1 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của rất nhiều quý thầy cô Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày[.]
LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập hồn thành luận văn này, tơi nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu nhiều quý thầy Với lịng kính trọng biết ơn sâu sắc, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành tới: Phó giáo sư –Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy kính mến tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hồn thành luận văn thạc sĩ Ban Giám Hiệu, phịng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa cho nhận xét quý báu để hồn chỉnh luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất quý thầy cô Xin chân thánh cảm ơn! Phan Văn Thanh Cảnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ compact 1.2 Bậc Brouwer 1.2.1 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C ( Ω ) ( ) 1.2.2 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C Ω 10 1.3 Bậc Leray-Schauder 13 CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT 17 2.1 Định nghĩa, tính chất 17 2.2 Một số độ đo phi compact 23 2.2.1 Độ đo phi compact Hausdorff không gian l p c0 23 2.2.2 Độ đo phi compact Hausdorff không gian C [ a, b] 24 2.2.3 Độ đo phi compact Hausdorff không gian Lp [ a, b] 26 CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ CÔ ĐẶC 27 3.1 Định nghĩa, tính chất 27 3.2 Bậc tôpô ánh xạ cô đặc .34 3.3 Ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach 38 CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CƠ ĐẶC 43 4.1 Tính chất phổ .43 4.2 Biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc 46 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Phương pháp điểm bất động số phương pháp quan trọng hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm xây dựng nghiệm xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên cho nhiều mơ hình kinh tế, xã hội Lí thuyết điểm bất động hình thành từ đầu kỉ 20, phát triển mạnh kỉ tiếp tục hoàn thiện ngày Định lí Banach điểm bất động ánh xạ co định lí Schauder điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục hai kết tìm sớm định lí quan trọng Lí thuyết điểm bất động Năm 1955, Krasnoselskii kết hợp hai định lí định lí tiếng điểm bất động tổng ánh xạ co ánh xạ hoàn toàn liên tục Cũng thời gian này, Darbo chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact Các ánh xạ co, hoàn toàn liên tục tổng chúng trường hợp riêng ánh xạ đặc, định lí Darbo hợp ba hướng nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ khác hình thức có chất theo quan điểm độ đo phi compact Độ đo phi compact đưa từ năm 1930 nhằm nghiên cứu tốn Tơ pơ đại cương Chỉ sau định lí Darbo tìm độ đo phi compact nhà toán học quan tâm nghiên cứu cách hệ thống Đến Lí thuyết ánh xạ cô đặc theo độ đo phi compact xây dựng hồn chỉnh tìm ứng dụng sâu sắc nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân Giải tích hàm,… Mục tiêu luận văn giới thiệu cách hệ thống tương đối đầy đủ Lí thuyết ánh xạ cô đặc, xây dựng bậc tôpô chúng số ứng dụng ban đầu Nội dung luận văn gồm bốn chương Chương nhắc lại đầy đủ số kiến thức ánh xạ compact, định lí bậc Brouwer định lí bậc Leray