SKKN hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán cực trị số phức nhằm nâng cao hiệu quả học tập

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 Bài toán 2.3.2 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng 2.3.3 Các toán cực trị liên quan đến đường tròn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Sáng kiến kinh nghiệm Tốn 12 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Từ năm học 2016-2017, kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi môn tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng toán quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn Trong chương Số phức, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức Bằng cách ( ) với điểm ( ) đặt tương ứng số phức mặt phẳng tọa độ OXY , từ sử dụng hình học để giải vấn đề khó xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ modul số phức, hay gọi chung tốn tìm cực trị số phức Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Trong q trình giảng dạy, ơn thi tơi phát rằng: nhiều tốn khó số phức xây dựng sở số tốn cực trị hình học mặt phẳng, học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn khó giải vấn đề thời gian ngắn Chính lý nên tơi tổng hợp kinh nghiệm q trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng điển hình hay gặp đề thi để viết thành chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh tiếp cận toán cực trị số phức nhằm nâng cao hiệu học tập” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh có học lực giỏi có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp toán cực trị tập số phức Sau khuyến khích em dựa vào tính chất cực trị hình học học để sáng tạo tập hay tập số phức, qua giúp em phát triển tư logic, tổng hợp phần, chương học để chọn nhanh hướng tiếp cận câu hỏi trắc nghiệm mức độ vận dụng đề thi z = x + yi x , y ∈ ¡ , i = −1 M x; y Sáng kiến kinh nghiệm • Tốn 12 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số toán cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán cực trị số phức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức hình học liên quan Đặc biệt với riêng chuyên đề giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối quan hệ số phức với hình học tọa độ, công thức chuyển đổi từ số phức sang hình học Sau giáo viên chọn số tốn điển hình, kiện, u cầu thường gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo “phản xạ” cho em gặp loại toán Bước cuối yêu cầu em sáng tạo thêm đề tốn từ tốn điển hình từ toán khác mà em gặp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Một số kiến thức sở số phức phép toán: 2.1.1 Định nghĩa số phức Số phức z biểu thức có dạng z = a + bi , a, b∈¡ , i số thỏa mãn i = −1 a phần thực b phần ảo i đơn vị ảo Tập hợp số phức kí hiệu £ Đặt biệt: Số phức z = a + 0i có phần ảo coi số thực viết z = a Số phức z = + bi có phần thực gọi số ảo viết z = bi Số phức z = + 0i = vừa số thực vừa số ảo 2.1.2 Số phức Hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b 'i phần thực phần ảo chúng tương ứng o o o • • o o o • a = a ' a + bi = a '+ b 'i ⇔  o o • b = b ' a, a ', b, b ' ∈ ¡ Hai số phức z1 = a + bi z2 = −a − bi gọi hai số phức đối 2.1.3 Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z = a + bi với a, b∈¡ số phức z = a − bi Sáng kiến kinh nghiệm • Tốn 12 Tính chất: a) z = z d) z.z ' = z z ' ⇔ z = −z b) z + z ' = z + z ' c) z − z ' = z − z '  z z  z ' ÷=   z' f) z số thực e) ⇔ z=z ; z số ảo 2.1.4 Mơ đun số phức • • 2 Môđun số phức z = a + bi số thực khơng âm