Trac nghiem phuong phap toa do trong khong gian muc do van dung cao co dap an

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề   MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,   cho  mặt  phẳng  ( P) : x  y  z  và  mặt  cầu  ( S ) : x  ( y  1)  ( z  2)2    Xét một điểm  M thay đổi  trên mặt  phẳng  ( P)  Gọi khối nón  ( N ) có đỉnh là điểm  M và có đường trịn đáy là tập hợp các tiếp điểm  vẽ  từ  M đến  mặt  cầu  ( S )   Khi  ( N ) có  thể  tích  nhỏ  nhất,  mặt  phẳng  chứa  đường  tròn  đáy  của  ( N ) có phương trình dạng  x  ay  bz  c   Tính  a  b  c   A 2   B   C   D   Câu (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  ba  điểm  A 1;1;1 ;  B  2;1;0  ;  C  2;0;2    Gọi   P    là  mặt  phẳng  chứa  BC   và  cách  A   một  khoảng  lớn  nhất.  Hỏi  vector nào sau đây là một vector pháp tuyến của mặt phẳng   P  ?     A n   5; 2;  1   B n   5; 2;1   C n   5; 2;  1   Câu (Chuyên KHTN - 2021) Trong  không  gian  Oxyz cho  hai  điểm  A(4;1;5), B(6; 1;1)   và  mặt  phẳng  ( P) : x  y  z    Xét mặt cầu  ( S )  đi qua hai điểm  A, B  và có tâm thuộc  ( P)  Bán kính  mặt cầu  ( S )  nhỏ nhất bằng  A Câu  D n   5;  2;  1   35   B 33   C   D   (Chuyên KHTN - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  các  điểm  A 1;0;  , B  1;1;3 , C  3; 2;0   và mặt phẳng   P  : x  y  z    Biết rằng điểm  M  a; b; c    thuộc mặt phẳng   P   sao cho thứ  MA2  2MB  MC  đạt giá trị nhỏ nhất. Khi  a  b  c  bằng:  A 1   Câu B   C   D   (Chun Hồng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Trong  khơng  gian  Oxyz ,  cho  mặt  phẳng   P  :  x 1 y 1 z     và điểm  A 1;3;1  thuộc mặt phẳng   P   Gọi  1   là đi qua  A  nằm trong mặt phẳng   P   và cách đường thẳng  d  một khoảng cách lớn nhất. Gọi   u   a ; b ;1  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng    Giá trị của  a  2b  là:  x  y  z  , đường thẳng  d :  A   Câu B   C 3   D   (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Trong không gian  Oxyz cho hai điểm  A  4; 2;  , B 2;6;   và  x   AMB  90  và  đường thẳng  d :  y  1  Gọi  M là điểm di động thuộc mặt phẳng   Oxy   sao cho   z  t  N là điểm di động thuộc  d  Tìm giá trị nhỏ nhất của  MN ?  A Câu B C 73 D (Chun Quang Trung - Bình Phước - 2021) Trong  khơng  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  A  3;  2;3 ;  B 1;0;5  Tìm tọa độ điểm  M   Oxy   sao cho  MA  MB  đạt giá trị nhỏ nhất:  9  A  ;  ;0    4  9  B  ; ;0    4    C   ;  ;0     4    D   ; ;0     4  Trang Câu Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  ba  điểm  x  y 1 z A  3;0;0  , B  0;3;0  , C  0;0;3   và  đường  thẳng  d :     Điểm  M   là  điểm  trên  1 đường thẳng  d  sao cho   MA  MB  3MC   đạt giá trị nhỏ nhất. Tung độ điểm  M  là  (Chuyên Ngoại Ngữ A   Câu Hà Nội- 2021) B 2   C 1.  D   (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  mặt  cầu   S  : x2   y    z  16  Có tất cả bao nhiêu điểm  A  a; b; c   ( a ,  c  là các số ngun) thuộc  mặt phẳng có phương trình  y  2   sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của   S   đi qua  A  và hai  tiếp tuyến đó vng góc với nhau?  