Skkn tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy001

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY” skkn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xuất phát từ toán thực tế, tốn cực trị mơ hình đơn giản toán kinh tế sống Với tinh thần đổi giáo dục đề thi Đại học năm gần đây, toán cực trị đưa vào thường xuyên Điều đặt cho trình giảng dạy mơn Tốn học cần phải ý rèn luyện cho học sinh dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi thực tiễn đưa giáo dục nói chung Tốn học nói riêng gần với sống Với lý với mong muốn nâng cao chất lượng giảng, chất lượng q trình giáo dục chúng tơi mạnh dạn “Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất số phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Cơng tác dạy học mơn Tốn học trường phổ thơng Đối tượng: Các phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2012-2013; 2013-2014 Giả thuyết khoa học Hiện việc giảng dạy học tập phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích cịn gặp số khó khăn Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tác giả cách phù hợp hiệu học tập giảng dạy chuyên đề cực trị hình học giải tích tốt Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn skkn Phương pháp thống kê Toán học Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung Kết luận Tài liệu tham khảo skkn NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số D Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số D skkn Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Cho n số khơng âm: ta có: Dấu xảy Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai n số: ta có bất đẳng thức: Dấu xảy Định lý Nếu hàm số liên tục đoạn nhất, giá trị nhỏ đoạn hàm số tồn giá trị lớn Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng qua nhận làm vector phương Khi có phương trình tham số là: Phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng qua điểm có phương trình tổng qt là: nhận làm vector pháp tuyến Khi Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: ax + by + c = điểm Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng tính cơng thức: skkn Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng Gọi có phương trình góc hai đường thẳng cho Khi đó: 10 Phương trình tổng quát mặt phẳng Cho đường thẳng qua nhận Khi đường thẳng có phương trình tổng qt là: làm vector pháp tuyến 11 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mặt phẳng M đến tính cơng thức điểm Khoảng cách từ điểm II Một số dạng toán cực trị hình học giải tích chương trình phổ thơng Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Bài Cho đường thẳng a) nhỏ b) lớn Tìm điểm cho: A Lời giải a) Phân Nếu hai điểm tích: A, B khác phía so với đường thẳng điểm M cần tìm giao điểm đường thẳng với đường thẳng AB Nếu hai điểm A, B phía so với đường thẳng (Hình 1) ta thực theo bước sau: skkn B A/ M  Bước 1: Xác định điểm điểm đối xứng với A qua Hình Bước 2: Từ đánh giá: số Dấu xảy thẳng hàng Nên ta viết phương trình đường thẳng Bước 3: Điểm Với thuật toán ta đến lời giải chi tiết cho câu a) sau: Đặt Ta có: Như hai điểm Gọi nằm phía so với đường thẳng điểm đối xứng với A qua Đường thẳng Gọi Tọa độ I nghiệm hệ phương trình: Do I trung điểm Từ nên ta có: Đường thẳng Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm hệ phương trình: Trong trường hợp câu b) thuật tốn lại có khác biệt so với câu a) Nếu hai điểm A; B mà nằm hai phía so với ta lại phải tìm điểm đối xứng với A qua Sau ta sử dụng đánh giá: số Dấu xảy hàng Từ tìm tọa độ M skkn thẳng Nếu hai điểm nằm phía so với số Dấu xảy M cần tìm giao với ta có đánh giá: thẳng hàng Do điểm Sử dụng kết câu a) ta có hai điểm nằm phía so với nên ta có đánh giá: số Dấu xảy thẳng hàng Ta có nên Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: Để củng cố thuật tốn em học sinh làm thêm số tập: Bài Cho hai điểm đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: Tìm điểm ) Bài Cho hai điểm đạt giá trị lớn nhất? đường thẳng Tìm điểm Bài Cho hai điểm đường thẳng a) đạt giá trị nhỏ b) đạt giá trị lớn Tìm cho : Vẫn tốn tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị hỏi theo hình thức khác Ta xét ví dụ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm a)Tìm Đường thẳng để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất? skkn qua M cắt Ox; Oy b) Tìm đạt giá trị nhỏ nhất? c) Tìm đạt giá trị nhỏ nhất? a) Lời giải Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: Nhận thấy tam giác vuông nên: Mặt khác Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Từ suy ra: kết hợp với Dấu xảy xảy dấu Khi ta có hệ phương trình: Bình luận: Ở ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM nhận thấy tính hiệu cao, lời giải gọn gàng đẹp Vấn đề học sinh cần tìm hiểu nhiều cách giải cho đề toán Do thủ thuật người thầy (theo cá nhân tôi) sau lời giải toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Cịn lời giải khác khơng? Câu hỏi làm cho học sinh có hứng thú tìm tịi, phải làm cho học sinh thấy khơng nên lịng theo kiểu “ăn xổi” a) Lời giải Từ kết ta rút ra: Theo Từ đó: skkn Ta khảo sát hàm số miền Lại có: Lập bảng biến thiên ta có: Suy ra: Với Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Lời