1 MỞ ĐẦU 1 Ghi nhận ban ñầu và câu hỏi xuất phát Khái niệm số phức ñược ñưa vào cuối chương trình Toán giải tích lớp 12, sau khi hoàn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng Như ta ñã biết, mọi[.]
1 MỞ ĐẦU Ghi nhận ban ñầu câu hỏi xuất phát: Khái niệm số phức ñược ñưa vào cuối chương trình Tốn giải tích lớp 12, sau hồn thành chương Ngun hàm, Tích phân ứng dụng Như ta biết, phương trình bậc hai với hệ số thực Ax + Bx + C = mà biệt thức ∆ < khơng có nghiệm thực, phát triển khoa học nói chung tốn học nói riêng địi hỏi phải mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số gọi tập hợp số phức, phép tính cộng nhân số phức với tính chất tương tự phép tốn cộng nhân số thực cho phương tình nói có nghiệm Ở chương trình phổ thơng, số phức xuất từ lâu chương trình tốn nhiều nước giới Tuy nhiên Việt Nam, ñối tượng số phức ñược ñưa vào giảng dạy chương trình SGK trước cải cách giáo dục phân ban thí điểm năm 1998 Sau đến năm học 2008-2009 đưa vào Như có ngắt quãng Tại có khác biệt ngắt qng này? Vị trí vai trị khái niệm số phức chương trình phổ thơng Việt Nam giống khác so với nước khác? Ý nghĩa hình học đưa nào? Những ghi nhận ban đầu nói ñưa ñến việc ñặt câu hỏi sau: Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức hình thành phát triển nào? Q2’: Trường số phức ñược xây dựng bậc ñại học? Q3’: Số phức ñược ñưa vào chương trình tốn THPT với mục tiêu gì? Nó ñược tiếp cận sao? Ý nghĩa hình học đề cập ứng dụng sao? Có tương đồng hay khác biệt lịch sử hệ thống dạy học? Q4:’ Những ràng buộc hệ thống dạy học ảnh hưởng giáo viên học sinh khái niệm số phức? Q5’: Học sinh hiểu khái niệm số phức; khó khăn học sinh thường gặp phải học tập kiến thức số phức; có hợp đồng hình thành giáo viên học sinh khơng; có quan niệm sai lầm học sinh học số phức? Khung lý thuyết tham chiếu: Chúng tơi đặt phạm vi lý thuyết Didactic Tốn Cụ thể chúng tơi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với khái niệm sau: 2.1 Chuyển ñổi Didactic: Trong nhà trường phổ thơng, mơn học, người ta khơng thể dạy cho học sinh tồn tri thức có liên quan mà nhân loại tích lũy lịch sử Hơn nữa, để tri thức mơn trở nên dạy được, cần phải lựa chọn, xếp tái cấu trúc lại theo kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác ñịnh Chuyển đổi didactic, nói khác q trình biến ñổi tri thức bác học thành ñối tượng tri thức dạy học Việc qui ñịnh ñối tượng cần dạy thể thơng qua chương trình, SGK, ñề thi, tài liệu ôn thi Bộ giáo dục, tiểu ban khoa học giáo dục tác giả SGK Khái niệm ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách tri thức khoa học tri thức cần dạy khái niệm số phức Nó giúp nghiên cứu tính hợp pháp tri thức cần dạy giải thích số ràng buộc thể chế dạy học trường phổ thơng kiến thức nêu 2.2 Quan hệ thể chế Quan hệ R(I, O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác ñộng qua lại mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ cho biết O xuất nào, đâu, có vai trị tồn … I 2.3 Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X, O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác ñộng qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O sao? Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần ñặt R(I, O) 2.4 Tổ chức tốn học: Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần [T ,τ ,θ , Θ] , T kiểu nhiệm vụ, τ kỹ thuật cho phép giải T, θ cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , cịn Θ lý thuyết giải thích cho công nghệ θ Một praxéologie mà thành phần mang chất tốn học gọi tổ chức tốn học (TCTH) Việc phân tích TCTH liên quan ñến ñối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I, O) thể chế I với tri thức O, từ hiểu ñược quan hệ mà nhân X trì với tri thức O 2.5 Hợp ñồng Didactic: Hợp ñồng didactic mơ hình hóa quyền lợi nghĩa vụ tiềm ẩn học sinh giáo viên đối tượng tri thức tốn học Thơng thường, tập hợp quy tắc phân chia giới hạn trách nhiệm thành viên – học sinh giáo viên – tri thức toán học ñược giảng dạy Hợp ñồng didactic qui tắc giải mã hoạt động q trình học tập Chỉ hiểu thấu ý nghĩa định hướng cách ứng xử giáo viên học sinh giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát khn khổ hợp đồng Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát ñã ñược chúng tơi cụ thể hóa sau: Q1: Trong lịch sử tốn học, khái niệm số phức hình thành phát triển nào? Các mơ hình hình học xây dựng sao? Q2: Trường số phức ñược xây dựng bậc ñại học? Q3: Số phức ñược ñưa vào chương trình trung học phổ thơng với mục tiêu gì? Nó tiếp cận sao? Sự ràng buộc thể chế có ảnh hưởng đến việc dạy học giáo viên học sinh khái niệm số phức? Q4: “ Những khó khăn, quan niệm sai lầm học sinh thường mắc phải học số phức? Những hợp đồng hình thành giáo viên học sinh dạy học số phức” Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi ñã ñặt mục Để đạt mục đích đề ra, chúng tơi xác định phương pháp nghiên cứu sau: - Tìm hiểu trình hình thành phát triển số phức lịch sử tốn học, làm rõ mối liên hệ hình học số phức Số phức xây dựng nào, mơ hình hình học số phức nhà tốn học xây dựng nào? - Tìm hiểu việc xây dựng số phức giáo trình đại học Cụ thể giáo trình Mỹ, Anh Việt Nam Từ làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế chương sau - Phân tích chương trình sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt vấn ñề số phức ñể thấy ñược mong muốn thể chế đưa gì? Từ so sánh với thể chế dạy học toán Việt Nam khái niệm số phức - Xây dựng tiến hành thực nghiệm học sinh phép tìm câu trả lời cho giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt 5 Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần: Phần mở ñầu, chương phần kết luận chung Trong phần mở ñầu, chúng tơi trình bày ghi nhận ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu; mục đích phương pháp nghiên cứu; tổ chức luận văn Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét lịch sử xuất số phức; mơ hình học số phức lịch sử Chương 2, giới thiệu số quan ñiểm xây dựng số phức lịch sử số giáo trình Mỹ, Anh Việt Nam Chương 3, chúng tơi phân tích chương trình sách giáo khoa hai thể chế Pháp (chương trình song ngữ) Việt Nam khái niệm số phức Từ so sánh đưa số hợp ñồng didactic, sai lầm học sinh giả thuyết nghiên cứu Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng hợp ñồng didactic giả thuyết luận văn Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt kết ñã ñạt ñược chương 1,2, và nêu số hướng mở từ luận văn Chương NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NĨ TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN Mở ñầu Nghiên cứu thực chương với mục đích trả lời câu hỏi Q1: “Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành phát triển nào? Các mơ hình hình học xây dựng sao?” Chúng tơi tiến hành nghiên cứu, phân tích tổng hợp số tài liệu hình thành phát triển tốn học nói chung số phức nói riêng Các tài liệu chúng tơi chọn làm tư liệu chương