Một số kĩ thuật giúp học sinh giải các bài toán nguyên hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm

Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia.. Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà khô

tt Mục lục Trang

7 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

9 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 8

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học là môn khoa học cơ bản của các môn học khác, nó là môn khoa học khó, trừu tượng đòi hỏi người học và người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mỉ

và kiên nhẫn mới thể nắm được

Từ năm học 2016-2017 trở đi, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm.Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới sovới hình thức thi tự luận Hơn nữa nội dung của kỳ thi THPTQG môn toán tăng độ khó dần Các câu hỏi rất phong phú, thức rộng chủ yếu là kiến thức lớp12 và dựa trên nền các kiến thức các kiến lớp trước đó

Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải

sử dụng các kiến thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải nguyên hàm, tích phân một cách nhanh nhất Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và

kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, các khả năng giải các dạng bài tập Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tich cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để giải một bài toán nhanh

nhất Với lý do trên tôi đã chọn chọn đề tài “Một số kĩ thuật giúp học sinh giải các bài toán nguyên hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Cùng với các môn học khác, môn toán giúp học phần đào tạo ra những con người lao động mới, có tri thức khoa học, năng động, sáng tạo trong công việc, đóng góp một phần không nhỏ trong thời đại khoa học kĩ thuật đang phát triển như

vũ bão hiện nay

Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân rất phong phú và đa dạng, nó cũng dạng toán mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay Thời lượng trong phân phối chương trình thì ít ỏi Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân Giúp các em đạt hiệu quả

đề tài “Một số kĩ thuật giúp học sinh giải các bài toán nguyên hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm”

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Cách giải một số dạng nguyên hàm, tích phân 1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân

chiếm một phần rất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích

phân chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương nhiều phương pháp và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó Do đó các bài toán về

nguyên hàm tích phân chưa khai thác được hết cách giải Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh định hướng giải một cách nhanh nhất một bài toán là rất cần kiến

để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo sách giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải quyết nhanh được.Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân Trong quá trình giảng dạy tôi đã

tích lũy đượcđề tài “Một số kĩ thuật giúp học sinh giải các bài toán nguyên hàm, tích phân chống casio dạng trắc nghiệm”

2.Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Dựa vào định nghĩa tích phân Các tính chất của tích phân Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.

Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại được thành từng dạng

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích

Phương pháp chung:

Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:

f(x) = 



n i

i

i f x

1

) (



với fi(x) là nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số

Bước 2: Khi đó:

 









n i

i i i

n i

i f x dx f x dx dx

x

f

1 1

) ( )

( )

Ví dụ 1: Tinh tích phân :   x

e

dx I

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:

1 = (1 + ex) – ex

Ta được:







































x

x x

x

x

x x

x x x

e

e d dx dx e

e I

e

e e

e e e

1

1 1

1

1

1 1

1 1

1

= x - ln(1 + ex) + C

Ví dụ 2: Tích phân

1 2 0

dx I

x 5x 6



 

A I = 1 B.I ln4

3

 C I = ln2 D I = ln2 [1]

Nhận xét :

- Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp thì bài toán này rất khó giải quyết

- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức

3 2

6 5

1

2      x

b x

a x

x

- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực hiện đồng nhất thức

Ví dụ 3: Giả sử

2

2 ) ( 2

sin 3 sin

4

0

b a xdx





khi đó a+b là

A 16 B 1 C 103

D 15

Ở ví dụ 3 ta thấy rằng muốn tính được nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x = 21 (cosx – cos5x )

Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất

thường là biến đổi tích thành tổng

2.3.2 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau

Định lý1:

a.Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:

f(u)du = F(u) + C

b Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm ’(t) là những hàm số liên tục, ta được:

f(x)dx = f[(t)].’(t)dt

Định lý 2:

a Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:

) (

) (

)

(

)

(

) ( )

(

b

a

b

a

u F du u

f







b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]

(ii) () = a và ( ) = b

(iii) Khi đó :    

b

a

dt t t f dx x f







 ( ) ' ( ) )

(

[1]

Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

2

2 x

a 



























   









t t a x

t t

a x

0 , cos

2 2

, sin

2

2 a

x 

 



























 





2 , , 0 , cos

0 , 2

, 2

, sin









t t

t

a x

t t

t

a x

x a

x a x a

x a









x ab x x= a + (b – a)sin2t

Hàm f(x, f (x)) t = f (x)

Hàm f(x) = xaxb

1 t = xa  xb

Hàm f(x) = f(lnnx;1x ) t = lnx

Ví dụ 1: Tính tích phừn: 





1

2

x x

dx

Giải: Đổi biến số:

xdx tdt

x t x

t  2  1  2  2  1  

Ta có:

C x

x

C t

t

dt t

t t

dt t

t

tdt

x x

xdx x

x

dx I



























































































1 1

1 1 ln

2

1

1

1 ln 2

1

1

1 1

1 2

1 1 1

1 1

2 2

2 2

2 2 2

Ví dụ 2: Tính tích phân: 





8

3x x2 1

dx I

Giải:

Đặt:

3 8

2 3

1

1

2 2





























t x

t x

x

tdt dx t

xdx dx x

x dt

x

t

Khi đó:

dt t t

tdt x

x

tdt x

x

dx

































1 1

1 2

1 1 1

1

2

2

3 ln 2

1 1

1 ln

2

1

1 ln 1 ln 2

1 1

1 1

1 2 1

3

2

3

2

3

2

















































t t

t t

dt t

t I

[2]

2.3.3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: P(x)axdx, P(x)sin(ax +b)dx, P(x)cos(ax + b)dx

đặt: u = P(x)

Dạng 2 : P(x)logaxdx

Đặt u = loga x

Dạng 3: eaxsinbxdx, eaxcosbxdx

nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax hoặc u = sinbx ;

u = cosbx

Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp này:

1

) 1 ln(

2

2

dx x

x x x









1 )

1 ln(

2

x

x x

x

Đặt:























































1

1

1 1 1

1

1 ln

2

2 2

2

2 2

x v

x

dx dx

x x x

x du

dx x

x dv

x x u

Đặc biệt: Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm

Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số

f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex Tính a2 + b2 +c2 +d2

A 244 B 247 C 245 D 246

- Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào?

- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :

F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương của các hệ số và chọn đáp án đúng

Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và dẫn

đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm

2.3.4 Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.

Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).

- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:



















' ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

C x B x G x

F

C x A x G x

F

- Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) =

2

1

[A(x) + B(x)] + C

Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn

Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =

x x

x

cos sin

sin

Giải: Chọn hàm số phụ: g(x) =

x x

x

cos sin

cos

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: f(x) + g(x) =

x x

x x

cos sin

cos sin





Suy ra:

x F C

x x G x F

C x x

x G x F

C x dx x

G x F

x x

x x

x g x

f

C x x

x x

x x

d dx x x

x x

x G x

F















































































cos sin

ln 2

1 ) ( '

) ( ) (

cos sin

ln ) ( ) (

' )

( ) (

1 cos sin

cos sin

) ( )

(

cos sin

ln cos

sin

) cos (sin

cos sin

cos sin

) ( )

(

[3]

2.3.5 Xác định tích phân của các hàm số lượng giác.

Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau: a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác

c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác

d) Phương pháp đổi biến

I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:

-Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.

-Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.

-Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.

-Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép

đổi biến t = tg

2

x

e) Phương pháp tích phân từng phần

f) Sử dụng nguyên hàm phụ.

Ví dụ 1 : Tính:   



0

2

2 sin

2

2 sin



dx x

x I

Giải:

Nhận xét

) cos , (sin

sin 2

) cos ( sin 2 sin

2

cos sin 2 sin

2

2 sin )

cos ,

x x

R

x

x x

x

x x x

x x

x R























Từ nhận xét ta đổi biến

Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx

Đổi cận: x = 0  t = 0;

x =

2



  t = -1

Ví dụ 2 : Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinx + B thỏa các

điều kiện:

f ' (1) = 2 ;

2

0

f (x)dx 4

�

A

2 A

B 2

�  

�



�

� 

�

B

2 A

B 2

� 

�



�

�  

�

C A 2

B 2



�  

�

�

� 

�

D

2 A

B 2

� 

�



�

� 

�

HD: f ' (x) = A.cosx  f ' (1) = - A mà f ' (1) = 2  A = 2



2

0

f (x)dx 

2

0

f (x)dx  4

�  B = 2 [6]

2.3.6 Tích phân các hàm số hữu tỉ.

Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:

a)Phương pháp tam thức bậc hai

b)Phương pháp phân tích c)Phương pháp đổi biến

d)Phương pháp tích phân từng phần

e)Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần

Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể

Ví dụ 1: Tính tích phân:

3 4

1

0

2 4



x x

dx I

Giải: Biến đổi:

























1 1

1 2

1 3 1

1 3

4

1

2 2

2 2

2

x

Khi đó :





















1

0

1

0 2

2

1

x

dx x

dx I

+) Ta đi tính tích phân

 

1

0

2

1

1

x

dx

I

Đặt x = tgt, 2 2











t

;

Suy ra:

t tg

dt t tg x

dx dt

t tg











2 2

2

1

1 1

&

1 Đổi cận: x = 0  t = 0;x = 1  t = 4



4

0

4 0 1

4



t dt I

+) Ta đi xác định tích phân  

1 0 2 2

3

x

dx

Đặt x = 3 tgt,

2 2











t tg

dt t tg x

dx dt

t tg dx

3

1 )

1 ( 3

1 3 3

&

1

2 2











Đổi cận: x = 0  t = 0;

x = 1  t =

6



Khi đó

3 6 3

1 3

0

6

0 2











3 6 4 2

1













 



Nhận xét: Như vậy, ta đã kết hợp nhiều phương pháp lại với nhau để giải ví dụ

trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến

Ví dụ 2: Giả sử

1





A 30 B 40 C 50 D 60

2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Để tính tích phân : 

b

a

dx m x f

I ( , ) ta thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b] Từ đố phân đoạn [a, b] thành

các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:

[a, b] = [a, c1]  [c1, c2] …  [ck, b]

+) Bước 2: Khi đó ta có :



2

1

1

) , (

) , ( )

, (

c

c

b

c

c

dx m x f dx

m x f dx m x f I

Ví dụ : Tính tích phân:  

1

0

dx a x x

I (a > 0).

Giải: Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu a  1, khi đó ta có:

3

1 2 2 3 )

(

1

0

2 3 1

0















 x x a dx x ax a

I

Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:

3

1 2 3 2 3 2 3

1 2

3

2 3 2

3

) ( )

(

3 3 3 3

3

1 2 3

0

2

3

1

0































































a a a a a a

a

ax x ax

x

dx a x x dx a

x

x

I

a

a a a

[4]

2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :

Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp một số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn, lẻ của hàm số

Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì 









0 )

( dx x

Ví dụ 1 : 



4

4

5

tan





xdx= 0