Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
6.3 Phươngpháptoántử Laplace
6.3.1 Giới thiệu phương pháp
6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất
6.3.3 Dạng toántử đònh luật mạch
6.3.4 Biến đổi ngược Laplace
6.3.5 p dụng cho bài toán quá độ
6.3.6 PP toántử và bài toán không chỉnh
6.3.7 PP toántử cho thành phần tự do.
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 1
6.3.1 Giới thiệu phương pháp
Bài toán
quá độ
Hệ
PTVP
PTVP
(1)
Nghiệm
xác lập
Nghiệm
tự do
y(t) = y
xl
(t) + y
td
(t)
Phương trình
toán tử (biến s)
u
c
(0
-
)
i
L
(0
-
)
Sơ
kiện
Ảnh Laplace của tín
hiệu cần tìm Y(s)
y(t)
Giải phương
trình đại số
Biến đổi
ngược
Biến đổi
Laplace
Toán tử
trực tiếp
sơ đồ
mạch
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 2
6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất
Hàm trễ 1(t-t
0
) :
Hàm đơn vò 1(t) :
Biến đổi ngược Laplace:
f(t) = £
-1
{F(s)} = hàm gốc của F(s)
(Dùng bảng tra gốc ảnh &đònh lý
Heavyside )
Biến đổi Laplace:
F(s) = £{f(t)} = ảnh Laplace của
f(t)
(Dùng bảng tra gốc ảnh)
0
() ()
st
Fs f te dt
f
³
1
() ()
2
j
st
j
f
tFseds
j
VZ
VZ
S
³
1:0
1( )
0:0
khi t
t
khi t
l!
®
l
¯
0
0
0
1:
1( )
0:
khi t t
tt
khi t t
l!
®
l
¯
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 3
Các hàm cơ bản và ảnh Laplace
Hàm xung Dirac (impulse
func.)
G
(t) và hàm trễ của nó:
Ta có :
Và :
£{
G
(t)} = 1 ; £{
G
’(t)} = s …
0:0
()
:0
khi t
t
khi t
G
lz
®
fl
¯
0
0
0
0:
()
:
khi t t
tt
khi t t
G
lz
®
fl
¯
1( )
()
dt
t
dt
G
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 4
Baỷng tớnh chaỏt cuỷa bieỏn ủoồi Laplace
1. Ê{f(t).1(t)} = Ê{f(t)}
2. Ê{f
1
(t)
r
f
2
(t)} = F
1
(s)
r
F
2
(s)
3. Ê{k.f(t)} = k.F(s)
4. Ê{e
-at
f(t)} = F(s+a)
5. Ê{t.f(t)} =
6. Ê{f(t-t
0
).1(t-t
0
)} = F(s).e
-st0
7. Ê{df(t)/dt} = sF(s)- f(0
-
)
8. Ê
9.
10.
()dF s
ds
0
()
{()}
t
F
s
ftdt
s
0
lim ( ) (0 ) lim[ . ( )]
s
t
f
t
f
sF s
of
o
0
lim ( ) ( ) lim[ . ( )]
ts
ft f sFs
of o
f
%ơ,*,1*0é10&+,1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&QJ Trang 5
Xaực ủũnh aỷnh Laplace cuỷa caực haứm
1. f(t) = 1(t)
F(s) = 1/s
2. f(t) = 1(t t
0
)
3. f(t) = E (nguon DC)
F(s) = E/s
4. f(t) = E.e
-at
F(s) = E/(s+a)
5. f(t) = E.1(t-t
0
)
F(s) = (E/s).e
-st
0
6. f(t) = Asin(
Z
t)
7. f(t) = Asin(
Z
t +
M
) (nguon ACừ)
8. f(t) = At + B
F(s) = A/s
2
+ B/s
0
1
()
s
t
Fs e
s
22 22
() cos( ) sin( )
s
Fs A
ss
Z
M
M
ZZ
ê
ôằ
ơẳ
22
()Fs A
s
Z
Z
%ơ,*,1*0é10&+,1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&QJ Trang 6
Ảnh Laplace của các hàm xung
9. Do f(t) = E[1(t) – 1(t - T)]
10. Biến đổi :
E
f(t) = E[1(t) - 1(t - T)]
t
0
T
E
0
T
t
f(t) = (Et/T)[1(t) - 1(t - T)]
() 1
s
T
E
Fs e
s
( ) .1( ) ( ).1( ) .1( )
EE
f
ttt tTtTEtT
TT
2
1
() 1
s
TsT
EE
F
see
Ts s
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 7
6.3.3 Dạng toántử các luật của mạch
1. Luật Ohm dạng toántử :
a) Điện trở: Ởmiền s , giữ
nguyên là điện trở
b) Điện cảm: hai sơ đồ
sL = cảm kháng toántử (
:
)
c) Tụ điện : Hai sơ đồ
1/sC = dung kháng toán tử
(
:
)
R R
C
1/sC
+
_
+
_
sC
+-
I
R
(s)
+-
U
R
(s)
L
i
L
(t)
u
C
(t)
sL
Li
L
(0
-
)
i
L
(0
-
)/s
I
L
(s)
1/sL
u
C
(0
-
)/s
+
-
U
C
(s)
C.u
C
(0
-
)
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 8
Luật Ohm dạng toántử (tiếp theo)
d) Hỗ cảm :
sM = cảm kháng hỗ cảm toán
tử (
:
)
e) Nguồn : chỉ thay thế bằng
ảnh Laplace tương ứng.
