Đang tải... (xem toàn văn)
TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI “TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY” skkn 2 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Xuất phát từ những bài toán[.]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY” skkn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xuất phát từ toán thực tế, tốn cực trị mơ hình đơn giản toán kinh tế sống Với tinh thần đổi giáo dục đề thi Đại học năm gần đây, toán cực trị đưa vào thường xuyên Điều đặt cho trình giảng dạy mơn Tốn học cần phải ý rèn luyện cho học sinh dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi thực tiễn đưa giáo dục nói chung Tốn học nói riêng gần với sống Với lý với mong muốn nâng cao chất lượng giảng, chất lượng q trình giáo dục chúng tơi mạnh dạn “Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất số phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Cơng tác dạy học mơn Tốn học trường phổ thơng Đối tượng: Các phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2012-2013; 2013-2014 Giả thuyết khoa học Hiện việc giảng dạy học tập phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích cịn gặp số khó khăn Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tác giả cách phù hợp hiệu học tập giảng dạy chuyên đề cực trị hình học giải tích tốt Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học skkn Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung Kết luận Tài liệu tham khảo skkn NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a b ac bc c0 a b ac bc c0 a b ac bc a b ac bd c d 0 a b ac bd 0 c d a b a n1 b2 n1 ; n N * a b a 2n b2 n ; n N * 0ab a b ab a b Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số f x xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số f x D f x M x D; M Max f x D x0 D : f x0 M Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số f x D f x m x D; m f x D x D : f x m 0 skkn Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Cho n số không âm: a ; a ; ; a n a a a n n a a a n n ta có: Dấu xảy a a a n Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai n số: a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn ta có bất đẳng thức: a1.b1 a2 b2 an bn a12 a22 an2 b12 b22 bn2 Dấu xảy a a1 a2 n b1 b2 bn Định lý Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b hàm số tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn a; b Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng qua M x0 ; y0 nhận u a; b làm vector phương Khi x x0 at; y y0 bt có phương trình tham số là: Phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 nhận u a; b làm vector pháp tuyến Khi có phương trình tổng qt là: a x-x b y y0 ax by c 0; c ax by0 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng có phương trình tổng qt: ax + by + c = điểm M x0 ; y0 Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng tính cơng thức: d M , ax by0 c a b2 skkn Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng 1; có phương trình a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 a b 0; a b 0 2 2 2 Gọi góc hai đường thẳng cho Khi đó: a1a2 b1b2 cos a12 b12 a22 b22 10 Phương trình tổng quát mặt phẳng Cho đường thẳng qua M x0 ; y0 ; z0 nhận n a; b; c làm vector pháp tuyến Khi đường thẳng có phương trình tổng quát là: a x x0 b y y0 c z z0 ax + by + cz + d = 0; d = -ax0 by0 cz0 11 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mặt phẳng : ax + by + cz + d = điểm M x0 ; y0 ; z0 Khoảng cách từ điểm M đến tính công thức d M , ax by0 cz0 d a b2 c2 II Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích chương trình phổ thơng Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Bài Cho đường thẳng : x y 0; A 0;6 ; B 2;5 Tìm điểm M cho: a) MA MB nhỏ b) MA MB lớn A Lời giải a) Phân tích: Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng điểm M cần tìm giao điểm đường B A/ M thẳng với đường thẳng AB Nếu hai điểm A, B phía so với đường thẳng (Hình 1) ta thực theo bước 6sau: skkn Hình Bước 1: Xác định điểm A / điểm đối xứng với A qua Bước 2: Từ đánh giá: MA MB MA/ MB A/ B số Dấu xảy A/ ; M ; B thẳng hàng Nên ta viết phương trình đường thẳng A/ B Bước 3: Điểm M A/ B Với thuật toán ta đến lời giải chi tiết cho câu a) sau: Đặt f x; y x y Ta có: f 0;6 12 10; f 2;5 10 6 Như hai điểm A; B nằm phía so với đường thẳng Gọi A / điểm đối xứng với A qua Đường thẳng AA / : 2( x 0) 1( y 6) x y Gọi I AA / Tọa độ I nghiệm hệ phương trình: 2 x y x 2; I 2;2 x y y Do I trung điểm AA / nên ta có: A/ 4; 2 Từ A/ B 2;7 Đường