kí hiệu z = a + b Như vậy, mô đun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức z = a + bi, (a, b ∈¡ ) đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức uuuuu r OM = a + b2 = z.z • Một số tính chất: a) z ≥ 0; z = ⇔ z = 0; z1 + z2 ≤ z1 + z2 ; z2 = z ; −z = z ; z = z ; b) c) z1 z1 = f) z2 z2 d) z1 − z2 ≤ z1 − z2 ≤ z1 + z2 ; e) z1.z2 = z1 z2 ; 2.1.5 Cộng, trừ, nhân chia số phức • Cho hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b 'i , với a, a ', b, b ' ∈¡ o Cộng hai số phức: o Trừ hai số phức: o Nhân hai số phức: z + z ' = ( a + bi ) + ( a '+ b 'i ) = ( a + a ' ) + ( b + b ') i z − z ' = ( a + bi ) − ( a '+ b 'i ) = ( a − a ') + ( b − b ' ) i z.z ' = ( a + bi ) ( a '+ b 'i ) = ( aa '- bb ') + ( ab '+ a 'b ) i z z.z ' = z a + bi aa '- bb ' ab '+ a 'b = = + i z' z' 2 a ' + b' ; o Chia hai số phức: z ' a '+ b ' i a ' + b ' z z −1 = = z z o Số phức nghịch đảo số phức z ký hiệu • 4k k +1 4k +2 k +3 Chú ý: i = 1;i = i;i = −1;i = −i (k ∈¢ ) 2.1.6 Căn bậc hai số thực âm Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z = w gọi thức bậc w Mỗi số phức w ≠ có hai bậc hai số phức đối z − z o Trường hợp w số thực ( w = a ∈¡ ) Khi a > w có hai bậc a;− a ; Khi a < w có hai bậc ±i a Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 Trường hợp w = a + bi (a, b ∈¡ ) Gọi z = x + yi ( x, y ∈¡ ) bậc w z = w tức o ( x + yi ) = a + bi Khi đó: 2  x − y = a ⇒ x = ; y =    xy = b 2.1.7 Phương trình bậc hai với hệ số thực • • Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ Khi ∆ < phương trình có hai nghiệm phức: 2.1.8 Biểu diễn hình học số phức x1,2 = −b ± i ∆ 2a ∆ = b − 4ac • Biểu diễn hình học số phức z = x + yi với x, y ∈ ¡ mặt phẳng tọa độ • điểm M ( x; y ) Khi z = OM Biểu diễn hình học hai số phức z z hai điểm đối xứng qua trục Ox nên quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z z hình ( C ) , ( C ') hai hình đối xứng qua trục Ox  z1 − z2 = AB uuu r uuu r  z + z = OA + OB = 2OM  z ,z • Nếu điểm biểu diễn hai số phức A, B  với M trung điểm đoạn AB z ,z • Cho điểm biểu diễn hai số phức A, B Số phức z thay đổi thỏa mãn z − z1 = z − z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z trung trực đoạn AB • Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức z thay đổi thỏa mãn • z − z1 = z − z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường thẳng Cho z0 số phức không đổi có điểm biểu diễn I , số phức z thay • đổi thỏa mãn quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I bán kính R Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức z thay z−z =R>0 z − z0 < R > đổi thỏa mãn quỹ tích điểm biểu diễn số phức z miền đường trịn tâm I bán kính R Sáng kiến kinh nghiệm Tốn 12 • Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức z thay • đổi thỏa mãn quỹ tích điểm biểu diễn số phức z miền ngồi đường trịn tâm I bán kính R Cho hai số phức z1 , z2 không đổi có điểm biểu diễn hai điểm A, B Một số z−z >R>0 phức z thay đổi thỏa mãn z − z1 + z − z2 = a > Khi + Nếu z1 − z2 < a quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường E-lip nhận A, B làm hai tiêu điểm độ dài trục lớn a z1 − z2 = a + Nếu quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đoạn thẳng AB 2.2 Thực trạng vấn đề: Hiện gặp dạng toán cực trị tập số phức phát triễn từ tốn cực trị hình học thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa đà vào tính tốn, gây thời gian mà thường không thu kết mong đợi Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp tư hình học tính tốn