A 26   B 32   C 28   D 45   Câu 10 (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  mặt  cầu  2  S  :  x  1   y  1   z  1  và  điểm  A  2;3; 1   Xét  các  điểm  M   thuộc   S    sao  cho    đường thẳng  AM  tiếp xúc với   S   Hỏi điểm  M  ln thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới  đây?  A x  y     B 3x  y     C x  y  11    D x  y  11    Câu 11 (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  điểm  A 1;2;  3  và mặt phẳng   P  :  x  y  z    Đường thẳng  d  đi qua  A  và vng góc với  mặt  phẳng   Q  : 3x  y  z     cắt  mặt  phẳng   P    tại  điểm  B   Điểm  M   nằm  trong  mặt  phẳng   P  , nhìn đoạn  AB  dưới góc vng và độ dài  MB  lớn nhất. Tính độ dài  MB A MB    B MB    C MB  41   D MB  41   Câu 12 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Trong  mặt  phẳng      cho  hai  tia  Ox, Oy ,  góc    60   Trên  tia  Oz vng  góc  với  mặt  phẳng    tại  O ,  lấy  điểm  S sao  cho  SO  a   Gọi  xOy M , N là các điểm lần lượt di động trên hai tia  Ox, Oy  sao cho  OM  ON  a ( a  và  M , N khác  O ). Gọi  H , K lần lượt là hình chiếu của  O trên hai cạnh  SM , SN  Khi  M , N  di động trên hai tia  Ox, Oy mặt cầu ngoại tiếp đa diện  MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A 2 a B  a2 C 2 a D  a2   Câu 13 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  mặt  cầu  ( S ) : x  ( y  2)  ( z  3)  24  cắt mặt phẳng    : x  y   theo giao tuyến là đường tròn  (C )   Tìm hồnh độ của điểm  M  thuộc đường trịn  (C )  sao cho khoảng cách từ  M  đến  A  6; 10;3  là  lớn nhất.  A 1   B 4   C   D 5   Câu 14 (THPT Nguyễn Tất Thành - Hà Nội - 2021) Trong  không  gian  tọa  độ  Oxyz ,  cho  ba  điểm  A 1;0;  ,  B  2;3; 1 ,  C  0;3;2    và  mặt  phẳng   P  : x  y  z     Khi  điểm  M   thay  đổi     trên mặt phẳng   P  , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  E  MA  MB  MC ?  A   B   C   D   Câu 15 (THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  trục  Oxyz ,  cho  mặt  cầu  2  S  :  x  1   y     z  3 Trang 2  25  tâm  I   và điểm  A  2;2;1  Xét các điểm  B , C , D  thay đổi thuộc   S   sao cho  AB , AC , AD  đơi một vng  góc nhau. Khoảng cách từ  I  đến mặt phẳng   BCD   có giá trị lớn nhất bằng  m  tối giản). Tích  m.n  bằng?  n B 30   C 15   m  (với  m , n  là các  n số nguyên dương và phân số  A 42   D 14 Câu 16 (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,   cho  các  điểm  A  3;1; 2  , B 1; 5;  , C  5; 1;0   Biết rằng tập hợp các điểm  M trong mặt phẳng  Oxz  sao cho     MA  MB  3MC  10   là  một  đường  tròn  tâm  H  a; 0; c  ,  bán  kính  bằng  r Tính  tổng  T  a  c  r   A B 3 C 10 D   Câu 17 (Sở Lào Cai - 2021) Trong không gian  Oxyz ,  cho hai điểm  A(3; 2; 0);B ( 1; 2; 4)  Xét trụ  (T )   nội tiếp mặt cầu đường kính  AB  và có trục nằm trên đường thẳng  AB  Thể tích khối trụ đạt giá  trị lớn nhất thì chứa đường trịn đáy đi qua điểm nào dưới đây?  