thẳng A/ B : 7( x 2) 2( y 5) x y 24 Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm hệ phương trình: 11 x ; x y 11 19 M ; 4 8 7 x y 24 y 19 Trong trường hợp câu b) thuật tốn lại có khác biệt so với câu a) Nếu hai điểm A; B mà nằm hai phía so với ta lại phải tìm điểm A / đối xứng với A qua Sau ta sử dụng đánh giá: MA MB MA/ MB A/ B số Dấu xảy M , A/ , B thẳng hàng Từ tìm tọa độ M M A/ B skkn Nếu hai điểm A; B nằm phía so với ta có đánh giá: MA MB AB số Dấu xảy M ; A; B thẳng hàng Do điểm M cần tìm giao AB với Sử dụng kết câu a) ta có hai điểm A; B nằm phía so với nên ta có đánh giá: MA MB AB số Dấu xảy M ; A; B thẳng hàng Ta có AB 2; 1 nên AB :1( x 0) 2( y 6) x y 12 Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x 5; x y 12 7 M 5; 2 x y y Để củng cố thuật toán em học sinh làm thêm số tập: Bài Cho hai điểm A 2;5 ; B 4;5 đường thẳng : x 2y Tìm điểm 3 9 M : MA MB đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: M ; ) 2 4 Bài Cho hai điểm A 2; 5 ; B 4;5 đường thẳng : x y Tìm điểm N : NA NB đạt giá trị lớn nhất? Bài x t; Tìm M cho : y 2t Cho hai điểm A1;2 ; B 0; 1 đường thẳng : a) MA MB đạt giá trị nhỏ b) MA MB đạt giá trị lớn Vẫn tốn tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị hỏi theo hình thức khác Ta xét ví dụ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 2;1 Đường thẳng qua M cắt Ox; Oy A a;0 ; B 0; b ; a 0; b 0 skkn a)Tìm a; b để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất? b) Tìm a; b : 1 đạt giá trị nhỏ nhất? OA OB c) Tìm a; b : OA OB đạt giá trị nhỏ nhất? a) Lời giải x a y b Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: : 1 Nhận thấy tam giác OAB vuông O nên: SOAB a.b a b Mặt khác M 1; 1 2 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a b ab ab ab 8; Từ suy ra: SOAB ab Dấu xảy xảy dấu Khi 2 a b a 4; kết hợp với 1 ta có hệ phương trình: b a b Bình luận: Ở ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM nhận thấy tính hiệu cao, lời giải gọn gàng đẹp Vấn đề học sinh cần tìm hiểu nhiều cách giải cho đề toán Do thủ thuật người thầy (theo cá nhân tôi) sau lời giải toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời giải khác khơng? Câu hỏi làm cho học sinh có hứng thú tìm tịi, phải làm cho học sinh thấy khơng nên lịng theo kiểu “ăn xổi” a) Lời giải Từ kết 1 ta rút ra: a 1 b a b a2 Theo b 0; a a skkn Từ đó: SOAB a2 ab f a ; 2a a 2 Ta khảo sát hàm số f a miền a f / a 2a 2a 2a 2a a f / a a 2a 8a 2a l t / m Lại có: lim f a lim a 2 a 2 a2 2a a2 lim f a lim a a 2a Lập bảng biến thiên ta có: a f / a f a f 4 Suy ra: f a f a2 a 4; b Với a b Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Lời giải phức tạp, nhiên việc sử dụng đạo hàm vào toán cực trị cần ý cơng cụ mạnh chương trình tốn phổ thơng mà học sinh cần trang bị thành thạo b) Lời giải Gọi H chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB 10 skkn Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng OAB ta có: 1 1 số Dấu xảy M H Tức 2 OA OB OH OM OM AB 2a b AB.OM a ; 2 Vậy ta có hệ phương trình: M a b b 5 a ; Vậy giá trị cần tìm là: b Bình luận: Trong câu b) ta sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu nhỏ độ dài đường xiên Giống câu a) ta lại có câu hỏi: Cịn lời giải khác khơng? Và học sinh có hứng thú định em trở thành nhà thám hiểm thực kho tàng kiến thức! 2 1 1 1 Để ý thấy: gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki? Do 2 OA OB a b gợi ý cho ta lời giải thứ sau: b) Lời giải 2 a b Theo M Xét: 1 1 1 b a a b Bunhiacopxki 1 Dấu xảy 2a b a b2 5 b 2a a ; Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: a b b 11 skkn a ; Vậy giá trị cần tìm là: b Bình luận: Thật gọn, đẹp! Cịn có cách giải khác không? Đối với câu c) Giáo viên tránh cho học sinh sai lầm sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải câu c) sau: c) Lời giải Ta có OA OB a b ab ; 3 (Theo bất đẳng thức AM-GM) a b Mặt khác 2 ab 8; ab (Theo bất đẳng thức AM-GM) Từ suy ra: OA OB Dấu xảy hai đánh giá a b; 3 ; 4 xảy dấu Điều tương đương với 1 a b Dễ nhận thấy hệ vô nghiệm Như lời giải sai! c) Lời giải Ta có OA OB a b Mặt khác a 1 b a b a2 Do a 0; b a Ta OA OB a a a2 a f a a2 a2 Ta khảo sát hàm số f a với a Ta có f / 2a 1 a a a a 4a a 2 a 2 a 2 f / a a 4a a l ; a t / m 12 skkn Lại có a2 a lim f a lim a a a a2 a lim f a lim a2 a2 a2 Ta có bảng biến thiên a f / a - f a 2 2 + 3 2 a 2; Từ ta có kết luận: OA OB 2 b Củng cố thuật toán em học sinh làm thêm số tập sau: Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1;3 cắt trục Ox, Oy M, N cho