SKKN HƯỚNG dẫn học SINH TÍNH THỂ TÍCH vật THỂ NHỜ ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ NHỜ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Người thực hiện: Mai Thị Bích Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Mục lục Trang Mở đầu Trang Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 *) Tính thể tích vật thể 2.3.2*) Tính thể tích khối trịn xoay 10 2.4 13 Hiệu sáng kiến Kết luận 14 Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân ứng dụng tích phân chương nội dung sách giáo khoa giải tích lớp 12, chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia với nhiều kiến thức ứng dụng thực tế quan trọng Trong thực tế sống khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính thể tích vật thể phức tạp Chẳng hạn thể tích khoang tàu, hồ nước có sức chứa Có nhiều học sinh hỏi tơi rằng, chúng em học tốn có q nhiều cơng thức, nhiều tính tốn sử dụng thực tế Và qua đề tài này, tơi muốn cho em thấy tốn học đời để giải toán thực tiễn sống ngày Chính từ tốn tính diện tích, thể tích, chiều dài cung tiền thân đời phép tính tích phân 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ mong muốn đó; trình giảng dạy với tham khảo ý kiến đồng nghiệp; mạnh dạn đưa sáng kiến: “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích vật thể nhờ ứng dụng tích phân ” Qua sáng kiến mong muốn phần giúp em học sinh q trình ơn thi THPTQG có tài liệu để tự học qua giúp em có thêm niềm tin, hứng thú học tập, biết sáng tạo để giải toán lạ, biết quy lạ quen thấy vẻ đẹp, gần gũi toán học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong khuôn khổ viết tơi hệ thống lại số dạng tốn tính thể tích 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, mà nội dung vấn đề mẻ, mong muốn tài liệu giúp em ôn tập bổ sung thêm kiến thức đồng thời tự luyện dạng toán NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận Trước hết ôn tập lại số công thức tính thể tích vật thể nhờ úng dụng tích phân 2.1.1 Thể tích vật thể: [1] Một vật thể khơng gian Gọi B phần vật thể giới hạn mp (P) (Q) Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có Ox vng góc với (P) (Q) Gọi a, b (a < b) giao điểm (P) (Q) với Ox Gọi mp tùy ý vng góc với Ox x ( x ∈ [ a; b] ) cắt B theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục [ a; b] Khi thể tích vật thể B tính cơng thức b V = ∫ S ( x )dx (1) a 2.1.2 Thể tích khối trịn xoay: [1] Một hình phẳng quay quanh trục tạo nên khối trịn xoay Bài tốn Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a; b ] , trục Ox đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là: b Vx = π ∫ f ( x ) dx (2) y y = f ( x) O a bx a Chú ý: Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) liên tục đoạn [ a; b ] , trục Oy hai đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta khối trịn xoay tích là: b Vy = π ∫ g ( y ) dy a (3) Bài tốn Thể tích khối trịn xoay có quay nhiều đồ thị hàm số quanh trục Ta tiến hành chia phần thể tích V thành phần thể tích V1 ,V2 , mà phần tính cơng thức (2) (3) f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] g ( x ) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] b b V = π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx V = π ∫  g ( x ) − f ( x )  dx f ( y ) ≥ g ( y ) , ∀y ∈ [ a; b ] g ( y ) ≥ f ( y ) , ∀y ∈ [ a; b ] a a b b V = π ∫  f a V = π ∫  g ( y ) − f ( y )  dy ( y ) − g ( y )  dy a f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; c ] ; f ( x ) ≥ h ( x ) , ∀x ∈ [ a; c ] ; g ( x ) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ [ c; b ] c V = π ∫  f a g ( x ) ≥ h ( x ) , ∀x ∈ [ c; b ] b ( x ) − g ( x )  dx + π ∫  g ( x ) − f ( x )  dx c c b a c V = π ∫  f ( x ) − h ( x )  dx + π ∫  g ( x ) − h ( x )  dx 2.2 Thực trạng vấn đề Mặc dù ứng dụng tích phân chuyên đề lớn nội dung ôn thi, khai thác nhiều tài liệu tác giả, nhà sách, năm trở lại đây, đề thi THPT Quốc gia, đề minh họa đề khảo sát THPT Sở xuất dạng tốn ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể gắn với thực tế gần gũi quen thuộc sống Là dạng quen thuộc, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết để vận dụng giải vấn đề Vì với tài liệu này, tôi- với tuổi nghề chưa nhiều, mong muốn giúp em củng cố tốt lý thuyết để vận dụng linh hoạt trước nhiều dạng toán lạ để thân nâng cao lực chun mơn 2.3 Một số giải pháp: 2.3.1 *) Tính thể tích vật thể nhờ cơng thức b V = ∫ S ( x )dx (1) a Bài toán 1: [2] Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc cm , chiều cao lòng cốc 10 cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy A 240 cm3 B 240π cm3 Phân tích toán: C 120 cm3 D 120π cm3 Để tính lượng nước cốc ta coi phần nước nghiêng cốc vật thể B Trước hết cần gắn hệ tọa độ Cần quan tâm đến đường vng góc với để chọn hệ tọa độ hợp lí Sau cần xác định thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox tính diện tích S(x) thiết diện Lời giải: Chọn đáp án A Đặt R = ( cm ), h = 10 ( cm ) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Một mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm x ( −6 ≤ x ≤ ) cắt vật thể z theo thiết diện có diện tích S ( x ) Ta thấy thiết diện tam giác vuông, h giả sử tam giác ABC vng B hình vẽ Ta có S ( x ) = S ABC = A 1 AB.BC = BC tan α 2 S(x) Vậy thể tích lượng nước cốc V= ∫ S ( x ) dx = −6 ∫ −6 ( 36 − x ) dx = 240 ( O x cm3 ) y α α B C x Bài toán 2: [3] Một chi tiết máy thiết kế hình vẽ bên Các tứ giác ABCD, CDPQ hình vng cạnh 2,5cm Tứ giác ABEF hình chữ nhật có BE = 3,5 cm Mặt bên PQEF mài nhẵn theo đường parabol ( P ) có đỉnh parabol nằm cạnh EF Thể tích chi tiết máy A 395 cm 24 B 50 cm3 C 125 cm D 425 cm 24 Lời giải: Chọn đáp án D Gọi hình chiếu P, Q AF BE R S Vật thể chia thành hình lập phương ABCD.PQRS có cạnh 2,5cm , thể tích V1 = lại tích V2 Khi thể tích vật thể V = V1 + V2 = 125 cm phần 125 + V2 y z O x Gắn hệ trục Oxyz cho O trùng với F , Ox trùng với FA , Oy trùng với tia   Fy song song với AD ( hình vẽ) Khi Parabol ( P ) qua điểm P 1; ÷  2 5 2 O(0; 0) có phương trình y = x Cắt vật thể mặt phẳng vng góc với Ox qua điểm M ( x;0;0 ) , ≤ x ≤ ta thiết diện hình chữ nhật MNHK có cạnh MN = diện tích S ( x ) = 25 x Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có V2 = ∫ => V = 5 x MK = 2 25 25 x dx = 12 125 25 425 + = cm 12 24 Bài tốn 3: [3] Từ khúc gỗ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm ( hình minh họa đây) Kí hiệu V thể tích hình nêm (Hình 2) Tính V A 2250 cm3 B 225π cm3 C 1250 cm3 D 1350 cm3 Hình Hình Lời giải: Chọn đáp án A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình: y = 225 − x ; x ∈ [ − 15;15] Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x với x ∈ [-15; 15] Cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S(x) Dễ thấy NP = y MN = NP.tan450 = y = 225 − x ; x ∈ [ − 15;15] 2 => S ( x) = MN NP = (225 − x ) 15 => V = 15 S ( x ) dx = ∫ (225 − x ) dx = 2250cm3 ∫−15 −15 Bài tập tương tự: Bài 1: [4] Sân vận động Sports Hub (Singapore) nơi diễn lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á tổ chức Singapore năm 2015 Nền sân Elip ( E ) có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vng góc với trục lớn ( E ) cắt ( E ) M N (hình a) ta thiết diện ln phần hình trịn có tâm I( phần tơ đậm hình b) · với MN dây cung MIN = 900 Để lắp máy điều hòa khơng khí cho sân vận động kỹ sư Hình a Hình b cần tính thể tích phần khơng gian bên mái che bên mặt sân, coi mặt sân mặt phẳng vật liệu làm mái che khơng đáng kể Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu? A 57793m3 B 115586m3 C 32162m3 D 101793m3 Bài 2: Một thùng đựng nước hình trụ có bán kính đáy 20cm, bên đựng lượng nước Biết nghiêng thùng cho đường sinh hình trụ tạo với mặt đáy góc 45° nước lặng, mặt nước chạm vào hai điểm A B nằm hai mặt đáy hình vẽ bên Hỏi thùng đựng nước tích cm3? A 16000π B 12000π C 8000π D 6000π 2.3.2 *) Thể tích khối trịn xoay: Bài tốn 1: Một thùng đựng rượu (có dạng khối trịn xoay hình vẽ) có đường kính đáy 30 cm , đường kính lớn thân thùng 60 cm , cạnh bên hông thùng có hình dạng parabol Thể tích thùng bia gần với kết đây? (giả sử độ dày thùng bia không đáng kể) A 70 (lít) Phân tích tốn: B 62 (lít) C 64 (lít) D 60 (lít) Với dạng tập này, ta thực gắn