Đang tải... (xem toàn văn)
tt Mục lục Trang 1 1 Mở đầu 1 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 3 1 2 Mục đích nghiên cứu 3 4 1 3 Đối tượng nghiên cứu 3 5 1 4 Phương pháp nghiên cứu 3 6 1 5 Những điểm mới của SKKN 4 7 2 Nội dung sáng kiến[.]
tt Mục lục Trang 1 Mở đầu 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 10 2.3 Giải pháp thực 11 2.4 Hiệu SKKN 12 Kết luận, kiến nghị 20 13 3.1 Kết luận 21 14 3.2 Kiến nghị 21 15 Tài liệu tham khảo 23 skkn Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học mơn học khác, mơn khoa học khó, trừu tượng địi hỏi người học người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mỉ kiên nhẫn thể nắm Từ năm học 2016-2017 trở đi, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm.Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn đòi hỏi số cách tiếp cận vấn đề sovới hình thức thi tự luận Hơn nội dung kỳ thi THPTQG mơn tốn tăng độ khó dần Các câu hỏi phong phú, thức rộng chủ yếu kiến thức lớp 12 dựa kiến thức kiến lớp trước Để giúp học sinh giải số tốn ngun hàm, tích phân kỳ thi, đặc biệt kỳ thi THPT quốc gia Để học sinh giải nhanh toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà không đơn dùng máy tính Casio mà phải sử dụng kiến thức cách hợp lí, sử dụng cách linh hoạt phương pháp giải nguyên hàm, tích phân cách nhanh Muốn phải bồi dưỡng lực tư độc lập, tư tích cực tư sáng tạo học sinh kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho em kiến thức phổ thông vững trắc, khả giải dạng tập Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng phương pháp khác nhau, hướng em vào môi trường hoạt động tich cực, xem học tập trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động sáng tạo học sinh Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét toán nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên tưởng, kết nối giả thiết yêu cầu toán Giữa toán chưa biết cách giải với toán quen thuộc biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, so sánh, trường hợp riêng lẻ để giải toán nhanh Với lý chọn chọn đề tài “Một số kĩ thuật giúp học sinh giải tốn ngun hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm” 1.2 Mục đích nghiên cứu Cùng với mơn học khác, mơn tốn giúp học phần đào tạo người lao động mới, có tri thức khoa học, động, sáng tạo cơng việc, đóng góp phần khơng nhỏ thời đại khoa học kĩ thuật phát triển vũ bão skkn Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân phong phú đa dạng, dạng tốn mà ta hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay Thời lượng phân phối chương trình ỏi Vì tơi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp học sinh giải cách nhanh gọn số tập nguyên hàm, tích phân Giúp em đạt hiệu cao kỳ thi, đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia Vì tơi mạnh dạn chọn đề tài “Một số kĩ thuật giúp học sinh giải tốn ngun hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm” 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Cách giải số dạng nguyên hàm, tích phân 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong chương trình giải tích 12, kiến thức nguyên hàm tích phân chiếm phần quan trọng Tuy nhiên toán nguyên hàm tích phân chưa nhiều dừng lại tốn đơn giản, chưa có nhiều phương nhiều phương pháp kỹ thuật giải dạng cho học sinh Học sinh giải toán theo hướng định Do tốn ngun hàm tích phân chưa khai thác hết cách giải Qua trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách đặc biệt mạng internet tơi nhận thấy việc dạy cho học sinh định hướng giải cách nhanh toán cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho kỳ thi đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia cấp bách 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Khi phân công dạy mơn Tốn khối 12 tơi nhận thấy dạy theo sách giáo khoa học sinh mơ hồ, khơng nhận dạng tốn để giải nhanh được.Từ tơi có suy nghĩ làm cách để em giải nhanh tốn ngun hàm, tích phân Trong q trình giảng dạy tơi tích lũy đượcđề tài “Một số kĩ thuật giúp học sinh giải toán nguyên hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm” 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dựa vào định nghĩa tích phân Các tính chất tích phân Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh ngiêm Học sinh biết vận dụng định nghĩa, định lí cách máy móc mà khơng phân loại thành dạng 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân phương pháp phân tích Phương pháp chung: n Bước 1: Biến đổi f(x) dạng:f(x) = i 1 i f i ( x) với fi(x) nguyên hàm bảng công thức i số n f ( x)dx i 1 Bước 2: Khi đó: I Ví dụ 1: Tinh tích phân : n f i ( x)dx i f i ( x)dx i i 1 dx 1 e x Giải: Sử dụng đồng thức: = (1 + ex) – ex Ta được: 1 ex ex ex 1 ex 1 ex 1 ex ex d 1 ex I 1 dx dx x 1 ex 1 e = x - ln(1 + ex) + C Ví dụ 2: Tích phân A I = B I ln I dx x 5x bằng: C I = ln2 D I = ln2 [1] Nhận xét : - Nếu học sinh khơng biết cách phân tích đưa dạng gặp tốn khó giải skkn - Ở ví dụ ta sử dụng phương pháp đồng thức a b x 5x x x 2 - Nếu bậc tử cao bậc mẫu ta chia tử cho mẫu trước thực đồng thức Ví dụ 3: Giả sử A sin 3x sin xdx (a b) 2 10 B C a+b D Ở ví dụ ta thấy muốn tính nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x = (cosx – cos5x ) Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác dạng tích cách làm nhanh thường biến đổi tích thành tổng 2.3.2 Xác định nguyên hàm tích phân phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm dựa vào định lí sau Định lý1: a.Nếu f(x)dx = F(x) + C u = (x) hàm số có đạo hàm thì: f(u)du = F(u) + C a Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = (t) (t) với đạo hàm ’(t) hàm số liên tục, ta được: f(x)dx = f[(t)].’(t)dt Định lý 2: a Nếu f(x)dx = F(x) + C u = (x) hàm số có đạo hàm [a,b] thì: (b) (b) (a) (a) f (u )du F (u ) b Nếu f(x) hàm số xác định liên tục đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định liên tục đoạn [, ] thoả mãn điều kiện sau: skkn (i) Tồn đạo hàm ’(t) liên tục đoạn [, ] (ii) () = a ( ) = b b (iii) Khi : a f ( x)dx f (t ) ' (t )dt [1] Tuy nhiên khó phương pháp cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) cho phù hợp với toán cụ thể Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Cách chọn a2 x2 x a sin t , t x a cos t , t x2 a2 a ,t , , t x sin t 2 a x , t 0, , t cos t ax ax , ax ax x a cos 2t x a b x x= a + (b – a)sin2t Hàm có mẫu số Hàm f(x, f (x) t mẫu số ) t= Hàm f(x) = t= x a x b Hàm f(x) = f(lnnx; x ) Ví dụ 1: Tính tích phừn: I f (x) xa xb t = lnx dx x x2 1 Giải: Đổi biến số: t x t x tdt xdx skkn Ta có: I x dx x2 1 xdx x2 1 tdt dt 1 dt t 1 t t 1 t 1 t 1 x2 t 1 ln C t ln x C x I dx x x2 1 Ví dụ 2: Tính tích phân: Giải: Đặt: t x dt x x2 1 xdx tdt dx t x dx x 3t 2 x 8t 3 Khi đó: dx x x2 1 tdt x2 x2 1 tdt dt 1 1 dt t t t t t 1 3 1 I dt ln t ln t 2 t 1 t 1 2 3 t 1 ln ln t 1 2 [2] 2.3.3 Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: skkn u dv P(x) P(x) P(x) lnx P(x) Các ví dụ trắc nghiệm Câu Tích phân có giá trị là: A B C D Hướng dẫn giải Tích phân có giá trị là: Đặt Chọn A Câu Biết A ( B số nguyên khác ) Tính giá trị C D Hướng dẫn giải Chọn A skkn Câu Tính tích phân cách đặt Mệnh đề đúng? A C B D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: Khi đó: Câu Biết A , a b số hữu tỉ Giá trị B C là: D Hướng dẫn giải Biết Giá trị là: Ta có: Chọn A Câu Biết với Mệnh đề sau đúng? A B C D skkn Hướng dẫn giải Chọn C Đặt Khi Vậy Câu Tính nguyên hàm Tính Chọn đáp án đúng: A B 14 C 34 D 22 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt ta được: Do đó: Câu Biết số thực thỏa mãn Mệnh đề sau đúng? A B C D Hướng dẫn giải Chọn D +) Đặt skkn sin x Ví dụ : Tìm ngun hàm hàm số: f(x) = sin x cos x cos x Giải: Chọn hàm số phụ: g(x) = sin x cos x Gọi F(x) G(x) theo thứ tự nguyên hàm hàm số f(x), g(x) Ta có: f(x) + g(x) = sin x cos x sin x cos x Suy ra: sin x cos x d (sin x cos x) dx ln sin x cos x C sin x cos x sin x cos x sin x cos x f ( x) g ( x) 1 sin x cos x F ( x) G ( x) F ( x) G ( x) dx x C ' F ( x) G ( x) ln sin x cos x C F ( x) ln sin x cos x x C F ( x) G ( x) x C ' [3] 2.3.5 Xác định tích phân hàm số lượng giác Để xác định tích phân hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau: a)Sử dụng nguyên hàm b) Các hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác c ) Sử dụng phương pháp biến đổi công thức lượng giác d) Phương pháp đổi biến I = R(sinx, cosx)dx, ta giải cách đổi biến lựa chọn hướng sau: -Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx -Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx -Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx 11 skkn -Hướng 4: Mọi trường hợp đưa tích phân hàm hữu tỉ phép đổi biến t = tg x e) Phương pháp tích phân phần f) Sử dụng nguyên hàm phụ I Ví dụ : Tính: sin x sin x dx Giải: Nhận xét R (sin x, cos x) sin x sin x sin x cos x sin x sin x( cos x) sin x R(sin x, cos x) Từ nhận xét ta đổi biến Đặt: t = sinx, dt = cosxdx Đổi cận: x = x= t = 0; t = -1 Ví dụ : Tìm số A , B để hàm số f(x) = A.sinx + B thỏa điều kiện: f (x)dx f ' (1) = ; A B2 A A B 2 B A C B HD: f ' (x) = A.cosx f ' (1) = - A mà f ' (1) = A = f (x)dx A B D .= 2B mà f (x)dx B=2 [6] 2.3.6 Tích phân hàm số hữu tỉ 12 skkn Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau: a)Phương pháp tam thức bậc hai b)Phương pháp phân tích c)Phương pháp đổi biến d)Phương pháp tích phân phần e)Sử dụng phương pháp khác nhau: kết hợp việc dựng cơng thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích số hạng đơn giản tích phân phần Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp cần phải vào dạng toán cụ thể Ví dụ 1: I Tính tích phân: Giải: dx x 4x Biến đổi: 1 1 1 2 x x x 1 x 3 x x Khi : 1 dx dx I 2 x x +) Ta tính tích phân I1 dx x 1 t 2; Đặt x = tgt, dx tg t dt dx tg t dt & dt x 1 tg t Suy ra: Đổi cận: x = t = 0;x = t = I dt t 04 13 skkn I2 +) Ta xác định tích phân dx x 3 t 2; Đặt x = tgt, dx 1 tg t dt & Suy ra: dx 1 tg t dt dt x2 3(1 tg t ) [3] Đổi cận: x = t = 0; x=1t= I2 Khi dt 3 t Vậy I = Nhận xét: Như vậy, ta kết hợp nhiều phương pháp lại với để giải ví dụ trên, cụ thể ví dụ ta sử dụng đồng thời hai phương pháp phương pháp phân tích phương pháp đổi biến 3x 5x I dx a ln b x2 1 Ví dụ 2: Giả sử Khi giá trị a 2b A 30 B 40 C 50 D 60 2.3.7.Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Để tính tích phân : I f ( x, m) dx a ta thực theo bước sau: +) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) đoạn [a, b] Từ đố phân đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ mà đoạn f(x, m) có dấu xác định, giả sử: [a, b] = [a, c1] [c1, c2] … [ck, b] +) Bước 2: Khi ta có : c1 c2 b a c1 ck I f ( x, m) dx f ( x, m) dx f ( x, m) dx Ví dụ : Tính tích phân: I x x a dx (a > 0) 14 skkn Giải: Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu a 1, ta có: 1 x ax a I x( x a )dx 2 Trường hợp 2: Nếu < a < 1, ta có: a I x ( x a) dx x( x a )dx a a x ax x ax a a3 a3 a a3 a3 a3 a 3 3 [4] 2.3.8.Một số tích phân đặc biệt : Khi làm tốn ngun