đại số Một thực tế nhiều học sinh làm tốn loại chương hình học làm thành thạo chương số phức với ngơn từ, giả thiết khác em lại không phát vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà lúng túng gặp tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc tốn +) Thuận lợi: Khi chuyển hình thức thi từ tự luận sang thi 100% trắc nghiệm mơn Tốn làm thay đổi phương pháp truyền thụ giáo viên cách tiếp cận học sinh Mục tiêu chung thực đề tài giúp em định hướng phương pháp tư gặp toán cực trị số phức Được quan tâm Ban giám hiệu, Tổ chuyên môn giúp đỡ chia sẻ kinh nghiệm từ đồng nghiệp làm Tôi thêm tâm thực tốt đề tài để đạt mục tiêu +) Khó khăn: Đa số em học sinh vùng nơng thơn miền núi, khơng có thời gian, phương tiện để tiếp cận dạng toán lạ, tinh thần hiếu học chưa cao; Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 Khi tìm tịi tài liệu để nghiên cứu, học tập em dễ bị bỡ ngỡ có nhiều cách giải khác cho nhiều đáp án khác toán, nguồn tài liệu chưa chuẩn hóa; Việc định hướng học tập em chưa rỏ ràng, chưa xác định mục tiêu cụ thể nên chưa đầu tư mức kiến thức phân hóa điểm đề thi 2.3 Giải pháp thực hiện: +) Đối với giáo viên: Tập hợp, phân loại dạng toán cực trị số phức thường gặp chương, biên soạn thành tài liệu học tập; Truyền đạt kiến thức bản, dạng tập từ đơn giản đến phức tạp Phân công nhiệm vụ cho nhóm sau giải tập mẫu, yêu cầu em thực tập tương tự Có kiểm tra, đánh giá cộng điểm khuyến khích học tập +) Đối với học sinh: Ngồi việc lớp học sinh phải lắng nghe, ghi chép kiến thức giáo viên truyền thụ, tiếp nhận yêu cầu giáo viên nhà cần phải học nhớ kiến thức học; Tuân thủ kế hoạch đề ra, làm việc theo nhóm nghiêm túc, hồn thành cơng việc giao thời hạn; Tìm hiểu thêm thơng qua sách, thư viện, tài liệu giáo viên giới thiệu 2.3.1 Bài toán * Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Phương pháp chung: H + Bước 1: Tìm tập hợp ( ) điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều * kiện ( ) cho trước ( ) cho + Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ Ví dụ 1: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ M∈ H Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 Modul lớn số phức z là: A z max = B z max = C z max = 2 D z max = z Gợi ý: max độ dài đường chéo hình vng cạnh Đáp án D Ví dụ 2: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ • Modul nhỏ số phức z là: A z = B z = C z = 2 D z = z =0 Gợi ý: , điểm biểu diễn O Đáp án A Ví dụ 3: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình trịn tơ đậm hình vẽ (kể đường viền) • Modul lớn số phức z là: A z max = B z max = C z max = D z max = • Gợi ý: Sáng kiến kinh nghiệm Tốn 12 · Tam giác OAB có góc OAB tù nên ta có OA < OB ⇒ z ≤ OB = ⇒ z max = Đáp án C Ví dụ 4: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình trịn tơ đậm hình vẽ (kể đường viền) Modul nhỏ số phức z là: A z = B z = C z = D z = • Gợi ý: · Tam giác OAB có góc OBA tù nên ta có OA > OB ⇒ z ≥ OB = ⇒ z = Đáp án A 2.3.2 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng 2.3.2.1 Bài toán 1: d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A đường thẳng ( ) Điểm M chạy d đường thẳng ( ) cho độ dài đoạn AM nhỏ Khi tìm vị trí điểm M tính độ dài AM Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 a Hướng dẫn giải: A d(M,d) (d) H M d Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng ( ) Khi AM ≥ AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ M hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng b Ví dụ minh họa: ( d ) AM = AH = d ( M , d ) Ví dụ 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thằng ( d ) : x − y − = Tính giá trị nhỏ A • Gợi z B ý: Gọi M Min z = OM = d ( O; d ) = C điểm biểu diễn D số phức z⇒ Ví dụ 2: Cho số phức z, w thỏa mãn z + − 2i = z − 4i , w = iz + Giá trị nhỏ w A • B 2 C D 2 A −2;2 ) , B ( 0; ) Gợi ý: Gọi ( M điểm biểu diễn số phức z Từ đề ta có: MA = MB , hay quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn AB ⇒ Quỹ tích điểm M đường thẳng ( d ) : x + y − = Mà w = iz + = i z + = z − i = IM ⇒ Min w = d ( I ; d ) = i với I ( 0;1) z + = z ( z + 2i ) Ví dụ 3: Cho số phức z khơng phải số ảo thỏa điều kiện Giá trị nhỏ A • z +i B C D  z − 2i = z z + = z ( z + 2i ) ⇒ z − 2i z + 2i = z z + 2i ⇒   z = 2i(l ) Như Gợi ý: toán trở dạng giống Ví dụ 10 Sáng kiến kinh nghiệm Tốn 12 z − − 4i = z − 2i Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ z +7−i 10 A 10 C B D 10  z − 2i = z − 2i = z + 2i    z +7−i = z + 7−i = z + 7+i • Gợi ý:  Bài toán trở thành: Cho số z − − i = z + 2i phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Như tốn trở dạng giống Ví dụ z +7+i 2.3.2.2 Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A , B đường thẳng ( d ) Điểm M chạy đường thẳng ( d ) cho tổng độ dài đoạn AM + BM nhỏ Khi tìm vị trí điểm M tính AM + BM a Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp d +) Trường hợp : hai điểm A , B nằm hai phía đường thẳng ( ) A (d) D M B Ta có MA + MB ≥ AB nên ( MA + MB ) = AB , đạt M = AB ∩ (d ) d +) Trường hợp : hai điểm A , B phía đường thẳng ( ) 11 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 B A (d) D M A' Gọi điểm A ' điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ( d ) Khi MA = MA ' ⇒ MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B nên ( MA + MB ) = A ' B , đạt M = A ' B ∩ (d ) b Ví dụ minh họa: z −1 = z +1 Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ z + − 4i + z − − 6i A 10 + • B 13 C D 10 z −1 = z + Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện suy quỹ tích điểm M trục Oy Đặt A ( −2; ) , B ( 4;6 ) A, B nằm hai phía trục Oy Khi z + − 4i + z − − 6i = MA + MB ≥ AB = 10 z + − 4i = z + + 4i Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ z + − 4i + z − − i B 13 A • C 41 D 10 Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ z + − 4i = z + + 4i ⇒ z+ − 2i = z + + 2i 2 suy quỹ tích điểm M đường thẳng ( d ) : x − y + = Đặt A ( −1;4 ) , B ( 1;1) với đường thẳng ( d ) Điểm A ' ( −3; −4 ) đường thẳng ( d ) Khi A, B nằm phía điểm đối xứng điểm A qua z + − 4i + z − − i = MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B = 41 2.3.2.3 Bài toán 3: 12 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I đoạn thẳng AB Điểm M chạy đoạn thẳng AB cho độ dài đoạn IM nhỏ Khi tìm vị trí điểm M tính độ dài IM a Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng ( AB ) Ta xét hai trường hợp • Trường hợp 1: điểm H nằm đoạn AB I M A H B IM max = max { IA; IB} Dễ dàng thấy IM = IH • Trường hợp 2: điểm H nằm ngồi đoạn AB I A Dễ dàng thấy M IM = { IA; IB} B H IM max = max { IA; IB} b Ví dụ minh họa: Ví dụ 7: Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn A P = 13 + 73 C P = + 73 • z −1+ i Tính P = m + M B D P= + 73 + 73 A ( −2;1) , B ( 4;7 ) P= Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , gọi Từ giả thiết z + − i + z − − 7i = ⇔ MA + MB = AB ⇒ Quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I ( 1; −1) z − + i = IM Vẽ hình trực quan 13 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 