hệ tọa độ( chưa có), cần chọn hệ tọa độ hợp lí để việc tính tốn đơn giản Tiếp đến dựa vào đề để tìm hàm số Tiếp đến xác định khối tròn xoay sinh đồ thị hàm số quay quanh trục (Ox hay Oy) Dựa vào cơng thức (2); (3) để tính thể tích Lời giải: Chọn đáp án C Chọn hệ trục Oxy hình vẽ 10 Ta có phương trình parabol phía trục hồnh qua điểm y A(−30;15); B(30;15); C (0; 20) là: 20 C 15 x + 20 180 Thể tích thùng thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đường y=− y=− A -30 B 30 x O x2 + 20; y = 0; x = −30; x = 30 180  x2  + 20 ÷ dx = 20300π (cm3 ) ≈ 63,8 (lít) Vì V = π ∫  − 180  −30  30 Bài tốn 2: Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là: A V = 3π B V = π C V = 2π D V = 2π Lời giải: Chọn đáp án D Ta có:  y = + − x2 x + ( y − 1) = ⇔ ( y − 1) = − x ⇔   y = − − x 2 2 (  V = 2π ∫  + − x 0 ) − ( 1− 2 1− x )   dx = 8π ∫ − x dx   π π  Đặt x = sint;  t ∈  − ;  ÷   2 π π π  sin 2t  ⇒ V = 8π ∫ cos tsdt − 4π ∫ ( + cos 2t ) dt = 4π  t + ÷ = 2π   0 Bài tốn 3: Quay hình phẳng (H) hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích: 46π 23π C V = A V = B V = 46π 15 D V = 13π 11 Lời giải: Chọn đáp án B Xét hệ phương trình:  x + y = ⇒ x = −1 ∨ x =   y = x Do (H) đối xứng qua Oy nên V = 2π ∫  ( − x ) −  ( ) 3x  dx = 2π  ∫ ( 4− x  x3 3x  46π − 3x ) dx = 2π  x − − ÷ =  15  Bài toán 4: Một bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x − trục Ox; quay quanh trục Ox; biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là: A 8π dm3 B 15 π dm3 C 14 π dm3 D 15 π dm3 Lời giải: Chọn đáp án D Do đường kính đáy lọ 2dm nên bán kính đáy lọ dm Tương tự, bán kính y miệng lọ dm Ta có x −1 = ⇒ x = 2 x −1 = ⇒ x = 5 Vậy V = π ∫ ( ) x − dx = 15π dm3 O x Bài tập tương tự: Bài 1:[4] Cho hình phẳng H giới hạn đường y = − x + 2, y = x + 2, x = Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng H quanh trục hồnh 27π B V = 9π C V = 9π D V = 55π A V = 12 Bài 2: [4] Bên hình vng cạnh a , dựng hình bốn cánh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục xy A 5π a 48 B 5π a 16 C π a D π a Bài 3:[4] Cho đường trịn nội tiếp hình vng cạnh a (như hình vẽ bên) Gọi S hình phẳng giới hạn đường trịn hình vng (phần nằm bên ngồi đường trịn bên hình vng) Tính thể tích vật thể tròn xoay quay S quanh trục MN πa3 πa3 C V = A V = B V = πa3 12 D V = πa3 Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn đường ( P ) : y = x ; ( P ') : y = x ; ( d ) : y = Thể tích khối trịn xoay quay (H) quanh trục Ox bằng: 9π 7π C A B 4π D 2π 2.4 Kết thực nghiệm Với đề tài mong muốn khuyến khích tính tự học, tự tìm tịi học sinh, nhiều tương tự đề thi thử, mong em học sinh giải tốt dạng toán 13 KẾT LUẬN Trong thời gian có hạn đề tài tơi khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong bổ sung góp ý đồng nghiệp để đề tài hoàn chỉnh có ý nghĩa Tơi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao - NXB Giáo dục Việt Nam [2] : Đề khảo sát THPT Sở GDDT Thanh Hóa 2020-2021 [3] Đề thi tham khảo từ Internet : https://toanhocbactrungnam.vn ; [4] Đề thi thử trường THPT từ bạn bè, đồng nghiệp (KHẢO SÁT THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN NĂM 2019) (ĐỀ KHẢO SÁT SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH) ( ĐỀ KHẢO SÁT THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ) ( ĐỀ KHẢO SÁT THPT PHẠM VĂN ĐỒNG – PHÚ YÊN ) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm ĐƠN VỊ 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Mai Thị Bích 14 ... “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích vật thể nhờ ứng dụng tích phân ” Qua sáng kiến mong muốn phần giúp em học sinh q trình ơn thi THPTQG có tài liệu để tự học qua giúp em có thêm niềm tin, hứng... lý luận Trước hết ôn tập lại số cơng thức tính thể tích vật thể nhờ úng dụng tích phân 2.1.1 Thể tích vật thể: [1] Một vật thể không gian Gọi B phần vật thể giới hạn mp (P) (Q) Chọn hệ trục toạ... thực 2.3.1 *) Tính thể tích vật thể 2.3.2*) Tính thể tích khối tròn xoay 10 2.4 13 Hiệu sáng kiến Kết luận 14 Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân ứng dụng tích phân chương nội