Tài liệu Phương pháp toán tử Laplace tính quá trình quá độ mạch tuyến tính hệ số hằng docx

Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 83 CHỈÅNG 16 PHỈÅNG PHẠP TOẠN TỈÍ LAPLACE TÊNH QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ MẢCH TUÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀỊNG §1. Phẹp biãún âäøi Laplace I. Phẹp biãún âäøi Laplace thûn Nãúu hm f(t) hm biãún thỉûc tha mn âiãưu kiãûn Âiriclet thç : )p(Fdte)t(f 0 pt = ∫ ∞ − häüi tủ (16 -1) Hm f(t) nhỉ váûy gi l hm gäúc. Cạc phẹp tênh lãn hm gäúc l âảo hm, têch phán, phán bäú trong khäng gian gäúc l hãû phỉång trçnh vi phán theo t. Hm F(p) gi l hm nh Laplace ca gäúc f(t), F(p) l hm biãún phỉïc trong âọ p = α + jω. Váûy phẹp biãún âäøi Laplace thûn chuøn (ạnh xả) hm gäúc thỉûc f(t) thnh hm nh F(p) biãún phỉïc, phán bäú trong khäng gian nh, tỉïc l ta cọ quan hãû dọng âäi : f(t) ↔ F(p) Biãún âäøi Laplace (16 -1) l biãún âäøi mäüt phêa, nh ca nọ khäng phủ thüc vo hm f(t) åí t < 0. II. Phẹp biãún âäøi Laplace ngỉåüc : Cọ cäng thỉïc Rieman - Mellin âãø tçm hm gäúc f(t) theo hm nh F(p) nhỉ sau : ∫ ω+α ω−α π = j j pt dpe)p(F j2 1 )t(f (16 -2) cäng thỉïc (16 -2) gi l phẹp biãún âäøi Laplace ngỉåüc. III. Cạc âënh l, tênh cháút cå bn ca phẹp biãún âäøi Laplace. Cạc âënh l nh gäúc : 1. Tênh cháút tuún tênh : nh ca täø håüp tuún tênh cạc hm f k (t) cng l mäüt täø håüp tuún tênh ca cạc nh F k (p) : , )2,1k,säúhàòngla(,)p(Fa)t(fa )p(F)t( f k k kk k kk kk =↔ ↔ ∑∑ 2. nh Laplace ca âảo hm hm gäúc : [][ ] [] ?) t (' f )0( f ) t (?) t (' f ) t (1)0( f ') t (1?') t ( f ) t (1') t ( f ↔+ δ ↔ + ↔= Tçm nh Laplace ca ) t (δ : ⎩ ⎨ ⎧ ≠ =δ =δδ=↔δ − ∞ − ∫ 0tkhi0 0 t khi) t ( )t(evçdt)t(e)p(F)t( pt 0 pt nãn : . Váûy nh Laplace ca 1dt)t(dt)t(e 00 pt =δ=δ ∫∫ ∞∞ − ) t ( δ l 1. Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 84 ) t ( 1 nón coù ) t ( .f(0) f(0) Tỗm aớnh Laplace cuớa [] === 0 pt 0 pt )t(fdedte dt ) t (df )p( dt ) t (df )t('f Duỡng phổồng phaùp phỏn õoaỷn õóứ thổỷc hióỷn tờch phỏn trón : [] )t(fvvaỡ,dtpeducoùnón ) t ( f ddvcoỡn,euỷ t pt p t == == thay vaỡo bióứu thổùc tờch phỏn ta õổồỹc : )p(pFdt)t(fepdt)t(fpe:coỡn )0(f0)t(fe,dt)t(fpe)t(fevduuvudv 0 pt 0 pt 0 pt 0 pt 0 pt 0 0 0 == =+== ổồỹc aớnh Laplace cuớa õaỷo haỡm haỡm gọỳc : )0( f ) p ( p F) p ( = (16 -3) Phaùt bióứu laỡ : Anh cuớa õaỷo haỡm haỷng 1 lón gọỳc bũng tờch p vồùi aớnh haỡm gọỳc õoù trổỡ õi sồ kióỷn cuớa gọỳc (giọỳng aớnh phổùc cuớa õaỷo haỡm haỡm õióửu hoỡa bũng tờch j vồùi aớnh phổùc haỡm õióửu hoỡa naỡo õoù; coù khaùc laỡ aớnh phổùc gừn vồùi