Schauder làm tảng việc xây dựng định lí bậc cho ánh xạ k-co theo tập hợp ánh xạ cô đặc Ở chương hai, định nghĩa độ đo phi compact số tính chất chúng Cũng chương giới thiệu số cơng thức để tính độ đo phi compact không gian đặc biệt Trong chương ba, khảo sát ánh xạ cô đặc, ánh xạ cô đặc đếm Khái quát cách đầy đủ định nghĩa tính chất chúng Đặc biệt, định lí điểm bất động ánh xạ cô đặc đếm định lí bậc cho ánh xạ đặc đếm được trình bày với nhiều ứng dụng cho phương trình vi phân thường không gian Banach Cuối cùng, chương bốn giới thiệu ánh xạ tuyến tính đặc theo độ đo phi compact phổ chúng Đặc biệt, chương giúp biểu diễn ánh xạ tuyến tính đặc CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kết sử dụng làm tảng cho việc xây dựng kết luận luận văn ánh xạ compact, bậc Brouwer, bậc Leray Schauder Các kết chương chủ yếu tham khảo [1] [5, chương 1, 2] 1.1 Ánh xạ compact Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian Banach, tập M ⊂ E tập compact với { } dãy {xn }n M chứa dãy xni i x, x ∈ M hội tụ lim x= ni i →∞ Tập M ⊂ E tập hoàn toàn bị chặn với ε > 0, tồn số hữu hạn cầu n mở B1 , B2 , ⋅ ⋅ ⋅, Bn có bán kính ε cho M ⊂ Bi i =1 Tập M tập compact tương đối bao đóng M tập compact Định lý 1.1.2 Cho E khơng gian Banach M ⊂ E Khi đó, M tập compact M đóng hồn tồn bị chặn Định nghĩa 1.1.3 Cho E , F không gian Banach, D tập mở E Ánh xạ f : D → F ánh xạ compact f liên tục ảnh f ( A) tập compact tương đối F A tập bị chặn D Định lý 1.1.4 (Định lý Ascoli-Azela) Cho E không gian Banach M ⊂ C ([ 0, T ] , E ) tập compact tương đối M đẳng liên tục Với t ∈ [ 0, T ]= , M (t ) {x {t} : x (⋅) ∈ M } tập compact tương đối E 1.2 Bậc Brouwer Định lý 1.2.1 (Định lý Stokes) Cho C xích hình hộp kì dị p − chiều chứa tập mở V R n ω dạng vi phân bậc p − V ∫ d ω = C ∫ d ω ∂C Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Sard) Cho Ω tập mở n có đạo hàm liên tục Đặt K= {x ∈ Ω,det f ' ( x =) 0} Khi f ( K ) tập độ đo không n Cho Ω tập mở bị chặn n ϕ : Ω → = n ,ϕ (ϕ1 ,ϕ , ⋅ ⋅ ⋅,ϕ n ) Giả sử ϕ ∈ C ( Ω ) Với x ∈ Ω, đạo hàm ϕ ' ( x ) ánh xạ tuyến tính từ n vào n có ma trận biểu diễn là: ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂x ( x ) ∂x ( x ) ∂ϕ ∂ϕ x ( x) ( ) ∂x ∂ x ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ∂ϕ n ( x ) ∂ϕ n ( x ) ∂x ∂x2 ∂ϕ1 ( x ) ∂xn ∂ϕ ⋅⋅⋅ ( x ) ∂xn ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ∂ϕ n ⋅⋅⋅ ( x ) ∂xn ⋅⋅⋅ Đặt J ϕ ( x ) = det ϕ ' ( x ) gọi Jacobien ϕ x Điểm x0 ∈ Ω điểm ϕ J ϕ ( x0 ) ≠ 0, điểm tới hạn ϕ J ϕ ( x0 ) = Đặt Zϕ= {x ∈ Ω, J ( x =) 0} tập hợp tất điểm tới hạn ϕ ϕ theo bổ đề Sard, ϕ ( Zϕ ) tập độ đo không n Đặc biệt, với r > 0, y ∈ n B ( y , r ) cầu mở n B ( y , r ) \ ϕ ( Zϕ ) ≠ ∅ Điểm y0 ∈ n giá trị ϕ ảnh ngược ϕ −1 ( y0 ) chứa điểm ϕ , giá trị tới hạn ϕ ϕ −1 ( y0 ) chứa điểm tới hạn ϕ Giá f kí hiệu sup pf= {x ∈ Ω, f ( x ) ≠ 0} f : Ω → Một dạng vi phân ω (hay đơn giản dạng) gọi có giá compact hàm hệ số dạng ω có giá compact Ta kí hiệu n − dạng n là: µ f ( y ) dy1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn = f ( y ) dy sup pf compact ∫ µ = ∫ f ( y ) dy ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn n Nếu µ n − dạng n ánh xạ ϕ cảm ứng n − dạng Ω, kí hiệu