gồm có: LÊ THỊ HỒI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trị phân tích khoa học luận lịch sử tốn học nghiên cứu thực hành dạy – học môn Tốn, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, Hồ Chí Minh HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử toán học, Nhà xuất khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học thành phố HCM NGUYỄN CẢNH TỒN (1997), Tập cho học sinh giỏi tốn làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất giáo dục NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất ñại học quốc gia thành phố HCM NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất trẻ WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math through the Ages, a gentle history for teachers and others Remark on the history of Complex Numbers FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company, London 1909 Vài nét lịch sử xuất số phức Trong “The Great Art” xuất năm 1545, Cardano đưa vấn đề việc tìm hai số cho tổng chúng 10 tích chúng 40 Theo kiến thức lúc khơng tồn hai số Cardano bỏ qua vô lý kí hiệu hai số có dạng + −15 − −15 thực có tổng 10 tích 40 Nhưng ơng đưa cách qua loa dạng “trị chơi vơ nghĩa” “kẻ rỗi việc” Trong sách khác, ơng nói hay -3 −9 +3 hay -3 chúng “số khơng có cả” Trong ví dụ đầu kỉ 17, Descartes lưu ý tìm giao điểm đường trịn đường thẳng ta phải giải phương trình bậc hai Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai dẫn ñến bậc hai số âm ñường thẳng thực tế khơng cắt đường trịn Vì hầu hết phần, cảm nhận có xuất nghiệm “khơng thể” hay “nghiệm ảo” đơn giản câu trả lời cho phương trình khơng có nghiệm Thành tựu lớn Cardano tìm cơng thức giải cho phương trình bậc ba Cho phương trình dạng x3 + px + q = , cơng thức nghiệm Cardano q2 p3 q q p3 + + − − + Công 27 27 q viết lại ngơn ngữ đại là: x = − + thức dùng cho phương trình bậc (phương trình dạng x3 + ax + bx + c = ñưa dạng cách ñặt x = z − a2 Khi phương trình trở 3 thành z + Bz + C = với B = c − a , C = c − ab + 2a ) Tuy nhiên, vài 27 trường hợp gặp phải rắc rối Giả sử cho phương trình x3 = 15 x + ta viết lại thành x3 − 15 x − = , áp dụng công thức trên, ta ñược x = + −121 + − −121 Dựa vào ñiều ñã biết giải phương trình bậc hai, dường kết luận ñúng trường hợp phương trình vơ nghiệm Nhưng rõ ràng x = nghiệm phương trình Vậy kết luận sai lầm Cardano ñã ñưa vấn ñề khơng biết đến Ơng đề cập hai lần sách Vào năm 1560, Bombelli đưa cách khỏi bối rối Ơng tranh luận rằng, ta khai triển với loại “căn số mới” Để nói bậc hai số âm, ông phát minh ngơn ngữ lạ Thay cho việc nói + −121 cộng trừ 121, ơng nói cộng trừ 121 Do ñó, “cộng trừ” trở thành mật mã cho việc cộng bậc hai số âm Tất nhiên, trừ bậc hai trở thành “trừ trừ” Vì + −121 = + 11 −1 nên ơng đề cập đến “hai cộng trừ 11” giải thích qui luật phép tốn sau: “Cộng trừ nhân cộng trừ thành trừ Trừ trừ nhân trừ trừ trừ Cộng trừ nhân trừ trừ cộng” Theo ngôn ngữ đại, có nghĩa: i × i = −1; − i × −i = −1 ; i × −i = Nhưng Bombelli không thực nghĩ “căn số mới” số Đúng hơn, ông dường ñưa qui tắc mà cho phép ông chuyển công thức phức tạp ( ) + −121 − + −121 biểu thức đơn giản Ơng đưa ± −1 = ± −121 Vì vậy, ( ) ( ) + −121 + − −121 = + −1 + − −1 = Đây nghiệm phương trình bậc ba, bắt đầu theo hướng này, ơng tìm nghiệm phương trình bậc Những cơng trình Bombelli việc tìm bậc hai số âm cần thiết cho việc tìm nghiệm thực phương trình Nói cách khác, ông xuất biểu thức khơng ln tín