baỡi toaùn xaùc lỏỷp hỗnh sin nón khọng quan tỏm õóỳn sồ kióỷn). Coù thóứ noùi pheùp õaỷo haỡm lón gọỳc doùng õọi vồùi pheùp nhỏn vồùi p aớnh cuớa gọỳc õoù trổỡ õi sồ kióỷn : [] )0( f )p(pF') t ( f (16 -4) [] )0(' f )0(pf)p(Fp")t( f 2 (16 -5) (16 -6) [] )0(f )0("fp)0('fp)0(fp)p(Fp)t(f 1n3n2n1nn n Chổùng minh õổồỹc : f(0) = f(-0) nón coù Nón : [] )0( f )p(pF') t ( f (16 -4a) [] )0(' f )0(pf)p(Fp")t( f 2 + (16 -5a) Tổỡ cọng thổùc thỏỳy sồ kióỷn baỡi toaùn coù trong aớnh cuớa õaỷo haỡm gọỳc, tổùc laỡ thọng tin vóử sồ kióỷn coù trong aớnh cuớa õaỷo haỡm vaỡ vỗ chố cỏửn f(-0) nón khọng phỏn bióỷt baỡi toaùn chốnh hay khọng chốnh khi giaới quaù trỗnh quaù õọỹ bũng phổồng phaùp toaùn tổớ. Khi õióửu kióỷn õỏửu bũng 0 thỗ coù : ( ) [ ] ) p ( p F' t f (16 -7) Vỏỷy muọỳn xaùc õởnh aớnh cuớa õaỷo haỡm gọỳc cỏửn phaới tờnh sồ kióỷn cuớa baỡi toaùn. 3. Anh cuớa tờch phỏn gọỳc : p )p(F )p(nón)p(p)p(Fdt)t(f dt d )t(fmaỡ )p()t(f ) p (F) t ( f t 0 t 0 == = Vỏỷy : p )p(F dt)t(f t 0 (16 -8) Ta coù aớnh cuớa tờch phỏn haỡm gọỳc bũng aớnh cuớa gọỳc õoù chia cho p, hay pheùp tờch phỏn lón gọỳc (ổùng) doùng õọi vồùi pheùp chia aớnh cuớa haỡm gọỳc õoù cho p. Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 85 4. ởnh lyù dởch gọỳc (chỏỷm tróự) : ổồỹc mọ taớ bũng bióứu thổùc (16 -9) : ) p (Fe)t( f ).t(1 p (16 -9) Pheùp dởch gọỳc thồỡi gian ổùng vồùi pheùp nhỏn e -p. lón aớnh. 5. ởnh lyù dởch aớnh : ổồỹc bióứu dióựn bũng bióứu thổùc (16 -10) : )p(F)t( f e)t(1 t m (16 -10) Pheùp nhỏn lón gọỳc ổùng vồùi pheùp dởch aớnh mọỹt õoaỷn lón mỷt phúng phổùc. t e m 6. ởnh lyù õọửng daỷng : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -11) : a p F a 1 )at(f)t(1 (16 -11) 7. ởnh lyù tờch xóỳp : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -12) : (16 -12) )p(F).p(Ff*fd)t(f)t(f 2121 t 0 21 = 8. ởnh lyù õaỷo haỡm aớnh : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -13) : )t(f)t()p(F dp d ), ,t(f)t()p(F dp d n n n (16 -13) 9. ởnh lyù tờch phỏn aớnh : Mọ taớ bồới bióứu thổùc (16 -14) : t )t( f dp)p(F 0 (16 -14) 10. ởnh lyù vóử caùc giaù trở bồỡ : Giaù trở ồớ t = 0, t = )p(pFlim)t(flim ) p (pFlim)t( f lim 0pt p0t = = (16 -15) IV. Caùc daỷng aớnh - gọỳc thổồỡng gỷp : 1. 1) t ( 2. p 1 dt)t()t(1 t 0 (aùp duỷng õởnh lyù tờch phỏn gọỳc) 3. ap 1 e).t(1e t.at.a = (aùp duỷng õởnh lyù dởch aớnh) 4. ap 1 e).t(1e t.at.a + = 5. k k t.p k pp A eA k (daỷng aớnh - gọỳc rỏỳt hay gỷp) 6. 22 p p tcos + 7. 22 p tsin + Tổỡ : + jp 1 evaỡ jp 1 e tjtj Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 86 Coù : [] 22 tjtj p p jp 1 jp 1 2 1 ee 2 1 tcos + = + + += Vaỡ : 22 pjp 1 jp 1 j2 1 tsin + = + 8. 