại số công thức tính thể tích vật thể nhờ úng dụng tích phân 2.1.1 Thể tích vật thể: [1] Một vật thể không gian Gọi B phần vật thể giới hạn mp (P) (Q) Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có Ox vng góc với (P) (Q) Gọi a, b (a < b) giao điểm (P) (Q) với Ox Gọi mp tùy ý vng góc với Ox x ( ) cắt B theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục Khi thể tích vật thể B tính cơng thức (1) 2.1.2 Thể tích khối trịn xoay: [1] Một hình phẳng quay quanh trục tạo nên khối trịn xoay Bài tốn Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn , trục Ox đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là: y y  f  x O a (2) bx Chú ý: Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) liên tục đoạn , trục Oy hai đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta khối trịn xoay tích là: (3) Bài tốn skkn Thể tích khối trịn xoay có quay nhiều đồ thị hàm số quanh trục Ta tiến hành chia phần thể tích V thành phần thể tích mà phần tính công thức (2) (3) 2.2 Thực trạng vấn đề skkn Mặc dù ứng dụng tích phân chuyên đề lớn nội dung ôn thi, khai thác nhiều tài liệu tác giả, nhà sách, năm trở lại đây, đề thi THPT Quốc gia, đề minh họa đề khảo sát THPT Sở xuất dạng tốn ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể gắn với thực tế gần gũi quen thuộc sống Là dạng quen thuộc, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết để vận dụng giải vấn đề Vì với tài liệu này, tơi- với tuổi nghề chưa nhiều, mong muốn giúp em củng cố tốt lý thuyết để vận dụng linh hoạt trước nhiều dạng toán lạ để thân nâng cao lực chuyên môn 2.3 Một số giải pháp: 2.3.1 *) Tính thể tích vật thể nhờ cơng thức (1) Bài tốn 1: [2] Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc , chiều cao lòng cốc đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy A B Phân tích tốn: C D Để tính lượng nước cốc ta coi phần nước nghiêng cốc vật thể B Trước hết cần gắn hệ tọa độ Cần quan tâm đến đường vng góc với để chọn hệ tọa độ hợp lí Sau cần xác định thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox tính diện tích S(x) thiết diện skkn Lời giải: Chọn đáp án A Đặt ( ), ( ) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Một mặt phẳng tùy ý vng góc với trục điểm x ( ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích z Ta thấy thiết diện tam giác vng, giả sử tam giác vuông h hình vẽ A Ta có Vậy thể tích lượng nước cốc ( S(x) ) y α O x α B C x Bài toán 2: [3] Một chi tiết máy thiết kế hình vẽ bên Các tứ giác hình vng cạnh Tứ giác có hình chữ nhật Mặt bên mài nhẵn theo đường parabol có đỉnh parabol nằm cạnh Thể tích chi tiết máy A B C D Lời giải: Chọn đáp án D Gọi hình chiếu hình lập phương lại tích có cạnh Vật thể chia thành , thể tích phần cịn Khi thể tích vật thể skkn y z O x Gắn hệ trục song song với cho trùng với , trùng với ( hình vẽ) Khi Parabol O(0; 0) có phương trình , trùng với tia qua điểm Cắt vật thể mặt phẳng vng góc với ta thiết diện hình chữ nhật qua điểm có cạnh diện tích Áp dụng cơng thức thể tích vật thể ta có => Bài tốn 3: [3] Từ mợt khúc gỗ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm ( hình minh họa dưới đây) Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2) Tính V A 2250 cm3 C 1250 cm3 B D 1350 cm3 skkn Hình Hình Lời giải: Chọn đáp án A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình: y = Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x với x  [-15; 15] Cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S(x) Dễ thấy NP = y MN = NP.tan450 = y = => => Bài tập tương tự: Bài 1: [4] Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015 Nền sân là một Elip có trục lớn dài , trục bé dài Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn của và cắt tại M và N (hình a) thì ta được thiết diện là một phần của hình tròn có tâm I( phần tô đậm hình b) với MN là dây cung và Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư Hình a Hình b cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên mặt sân, coi mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái che không đáng kể Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu? A B C D skkn Bài 2: Một thùng đựng nước hình trụ có bán kính đáy 20cm, bên đựng lượng nước Biết nghiêng thùng cho đường sinh hình trụ tạo với mặt đáy góc 45° nước lặng, mặt nước chạm vào hai điểm A B nằm hai mặt đáy hình vẽ bên Hỏi thùng đựng nước tích cm3? A B C D 2.3.2 *) Thể tích khối trịn xoay: Bài tốn 1: Một thùng đựng rượu (có dạng khối trịn xoay hình vẽ) có đường kính đáy , đường kính lớn thân thùng , cạnh bên hông thùng có hình dạng parabol Thể tích thùng bia gần với kết đây? (giả sử độ dày thùng bia không đáng kể) A (lít) Phân tích tốn: B (lít) C (lít) D (lít) Với dạng tập này, ta thực gắn hệ tọa độ( chưa có), cần chọn hệ tọa độ hợp lí để việc tính tốn đơn giản Tiếp đến dựa vào đề để tìm hàm số Tiếp đến xác định khối trịn xoay sinh đồ thị hàm số quay quanh trục (Ox hay Oy) Dựa vào cơng thức (2); (3) để tính thể tích Lời giải: Chọn đáp án C Chọn hệ trục Oxy hình vẽ 10 skkn Ta có phương trình parabol phía trục hoành qua điểm y là: C 20 15 Thể tích thùng thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đường B 30 A -30 Vì x O (lít) Bài tốn 2: Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là: A B C D Lời giải: Chọn đáp án D Ta có: Đặt x = sint; Bài tốn 3: Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích: A B 11 skkn C D Lời giải: Chọn đáp án B Xét hệ phương trình: Do (H) đối xứng qua Oy nên Bài toán 4: Một bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường trục Ox; quay quanh trục Ox; biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là: A B C D Lời giải: Chọn đáp án D Do đường kính đáy lọ 2dm nên bán kính đáy lọ dm Tương tự, bán kính miệng lọ dm Ta có y Vậy O x Bài tập tương tự: Bài 1:[4] Cho hình phẳng giới hạn đường Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh A B 12 skkn C D Bài 2: [4] Bên hình vng cạnh , dựng hình bốn cánh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục A B C D Bài 3:[4] Cho đường tròn nội tiếp hình vng cạnh a (như hình vẽ bên) Gọi S hình phẳng giới hạn đường trịn hình vng (phần nằm bên ngồi đường trịn bên hình vng) Tính thể tích vật thể trịn xoay quay S quanh trục MN A B C D Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn đường Thể tích khối trịn xoay quay (H) quanh trục Ox bằng: A B C D 2.4 Kết thực nghiệm  Với đề tài mong muốn khuyến khích tính tự học, tự tìm tịi học sinh, nhiều tương tự đề thi thử, mong em học sinh giải tốt dạng toán 13 skkn KẾT LUẬN Trong thời gian có hạn đề tài tơi khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong bổ sung góp ý đồng nghiệp để đề tài hoàn chỉnh có ý nghĩa Tơi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao - NXB Giáo dục Việt Nam [2] : Đề khảo sát THPT Sở GDDT Thanh Hóa 2020-2021 [3] Đề thi tham khảo từ Internet : https://toanhocbactrungnam.vn ; [4] Đề thi thử trường THPT từ bạn bè, đồng nghiệp (KHẢO SÁT THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) (ĐỀ KHẢO SÁT SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH) ( ĐỀ KHẢO SÁT THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ) ( ĐỀ KHẢO SÁT THPT PHẠM VĂN ĐỒNG – PHÚ YÊN ) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2021 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Mai Thị Bích 14 skkn ... “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích vật thể nhờ ứng dụng tích phân ” Qua sáng kiến mong muốn phần giúp em học sinh q trình ơn thi THPTQG có tài liệu để tự học qua giúp em có thêm niềm tin, hứng... toán skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận Trước hết ôn tập lại số công thức tính thể tích vật thể nhờ úng dụng tích phân 2.1.1 Thể tích vật thể: [1] Một vật thể khơng gian Gọi B phần vật thể. .. thực 2.3.1 *) Tính thể tích vật thể 2.3.2*) Tính thể tích khối tròn xoay 10 2.4 13 Hiệu sáng kiến Kết luận 14 Tài liệu tham khảo skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân ứng dụng tích phân chương