f) Các phần tử khác không đổi.
+
_
+
_
e(t)
j(t)
E(s)
J(s)
+
_
+
_
+
_
+
_
L
1
L
2
sL
1
sL
2
M
**
**
sM
i
1
(t) i
2
(t)
I
1
(s) I
2
(s)
L
2
i
2
(0
-
)L
1
i
1
(0
-
)
Mi
2
(0
-
)Mi
1
(0
-
)
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 9
Luật Ohm dạng toántử (tiếp theo)
Trên một nhánh bất kỳ của sơ
đồ toántử , ta có :
U(s) = Z(s).I(s)
Hay:
I(s) = Y(s).I(s)
Z(s) = trở kháng toántử (
:
)
Y(s) = dẫn nạp toántử (S)
Z(s) và Y(s) đều tuân theo các
phép biến đổi tương đương như
điện trở và điện dẫn.
2
1/0,5s
I(s)
U(s)
+
-
Z(s)
Z(s)
=
0,5s
Z(s) = 0,5s+(2/0,5s)/(2+1/0,5s)
= 0,5s+2/(s+1)
aa
bb
%¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1%
http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 10
[...]... http://www.khvt.com Trang 29 6.3.6 PhươngPháptoántử và bài toán không chỉnh Bài toán không chỉnh khi sơ kiện độc lập không thỏa luật đóng mở Do thay đổi được cận dưới của biến đổi Laplace, quá trình biến thiên đột ngột của iL(t) và uC(t) tại t = 0 đương nhiên thỏa mãn phươngpháptoántử Do đó không cần tách riêng hiện tượng này khi giải Với PP toántử , các bài toán không chỉnh là các bài toán xuất hiện các hàm... s Biến đổi ngược: K1,2 = 4 ; K1,1 = -1; K3 = 1 i(t) = (-1 + 4t)e-4t + 1 (A) http://www.khvt.com Trang 18 Phươngpháptoántử : Ví dụ 3 Cho mạch như hình bên, biết iL(0-) = 0 và uC(0-) = 0 ; xác đònh u(t) tại t > 0 theo phươngpháptoántửLaplace ? Giải Sơ đồ toántử như hình bên p dụng phươngpháp dòng mắc lưới : 4 s s 2 http://www.khvt.com s 1 I 2 (s) s 12 s Trang 19 Ví dụ 3 (tiếp theo) Có : I2 (s)... 27 Phươngpháptoántử : Ví dụ 7 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Sơ đồ toántử : như hình bên U(s) = - I(s) Ztđ , Với Ztđ = (2 // 8/s) = 8 / ( s + 4) Mà I(s) = (1/s)/4 , như vậy : U (s) 2 s ( s 4) 0, 5 s 0, 5 s 4 Vậy u(t) = [ - 0,5 + 0,5e-4t ].1(t) V http://www.khvt.com Trang 28 Phương pháptoántử : Ví dụ 8 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Sơ đồ toán tử. .. đònh ảnh Laplace của tác động và của tín hiệu cần tìm p dụng các phươngpháp phân tích mạch để xác đònh ảnh Laplace Y(s) của tín hiệu cần tìm (P2 bđtđ; P2 dòng nhánh; P2 thế nút; P2 dòng mắc lưới …) Biến đổi ngược Laplace tìm y(t) từ Y(s) http://www.khvt.com Trang 15 Phương pháptoántử : Ví dụ 1 Khóa K mở ra tại t = 0 , tìm áp u(t) khi t > 0 ? Giải Khi t < 0 : Ta có uC(0-) = 4 (V) Sơ đồ toántử như... Luật Kirchhoff dạng toántử Luật K1 : I k (s) 0 U k (s) 0 node Luật K2 : loop Việc xét dấu như đối với mạch điện trở Do các luật Ohm và Kirchhoff viết cho mạch toántử cũng tương tự viết cho mạch phức nên ta có thể áp dụng các phươngpháp phân tích mạch xác lập đã học cho sơ đồ toántử khi tìm ảnh Laplace bất kỳ http://www.khvt.com Trang 