đạt giá trị nhỏ nhất? OM ON Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2;5) , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm M, N khác gốc toạ độ cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M 3;2 , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm A; B khác gốc toạ độ cho OA 2OB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Bài tốn góc sút khung thành 13 skkn Cho hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng Tìm đường thẳng điểm M cho M nhìn xuống A, B góc lớn nhất? Nhận xét: Bài số lý thú, gây hứng thú tị mị cho người làm tốn Dễ nhận thấy vài trường hợp đặc biệt tiếp tuyến đường trịn đường kính AB điểm M cần tìm tiếp điểm Vậy trường hợp cịn lại ta xử lý nào? Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúc N với M Ký hiệu đường tròn (C) Xét điểm N khác M Gọi I giao (C) NB (Hình 2) I Ta có AMB AIB (cùng chắn cung AB) M Mặt khác: ANB NAI AIB AMB A AMB ANB N M B Vậy M điểm cần tìm Hình 2 Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích Bài 10 (Trích đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 2008-2009) Cho x y x y 12 Tìm: Max biểu thức A x y Lời giải Nhận xét: điều kiện đầu thoả mãn phương trình đường tròn: 2 C1 : x 2 y 3 có tâm I1 2;3 ; R1 Gọi A0 giá trị biểu thức Dễ nhận thấy A0 Do ta đường trịn C2 : x y A0 có tâm I 0;0 ; R2 A0 Vì A0 giá trị biểu thức điều tương đương với C1 & C2 phải có điểm chung (*) 14 skkn I1I R1 R2 (*) I1I R1 R2 R R I I R R 2 1 2 3 1 ; I1I R1 R2 13 A0 A0 13 14 13 ; ; I1 I R1 R2 13 A0 A0 14 13 A0 14 13 3 ; R1 R2 I1 I R1 R2 A0 13 A0 A0 14 13 A0 14 13 A0 13 14 13 A0 14 13 So sánh kết (1); (2) (3) ta có MaxA 14 13 Bình luận: Như ta sử dụng phương pháp hình học giải tích để tìm Max biểu thức A nhờ nhận xét điều kiện đầu Sẽ tương đối khó khăn tìm phương pháp khác cho số 10! Với 10 ta khái qt hố thành tập sau: Bài 11 Cho x; y thoả mãn điều kiện P Trong P biến đổi phương trình đường trịn C1 u cầu tìm min, max biểu thức Q biểu thức Q biến đổi đưa phương trình đường trịn C2 Quay lại Bài 10 ta nhận thấy biểu thức A biến đổi nhờ điều kiện đầu Thực vậy: Từ giả thiết ta có A x y x y 12 15 skkn Như gọi A0 giá trị biểu thức A Điều chứng tỏ đường 2 thẳng : x y 12 A0 đường tròn C1 : x y 3 có tâm I1 2;3 ; R1 phải có điểm chung (**) ** d I1 , 18 12 A0 1 16 36 14 A0 52 52 14 A0 52 14 13 A0 14 13 Vậy Max A 14 13 Bình luận: Với việc đưa biểu thức A dạng phương trình đường thẳng ta phải xử lý trường hợp so với việc đưa biểu thức A phương trình đường trịn Bài tập vận dụng Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A x y với điều kiện: x y2 Bài 13 Cho đường tròn: C : x y 1 & A 2; 3 ; B 1;3 Tìm điểm H đường tròn (C) cho tam giác HAB có diện tích lớn nhất, nhỏ Bài 14 Cho đường tròn: C : x y x y 0; & M 5; 3 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn I tâm đường tròn (C) Bài 15 Cho đường thẳng: : x y & A 2;3 ; B 4;1 Tìm M cho MA MB có độ dài ngắn (Đ/s: M(-2;1)) 2MA2 3MB2 đạt giá trị nhỏ (Đ/s: M ; ) 5 11 III Kết vận dụng SKKN vào công tác giảng dạy Chuyên đề thực lớp 11A trường THPT Văn Giang năm học 2013-2014 Để đánh giá kết chuyên đề thực cho học sinh làm dạng chuyên đề trước sau giảng dạy kết thu khả quan Trước giảng dạy 16 skkn có số em làm sau giảng dạy chuyên đề đa số em định hình phương pháp làm thực thành thạo Kết cụ thể thống kê bảng sau KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A Điểm 10 Trướ c 15 10 6 15 5 Sau Như nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh hiểu vận dụng thực toán cực trị hình giải tích (Oxy) 17 skkn KẾT LUẬN Chun đề có giá trị thực tiễn cơng tác giảng dạy học tập học sinh giáo viên Phù hợp với khả nhận thức tiếp thu học sinh Chuyên đề mở rộng toán cực trị khơng gian Do trình độ nên chun đề cịn số khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao Xin trân trọng cảm ơn! ĐÀO QUANG BÌNH 18 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ phương pháp toạ độ hình học Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10 19 skkn ... chúng tơi mạnh dạn ? ?Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Nhiệm vụ nghiên... pháp giải tốn cực trị hình học giải tích Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học mơn Tốn học trường phổ thơng Đối tượng: Các phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích. .. pháp giải tốn cực trị hình học giải tích giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2012-2013; 2013-2014 Giả thuyết khoa học Hiện việc giảng dạy học tập phương pháp giải tốn cực trị hình học giải