A C 0; 1; 2   B C 0; 1; C C 1;0; 2 D C 1;0;         Câu 18 (Sở Hà Tĩnh - 2021) Trong không gian  Oxyz,  cho  A(3;0;0), B(0;3;0), C (0;0;3) Gọi  ( P)  là mặt  phẳng chứa cạnh  AB  và vng góc với  ( ABC )   (C )  là đường trịn đường kính  AB  và nằm trong  mặt phẳng  ( P )  Gọi  S  là một điểm bất kỳ nằm trên  (C ) ,  S  khác  A, B  Khi đó khoảng cách từ  tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  S ABC  đến mặt phẳng  (Q) : x  y  z    bằng  A .  B .  C .  D .  14 14 14 14 Câu 19 (Sở Hà Tĩnh - 2021) Trong không gian  Oxyz,  cho các điểm  A(1;1;1), B(0;1;2), C (2;0;1) và mặt  phẳng  ( P) : x  y  z    Gọi  I  là điểm thuộc  ( P )  sao cho  S  IA2  IB  IC  đạt giá trị nhỏ  nhất. Độ dài  OI  bằng  46 A 46   B   C .  D .  4 Câu 20 (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ      Oxyz  cho các điểm  A(2;0;0), B(0;6;0), C (0;0;5)  và điểm  N sao cho  ON  OA  OB  OC  Một  mặt  phẳng  ( P)   thay  đổi  cắt các  đoạn  thẳng  OA, OB, OC , ON lần  lượt  tại  các  điểm  A1 , B1 , C1 , N1   OA OB OC thỏa mãn     2019  và  N1  ( x0 ; y0 ; z0 )  khi đó  OA1 OB1 OC1 11 18 A x0  y0  z0  B x0  y0  z0  2019 2019 13 19 C x0  y0  z0    D x0  y0  z0    2019 2019 Câu 21 (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ  Oxyz ,  cho  mặt  cầu  ( S ) : x  y  z  x  y  z  13    và  đường  thẳng  x  y  z 1 (d ) :    Điểm  M (a; b; c)   (a  0)   nằm  trên  đường  thẳng  (d )   sao cho  từ  M   kẻ  1 được  3  tiếp  tuyến  MA, MB, MC   đến  mặt  cầu  (S )   (với  A, B, C   là  các  tiếp  điểm)  thỏa  mãn     90  và  CMA   120  Tính  Q  a  b  c   AMB  60 ,  BMC A Q    B Q    C Q  10   D Q    Trang Câu 22 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho đường  x  m y  z  m2 thẳng   :    và  hai  điểm  M  1; 4;1 ,  N  3; 2;0    Gọi  H  a; b; c  ,  K   lần    2 lượt là hình chiếu vng góc của  M , N  lên đường thẳng    sao cho khối tứ diện  HKNM  có thể  tích nhỏ nhất. Tính giá trị  T  a  2b  c ?  A T    B T  8   C T  3   D T    Câu 23 (THPT Lương Thế Vinh - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz   cho  đường  thẳng  x y z d :   , điểm  A  3; 1; 1  và mặt phẳng   P  : x  y  z    Gọi    là đường thẳng đi  2 qua  A  và tạo với mặt phẳng   P   một góc    Biết khoảng cách giữa    và  d  là 3. Tính giá trị  nhỏ nhất của  cos   A .  B   C   D   Câu 24 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian  Oxyz , cho ba điểm  A 1; 4;5  ,  B  0;3;1 C  2; 1;0   P  : x  y  z    Gọi  M  a; b; c   là điểm thuộc mặt  ,   và mặt phẳng   P   sao cho biểu thức  T  MA2  MB  MC  đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó  a  2b  c  bằng:  phẳng  A   B   C 3   D   Câu 25 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Gọi  S  là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số   x2  y  z  x  z   có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử của  S  là m  để hệ phương trình    mx  y  z  3m  A  23 13 B  C  19   D  12   13 Câu 26 (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  ba  điểm  A 1; 2;3 , B 1;2;0  , M  1;3;   Gọi  d  là đường thẳng qua  B  vng góc với  AB  đồng thời cách   M   một  khoảng  cách  nhỏ  nhất.  Một  véc  tơ  chỉ  phương  của  d   có  dạng  u   2; a; b    Tính  tổng  ab   A   B   C 1   D 2   Câu 27 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Trong  không  gian  Oxyz , cho  hai  điểm    A0;0; 3 , B 2;0; 1   và  mặt  phẳng   P :3x  y  z 1   Tìm M a; b; c  P   thỏa  mãn  MA2  MB nhỏ nhất, tính  T  a  b  c   311 131 A T  B .  