32 t 0 2 2 t 0 p 2 p.p 2 tdt2t, p 1 p.p 1 dt)t(1t ==== 1n t.an 3 t.a2 2 at 1n n 4 3 )ap( !n et; )ap( 2 et )ap( 1 e.t p !n t, , p 3.2 t + + + + + 9. 1n atn )ap( 1 !n et + + 10. n 1 t.a 1 n 1 )ap( A e )!1n( t. A + 11. p E E)t(1E = 12. E) t (.E 13. 2 0 2 0 0 p cossinp )tsin( + + + 14. 2 0 2 0 0 p cossinp )tcos( + + 15. 22 t.a )ap( tsine ++ 16. 22 t.a )ap( p tcose ++ V. Tinh thỏửn phổồng phaùp toaùn tổớ Laplace giaới baỡi toaùn quaù trỗnh quaù õọỹ : Thổỷc chỏỳt vióỷc giaới quaù trỗnh quaù õọỹ laỡ giaới hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn cho thoớa maợn sồ kióỷn. Thay vỗ giaới phổồng trỗnh vi phỏn cho thoớa maợn sồ kióỷn ta vỏỷn duỷng caùc tờnh chỏỳt cuớa pheùp bióỳn õọứi Laplace õóứ chuyóứn hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn thaỡnh hóỷ phổồng trỗnh õaỷi sọỳ vồùi aớnh toaùn tổớ coù chổùa sồ kióỷn rọửi giaới hóỷ phổồng trỗnh õaỷi sọỳ naỡy bũng caùc phổồng phaùp õaợ hoỹc ồớ CSKT I õóứ cho ra nghióỷm aớnh quaù trỗnh quaù õọỹ F(p). thọng thổồỡng ta hay xeùt tờnh chỏỳt, daùng õióỷu cuớa nghióỷm qua phỏn bọỳ thồỡi gian vỗ vỏỷy cỏửn bióỳn õọứi ngổồỹc laỷi tổỡ nghióỷm aớnh vổỡa giaới ra thaỡnh nghióỷm gọỳc F(p) f(t). Vỏỷy theo phổồng phaùp toaùn tổớ Laplace giaới QTQ ta phaới giaới quyóỳt caùc vióỷc sau : Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn 1. Chuyóứn tổỡ gọỳc sang aớnh : gọửm chuyóứn caùc kờch thờch e(t), j(t) vaỡ hóỷ phổồng trỗnh vi phỏn mọ taớ QTQ vồùi sồ kióỷn thaỡnh caùc aớnh Laplace E(p), J(p) vaỡ hóỷ phổồng trỗnh õaỷi sọỳ vồùi bióỳn toaùn tổớ coù chổùa sồ kióỷn. Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 87 2. Gii hãû phỉång trçnh âải säú våïi biãún toạn tỉí âỉåüc nghiãûm nh F(p). 3. Tỉì nghiãûm nh F(p) tçm nghiãûm gäúc f(t) âãø xẹt tênh cháút nghiãûm. Trãn thỉûc tãú cng cọ trỉåìng håüp u cáưu thäng tin khäng nhiãưu, cọ thãø nháûn biãút qua phán bäú F(p) thç khäng nháút thiãút phi tçm f(t). Váûy våïi phỉång phạp toạn tỉí Laplace l gii quút váún âãư gäúc → nh v ngỉåüc lải nh → gäúc. Váún âãư nh → gäúc l ráút quan trng, nọ l kháu khọ khàn nháút, khäng gii quút âỉåüc váún âãư ny thç phỉång phạp toạn tỉí Laplace báút lỉûc. VI. Cạch tçm gäúc theo nh Laplace Cọ 3 phỉång phạp âãø tçm nghiãûm gäúc theo nghiãûm nh Laplace 1. Thỉûc hiãûn phẹp têch phán ngỉåüc (Riman - Mellen) : ∫ ∞+ ∞− π = j a ja pt dpe)p(F j2 1 )t(f Viãûc sỉí dủng trỉûc tiãúp cäng thỉïc ny âãø xạc âënh hm gäúc f(t) theo hm nh F(p) nọi chung khäng dãù dng cho nãn trong thỉûc