µ ϕ = f (ϕ ( x ) ) J ϕ ( x ) dx Nếu ω ( n − 1) − dạng thuộc lớp C −1 có giá compact n định lí Stokes ω ∫ d ω = = n ∑ ( −1) g ( y ) dy i −1 i i =1 n ∧d yi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn (dấu ∧ dyi để phải bỏ số hạng dyi ) vi phân ngồi d ω = ∑ i =1 ∂gi dy ∂yi Nếu µ = f ( y ) dy n − dạng n ϕ phép biến đổi với J ϕ ( x0 ) ≠ với x ∈ Ω, từ cơng thức đổi biến tích phân, ta có: = ∫µ f ( y ) dy ∫ f (ϕ ( x ) ) = J ϕ ( x ) dx ∫= n n sgn J ϕ ∫ µ ϕ 1.2.1 Bậc tơpơ trường hợp ϕ ∈ C ( Ω ) Cho Ω tập mở bị chặn n , Ω = Ω ∪ ∂Ω ϕ : Ω → n ,ϕ ∈ C ( Ω ) liên tục Ω Với ϕ −1 ( y0 = ) y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) giá trị ϕ , định lí ánh xạ ngược, tập {x ∈ Ω,ϕ ( x =) } y0 gồm điểm cô lập Ω nên ϕ −1 ( y0 ) chứa hữu hạn phần tử Đặt dy0 = ∑ xi ∈ϕ −1 ( y0 ) sgn J ϕ ( xi ) Nếu ϕ −1 ( y0 ) = ∅ dy0 = Vậy dy0 số nguyên Định nghĩa 1.2.3 Một dạng µ = f ( y ) dy n − dạng thuộc lớp C ∞ có giá chứa lân cận tốt D của= y0, D n \ ϕ ( ∂Ω ) (nghĩa tồn g : D → n thuộc lớp C cho g ( D ) khối lập phương n Một lân cận D tốt y0 luôn tồn tại) ∫ µ = gọi thừa nhận y0 ϕ Với µ dạng thừa nhận được, ta định nghĩa bậc tôpô ϕ tập Ω điểm y0 deg (ϕ , Ω, y0 ) = ∫ µ ϕ Tính hợp lí định nghĩa bậc suy từ bổ đề sau : Bổ đề 1.2.4 Giả sử µ = f ( y ) dy n − dạng thuộc lớp C ∞ n có giá chứa lân cận tốt D ∫ µ = Khi tồn ( n − 1) − dạng ω cho suppω ⊂ D d ω = µ Dưới vài tính chất bậc Mệnh đề 1.2.5 Với y1 đủ gần y0 , y1 ∉ ϕ ( ∂Ω ) deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Chứng minh Gọi D lân cận tốt y0 Với y1 ∈ D µ dạng thừa nhận y0 µ dạng thừa nhận y1 Áp dụng định nghĩa bậc, ta có deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Mệnh đề 1.2.6 Nếu y0 giá trị ϕ = dy0 deg (ϕ , Ω, y0 ) Chứng minh Giả sử ϕ −1= ( y0 ) {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xk } Tồn lân cận N i xi cách k biệt cho ϕ − lân cận Đặt N = ϕ ( N i ) N lân cận y0 i =1 Giả sử µ dạng thừa nhận có giá chứa N , ta có: deg (ϕ , Ω, y0 = ) k k k ∫ µ ϕ= ∑ ∫ µ ϕ= ∑ sgn J ϕ ( x ) ∫ µ= ∑ sgn J ϕ ( x =) d ( y ) i =i i =i = Ni i Chú ý 1.2.7 Do dy0 số nguyên mệnh đề 1.2.5 mệnh đề 1.2.6 suy deg (ϕ , Ω, y0 ) số nguyên Cũng mệnh đề 1.2.5, deg (ϕ , Ω, y0 ) liên tục theo y0 , có giá trị số nguyên nên deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y ) với y nằm thành phần liên thông n \ ϕ ( ∂Ω ) chứa y0 Mệnh đề 1.2.8 (Bất biến đồng luân) Xét họ tham biến ánh xạ ϕ t ( x ) : Ω × [0,1] → n liên tục Ω × [0,1] ϕ t ∈ C ( Ω ) với t ∈ [0,1] Giả sử y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) với t ∈ [ 0,1] deg (ϕ t , Ω, y0 ) khơng phụ thuộc t tập A Chứng minh Do ∂Ω × [ 0,1] tập compact nên = {ϕ ( x ) | x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1]} tập t compact không chứa y0 Vậy tồn lân cận tốt D y0 , A ∩ D = ∅ Khi đó, deg (ϕ t , Ω, y0 ) = ∫ µ ϕt Đây hàm liên tục theo t Do bậc có giá trị nên deg (ϕ t , Ω, y0 ) số ( Ωi )i∈ Mệnh đề 1.2.9 Cho ∞ y0 ∉ ϕ Ω \ Ω i i =1 y0 ) deg (ϕ , Ω,= dãy tập mở cách biệt chứa D deg (ϕ , Ωi , y0 ) bậc trừ số hữu hạn i ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ) i i =1 ∞ Chứng minh Do ϕ Ω \ Ωi tập compact không chứa y0 nên tồn lân cận tốt D i =1 ∞ y0 , D ∩ ϕ Ω \ Ωi = ∅ i =1 Trường hợp y0 