Skkn một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHO LỚP 10, 11" skkn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tốn khó Trong năm gần tần suất xuất đề thi cao Nhiều số thực khó, cách giải không thực tự nhiên, mang nhiều yếu tố cá nhân (người đề nắm cách giải) Tuy nhiên bên cạnh có nhiều dạng, loại mà ta khái quát thành cách giải đặc trưng Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn học nói riêng chất lượng giáo dục nói chung; chúng tơi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp 10, 11” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Cơng tác dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2011-2012; 2012-2013 Giả thuyết khoa học skkn Hiện việc tiếp cận phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy) Nếu áp dụng SKKN tác giả cách linh hoạt, phù hợp hiệu giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cao Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung Kết luận Tài liệu tham khảo NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Trong trình xử lý tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ta cần sử dụng số kiến thức: định lý dấu tam thức bậc hai, tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách… Định lý thuận dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai Có skkn Nếu Nếu Nếu ( hai nghiệm tam thức bậc hai) Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) skkn Đẳng thức xảy Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số D Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số D Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự II Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp phương trình bậc hai Xét tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ; tập D Lời giải Gọi giá trị biểu thức Chứng tỏ phải tồn ; điều chứng tỏ phương trình phương trình cho có nghiệm D Ta tìm điều kiện để có nghiệm D; từ tìm giá trị lớn nhất; nhỏ Trong nhiều tốn phương trình có dạng phương trình bậc Ở skkn phương pháp ta phải hạn chế phương trình có dạng phương trình bậc Ta xét số ví dụ sau: Bài Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ biểu thức Lời giải Tập xác định Gọi giá trị biểu thức Chứng tỏ phương trình có nghiệm Nhận xét: Đối với phương trình có điều kiện phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm Nhận thấy Vậy Với cách làm tương tự ta vận dụng vào số sau; học sinh tự đề cho bạn lớp Bài Tìm min; max Bài Tìm min; max Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai skkn Trong báo Toán học tuổi trẻ số 347 (tháng – 2006) có đề tốn: Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = Lời giải Giả sử m giá trị nhỏ biểu thức Nhìn vế trái tam thức bậc hai với ẩn x thì: Suy ra: với Suy ra: Nếu m < -1 thì: Do Suy A > m Vậy khơng có giá trị nhỏ biểu thức A Nếu m = -1 A Dấu xảy x = y = Kết luận: minA = -1 x = y = Nhận xét : Từ kết tìm theo lời giải ta đặt câu hỏi: Liệu phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong B B = x = y = Với suy nghĩ ta có phương pháp thứ sau: Phân tích thành tổng bình phương cộng trừ số skkn Lời giải A= A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1 A = (x-1)2 + (y-1)2 – (x-1)(y-1) – A= Đẳng thức xảy Kết luận: minA = -1 x = y = Với cách làm tương tự ta xử lý thêm tập sau Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai Cách 2: Xét biểu thức Khi đó: Bình luận: Bất đẳng thức vận dụng nhiều tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài Tìm max Bài Tìm min  skkn Sử dụng tính tương giao đường thẳng đường trịn ; hình trịn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng : mãn điều kiện cho trước thoả số Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ với điều kiện Lời giải Nhận xét: Điều kiện cho đường trịn có tâm trùng gốc toạ độ, bán kính Ký hiệu hình trịn Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có dạng phương trình đường thẳng Gọi giá trị biểu thức với Khi đường thẳng thoả mãn: có phương trình đường trịn phải có điểm chung Điều kiện tương đương với: Nhận thấy tiếp điểm Vậy ứng với hai tiếp tuyến đường tròn skkn Bình luận: Như với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng điều kiện  ; ta khái qt cách giải tốn điều chỉnh là: cách giải tương tự Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Điều kiện với điều kiện Lời giải Gọi giá trị biểu thức với thoả mãn Khi đường thẳng có phương trình hình trịn phải có điểm chung Điều tương đương với: Vậy Với tư tương tự học sinh tự nghĩ đề toán để luyện tập; tập dượt khả sáng tạo khía cạnh Khi thân giáo viên học sinh 10 skkn có niềm vui nho nhỏ! Các em thấy cần phải học Cách thay học Cái tạo phương pháp tự học cho em Trong Bài 8 ; Bài điều kiện cho đầu có thay đổi; chẳng hạn điều kiện biến thoả mãn phương trình Elip Như ta lại có loạt tốn tương tự Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức mãn: thoả Lời giải Nhận xét: Điều kiện toán thoả mãn phương trình Elip Tuy nhiên trường hợp trường hợp điều kiện tương tự ta đưa điều kiện điều kiện biến thoả mãn phương trình đường trịn phép đổi biến Ta có phương trình Elip : Đặt Khi Elip biến thành đường trịn có phương trình: Gọi Gọi giá trị biểu thức với Chứng tỏ đường thẳng có phương trình thoả mãn: đường trịn có phương trình phải có điểm chung 11 skkn Điều tương đương : Vậy Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu cho là : ta có cách đổi biến : biến Elip đường trịn có phương trình Với tư tương tự ta có nhiều toán với số liệu khác Bài 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức biết Bài 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức biết Bài 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài 14 Tìm giá trị nhỏ m để hệ có nghiệm? 