tãú k thût âiãûn hay dng 2 phỉång phạp sau âáy : 2. Tra bng nh gäúc (cọ åí cạc cáøm nang toạn, cáøm nang KTÂ) Theo phỉång phạp ny ta phi cọ bng nh - gäúc (xem pháưn phủ lủc) 3. Dng cäng thỉïc khai triãøn Hãvisaid (âënh l phán têch) Trong trỉåìng håüp thäng thỉåìng ta cọ nghiãûm nh Laplace F(p) l mäüt phán thỉïc hỉỵu tè biãún p, hãû säú thỉûc v báûc ca tỉí säú nh hån báûc ca máùu säú(m < n) dảng rụt gn nhỉ : )p(F ) p (F apa papa b p b pbpb )p(F n m 01 1n 1n n n 01 1m 1m m m = ++++ ++++ = − − − − (16 -16) Vç F(p) l mäüt phán thỉïc hỉỵu tè nãn bàòng cạch phán têch phán thỉïc hỉỵu tè thnh täøng cạc phán thỉïc täúi gin m mäùi phán thỉïc täúi gin dãù dng tçm âỉåüc gäúc tỉång ỉïng v nhỉ váûy s xạc âënh âỉåüc gäúc ỉïng våïi phán thỉïc hỉỵu tè. Âãø phán têch phán thỉïc hỉỵu tè (16 -16) thnh cạc phán thỉïc täúi gin cáưn gii nghiãûm ca âa thỉïc máùu F n (p) = 0, âỉåüc gi l cạc âiãøm cỉûc. Trong trỉåìng håüp âa thỉïc cọ báûc låïn hån 2 thç viãûc tçm cạc âiãøm cỉûc ráút khọ khàn. Âáy chênh l hản chãú ca phỉång phạp toạn tỉí. Dỉåïi âáy dáùn ra cäng thỉïc tçm gäúc cho ba trỉåìng håüp thäng thỉåìng ca cạc âiãøm cỉûc gii tỉì F n (p) = 0 a. Trỉåìng håüp F n (p) = 0 cọ n nghiãûm thỉûc, âån : p 1 , p 2 , , p k thç : ∑ − = − ++ − + − == k k k k k 2 2 1 1 n m pp A pp A pp A pp A )p(F ) p (F )p(F (16 -17) Tỉì phán thỉïc nh täúi gin k k pp A − suy ra gäúc tp k k e A (âënh l nh - gäúc) Nãn nh ca F(p) = ∑∑ +++=↔ − kk tp k tp 2 tp 1 tp k k k k21k eA eAeAeA pp A (16 -18) Cáưn phi xạc âënh A k (gäưm A 1 , A 2 , , A k ) v våïi p k â cọ khi gii F n (p) = 0, ta làõp âỉåüc gäúc tp k k e A . Cọ thãø xạc âënh A k bàòng phỉång phạp cán bàòng hãû säú báút âënh. Song ta cọ thãø bàòng cäng thỉïc sau âáy : Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 88 Ta nhỏn 2 vóỳ phổồng trỗnh (16 -17) vồùi (p - p k ) rọửi cho p tióỳn õóỳn p k : k kk 2 k2 1 k1 k n m pp )p p ( A pp ) p p ( A pp ) p p( A )pp( )p(F )p(F ++ + = Khi cho p p k ồớ vóỳ phaới chố coỡn sọỳ haỷng cuọỳi bũng A k coỡn caùc sọỳ haỷng trổồùc õóửu bũng 0. Nón õổồỹc : 0 0 lim)pp( )p(F ) p (F limA k n m ppk k == (daỷng vọ õởnh 0/0) vỗ p k laỡ nghióỷm cuớa F n (p) = 0 nón cho p p k thỗ F n (p) = 0 vaỡ p - p k = 0. Duỡng quy từc Lopital õóứ khổớ daỷng vọ õởnh ta coù : [] )p('F )p(F )p('F )p(F limA )p('F )p(F) p p ).