(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh giải các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng cách nhận dạng và đề ra phương pháp giải điển hình

MỤC LỤC Phần I: Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phần II Nội dung A Các lý thuyết I Nguyên hàm II Tích phân B Các dạng toán phương pháp giải I Các dạng tốn dùng định nghĩa, cơng thức để tìm ngun hàm tích phân II Phương pháp đổi biến số III Phương pháp lấy tích phân phần, nguyên hàm phần IV Phương pháp cặp đôi V Tích phân hàm số hữu tỉ VI Tích phân hàm số lượng giác, hàm số chứa thức VII Các hàm số khác Phần III Kết luận download by : skknchat@gmail.com Trang 1 1 2 2 4 10 11 13 19 20 PHẦN I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Nguyên hàm tích phân phần quan trọng chương trình tốn trường phổ thơng Nó có mặt tất đề thi từ kỳ thi THPT Quốc gia đến kỳ thi học sinh giỏi cấp Vì nguyên hàm tích phân chuyên đề nhiều người quan tâm Làm để dạy phần nguyên hàm tích phân cách hiệu vấn đề mà nhiều giáo viên dạy toán trăn trở suy nghĩ Các tập nguyên hàm tích phân phong phú cơng cụ để giải chúng đa dạng Thông qua giải tốn ngun hàm tích phân, học sinh hiểu sâu sắc diện tích, thể tích hình, kiến thức vật lí, hóa học, sinh học có liên quan; kỹ rèn luyện, tư khả sáng tạo phát huy, phương pháp giải tốn ngun hàm tích phân khơng theo khn mẫu Có thể nói ngun hàm tích phân cơng cụ sắc bén tốn học Để giải tốn ngun hàm tích phân xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau, nhiều hướng khác Vì vậy, khơng phân tích đầy đủ chi tiết kiện điều kiện toán, khả tổng hợp kém, khả khái qt hóa, đặc biệt hóa khơng rèn luyện việc định hướng tìm lời giải cho tốn ngun hàm tích phân khó khăn Trên quan điểm hoạt động, đề tài muốn nghiên cứu, hướng dẫn học sinh giải tốn ngun hàm tích phân cách nhận dạng đề phương pháp giải điển hình Tuy nhiên phương pháp khơng phải thích hợp cho tốn ngun hàm tích phân Tuy số lượng tập áp dụng phương pháp khơng phải Các ví dụ minh họa đề tài chứng tỏ điều Với tất lý tơi chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh giải toán nguyên hàm tích phân cách nhận dạng đề phương pháp giải điển hình Mục đích: - Rèn luyện kỹ tính tốn, phân tích, tổng hợp - Rèn luyện tư logic, khả sáng tạo, tính cẩn thận xác, tính kỷ luật cho học sinh - Ôn tập kiến thức nguyên hàm tích phân Phương pháp nghiên cứu: download by : skknchat@gmail.com - Nghiên cứu lý thuyết thực tiễn giảng dạy phần nguyên hàm tích phân chương trình tốn phổ thơng - Nghiên cứu thực trạng dạy học giải tập phần nguyên hàm tích phân Đối tượng nghiên cứu: Học sinh ôn thi THPT Quốc gia xết tuyển đại học, cao đẳng trường THPT Lê Lợi PHẦN II NỘI DUNG A CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN I NGUYÊN HÀM: 1.1 Định nghĩa: Hàm số F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) F'(x) = f(x) x  (a,b) Ký hiệu: f(x) dx = F(x) + c Họ ngun hàm f(x) cịn gọi tích phân bất định f(x) 1.2 Các tính chất bảng công thức [f(x)  g(x)] dx = f(x)dx  g(x)dx kf(x)dx ( f(x)dx)'(x) = k f(x)dx = f(x) f(x)dx = F(x) + c; kdx = kx + c xdx = exdx = ex + c axdx = =ln(x) + c cosdx = sinx + c ) +c sin xdx = - cosx + c (1 + tg2x)dx = dx = tgx + c ; (1 + cotg2x) =-cotg2x + c ax = arcsinx + c đx = arctgx + c II TÍCH PHÂN: 