12 skkn biết Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có dạng điều kiện đường trịn thoả mãn: Khi cần sử dụng mệnh đề sau: Cho điểm P không trùng với tâm đường trịn Đường thẳng OP cắt đường trịn hai điểm A; B Với điểm M đường tròn ta có: Chứng minh : Giả sử P nằm bán kính OA, ta có : Vì Vậy Các trường hợp cịn lại chứng minh tương tự Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Đặt đường trịn có tâm Đường thẳng OI có phương trình là: Gọi giao điểm đường tròn 13 skkn với đường thẳng OI biết thoả mãn Xét Sử dụng mệnh đề chứng minh ta có Vậy Tới ta việc thay điều kiện đường tròn khác có tốn khác Việc giải tốn tương tự Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Trong chương trình phổ thơng học sinh giới thiệu bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Do phương pháp xin giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ Kỹ thuật Thêm, bớt, tách Trong trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng kỹ thuật thêm, bớt, tách cần linh hoạt, thể vận dụng khéo léo người làm tốn Ta có số biến đổi kỹ thuật sau: Bài 16 Cho 14 skkn Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải Ta viết lại biểu thức Ví dụ với Vậy Bài 17 Cho tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có Dấu xảy Vậy Bài 18 Cho Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 15 skkn Lời giải Ta viết lại biểu thức: Ví dụ với Vậy Bình luận: Tại ta khơng sử dụng ln việc ghép cặp:  ? Khi dấu xảy khơng thỏa mãn điều kiện đầu bài ! Do phép biến đổi không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần ý trường hợp dấu xảy Bài 19 Cho Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có đánh giá sau: 16 skkn Cộng vế với vế ta được: Giả sử với Vậy Bài 20 Cho Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có đánh giá sau: Cộng vế với vế ta được: 17 skkn Ví dụ Vậy Một số tập vận dụng: Bài 21 Cho Bài 22 Cho Bài 23 Cho Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 24 Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Kỹ thuật Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội) Nhận xét: Trong tập hữu hạn số tồn số lớn số nhỏ Bài 25 Cho Tìm giá trị lớn biểu thức: Lời giải Giả sử Khi ta có đánh giá sau: 18 skkn Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì: Từ (1); (2) (3) ta có: Dấu xảy ví dụ với Một số tập vận dụng: Bài 26 Cho Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: Bài 27 Cho Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: Phương pháp hình học, vector, toạ độ Trong trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần ý sử dụng đánh giá sau: Dấu xảy hai vector hướng 19 skkn ; Dấu xảy hai vector phương ; Dấu xảy Ba điểm A, B, C ta ln có: Dấu xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A C Ba điểm A, B, C ta ln có Dấu xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A, C C nằm A B Bài 28 Tìm giá trị lớn Lời giải Tập xác định Ta có: Đặt Suy Dấu xảy Vậy Bài 29 Cho Tìm giá trị nhỏ Bài 30 Cho Tìm giá trị lớn 20 skkn Kết vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tác giả sử dụng giảng dạy chuyên đề “Cực trị” cho học sinh lớp 10A, 11M trường THPT Văn Giang năm học 2012-2013 Kết thu thông qua kết đánh giá kiểm tra em, qua vấn Đa số em hỏi có tự tin, có hệ thống phương pháp giải toán cực trị Điểm 10 Tổng số 10A 6 10 12 44 11M 5 10 0 37 Lớp III KẾT LUẬN Với kết thu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài hoàn thành Tuy nhiên tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ln tốn gây khó khăn định cho thầy trị q trình giảng dạy học tập mơn Tốn học Việc tìm hiểu phương pháp giải tốn cực trị địi hỏi luôn cập nhật đổi Những tìm hiểu cá nhân tơi có lẽ khơng phủ hết dạng loại (ví sử dụng tính tương giao ta mở rộng cho khơng gian để xét tính tương giao mặt phẳng mặt cầu tốn cực trị) cần đóng góp đồng chí Tổ Tốn – Tin để báo cáo hoàn thiện 21 skkn Xin trân trọng cảm ơn! 22 skkn ... tốn với số liệu khác Bài 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức biết Bài 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức biết Bài 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài 14 Tìm giá trị nhỏ m... 28 Tìm giá trị lớn Lời giải Tập xác định Ta có: Đặt Suy Dấu xảy Vậy Bài 29 Cho Tìm giá trị nhỏ Bài 30 Cho Tìm giá trị lớn 20 skkn Kết vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ. .. nghĩa tương tự II Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp phương trình bậc hai Xét tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ; tập D Lời giải Gọi giá trị biểu thức Chứng