( p ('F lim )p('F ') p p)(p(F limA kn km n m ppk n mkm pp n km ppk k kk == + = = (16 -19) Tổồng tổỷ : , )p('F )p(F )p('F ) p (F limA, )p('F ) p (F )p('F )p(F limA 2n 2m n m pp2 1n 1m n m pp1 21 ==== Vỏỷy khi F n (p) = 0 coù caùc nghióỷm õồn p 1 , p 2 , , p k thỗ )p(F )p(F )p(F n m = coù gọỳc laỡ : tp kn km tp 2n 2m tp 1n 1m k21 e )p('F ) p (F e )p('F ) p (F e )p('F ) p (F )t(f +++= (16 -20) b. Khi F 2 (p) = 0 coù nghióỷm phổùc lión hồỹp : p k = - j 0 ta coi nhổ hai nghióỷm õồn : p k = - + j 0 vaỡ p * k = - - j 0 . Aùp duỷng cọng thổùc trổồỡng hồỹp trón cho hai nghióỷm p k vaỡ ta xaùc õởnh õổồỹc gọỳc theo daỷng (16 -20) : k p t.p kn km tp kn km n m kk e )p('F ) p (F e )p('F )p(F )p(F ) p (F )p(F += Vỗ p k vaỡ p * k laỡ lión hồỹp phổùc vồùi nhau nón : =+ t.p kn km t.p kn km tp kn km kkk e )p('F ) p (F Re2e )p('F )p(F e )p('F )p(F Vỗ coù : == j kk kn km eAA )p('F ) p (F nón õổồỹc : [] () [] ()() [] {} () +=+++ === + t.coseA2t.sinjt.coseARe2 eeARe2e.eeARe2e )p('F )p(F Re2 0 t k00 t k tj t k tj tj k t.p kn km 00k Vỏỷy khi F n (p) = 0 coù nghióỷm phổùc lión hồỹp : p k = - j 0 thỗ coù gọỳc f(t) laỡ : ( ) += t .cose A 2) t ( f )p(F 0 t k (16 -21) c. Khi F 2 (p) = 0 coù nghióỷm bọỹi : p k bọỹi r. Luùc naỡy phỏn tờch )p(F )p(F n m thaỡnh caùc sọỳ haỷng tọỳi giaớn sau õỏy : Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang 89 r k kr 1r k 1kr 2r k 2kr 2 k 2k k 1k n m )pp( A )pp( A )pp( A )pp( A )pp( A )p(F )p(F + + ++ + = (16 -22) Ta õaợ coù daỷng aớnh - gọỳc : t.p 1r kr r k kr k e.t )!1r( A )pp( A ; () t.p 2k 2 k 2k t.p 1k k 1k kk e.tA pp A ;eA pp A Cỏửn phaới xaùc õởnh A kr . Ta nhỏn 2 vóỳ (16 -22) vồùi (p - p k ) r rọửi cho p p k ta õổồỹc bióứu thổùc (16 -23) nhổ sau : kr 1r k r k1kr 2r k r k2kr 2 k r k2k k r k1k r k n m A )pp( )pp( A )pp( ) p p ( A )pp( ) p p ( A )pp( )pp( A )pp( )p(F )p(F + + ++ + = krk1kr 2 k2kr 2r k2k 1r k1k r k n m A)pp(A)pp.(A)pp.(A)pp.(A)pp( )p(F )p(F ++++= Cho p p k vóỳ phaới chố coỡn A kr coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc bũng 0 nón ta coù : r k n m ppkr )pp( )p(F )p(F limA k = (16 -24) óứ xaùc õởnh A kr-1 , ta õaỷo haỡm caớ 2 vóỳ phổồng trỗnh (16 -23) theo p, ta coù : 0A)pp(2.A )pp)(2r(A)pp)(1r(A)pp( )p(F )p(F 1krk2kr 3r k2k 2r k1k / r k n m +++ +++= (16 -25) Cho p p 1 , vóỳ phaới cuớa bióứu thổùc (16 -25) chố coỡn A kr-1 , coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc bũng 0 nón ta coù : = r k n m pp1kr )pp( )p(F ) p (F dp d limA k (16 -26) óứ xaùc õởnh A kr-2 ta õaỷo haỡm caớ 2 vóỳ cuớa (16 -25) theo p ta coù : 02.A)pp.