2.1 Định nghĩa: Cho F(x) ngun hàm f(x) [a,b] tích phân f(x) [a,b] xác định f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) 2.2 Các tính chất kết luận quan trọng download by : skknchat@gmail.com f(x)dx = f(t)dt f(x)dx = - f(x)dx f(x)dx = [f(x)  g(x)]dx = kf(x)dx = k f(x)dx f(x)  g(x)dx f(x)dx = f(x)dx + f(x)  g(x) f(x)dx (a x [a,b] c b) g(x) dx 10 Công thức đổi biến số: f[u(x)] u' (x)dx = f(t) dt (f, u, u' liên tục, t = u(x); dt = u'(x)dx) f[(x)] '(x)dx = f(t) dt (t =(x) ; dt = '(x) dx ; f, , ' liên tục & t/m: a x b (a) (x) (b)  (b) (x) 2.3 Cơng thức tích phân phần: udv = uv - vdu 2.4 Hàm lượng giác: tgx dx = - ln cosx+ c download by : skknchat@gmail.com (a)) cotgxdx = lnsinx+ c cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + c tg(ax + b)dx = - lncos (ax + b)+ c 2.5 Hàm thức: = arcsinx + c = arcsin = lnx  +c + c 2.6 Hàm phân thức hữu tỉ: = arc tgx + c B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DÙNG ĐỊNH NGHĨA - CƠNG THỨC ĐỂ TÌM NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ví dụ 1: Tính tích phân - tìm ngun hàm: a * * b * (x2 - 2x + (2x 32x + cos2xdx = dx = - x2 + lnx+ c dx = [(2.32)x +x1/3]dx (1 + cos2x)dx = dx + cos2xd2x download by : skknchat@gmail.com = * I= = tgx *I= = = = * I= Các tập đề nghị: I= I= I= I= I= I= II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 2.1 Phương pháp: Giả sử u(x) có đạo hàm liên tục J (sao cho f(u(x)) xác định J a,b J, =u(a)  = 4() đó: f[u(x)] u'(x) dx = F[u(x)] + C (F(u) ng/h f(x) f[u(x)] u'(x)dx = f(x) dx với ghi nhớ: L1 Đặt (x) = t với t biến số Đổi cận (nếu tích phân xác định) L2 Đặt x = (t) với t biến số 2.2 Các ví dụ minh hoạ: download by : skknchat@gmail.com Loại 1: [x(3.x4) dx = I= x3(3 - x4)3dx Cách 1: Đặt - x4 = t  dt = - 4x3dx  x3dx = - dt Vậy: I==- (3 - x4)4 + c (tgx + tg3x) dx = I= tgx( +tg2x)dx Đặt tg x = t  dt = (1 + tg2x) dx Vậy: I= tdt = lnxdx = I= Vậy I= I= +c= tg2x + c ln2(x) + c lnxd(lnx) = Đặt ex + = t  dt = ex dx = ln t+ c = ln ex + 1 + c Đặt ex = t  dt = endx với x = t = ; x = t = e Vậy I= = lnt + I=  Đặt cosx = t  dt = - sinxdx x =  t = ; x =/3  t =1/2 Vậy I== (- lnt+ t2) Loại 2: download by : skknchat@gmail.com I= Đặt x = cost  dt = - sintdt Khi t = Khi x = ; t = x = I= = Đặt J= Khi I + J = I - J = I=J = - lnsint + cost Vậy I = /4 Đặt x = sint dx = costdr I= với t = /2 x = ; t = x = Vậy I= I= Đặt t = +  dx = dt; với x = t = t; x = t = Khi đó: I = f(x) = khơng liên tục [0,3] Nên không đổi biến x = sint để tính Do trước đổi biến nên chú ý liên tục hàm số Hoặc với hàm số f(x) = sin 22x + t=tgx t k' ct t 0, /2J, nên khơng tính I= cách đặt t = tgx III PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN, NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN download by : skknchat@gmail.com 3.1 Nguyên hàm: u(x), v(x) hàm số có đạo hàm liên tục I u(x), v'(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u'(x)dx 3.2 Tích phân xác định: u(x), v(x) hàm số có đ/h liên tục nên I, a, bJ u(x), v'(x) dx = u(x) v(x) u(x) v'(x) dx Chú ý: 1) Đối với dạng p(x).eaxdx; p(x) sin axdx p(x) đa thức nên chọn u(x) = p(x) Riêng p(x) lnxdx chọn u(x) = ln(x) 2) Nếu phải lấy phần nhiều lần phải giữ nguyên hàm chọn u(x) hay v(x) 3.3 Các ví dụ minh hoạ: I = lnx dx Chọn u(x) = ln(x) ; v'(x) =  