hiệu cho phương trình khơng thể giải Đây dấu hiệu nói số phức cơng cụ tốn học thực hữu ích Nhưng điều ñó ñều vấp phải phản ñối ñịnh kiến cũ Nữa kỷ sau đó, hai ơng Girard Descartes biết phương trình bậc n có n nghiệm Nó cho phép bậc hai (căn bậc hai số dương) bậc hai sai (căn bậc hai số âm) nghiệm phức Nó giúp tạo cơng thức nghiệm tổng qt ñơn giản Nhưng nghiệm phức thường ñược mô tả “”ngụy biện”, “không thể”, “ảo” “vơ nghĩa, vơ lý” Vào đầu (cos x + i sin x )n kỉ 18, Moivre ñưa công thức nối tiếng sau = cos nx + i sin nx (Công thức ngầm ẩn cơng trình Moivre, khơng phát biểu dạng này) Một năm sau đó, Leonhard Euler ñã ñưa ký hiệu i thay cho − ñi ñến liên kết tất với ông phát minh công thức e ix = cos x + i sin x Khi x = π , ta ñược e iπ = −1 hay e iπ + = , công thức cơng thức quan trọng liên kết số khái niệm quan trọng toán học Giữa kỷ 18, người ta biết ñến số phức bước cần thiết ñể giải vấn đề số thực Nó đóng vai trị quan trọng thuyết phương trình, có mối liên hệ sâu sắc số phức, hàm lượng giác dạng mũ Nhưng cịn nhiều vấn đề Ví dụ, Euler làm rối tung thức giống − Căn số thực ñược ñịnh nghĩa: có nghĩa bậc hai dương Vì số phức khơng dương, khơng âm nên khơng có lựa chọn bậc hai tốt Do ñó, Euler nói rằng: − − = −2; − − = − − = ông không ý ông áp dụng công thức thứ vào công thức thứ kết khơng Mặc dù Euler sử dụng số phức nhiều, ông không giải lại điều mà nói Trong Đại số sơ cấp, ông viết: 10 “ Vì số so sánh với 0, nhỏ hay lớn hay Do đó, ta khơng thể đưa bậc hai số âm vào đội ngũ “những số có thể” Trong cách này, số gọi đại lượng ảo tồn tưởng tượng Mọi ký hiệu − 1; − , − số không thể, số ảo Và thừa nhận số khơng cả, khơng lớn hay nhỏ thứ Điều có nghĩa chúng ảo hay khơng tồn Nhưng dù ñi nữa, số ñầu chúng ta, chúng tồn tưởng tượng có ý tưởng chúng” Quan ñiểm hầu hết nhà toán học kỷ 18 “Số phức số tưởng tượng có ích” Gauss người thực có ý tưởng số phức vào năm 1831 dùng kí hiệu a+bi để số phức, a, b số thực, i đơn vị ảo Khi a = a+bi = bi số ảo; b = a+bi = a số thực Thế kỷ 19, bắt ñầu xuất nhu cầu số phức Argand, người bán sách Paris người ñầu tiên ñưa ñề nghị xuất 1806 Nó làm rõ số giả thuyết số tưởng tượng hay số ảo kỳ quái cách biểu diễn chúng hình học Các điểm với toạ ñộ chúng có tương ñồng, (x, y ) ֏ x + iy Giả thuyết Argand bị bác bỏ cho ñến Gauss ñề xuất nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và thành phần tốn học có ích.Và Gauss ñề xuất ñiều kiện cho số phức Hai năm sau đó, Hamilton rằng, ta bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa cặp thứ tự cách thuận lợi kết thúc đồng với số phức Hamilton số “hư cấu” i ñiểm (0, 1) Các nhà tốn học ln tìm kiếm đề tài cho số phức sau đó, chúng q hữu ích mà khó tránh tiếp xúc với Euler Gauss dã ta sử dụng chúng để giải vấn ñề ñại số lý thuyết số ... trình hình thành phát triển số phức lịch sử tốn học, làm rõ mối liên hệ hình học số phức Số phức xây dựng nào, mơ hình hình học số phức nhà tốn học xây dựng nào? - Tìm hiểu việc xây dựng số phức. .. khoa học luận; Vài nét lịch sử xuất số phức; mơ hình học số phức lịch sử Chương 2, giới thiệu số quan ñiểm xây dựng số phức lịch sử số giáo trình Mỹ, Anh Việt Nam Chương 3, chúng tơi phân tích chương. .. CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NĨ TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN Mở ñầu Nghiên cứu thực chương với mục đích trả lời câu hỏi Q1: ? ?Trong lịch sử tốn học, khái niệm số phức hình thành