(2.3.A )pp)(3r)(2r(A )pp)(2r)(1r(A)pp( )p(F )p(F 2krk3kr 4r k2k 3r k1k / r k n m ++++ += (16 -27) Cho p p 1 , vóỳ phaới cuớa bióứu thổùc (16 -27) chố coỡn 2.A kr-1 , coỡn caùc sọỳ haỷng khaùc bũng 0 nón ta coù : = r k n m 2 2 pp2kr )pp( )p(F ) p (F dp d 2 1 limA k (16 -28) óứ xaùc õởnh A kr-3 ta õaỷo haỡm tióỳp phổồng trỗnh (16 -27) theo p ta coù : = r k n m 3 3 pp3kr )pp( )p(F ) p (F dp d . !3 1 limA k (16 -29) cổù nhổ vỏỷy tỗm caùc hóỷ sọỳ tióỳp theo cho õóỳn : = r k n m 1r 1r pp1k )pp( )p(F ) p (F dp d . )!1r( 1 limA k (16 -30) Sau khi coù caùc A kr rọửi ta xaùc õởnh gọỳc laỡ : Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 90 Vç t.p 1r lr r 1 lr 1 e.t )!1r( A )pp( A − − ↔ − nãn khi F n (p) cọ nghiãûm bäüi r thç gäúc thåìi gian l : t.p 1r kr 2 3k2k 1k t.p 1r kr t.p 2 3k t.p 2k t.p 1k k kkkk et )!1r( A t !2 A t !1 A A et )!1r( A et !2 A e.t !1 A e !0 A )t(f ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ++++= − ++++= − − (16 -31) Ta thỉåìng gàûp F n (p) báûc 2 nãn F n (p) = 0 cọ thãø cọ nghiãûm kẹp p k (bäüi r = 2). Lục ny nghiãûm nh l () 2 k 22 k 21 2 1 pp A pp A )p(F )p(F )p(F − + − == Tênh âỉåüc : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −=−−= →→ 2 k 2 1 pp 21 2 k 2 1 pp 22 )pp( )p(F ) p (F dp d limAv)3216()pp( )p(F )p(F limA kk (16 -33) Suy ra hm gäúc : ( tp 2221 k e ) t A A ) t ( f += (16 -34) Vê dủ 1 : Cọ dng âiãûn nh 2 )3p(p )2 p ( )p(I + + = xạc âënh gäúc i(t) ? 3pkẹpnghiãûmv a ì,0 p âå n nghiãûm0)3 p (p)p(F 3,21 2 3 −==→=+= )3p(p2)3p()p('F 2 3 +++= - Khi F 2 (p) = 0 cọ nghiãûm âån p 1 = 0 tỉång ỉïng cọ gäúc dảng:A 1 e pt = A 1 e 0.t = A 1 Xạc âënh 9 2 )3p(p2)3p( 2 p lim )p('F ) p (F limA 2 0p 2 1 0p1 = +++ + == →→ - Khi F 2 (p) = 0 cọ nghiãûm kẹp p 2,3 = -3(p = -3, bäüi r = 2). Xạc âënh : 9 2 p )2p(p lim)pp( )p(F )p(F dp d limA 3 1 3 23 )3p( )3p(p 2p lim)pp( )p(F )p(F limA 2 3p r l 2 1 pp1l 2 2 3p r l 2 1 pp2l l l −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += = − +− = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += −→→ −→→ ỈÏng våïi nghiãûm kẹp cọ gäúc l : t.3 2l t.3 1l e. t . A e A −− + Täøng håüp cọ gäúc : t.3t.3 e.t. 3 1 e 9 2 9 2 )t(i −− +−= Vê dủ 2 : Xạc âënh gäúc u(t) ca nh : 34p6p 4 p 4 )p(U 2 ++ + = )'5021t5cos(e3,4)'5021t5cos(.eA2)t(u:gäúcÂỉåüc '502115,2 j10 j208 )p('F )p(F ATênh j2084)5j3(4)p(F,j106)5j3(2)p('F,6p2)p('F 5j3 p âỉåüc34p6 p 0)p(FGii ot.3ot.3 k o 12 11 k 11122 2,1 2 2 +=+= 〈= +− == +−=++−==++−=+= ±−=++== −− §2. Näüi dung phỉång phạp toạn tỉí Laplace tênh quạ trçnh quạ âäü mảch tuún tênh : Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 91 Tỉì tinh tháưn phỉång phạp toạn tỉí Laplace â nãu åí mủc trãn, ta tháúy cọ thãø gii QTQÂ theo cạc bỉåïc : 1. Chuøn ngưn kêch thêch thåìi gian v hãû phỉång trçnh vi phán mä t quạ trçnh quạ âäü våïi så kiãûn