dễ kiểm tra hình chiếu I lên đường thẳng ( AB ) nằm đoạn AB Lại có: IA = 13, IB = 73, d ( I ; AB) = 5 + 73 ⇒P= 2 z + − 2i + z − + 2i Ví dụ 8: Xét số phức z thỏa mãn nhỏ Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn B P = 2 A P = z − 4i Tính P= M m C P = D P=5 • A −1;2 ) , B ( 2; −2 ) Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , gọi ( Ta có z + − 2i + z − + 2i = MA + MB ≥ AB , nghĩa z + − 2i + z − + 2i nhỏ I 0;4 quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi ( ) z − 4i = IM thẳng Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu I lên đường ( AB ) nằm đoạn AB Lại có: IA = 5, IB = 10 ⇒ P = 2  z + = z − − 8i  z ≤5 Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ z − 4i B A • C D z + = z − − 8i z Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức , nên M thuộc đường thẳng ( d ) : 2x + y − 10 = , mà z ≤ nên M thuộc 2 C : x + y = 25 Lại có ( d ) cắt ( C ) hai ( ) miền đường tròn điểm phân biệt A(3;4), B (5;0) nên quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I ( 0;4 ) z − 4i = IM , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng ( d ) nằm đoạn AB mà IA = 41, IB = nên z − 4i = 2.3.3 Các toán cực trị liên quan đến đường trịn 2.3.3.1 Bài tốn 14 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A đường tròn ( ) có tâm I bán kính R Điểm M thay đổi đường tròn ( C ) Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: Ta xét ba trường hợp • C Trường hợp 1: điểm A nằm miền ngồi đường trịn ( ) (C) M R C I B A AM = AB = AI − R AM max = AC = AI + R • C Trường hợp 2: điểm A nằm đường tròn ( ) (C) M R A C I B AM = AM max = AC = 2R • C Trường hợp 3: điểm A nằm miền đường tròn ( ) (C) R B A C I M AM = AB = R − AI AM max = AC = AI + R b Ví dụ minh họa: z =2 Ví dụ 1: Cho số phức z có số phức w = z + 3i có modun nhỏ lớn 15 Sáng kiến kinh nghiệm A Toán 12 B C D • z =2 Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì nên quỹ tích điểm M đường trịn ( C ) tâm O bán kính R = Đặt A(0; −3) Dễ thấy điểm A nằm ngồi đường tròn ( C ) nên w = AM = AO − R = w = AM max = AO + R = max z − + 4i = w Ví dụ 2: Cho số phức z thoả w = z + − i Khi có giá trị lớn là: w = z + 3i = AM A 16 + 74 B + 130 C + 74 D + 130 • z − + 4i = Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì nên quỹ tích điểm M đường trịn ( C) tâm I ( 3; −4 ) 1 A( − ; ) 2 bán kính R = Đặt i w = z + − i = z + − = 2AM 2 Dễ thấy điểm A nằm ngồi đường w = AM max = 2( AI + R) = + 130 tròn ( C ) nên max Ví dụ 3: Cho số phức z , tìm giá trị lớn | z | biết z thoả mãn điều −2 − 3i z +1 = kiện − 2i C D Gợi ý : Gọi M điểm biểu diễn số phức z ⇒ z = OM Theo : A • B −2 − 3i −2 − 3i − 2i z +1 = ⇔ z+ =1⇔ z +i =1 − 2i − 2i −2 − 3i nên quỹ tích điểm M đường trịn ( C ) tâm I ( 0; −1) bán kính R = Dễ thấy điểm O nằm z = 2R = đường tròn ( C ) nên max z −3 = z Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn a+b z + + 2i = a + b 2 Tính 16 Sáng kiến kinh nghiệm B 2 A • Gợi Tốn 12 ý: Đặt C z = x + yi với D x, y ∈ ¡ Từ z − = z ⇒ ( x − 3) + y = ( x + y ) ⇒ x + y + 6x − = ⇒ ( x + 3) + y = 18 ⇒ z + = 2 M điểm biểu diễn số phức z quỹ tích M đường trịn tâm I (−3;0) , bán Gọi   A  − ; −2 ÷ z + + 2i = AM  kính R = Đặt  Dễ thấy điểm A nằm ( C) miền đường tròn nên AM = R − AI = − + ⇒ a + b = 2 2.3.3.2 Bài toán 2: C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) đường tròn ( ) có tâm I C bán kính R khơng có điểm chung Điểm M thay đổi đường tròn ( ) , điểm N thay đổi đường thẳng (d ) Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài đoạn MN giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: I R M A H N MN = AH = d ( I , d ) − R b Ví dụ minh họa:  z1 − i = z1 +  z −1− i = z , z Ví dụ 5: Xét hai số phức thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ z1 − z2 17 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 A B C −1 D • Gợi ý: Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Theo  z1 − i = z1 +  z −1− i =  , suy quỹ tích điểm M đường thẳng ( d ) : x + y = quỹ tích điểm N đường tròn ( C ) tâm I ( 1;1) có bán ( C) ( d) R =1 kính Vẽ hình trực quan dễ thấy z − z = MN mà 2.3.3.3 Bài toán 3: nên khơng có điểm chung, z1 − z2 = MN = d ( I , d ) − R = − Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn ( C ) có tâm I bán kính R Đoạn AB đường kính ( C ) Điểm M thay đổi đường trịn ( C ) Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA + l.MB (với k ≥ l > ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: M A R I B Ta có : k ≥ l > ⇒ kMA + lMB ≥ l ( MA + MB) ≥ lAB , dấu xảy M ≡ A b Ví dụ minh họa: z =1 Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = z +1 + z −1 A T = B T = C T = D MinT = • z =1 Gợi ý: Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo nên quỹ tích điểm M đường trịn ( C ) tâm O bán kính R = Đặt 18 Sáng kiến kinh nghiệm A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) Tốn 12 , vẽ hình trực quan dễ thấy AB đường kính đường trịn ( ) Khi , dấu xảy M ≡ B Suy T = 2.3.3.4 Bài toán 4: T = z + + z − = MA + 2MB ≥ MA + MB ≥ AB = C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán kính R Đoạn AB cố định nhận điểm I làm trung điểm Điểm M thay đổi đường tròn ( C ) Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA + l.MB (với k > 0, l > ) đạt giá trị lớn tính giá trị a Hướng dẫn giải: M A I B MA2 + MB AB MI = − Theo cơng thức đường trung tuyến ta có AB ⇒ MA2 + MB = MI + = a = const 2 2 2 2 Lại có: k MA + l.MB ≤ k + l MA + MB = k + l a , dấu xảy MA MB k k2 + l2 = ⇒ MA = MB ⇒ ( ) MB = k + l a l l l k , hay M giao l a điểm đường (C ) với đường trịn tâm B bán kính b Ví dụ minh họa: k2 + l2 z =1 Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức T = z +1 + z −1 A max T = B max T = 10 C max T = D max T = 19 Sáng kiến kinh nghiệm • Tốn 12 z =1 Gợi ý: Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo nên quỹ C tích điểm M đường tròn ( ) tâm O bán kính R = Đặt A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) , vẽ hình trực quan dễ thấy AB nhận O làm trung điểm MA2 + MB AB MO = − nên ∆MAB ta có AB ⇒ MA + MB = 2MO + =4 Khi 2 T = z + + z − = MA + 2MB ≤ 12 + 2 MA2 + MB = MB = MA ⇒ MA = , dấu xảy ⇒A C giao điểm đường tròn ( ) với đường tròn tâm A bán kính Suy max T = 2.3.3.5 Bài toán 5: C Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) có tâm I bán kính R Điểm M cố định nằm miền đường tròn; hai điểm A, B thay đổi ( C ) cho ba điểm M , A, B thẳng hàng Xác định vị trí hai điểm A, B để tổng độ dài k MA + l.MB (với k > 0, l > ) giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn giải: I M A B C Ta có tích MA.MB độ lớn phương tích điểm M với đường tròn ( ) 2 2 , suy MA.MB = R − MI Nên k MA + l MB ≥ klMA.MB = kl ( R − MI ) , dấu xảy 20 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 kMA = lMB = kl ( R − MI ) ⇒ MA = đường trịn tâm M bán kính b Ví dụ minh họa: l ( R − MI ) k hay A giao điểm l ( R − MI ) C k với đường tròn ( )  z1 − − i = z2 − − i =   1 z1 − z2 = z1 − − i + z2 − − i  2 Tìm Ví dụ 8: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  