giải phức tạp, nhiên việc sử dụng đạo hàm vào toán cực trị cần ý cơng cụ mạnh chương trình tốn phổ thơng mà học sinh cần trang bị thành thạo b) Lời giải Gọi chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng OAB ta có: số Dấu xảy Tức 10 skkn Vậy ta có hệ phương trình: Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Trong câu b) ta sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu nhỏ độ dài đường xiên Giống câu a) ta lại có câu hỏi: Cịn lời giải khác không? Và học sinh có hứng thú định em trở thành nhà thám hiểm thực kho tàng kiến thức! Để ý thấy: gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki? Do gợi ý cho ta lời giải thứ sau: b) Lời giải Theo Xét: Dấu xảy Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Thật gọn, đẹp! Cịn có cách giải khác không? 11 skkn Đối với câu c) Giáo viên tránh cho học sinh sai lầm sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải câu c) sau: c) Lời giải Ta có (Theo bất đẳng thức AM-GM) Mặt khác (Theo bất đẳng thức AM-GM) Từ suy ra: Dấu xảy hai đánh giá xảy dấu Điều tương đương với Dễ nhận thấy hệ vô nghiệm Như lời giải sai! c) Lời giải Ta có Mặt khác Do Ta Ta khảo sát hàm số với Ta có Lại có 12 skkn Ta có bảng biến thiên a - + Từ ta có kết luận: Củng cố thuật tốn em học sinh làm thêm số tập sau: Bài Trong mặt phẳng toạ độ , viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox, Oy M, N cho qua điểm đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm M, N khác gốc toạ độ cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm chiều dương trục Ox, Oy điểm A; B khác gốc toạ độ cho giá trị nhỏ nhất? , cắt đạt Bài Bài tốn góc sút khung thành Cho hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng điểm M cho M nhìn xuống A, B góc lớn nhất? 13 skkn Tìm đường thẳng Nhận xét: Bài số lý thú, gây hứng thú tị mị cho người làm tốn Dễ nhận thấy vài trường hợp đặc biệt tiếp tuyến đường trịn đường kính AB điểm M cần tìm tiếp điểm Vậy trường hợp cịn lại ta xử lý nào? Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúc với Xét điểm N khác M I Gọi I giao (C) NB (Hình 2) Ta có  N M Ký hiệu đường tròn (C) (cùng chắn cung AB) M Mặt khác: A B Vậy M điểm cần tìm Hình 2 Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích Bài 10 (Trích đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 2008-2009) Cho Tìm: biểu thức Lời giải Nhận xét: điều kiện đầu thoả mãn phương trình đường trịn: có tâm Gọi giá trị biểu thức Dễ nhận thấy có tâm Do ta đường trịn Vì giá trị biểu thức điều tương đương với chung (*) (*) 14 skkn phải có điểm So sánh kết (1); (2) (3) ta có Bình luận: Như ta sử dụng phương pháp hình học giải tích để tìm Max biểu thức A nhờ nhận xét điều kiện đầu Sẽ tương đối khó khăn tìm phương pháp khác cho số 10! Với 10 ta khái qt hố thành tập sau: Bài 11 Cho thoả mãn điều kiện P Trong P biến đổi phương trình đường trịn u cầu tìm min, max biểu thức biểu thức biến đổi đưa phương trình đường trịn Quay lại Bài 10 ta nhận thấy biểu thức A biến đổi nhờ điều kiện đầu Thực vậy: Từ giả thiết ta có Như gọi thẳng phải có điểm chung (**) giá trị biểu thức A Điều chứng tỏ đường đường trịn có tâm 15 skkn Vậy Bình luận: Với việc đưa biểu thức A dạng phương trình đường thẳng ta phải xử lý trường hợp so với việc đưa biểu thức A phương trình đường trịn Bài tập vận dụng Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức với điều kiện: Bài 13 Cho đường trịn: Tìm điểm H đường trịn (C) cho tam giác HAB có diện tích lớn nhất, nhỏ Bài 14 Cho đường tròn: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn I tâm đường tròn (C) Bài 15 Cho đường thẳng: Tìm cho có độ dài ngắn (Đ/s: M(-2;1)) đạt giá trị nhỏ (Đ/s: ) III Kết vận dụng SKKN vào công tác giảng dạy Chuyên đề thực lớp 11A trường THPT Văn Giang năm học 2013-2014 Để đánh giá kết chuyên đề thực cho học sinh làm dạng chuyên đề trước sau giảng dạy kết thu khả quan Trước giảng dạy có số em làm sau giảng dạy chuyên đề đa số em định hình phương pháp làm thực thành thạo Kết cụ thể thống kê bảng sau KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A 16 skkn Điểm Trướ c 15 10 Sau 15 5 Như nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh hiểu vận dụng thực toán cực trị hình giải tích (Oxy) 17 skkn KẾT LUẬN Chuyên đề có giá trị thực tiễn công tác giảng dạy học tập học sinh giáo viên Phù hợp với khả nhận thức tiếp thu học sinh Chuyên đề mở rộng toán cực trị khơng gian Do trình độ nên chun đề cịn số khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao Xin trân trọng cảm ơn! ĐÀO QUANG BÌNH 18 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ phương pháp toạ độ hình học Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10 19 skkn ... chúng tơi mạnh dạn ? ?Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Nhiệm vụ nghiên... pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học mơn Tốn học trường phổ thơng Đối tượng: Các phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích. .. pháp giải tốn cực trị hình học giải tích giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2012-2013; 2013-2014 Giả thuyết khoa học Hiện việc giảng dạy học tập phương pháp giải tốn cực trị hình học giải