Luận văn khôi phục một lớp hàm nguyên và áp dụng vào phương trình truyền nhiệt

LỜI CÁM ƠN 2TTôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy của tôi, PGS TS Đặng Đức Trọng về tất cả những sự hướng dẫn, góp ý, chỉ dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ rất nhiệt tìn[.]

LỜI CÁM ƠN Tơi xin đặc biệt bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy tôi, PGS TS Đặng T Đức Trọng tất hướng dẫn, góp ý, dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ nhiệt tình tận tâm Thầy suốt trình nghiên cứu hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cám ơn đến tồn thể Q Thầy Cơ Tổ Tốn Giải tích Trường T Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình, ln khích lệ tơi đường học tập nghiên cứu Tốn học Tơi xin chân thành cám ơn Q Thầy Cơ phản biện đọc góp ý để tơi hồn chỉnh Luận T văn Tơi xin chân thành cám ơn Thầy Cô Hội đồng chấm Luận văn đọc cho T nhiều ý kiến quý báu để thấy thiếu sót Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn T T - Tin Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành T Luận văn T Tơi gửi lời cám ơn chân thành tới bạn bè, đồng nghiệp hỗ trợ, động viên tạo điều T kiện cho thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành Luận văn Tơi đặc biệt bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, bên tôi, giúp đỡ, động T viên, tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua khó khăn q trình học tập hồn thành Luận văn Nguyễn Quốc Cường T MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát tốn khơi phục hàm nguyên bắt nguồn từ thực tế, lĩnh vực điều T khiển học, vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, nhận dạng,… đặc biệt tốn khơng chỉnh Đây lĩnh vực tốn học thực tiễn, sâu rộng, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đạt nhiều thành tựu quan trọng Trong trình giải tốn khơi phục, kết thu có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống, nhận dạng tình xấu nhất,… Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày tốn khôi phục lớp hàm nguyên từ giá T trị chúng tập hợp điểm nguyên Các kết áp dụng để kiểm tra hai T toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: tốn việc giải phương trình truyền nhiệt mà khơng có điều kiện đầu điều kiện cuối toán thứ hai việc xác định nguồn nhiệt toán nhiệt ngược thời gian Cụ thể sau: Cho σ > , ký hiệu Lσ2 không gian hàm nguyên f ∈ L2 ( ¡ = f ( z ) const.e σz ) thỏa mãn , z ∈£ Do định lý Paley-Wiener (xem Rudin [18, Chương 19]), hàm f ∈ Lσ2 biểu diễn biến đổi Fourier hàm g ∈ L2 ( −σ , σ ) , nghĩa f ( z) = σ ∫σ g ( t ) e itz dt , z ∈ £ − Chúng tơi quan tâm đến tốn khơi phục hàm Lσ2 từ giá trị tập biết ¡ , vấn đề biết xem xét số phương trình đạo hàm riêng Trước tiên, xem xét phương trình nhiệt ut − u xx= f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ Q=: ( 0,1) × ( 0, T ) ,  ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) 0, u x = (1) u ∈ C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) biết Ở đây, nhớ lại rằng, C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) không gian tất hàm liên tục f : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) có f ' : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) liên tục L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) không gian tất hàm f : ( 0, T ) → H ( 0,1) thỏa mãn T ∫ f (t ) H ( 0,1) < ∞ Đây loại toán gọi “bài tốn khơng có điều kiện đầu” T Năm 1935, Tikhonov [25] chứng minh tính nghiệm phương trình truyền T nhiệt ut − ∆u= 0, − ∞ < t < ∞ Năm 1990, Safarov [19] giải toán cho miền không bị chặn x > T T T cho < x < l Sau đó, phương trình truyền nhiệt khơng mà khơng có điều kiện đầu T T xem xét nhiều tác Shmulev [23], Kirilich [13] Guseinov [12] Các tác giả T kiểm tra toán điều kiện −∞ < t < ∞ −∞ < t < T họ đòi hỏi số giả thiết điều kiện nhiệt độ −∞ điều kiện tuần hồn để tốn giải Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày tốn khơng thời gian hữu T hạn < t < T , việc làm hợp lý cho ứng dụng thực tế Việc thiếu điều kiện đầu u (.,0 ) 0T T T T bù đắp cách thêm điều kiện biên u (1,.) Chúng muốn chứng minh toán (1) T T T có nhiều nghiệm giải số Với α ∈ ¡ , nhân vào hai vế phương trình (1) với v ( x ) = cos (α x ) sử T T T 0T T dụng tích phân phần, ta có 1 0 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx , x =1 d u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  ∫ x=0 dt 1 0 + α ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx, d F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos − α u ( 0, t ) sin  dt F ( f (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = Do u x = ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) nên d F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) dt F viết tắt biến đổi Fourier Cosin L2 ( 0,1) , nghĩa 0T T T T T F= ( w )( z ) : ∫ w ( x ) cos ( zx ) dx, w ∈ L2 ( 0,1) , z ∈ £ Từ phương trình T 0T d F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) , ta suy dt T ( ) d α 2t e F ( u (., t ) ) (α ) = eα t F ( f (., t ) ) (α ) , dt ( T ) T d α 2t α 2t ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e F ( f (., t ) ) (α ) dt , eα t F ( u (., t ) ) (α ) α 2T e t = T T α 2t = e F ( f (., t ) ) (α ) dt , t = ∫0 T α t F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = ∫ e F ( f (., t ) ) (α ) dt Do T = F ( u (., T ) ) (α ) e −α T F ( u (.,0 ) ) (α ) + ∫ e α ( t −T ) F ( f (., t ) ) (α ) dt (2) Khó khăn việc tìm u (., T ) điều kiện đầu u (.,0 ) khơng có sẵn Tuy nhiên, từ (2), T 0T T 0T T T chúng tơi có quan sát quan trọng rằng, α → +∞ e −α T → nhanh thật hợp lý để sử dụng xấp xỉ T F ( u (., T ) ) (α ) ≈ ∫ e α ( t −T ) F ( f (., t ) ) (α ) dt (3) Công thức (3) đưa xấp xỉ tốt cho F ( u (., T ) ) (α ) , α đủ lớn Bây giờ, mấu chốt vấn đề để khôi phục F ( u (., T ) ) (α ) cho α nhỏ Vì vậy, chúng tơi gặp tốn khơi phục hàm L12 từ giá trị tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , r > số lớn Bây giờ, xem xét toán truyền nhiệt khác gọi “bài toán nguồn nhiệt T ngược thời gian” Đây tốn tìm cặp hàm ( u , f ) thỏa mãn T T ut − u xx= ϕ ( t ) f ( x ) , ( x, t ) ∈ Q=  ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) 0, u x =  u ( x, T ) = g ( x ) , ( 0,1) × ( 0, T ) , (4) T ϕ ∈ L1 ( 0, T ) g ∈ L2 ( 0,1) cho trước 0T T 0T 0T 0T Bài toán nguồn nhiệt ngược thời gian “bài tốn khơng chỉnh”, nghĩa nghiệm T T khơng tồn chí tồn khơng phụ thuộc vào cách liên tục liệu Vì vậy, cách xử lý số thông thường chỉnh hóa cần thiết 0T Bài tốn tìm nguồn nhiệt dạng ϕ ( t ) f ( x ) , trong hai hàm ϕ f không T T T T T biết, kiểm tra thời gian dài Tính ổn định xem xét T nhiều tác Cannon-Esteva [5, 6], Yamamoto [31, 32], Yamamoto-Zou [33], Saitoh-TuanYamamoto [20, 21] Choulli-Yamamoto [7] Tuy nhiên, chỉnh hóa tốn trường hợp T khơng ổn định cịn khó khăn Sự chỉnh hóa tốn cho trường hợp f ≡ kiểm tra T Wang-Zheng [29] Shidfar-Zakeri-Neisi [22], trường hợp ϕ ≡ xem xét Cannon [4], Wang-Zheng [30] Farcas-Lesnic [11] Gần đây, Trong-Long-Đinh [27] TrongQuan-Đinh [28] xem xét chỉnh hóa tốn ϕ cho trước f Tuy nhiên, hai báo này, hai điều