11 6.3.4 Biến đổi ngược Laplace Rút gọn ảnh Laplace Y(s) về phân... đồ toán tử: I 2 (s) 0,01s 100 100 * 0,01.1+ 0,005.1 Vậy: i2 (t ) 1,5.e u ab (t ) 104 t * 0,01s 1(t ) A 0, 0075 (t ) 225.e I2(s) 0,01s _ 10 4 t 1(t )V 0,01.1+ 0,005.1 100 + U ab (s) 225 0,0075 (s 104 ) 0,005s b http://www.khvt.com Trang 35 6.3.7 Phương Pháptoántử cho thành phần tự do Do tồn tại nguồn AC ở t > 0 , ảnh Laplace Y(s) sẽ rất phức tạp , khó tìm gốc Do đó người ta áp dụng phươngpháp toán. .. hình bên Tìm U(s) bằng thế nút 8/3 U (s) s 0, 5 1 Và : 8 t 1 u(t) L U(s) http://www.khvt.com 3 e2 Trang 16 Phương pháptoántử : Ví dụ 2 Cho mạch điện như hình bên , khóa K đóng lại tại t = 0 , biết iL(0-) = 0 và uC(0-) = 0 , xác đònh i(t) khi t > 0 ? Giải Sơ đồ toántử như hình bên p dụng phươngpháp dòng mắc lưới : 8 4 I (s) 6 s s s http://www.khvt.com 8 2 0,5U(s) s Trang 17 Ví dụ 2 (tiếp theo) Mà... 1,2 U (s) K 1, 2 s 24 8s) 1 s K 1 ,1 2 1 s 1 16 d(24 8s) K1,1 8 ds s 1 Vậy: u(t) = [(16t + 8)e-t].1(t) V http://www.khvt.com Trang 20 Phương pháptoántử : Ví dụ 4 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Khi t < 0 : iL(0-) = 1 A và uC(0-) = 1 V Sơ đồ toántử và thế nút: 1 4 1 2 1 s s s 1 s 1 2 1 1 2 2 http://www.khvt.com Trang 21 Ví dụ 4 (tiếp theo) (2 s 1) 2 s 1 (s 1 3 2 2) 2 2 1 2s 1... B ( s1 ) A '( s1 ) 0, 5 3 4 j 7 4 2s 7 4s 3 j2 u(t) 4,26e 2,13 0,75t http://www.khvt.com 3 6 j 7 14 j2 7 6 s1 76, 5o 7 t 76,5o cos 4 Trang 22 Phươngpháptoántử : Ví dụ 5 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Khi t < 0 : iL(0-) = 0 Sơ đồ toántử : như hình bên E e(t ) t 1(t ) 1(t T ) T E 1 E (s) 1 e sT T s2 http://www.khvt.com E E t.1(t ) (t T )1(t T ) E.1(t T ) T T E sT e s Trang... t T T Ee 1( t t T 1( t ) E (t T T) E Ee t T T 1( t T) T) t T u (t ) E t E Ee ;(0 t T ) T t T Ee ;(t T ) http://www.khvt.com Trang 25 Phươngpháptoántử : Ví dụ 6 Cho mạch như hình bên, xác đònh u(t) tại t > 0 ? Giải Khi t < 0 : iL1(0-) = 2 A ; iL2(0-) = 0 Sơ đồ toántử : như hình bên Lưu ý : L1iL1(0+) = 4 MiL1(0+) = 2 http://www.khvt.com Trang 26 Ví dụ 6 (tiếp theo) Tìm U(s) : Dùng dòng mắc lưới I1 . 6.3 Phương pháp toán tử Laplace 6.3.1 Giới thiệu phương pháp 6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất 6.3.3 Dạng toán tử đònh luật mạch 6.3.4 Biến đổi ngược Laplace 6.3.5 p dụng cho bài toán quá. Trang 18 Phương pháp toán tử : Ví dụ 3 Cho mạch như hình bên, biết i L (0 - ) = 0 và u C (0 - ) = 0 ; xác đònh u(t) tại t > 0 theo phương pháp toán tử Laplace ? Giải Sơ đồ toán tử như. y xl (t) + y td (t) Phương trình toán tử (biến s) u c (0 - ) i L (0 - ) Sơ kiện Ảnh Laplace của tín hiệu cần tìm Y(s) y(t) Giải phương trình đại số Biến đổi ngược Biến đổi Laplace Toán tử trực tiếp sơ