điểm ϕ , ϕ −1 ( y0 ) chứa số hữu hạn điểm, ϕ −1 ( y0 ) chứa số hữu hạn Ωi Áp dụng mệnh đề 1.2.6 ta có kết Trường hợp y0 điểm tới hạn ϕ , định lí Sard mệnh đề 1.2.5, với y1 đủ gần y0 , y1 điểm ϕ deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) Mệnh đề 1.2.10 Cho Ω1 , Ω tập mở, bị chặn n , p theo thứ tự ϕ1 : Ω1 → n ,ϕ : Ω → p liên ϕ1 ∈ C ( Ω1 ) ,ϕ ∈ C ( Ω ) tục, y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ ( ∂Ω ) Đặt ϕ1 × ϕ : Ω1 × Ω → n × p định bởi: = ϕ1 × ϕ ( x1 , x2 ) (ϕ ( x ) ,ϕ ( x ) ) , x 1 2 ∈ Ω1 , x2 ∈ Ω Khi đó, deg (ϕ1 ,ϕ , Ω1 × Ω , ( y= deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) × deg (ϕ , Ω , y2 ) , y2 ) ) Chứng minh Giả sử µ1 , µ2 dạng thừa nhận y1 , y2 ϕ1 ,ϕ theo thứ t Khi ú à1 ì à2 (tớch ngoi) l ( n + p ) − dạng thừa nhận ϕ1 × ϕ điểm ( y1 , y2 ) ∫ ( µ , µ ) (ϕ × n × ϕ )= ( ) ∉ ϕ ( Ω ) nên y p n ì × ϕ2 p Mệnh đề 1.2.11 Nếu y0 ∉ ϕ Ω deg (ϕ , Ω, y0 ) = Chứng minh Do y0 giá trị ϕ ϕ −1 ( y0 ) = ∅ nên dy0 = Áp dụng mệnh đề 1.2.6, ta có deg (ϕ , Ω, y0 )= d ( y0 )= ( ) 1.2.2 Bậc tôpô trường hợp ϕ ∈ C Ω Mệnh đề 1.2.12 Cho Ω tập mở, bị chặn n ,ϕ : Ω → n liên tục y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) Khi tồn r > cho với ϕ1 ,ϕ : Ω → n liên tục, ϕ1 ,ϕ ∈ C ( Ω ) ϕ − ϕ i < r, i = 1,2 deg (ϕ1 , Ω, y0= ) deg (ϕ , Ω, y0 ) Ánh xạ ϕ1 ,ϕ gọi C − xấp xỉ ϕ { } Chứng minh = Đặt d y0 − ϕ ( x ) x ∈ ∂Ω r = d r > Với x ∈ ∂Ω, i = 1,2 ta có: d y0 − ϕ i ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ i ( x ) ≥ d − r => Xem đồng luân tϕ1 + (1 − t )ϕ , t ∈ [ 0,1] Với x ∈ ∂Ω, t ∈ [ 0,1] ta có: y0 − tϕ1 ( x ) − (1 − t )ϕ ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − t ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) − (1 − t ) ϕ ( x ) − ϕ ( x ) d ≥d −r = Do tính bất biến đồng luân, ta deg (ϕ1 , Ω, y0= ) deg (ϕ , Ω, y0 ) Định nghĩa 1.2.13 Cho Ω tập mở, bị chặn n ,ϕ : Ω → n liên tục y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) Ta định nghĩa bậc ϕ y0 deg (ϕ1 , Ω, y0 ) ϕ1 C − xấp xỉ ϕ Định lý 1.2.14 Cho Ω tập mở, bị chặn n ,ϕ : Ω → n liên tục y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) bậc deg (ϕ , Ω, y0 ) có giá trị nguyên thỏa mãn tính chất sau: Nếu deg (ϕ , Ω, y0 ) ≠ tồn x0 ∈ Ω cho ϕ ( x0 ) = y0 Nếu y0 , y1 thuộc thành phần liên thông n \ ϕ ( ∂Ω ) deg (ϕ , Ω, y0 = ) deg (ϕ , Ω, y1 ) ∞ Cho ( Ωi )i∈ dãy tập mở cách biệt chứa D y0 ∉ ϕ Ω \ Ωi i =1 deg (ϕ , Ωi , y0 ) = trừ số hữu hạn i deg (ϕ , Ω,= y0 ) ∞ ∑ deg (ϕ , Ω , y ) i =1 Cho Ω1 , Ω tập mở, bị chặn n , p tương ứng, ϕ1 : Ω1 → n ,ϕ : Ω → p y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ ( ∂Ω ) 10 i ... chương ba, khảo sát ánh xạ cô đặc, ánh xạ cô đặc đếm Khái quát cách đầy đủ định nghĩa tính chất chúng Đặc biệt, định lí điểm bất động ánh xạ cô đặc đếm định lí bậc cho ánh xạ đặc đếm được trình... bậc cho ánh xạ k-co theo tập hợp ánh xạ cô đặc Ở chương hai, định nghĩa độ đo phi compact số tính chất chúng Cũng chương giới thiệu số công thức để tính độ đo phi compact khơng gian đặc biệt... 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT 17 2.1 Định nghĩa, tính chất 17 2.2 Một số độ đo phi compact 23 2.2.1 Độ đo phi compact Hausdorff không gian l p c0 23 2.2.2 Độ đo phi compact