u'(x) = ; v(x) = x Khi I = x.lnx - x dx = xlnx - x + c I= Đặt u(x) = lnx  u'(x) = x Khi V'(x) =  v'(x) = I=2 = (2 I= Đặt u(x) = x2  u' = 2xdx x2 e3xdx v'(x) = e3x  v(x) = Khi I= e3x.2xdx = e3 - I1 download by : skknchat@gmail.com e3x Đặt Khi I1 = = I= Đặt x = u  u' = v'(x) = sin 2x  v(x) = - cos 2x /4 Vậy I= = I= đặt u(x) = 2x u' = v'(x) = v(x) = tgx I= = = I= ex cosx dx Đặt ex = u  u' = ex v'(x) = cosx  v = sin x  I= excosx dx = sins ex - sinx exdx 10 download by : skknchat@gmail.com HD: u = x2  u' = 2x v'(x) = exsinx  v = ex (sinx - cox) IV PHƯƠNG PHÁP CẶP ĐƠI: Ví dụ 1: I = Xét Khi J= I+J= (1) Þ dx = - dt Đặt x= Với x = Þ t = p/2 ; x = p/2 Þ t = Khi đó: I = - = (2) Từ (1), (2) suy I = p/2 Þ I = p/4 Bài tập đề nghị: +) I= sin (lnx)dx & J= cos(lnx)dx +) Tính I = sin2xdx & J= cos2xdx +) Tính I = (xsinx)2 J= (xcosx)2dx & V TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ 12 download by : skknchat@gmail.com Dạng I Dạng II +) Nếu f(x) = ax2 + bx + c có · D < I= = · D = I= · D > I= = Các dạng khác kết hợp với việc dùng công thức đổi biến số với kỹ thuật phân tích số hạng đơn giản tích phân phần đưa dạng Ví dụ minh hoạ: I= I= = = 13 download by : skknchat@gmail.com I= = I= = ln I= Ta có: Khi đó: Vậy I = = ln (x + 1) - ln (2x + 1) + C = = I7= = Hay ta có: 14 download by : skknchat@gmail.com Vậy I7 = VI TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Phép vạn Đối với dạng Đặt tg R(sinx, cosx)dx R hàm hữu tỉ ĐB: Có thể dùng phép cosx = t R lẻ sinx &sinx = t Nếu k d với cosx, tgx = t k chẵn với sinx &cosx sinx cosxx dx TH1: số mũ m n số lẻ dương đặt hàm có số mũ chẵn t TH 2: Cả số mũ m&n chẵn dương dùng cơng thức góc nhân đơi sin mx cos nx dx Dùng công thức biến đổi tính thành tổng Phép lượng giác I1 = I3 = I1 dùng phép thế: x = asint x =acost I2 dùng phép thế: x = atgt x = acotgt I3 dùng tích phân phần Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: I = 15 download by : skknchat@gmail.com Đặt tg sinx = Khi I= Hay I= Ví dụ 2: Vì hàm số dấu tích phân lẻ sinx nên ta đặt cosx = t dr =- sinxdx Vậy I= = Ví dụ I3= Nhận xét: Hàm dấu tích phân chẵn sinx & cosx nên đặt tgx = t Khi đó: sinx = Vậy I3= Hay I3= dx = Ví dụ I4= Đặt sinx = t Þ dt = cosx dx 16 download by : skknchat@gmail.com Vậy I4= Hay I4= Ví dụ I5= Đặt cosx = t Þ - sin xdx = dt Þ I5= - (1 - t2) t-4/3dt = = Ví dụ Ví dụ Ví dụ = Bài tập đề nghị: I1= I2= I3= I4= I5= I6= Phép lượng giác với hàm số vô tỉ đổi biến x = Acost x = Asint I1= x = 2cost Þ dx = -2 sintdt Khi t= x = ; t = x = 17 download by : skknchat@gmail.com Vậy I1= (- 2sint)dt = I2= Đặt x = cost Þ dx = - sintdt Nếu t = p/2 x = 0; t = x = Vậy: I2= Xét J2= Và J2 - I2 = Khi I2 + J2 = Þ I2 = J2 Vậy I2 = J2 = p/4 * Với hàm đổi biến x = Atgt I3 = Đặt x = tgt Þ dx = (1+tg2t)dt Với t = p/4 x = 1; t = p/3 x = Þ I3 = Đặt sin t = u Þ du = costdt ; x = p/2 Vậy I3 = 18 download by : skknchat@gmail.com Vậy I3 = = + Với hàm đổi biến x = A/cost lấy tích phân phần Ví dụ 1: I1= Đặt x2 = u Þ du = 2xdx (Với x = ® u = ; x = ® u = 9) Khi đó: I = = = I2 = v' = ® v = x Vậy I2 = Có I3 = = I2 + ln I2 + ln (2 + ) 19 download by : skknchat@gmail.com Vậy I2 = + = I2 - ln (2 + ) Þ I2 = * Các hàm vơ tỉ khác Ví dụ 1: I1 = Ví dụ 2: I2 = Đặt Vậy I2 = = Ví dụ 3: I3 = Đặt lnx = t Þ dt = d (lnx) x = ® t = 0; x = e ® t = Þ I3 = Đặt Với t =0Þu=1;t=1Þ=2 Þ I3 = Ví dụ 4: I4 = Đặt Với 20 download by : skknchat@gmail.com I4 = Ví dụ 5: I5 = Đặt Với x = t = ; x = Vậy I5 = t = = = VII CÁC HÀM SỐ KHÁC Ví dụ 1: I1 = = = Ta có I2 = Vậy I2 = Ví dụ 2: I3 = Đặt x = - t Þ dx = - dt Với x = - t = ; x = t = -1 Khi đó: I3 = Þ I3 = 1/5 Vậy I3 + I3 = 21 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 3: I4 = Đặt x = p - t Þ dx = - dt; x = t = p x = p t = Vậỵ I4 = PHẦN III KẾT LUẬN Để góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc đổi phương pháp dạy giải tập có vai trị quan trọng, tổ chức có hiệu việc dạy giải tập tốn học nâng cao chất lượng dạy toán học Trong đề tài này, tơi trình bày số ý kiến vấn đề Hướng dẫn học sinh giải toán nguyên hàm tích phân cách nhận dạng đề phương pháp giải điển hình Những kết nghiên cứu đề tài cho phép tin bồi dưỡng cho học sinh khả phân tích, tổng hợp, ứng dụng lý thuyết vào toán thực tiễn, giáo viên góp phần thực mục đích yêu cầu việc dạy học theo hướng phát triển lực cá nhân, đặc biệt phát triển lực trí tuệ học sinh, rèn luyện cho học sinh linh hoạt khả sáng tạo Song đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu xót, tơi mong góp ý chân thành từ đồng nghiệp Tôi xin cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Tơi cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Đỗ Thị Hồng Hạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà xuất Giáo dục; 22 download by : skknchat@gmail.com [2] Bài tập Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục; [3] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất Giáo dục; [4] Bài tập Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm - Nhà xuất Giáo dục; [5] Các giảng luyện thi mơn tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất Giáo dục; [6] Toán nâng cao Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khôi, Nguyễn Vĩnh Cận - Nhà xuất Đại học Sư phạm; [7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo dục; [8] Đề thi tuyển sinh mơn Tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải Nhà xuất Giáo dục; [9] Các đề thi đại học năm trước; [10] Các đề thi thử đại học năm trước; [11] Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10, 11, 12 tỉnh năm trước 23 download by : skknchat@gmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI 24 download by : skknchat@gmail.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH NHẬN DẠNG VÀ ĐỀ RA PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐIỂN HÌNH Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ- NĂM 2018 25 download by : skknchat@gmail.com 26 download by : skknchat@gmail.com ... hướng tìm lời giải cho tốn ngun hàm tích phân khó khăn Trên quan điểm hoạt động, đề tài muốn nghiên cứu, hướng dẫn học sinh giải toán nguyên hàm tích phân cách nhận dạng đề phương pháp giải điển. .. dạy giải tập tốn học nâng cao chất lượng dạy tốn học Trong đề tài này, tơi trình bày số ý kiến vấn đề Hướng dẫn học sinh giải tốn ngun hàm tích phân cách nhận dạng đề phương pháp giải điển hình. .. THPT LÊ LỢI 24 download by : skknchat@gmail.com SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH NHẬN DẠNG VÀ ĐỀ RA PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐIỂN HÌNH Người thực hiện: Đỗ Thị