hàm tích phân thường lúng túng gặp số toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn, lẻ hàm số Nếu hàm số y = f(x) hàm lẻ f ( x)dx tan Ví dụ : xdx = Nếu hàm số y = f(x) hàm chẵn thì: Và f ( x)dx 2 f ( x)dx a f ( x )dx f ( x )dx a x 0 Ví dụ : x4 1 1 e x 1dx 0 ( x 1)dx [5] 2.3.9.Một số tập trắc nghiệm : Câu 1: Giá trị dx x 15 skkn A B C D C 15 D 15 x x dx Câu 2: Giá trị A 15 B 15 x 0 x dx Câu 3: Biến đổi thành f t dt với t x Khi f t hàm hàm sau đây? A f t 2t 2t B I Câu 4: Tính Câu 5: Tính B A E ln I C ln 3 Câu 6: Tính A K ln D f t t2 t I D Đáp án khác 2x 1 dx 2x 2x 1 B C E ln15 ln K f t t 22 2t dx A I C x x2 E f t t2 t 32 D x2 E ln ln E ln ln dx B K 4 K ln C K D C D 32 Câu 7: Giá trị tích phân A x x dx bằng: B 16 sin x Câu 8: Tìm nguyên hàm 2x sin x cos x C A dx thì: 2x sin x cos x C B 16 skkn 3x sin x cos x C C Câu 9: Nguyên hàm hàm số A cos x C 3x sin x cos x C D y sin x.cos x là: cos3 x C B sin x C C 3 D tan x C Câu 10: Nguyên hàm hàm số: sin x cos x là: 1 sin x sin x C sin x sin x C 5 A B 3 C sin x sin x C D Đáp án khác y cos x.sin x là: Câu 11: Nguyên hàm hàm số: cos3 x C A B cos x C 3 sin x C C D Đáp án khác Câu 12: Một nguyên hàm hàm số: y sin x.cos x là: cos x cos x A cos x cos x B C cos8 x cos x D Đáp án khác Câu 13: Tìm nguyên hàm hàm số y sin x 3x sin x sin x A x sin x sin x 32 B x sin x sin x 32 C sin x sin x 32 D Câu 14: Nguyên hàm hàm số: y cos x dx sin x.cos x là: A F x cos x sin x C B F x cos x sin x C C F x cot x tan x C D F x cot x tan x C Câu 15: Nguyên hàm hàm số y sin x cos x3 x bằng: sin x C A 12 cos x cos5 x C B cos x cos x C C cos x C 24 D 17 skkn y Câu 16: Nguyên hàm hàm số 1 cos x ln C A cos x sin x 1 cos x ln C B cos x C ln cos x C cos x D ln cos x C cos x x y e x, x y x ln là: Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn đường A S ln B S ln C S ln D S ln Câu 18: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y e 1 x e x , giá x trị S cần tìm là: A S e2 B Câu 19: Cho hàm số f x S e C S e2 D có đạo hàm dương, liên tục đoạn 1 1 3 f x f x dx 9 f x f x dx Tính tích phân A B 0;1 f x S e2 thỏa mãn f 0 dx : C D 2018 Câu 20: Cho hàm số e2018 1 phân f x liên tục R thỏa Khi tích x f ln x 1 dx x 1 f x dx A B C D Đáp án Câu 1: Đáp án B t ; dx cos tdt x t 0; x t 2 x 2sin t Đặt với Với Ta có dx x2 cos tdt dt t 4sin t cos t 0 cos tdt Câu 2: Đáp án A 18 skkn Ta có x 1 x dx x x d x x 20 0 1 x dx 1 1 x2 x2 3 15 Câu 3: Đáp án A Đặt t x t x 2tdt dx Với x t 1; x t 2 x t 1 dx 0 x 1 t 2tdt 1 2t t 1 dt f x 2t 2t Ta có Câu 4: Đáp án D 2 Đặt t x t x 2tdt xdx tdt xdx Với x t 1; x t 3 Ta có dx x x2 xdx x2 tdt dt 2 x t t 3 t t arctan arctan arctan 31 3 3 Câu 5: Đáp án D Đặt t x t x 2tdt 2dx dx tdt Với 3 x t 1; x t 3 2x 1 t tdt t2 3t dx 1 x x 1 t 3x 1 t 3t 2dt 1 1 t 3t dt Ta có 3 1 dt t ln t ln t 1 ln ln t t 1 1 Câu 6: Đáp án A Đặt x tan t dx Ta có dx x2 dt dx tan t dt x t 0; x t cos t Với tan t 1 dt tan t 0 tan t 1dt 1 sin t ln ln ln sin t 32 d sin t dt cos tdt cos t cos t sin t 19 skkn ... mạnh dạn chọn đề tài ? ?Một số kĩ thuật giúp học sinh giải toán nguyên hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm? ?? 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Cách giải số dạng nguyên hàm, tích phân 1.4 Phương pháp... để giải toán nhanh Với lý chọn chọn đề tài ? ?Một số kĩ thuật giúp học sinh giải tốn ngun hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Cùng với mơn học khác, mơn tốn giúp. .. hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm? ?? 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dựa vào định nghĩa tích phân Các tính chất tích phân Các phương pháp tính tích