kiện đầu u (.,0 ) điều kiện cuối u (., T ) bắt buộc Yêu cầu ngặt không tự nhiên Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày tốn tương tự [27], yêu cầu nhiệt độ ban đầu loại bỏ hoàn toàn Lưu ý rằng, f biết có tốn truyền nhiệt ngược thơng thường Vì vậy, chúng tơi tập trung vào việc tìm f Với α ∈ ¡ , nhân vào hai vế phương trình (4) với v ( x ) = cos (α x ) sử T T T 0T T dụng tích phân phần, ta có 1 0 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ ϕ ( t ) f ( x ) cos (α x ) dx , x =1 d u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  ∫ x=0 dt 1 0 + α ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ϕ ( t ) ∫ f ( x ) cos (α x ) dx, d F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos − α u ( 0, t ) sin  dt + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) Do u x = ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) nên d ϕ ( t ) F ( f )(α ) F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = dt Từ phương trình trên, ta suy T 0T 0T ( ) d α 2t e F ( u (., t ) ) (α ) = eα tϕ ( t ) F ( f )(α ) , dt T ( ) T d α 2t α 2t ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e ϕ ( t ) F ( f )(α ) dt , T t =T = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt , e F ( u (., t ) ) (α ) t =0 α 2t T eα T F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt 2 Do u ( x, T ) = g ( x ) nên F ( g )(α ) − e −α 2T T F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ e ( )ϕ ( t ) dt α t −T Vì F ( g )(α ) − e −α T F ( u (.,0 ) ) (α= ) D (ϕ )(α ) F ( f )(α ) , α ∈ ¡ , (5) T ϕ ( t ) dt D (ϕ )(α ) = ∫ e α ( t −T ) Nếu e −α T D (ϕ )(α ) → “đủ nhanh” α → +∞ có xấp xỉ F( f F ( u (.,0 ) ) (α ) F ( g )(α ) F ( g )(α ) ≈ )(α ) = − e−α T D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) (6) Vì vậy, chúng tơi gặp lại tốn khơi phục hàm L12 , nghĩa F ( f ) , từ giá trị tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , r > số lớn Tóm lại, hai toán truyền nhiệt gợi cho “bài tốn cơng cụ” việc khơi T phục hàm Lσ2 Phần lại Luận văn trình bày thành Chương Trong 0T 0T Chương 1, chúng tơi giới thiệu trình bày số kiến thức bản, ký hiệu, không gian hàm sử dụng Luận văn Trong Chương 2, chúng tơi giới thiệu trình bày sơ lược hàm giải tích, hàm nguyên tính chất quan trọng chúng sử dụng Luận văn Trong Chương 3, chúng tơi trình bày số kết “bài tốn cơng cụ” việc khôi phục hàm Lσ2 Trong Chương 4, chúng tơi trở lại tốn truyền nhiệt áp dụng 0T 0T kết Chương để giải chúng Một thực nghiệm số trình bày Chương để làm sáng tỏ hiệu phương pháp Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (xem [15, tr 3-4]) Cho K trường số thực ¡ trường số phức £ Tập hợp X khác rỗng với hai ánh xạ (gọi phép cộng phép nhân vô hướng) + : X×X → X ( x, y ) a x+ y : K×X → X (λ, x) a λx gọi khơng gian tuyến tính (hoặc khơng gian vectơ) K tính chất sau thỏa mãn: (a) X với phép cộng nhóm Abel, tức là: (i) x + y = y + x với x, y ∈ X , (ii) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) với x, y, z ∈ X , (iii) Tồn phần tử X cho + x = x + = x với x ∈ X , (iv) Với phần tử x X , tồn phần tử − x X cho x + ( − x ) =0 (b) λ ( x + y ) = λ y + λ x với λ ∈ K , với x, y ∈ X , (c) ( λ + µ ) x =λ x + µ x với λ , µ ∈ K , với x ∈ X , (d) ( λµ ) x = λ ( µ x ) với λ , µ ∈ K , với x ∈ X , (e) 1x = x với x ∈ X Nếu K = ¡ X gọi khơng gian tuyến tính thực Nếu K = £ X gọi khơng gian tuyến tính phức Định nghĩa 1.1.2 (xem [16, tr 8]) Cho ( X , +, ⋅) không gian vectơ ¡ Một ánh xạ ⋅ : X → ¡ x a x gọi chuẩn X tính chất sau thỏa với x, y ∈ X , α ∈ ¡ , (i) x ≥ x = ⇔ x = , (ii) α x = α x , (iii) x + y ≤ x + y Không gian vectơ ( X , +, ⋅) với chuẩn ⋅ gọi không gian định chuẩn ( X , +, ⋅, ⋅ ) , hay vắn tắt ( X , ⋅ ) , hay vắn tắt X , phép toán, hàm chuẩn ngầm hiểu nhầm lẫn Định nghĩa 1.1.3 (xem [16, tr 10]) Cho ( X , ⋅ ) không gian định chuẩn f ánh xạ từ tập hợp số nguyên dương ¥ vào X Đặt xn = f ( n ) với n ¥ Ta gọi { xn } dãy X Cho { xn } dãy phần tử không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) Ta nói , nghĩa ứng với (i) { xn } dãy hội tụ (trong X ) tồn x ∈ X cho lim xn − x = n →∞ ε > , tồn n0 ∈ ¥ cho xn − x < ε , với n ≥ n0 Khi đó, phần tử x , có, gọi giới hạn dãy { xn } , ký hiệu lim xn = x Ta nói xn → x n → ∞ n →∞ (ii) { xn } dãy Cauchy (trong X ) ứng với ε > , tồn n0 ∈ ¥ cho xm − xn < ε , với m, n ≥ n0 (iii) { xn } dãy bị chặn (trong X ) ảnh nó, {x n n∈¥} tập bị chặn X Chú ý rằng, dãy hội tụ dãy Cauchy dãy Cauchy bị chặn Chiều ngược lại không cho trường hợp tổng quát Định nghĩa 1.1.4 (xem [9, tr 10]) Cho ( X , ⋅ ) không gian định chuẩn f ánh xạ từ tập hợp số nguyên dương ¥ vào X g ánh xạ đồng biến nghiêm cách từ ¥ vào ¥ Đặt xn = f ( n ) yk = f o g ( k ) với n k ¥ Ta gọi { yk } dãy { } dãy { xn } ký hiệu xnk Định nghĩa 1.1.5 (xem [16, tr 10-11]) Cho không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) Ta nói (i) ( X , ⋅ ) đầy đủ dãy Cauchy (ii) ( X , ⋅ ) compact dãy X hội tụ X có dãy hội tụ (trong X ) Định nghĩa 1.1.6 (xem [16, tr 52-53]) Với hai không gian định chuẩn ( X , +, ⋅, ⋅ (X , +, ⋅, ⋅ ) , xét X= ); X × X Ta có X trở thành khơng gian vectơ với phép toán X sinh phép toán X X , ( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) =( x1 + y1 , x2 + y2 ) , α ( x1 , x2 ) = (α x1 ,α x2 ) , với x1 , y1 ∈ X 1; x2 , y2 ∈ X α ∈ ¡ Hơn nữa, hàm ⋅ : X → X xác định = x x1 + x2 2 ,= với x ( x1 , x2 ) ∈ X , trở thành chuẩn X Không gian định chuẩn X nhận gọi không gian định chuẩn tích khơng gian định chuẩn X X ( Tương tự với n không gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅ ) , i = 1, 2, , n , tập X = i X × X × × X n với phép toán hàm chuẩn sau ( x1 , x2 , , xn ) + ( y1 , y2 , , yn ) =( x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) , α ( x1 , x2 , , xn ) = (α x1 , α x2 , , α xn ) , ( x1 , x2 , , x= n) x1 + x2 + + xn 2 n , ( gọi khơng gian định chuẩn tích khơng gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅ i Định nghĩa 1.1.7 (xem [9, tr 10]) Ta nói khơng gian định chuẩn ( X , ⋅ gian Banach dãy Cauchy hội tụ 1.2 Không gian Hilbert (xem [16, tr 155-156) Định nghĩa 1.2.1 Cho H không gian vectơ ¡ Một ánh xạ , : H × H → ¡ ( x, y ) a x, y gọi tích vơ hướng H tính chất sau thỏa, (i) α x + β x ', y = α x, y + β x ', y , với α , β ∈ ¡ ; x, x ', y ∈ H , (ii) x, α y + β y ' = α x, y + β x, y ' , với α , β ∈ ¡ ; x, y, y ' ∈ H , (iii) x, y = y, x , với x, y ∈ H , (iv) x, x ≥ , với x ∈ H x, x = ⇔ x = ) , i = 1, 2, , n ) không ... trình bày tốn khơi phục lớp hàm ngun từ giá T trị chúng tập hợp điểm nguyên Các kết áp dụng để kiểm tra hai T toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: tốn việc giải phương trình truyền nhiệt. .. trình bày số kiến thức bản, ký hiệu, không gian hàm sử dụng Luận văn Trong Chương 2, chúng tơi giới thiệu trình bày sơ lược hàm giải tích, hàm nguyên tính chất quan trọng chúng sử dụng Luận văn. .. 3, chúng tơi trình bày số kết “bài tốn cơng cụ” việc khôi phục hàm Lσ2 Trong Chương 4, chúng tơi trở lại tốn truyền nhiệt áp dụng 0T 0T kết Chương để giải chúng Một thực nghiệm số trình bày Chương