thnh hãû phỉång trçnh âải säú nh toạn tỉí cọ chỉïa så kiãûn. Viãûc lm ny thỉûc cháút l váûn dủng cạc tênh cháút ca phẹp biãún âäøi Laplace âãø âải säú họa hãû phỉång trçnh vi phán. 2. Gii hãû phỉång trçnh âải säú våïi nh toạn tỉí bàòng cạc phỉång phạp cå bn â hc nhỉ phỉång phạp dng nhạnh, dng âiãûn vng, thãú âènh hồûc biãún âäøi tỉång âỉång âãø tênh cạc nghiãûm nh. 3. Tçm cạc nghiãûm gäúc tỉång ỉïng cạc nghiãûm nh. Theo trçnh tỉû trãn ta tháúy cáưn phi láûp hãû phỉång trçnh vi phán mät t QTQÂ räưi måïi âải säú họa nọ thnh hãû phỉång trçnh âải säú våïi nh toạn tỉí. Âãø trạnh viãûc phi viãút hãû phỉång trçnh vi phán v sỉí dủng âỉåüc tênh ỉu viãût ca mä hçnh mảch l cọ thãø v ra cạc så âäư mảch âãø biãøu diãùn v tỉì âọ láûp ngay hãû phỉång trçnh âải säú tênh mảch, ta âỉa ra khại niãûm vãư så âäư toạn tỉí Laplace mä t QTQÂ ca mảch âiãûn. Viãûc dáùn ra så âäư toạn tỉí ny chênh l âải säú họa trãn så âäư âãø hãû phỉång trçnh viãút theo så âäư ny l hãû phỉång trçnh âải säú. I. Så âäư toạn tỉí ca mảch : R Chụng ta â biãút quan hãû giỉỵa 2 biãún u v i trãn mäüt vng nàng lỉåüng - chênh l âënh lût Ohm - nọi lãn phn ỉïng ca vng nàng lỉåüng âọ. Váûy quan hãû giỉỵa nh âiãûn ạp U(p) våïi nh dng âiãûn I(p) ca vng nàng lỉåüng chè r phn ỉïng toạn tỉí ca vng nàng lỉåüng. Ta dáùn ra phn ỉïng ca cạc vng nàng lỉåüng âỉåüc âàûc trỉng båíi cạc pháưn tỉí R, L, C. U(p) I(p) h.16 -1 1. Våïi âiãûn tråí R : Tỉì phỉång trçnh trảng thại theo thåìi gian l : u R (t) = R.i R (t) chuøn sang nh toạn tỉí Laplace: )p(I)t(i )p(U) t ( u RR RR ↔ ↔ Cọ phỉång trçnh trảng thại nh toạn tỉí : )p(U.g R ) p (U )p(Ihay)p(I.R)p(U R R RR === (16 -35) Váûy âiãûn tråí trong så âäư toạn tỉí váùn l R nhỉ biãøu diãùn hçnh hc nhỉ hçnh (h.16 -1) hồûc cọ thãø biãøu diãùn bàòng âiãûn dáùn R 1 g = . L U L (p) I L (p) Li L (-0) 2. Våïi âiãûn cm L : Tỉì phỉång trçnh trảng thại theo thåìi gian : h.(16 -2) dt di Lu L L = chuøn sang dảng nh : Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang 92 )p(I)t(i )p(U) t ( u LL LL ↔ ↔ Cọ phỉång trçnh nh toạn tỉí : [ ] )0(Li) p (I.Lp)0(i)p( p IL)p(U LLLLL − − = −−= (16 -36) Så âäư thay thãú mảch nghiãûm âụng phỉång trçnh trãn chênh l så âäư toạn tỉí ca cün cm L, cọ L.i L (-0) l lỉåüng â biãút nọ nhỉ ngưn ạp gi l ngưn så kiãûn. Nọ l tin tỉïc nọi lãn quạ trçnh c tạc âäüng vo mảch sau âọng måí. Biãøu diãùn åí hçnh (h.16 -2) Så âäư trãn giäúng nhỉ så âäư ngưn ạp Tãvãnin, nhỉ váûy cọ thãø xạc âënh så âäư ngưn dng Norton tỉång ỉïng. Tháût váûy gii phỉång trçnh (16 -36) I L (p) theo U L (p) ta cọ : p )0(i