giá trị nhỏ biểu thức A T = T = z1 − − i + 2iz2 + − 2i B T = C T = 2 D T = • Gợi ý: Gọi A, B điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Theo z1 − − i = z2 − − i = , suy quỹ tích điểm A quỹ tích điểm B  1 M 1; ÷ đường trịn ( C ) tâm I ( 1;1) có bán kính R = Đặt điểm   , ta có 1 z1 − z2 = z1 − − i + z2 − − i ⇒ MA + MB = AB ⇒ 2 điểm M thuộc đoạn AB , nên theo cơng thức phương tích ta có T = z1 − − i + 2iz2 + − 2i = z1 − − ⇒ T = ( MA + MB ) ≥ MA.MB = MA.MB = R − IM = Lại có i  i i  + 2i z2 + − =  z1 − − + z2 − − ÷ 2i 2  , dấu xảy MA = MB hay A, B giao điểm đường thẳng qua M vng góc với IM đường trịn ( C ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Một hiệu mà nhận thấy học sinh sau đọc tài liệu nhìn toán cực trị tập số phức với 21 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 mắt “bớt sợ” Những em khá, ham tìm tịi manh nha nghiên cứu tốn hình học khác để thử áp dụng cho toán cực trị khác Tuy phận học sinh kiến thức hạn chế nên chưa thấy điểm mạnh phương pháp, vận dụng chưa linh hoạt dạng đề khác Kết thực nghiệm lớp giảng dạy sau Thực toán cực trị số phức qua kiểm tra tiết Lớp Chưa đạt Đạt 12A4 (20118 2019) 12A6 (2019 –2020) 30/38 8/38 18/29 11/29 12A7 (2020 –2021) 29/36 7/36 Với kết đạt chuyên đề tảng tạo động lực cho Tôi tiếp tục thực chuyên đề liên quan chương khác Đây chuyên đề mà câu hỏi nằm mức độ vận dụng đề kiểm tra, thi học kỳ đặc biệt câu hỏi phân hóa đề thi THPT Quốc gia nên tài liệu tham khảo có ích cho học sinh giáo viên KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Tóm lại, việc chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm địi hỏi giáo viên phải khơng ngừng nghiên cứu, tìm tịi học hỏi Tính bao qt kiến thức hình thức thi trắc nghiệm lớn đòi hỏi học sinh phải phát huy tính tự học có mục tiêu cụ thể việc học Đây đề tài nhỏ mà Tơi tổng hợp nhằm góp phần nâng cao hiệu giảng dạy thân, thiết nghĩ thời gian tới cố gắng phối hợp với đồng nghiệp để tổng hợp thêm nhiều chuyên đề khác nhằm phục vụ tốt việc giảng dạy 3.2 Kiến nghị 22 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 Mặc dù đề tài nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm vận dụng giảng dạy nhiều năm, giúp điều bổ ích cho học sinh học tập tốt Xong chắn cịn phải tiếp tục hồn thiện, bổ sung thêm Vậy tơi mong góp ý chân tình đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 19 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trương Thị Tuyến 23 Sáng kiến kinh nghiệm Toán 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách “Hàm biến phức” tác giả Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải – Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội năm 2001 Tổng hợp đề thi thử trường Sở Giáo Dục Đào Tạo tỉnh Cơng thức thủ thuật tính nhanh cực trị số phức – Toán từ A đến Z , cô hoạt động giải đề nghiên cứu Các ý kiến đóng góp quý thầy cộng đồng mạng 24 ... giúp em học sinh có học lực giỏi có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp toán cực trị tập số phức Sau khuyến khích em dựa vào tính chất cực trị hình học học để sáng tạo tập hay tập số phức, ... viết thành chuyên đề: ? ?Hướng dẫn học sinh tiếp cận toán cực trị số phức nhằm nâng cao hiệu học tập? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài... tập trung vào mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số toán cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành toán cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để giúp học