Lp )p(U )p(I LL L − += (16 -37) Trong âọ p )0(i L − â biãút nhỉ l ngưn dng gi l ngưn dng så kiãûn, så âäư toạn tỉí nhỉ hçnh (h.16 -3) pL i L (-0) /p I L (p) U L (p) Váûy cọ thãø biãøu diãùn L dỉåïi dảng så âäư toạn tỉí näúi tiãúp hay song song, chè cáưn ta thay L bàòng pL räưi näúi tiãúp våïi ngưn ạp så kiãûn Li L (-0). Hay thay L bàòng pL näúi song song våïi ngưn dng så kiãûn p )0(i L − . (Lỉu : chiãưu ca cạc ngưn så kiãûn cng chiãưu dng I L (p)). h.16 -3 C 1/pC U C (p) h.(16 -4a) u C (-0) I C (p) 3. Våïi âiãûn dung C : Tỉì phỉång trçnh trảng thại thåìi gian : dt d u Ci C C = Chuøn sang dảng nh : )p(I)t(i ) p (U) t ( u CC CC ↔ ↔ Âỉåüc phỉång trçnh trảng thại nh theo dng âiãûn l : [] )0(Cu) p ( p CU)0(u)p(pUC)p(I CCCCC − − =− − = . (16 -38). Trong âọ Cu C (-0) l ngưn så kiãûn, så âäư toạn tỉí nhỉ hçnh (h.16 -4a). Phỉång trçnh trảng thại nh theo âiãûn ạp l : p )0( u pC )p(I )p(U CC C − += (16 -39) Trong âọ p )0( u C − l ngưn så kiãûn så âäư toạn tỉí nhỉ hçnh (h.16 -4b). 1/pC u C (-0)/p U C (p) I C (p) Âãø cọ så âäư toạn tỉí ca tủ C, ta thay C bàòng 1/pC näúi song song våïi ngưn dng Cu C (-0). Hồûc thay C bàòng 1/pC näúi tiãúp våïi ngưn ạp så kiãûn p )0( u C − ( Chụ ngưn så kiãûn cọ chiãưu ngỉåüc chiãưu dng I C (p)). h.(16 -4b) Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn [...]... −0) (16 -42) ⎨ ⎩U k ( p ) = pL k I k ( p ) + pMI l ( p ) − L k i k (−0) − Mi l (−0) II Âënh lût Kirhof dảng toạn tỉí : n Tỉì lût Kirhof 1 dảng tỉïc thåìi ∑i k =1 n k ∑I k =1 ( t ) = 0 chuøn sang dảng nh Laplace : k (p) = 0 (16 -43) Phạt biãøu : " Täøng âải säú cạc dng âiãûn toạn tỉí tải mäüt âènh triãût tiãu" n Tỉång tỉû ta cng cọ âënh lût Kirhof 2 dảng toạn tỉí : ∑U k =1 Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa... 0 i(t) i Lxlc = 10 2 sin(314t + 45 ) ( A ) 0 L thay tải t = 0 cọ i L (−0) = 10A r u(t) Vç bi toạn chènh nãn : iL(0) = iL(-0) = 10A 2 Så âäư toạn tỉí sau khi âọng khọa K nhỉ hçnh (h.16 15) h.16 -14 nh Laplace ca ngưn u(t) : 2000 p u ( t ) = 2000 cos 314 t ↔ U( p ) = 2 p + 314 2 Täøng tråí vo ca mảch : LiL(0) I(p) 1 r r p 2 rLC + pL + 1 pC pL = pL + = Z V ( p ) = pL + 1/pC 1 prC + 1 prC + 1 r+ U(p) r . PHỈÅNG PHẠP TOẠN TỈÍ LAPLACE TÊNH QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ MẢCH TUÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀỊNG §1. Phẹp biãún âäøi Laplace I. Phẹp biãún âäøi Laplace thûn Nãúu hm. phỉång phạp toạn tỉí Laplace báút lỉûc. VI. Cạch tçm gäúc theo nh Laplace Cọ 3 phỉång phạp âãø tçm nghiãûm gäúc theo nghiãûm nh Laplace 1. Thỉûc hiãûn