183 61 C 35   183 D 85   61 Câu 28 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Trong  không  gian  với  trục  tọa  độ  Oxyz ,  cho  3  điểm  A  1; 4;  ,  B 1;7; 2  ;  C 1; 4; 2   Mặt phẳng  ( P) :  x  by  cz  d   đi qua điểm  A  Đặt  h1  d  B;( P)  ;  h2  2d  C;(P)   Khi đó  h1  h2  đạt giá trị lớn nhất. Tính  T  b  c  d   A T  65   B T  52   C T  77   D T  33   Câu 29 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Trong không  gian  với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  điểm  2  S  :  x  5   y  3   z    72   Mặt  phẳng   P  : x  by  cz  d   đi qua điểm  A  và tiếp xúc với mặt cầu   S   sao cho  khoảng cách từ  B   đến mặt phẳng   P   lớn nhất. Khi đó tổng  b  c  d  có giá trị bằng A  0;8;  , B  9; 7; 23   và  mặt  cầu  A b  c  d  Trang B b  c  d  C b  c  d  D b  c  d  1.  Câu 30 (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  mặt  cầu  21   , bán kính  r1   và   S2   có tâm  J  0,0,1 , bán kính  r2    2   Hỏi có bao nhiêu điểm  M  x, y, z   với  x, y, z  nguyên thuộc phần giao của hai khối cầu?   S1  ,  S2  :   S1   có tâm  I  0, 0, A 11 B 13 C D 7.  Câu 31 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian cho hai điểm  I  2;3;3 và  J  4; 1;1  Xét  khối  trụ  T    có  hai  đường  trịn  đáy  nằm  trên  mặt  cầu  đường  kính  IJ   và  có  hai  tâm  nằm  trên  đường thẳng  IJ  Khi có thể tích  T   lớn nhất thì hai mặt phẳng chứa hai đường trịn đáy của  T    có phương trình dạng  x  by  cz  d1   và  x  by  cz  d   Giá trị của  d12  d 22  bằng:  A 25   B 14   C 61   D 26   Câu 32 Trong  không  gian  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  các  điểm  A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với  10  ngoại tiếp tứ diện  O ABC  Khi tổng  OA  OB  OC  đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng   đi qua tâm  I  của mặt cầu   S  và song song  a  4, b  5, c   và mặt cầu   S   có bán kính bằng  với mặt phẳng   OAB  có dạng  mx  ny  pz  q   ( với  m,n,p,q  ; trị  T = m + n + p + q  bằng  A B C q  là phân số tối giản). Giá  p D 5   Câu 33 Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  C  1; 2;11 , H ( 1; 2; 1) ,  hình  nón  N  có  đường  cao  CH  h   và  bán  kính  đáy  là  R    Gọi M là  điểm  trên  đoạn  CH ,  C  là  thiết  diện  của  mặt  phẳng   P  vng  góc  với trục  CH   tại  M   của  hình nón  N  Gọi   N   là  khối nón  có  đỉnh  H   đáy là   C   Khi thể tích khối nón   N    lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón   N   có tọa độ tâm  I  a; b, c  ,  bán kính là  d  Giá trị  a  b  c  d  bằng A   B   C   D 6 Câu 34 Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  A(1;3; 0), B ( 3;1; 4)   và  đường  thẳng  x  y 1 z    Xét  khối  nón  ( N )   có  đỉnh  có  tọa  độ  nguyên  thuộc  đường  thẳng     và  :   1 ngoại tiếp mặt cầu đường kính  AB  Khi  ( N )  có thể tích nhỏ nhất thì mặt phẳng chứa đường trịn  đáy của  ( N )  có phương trình dạng  ax  by  cz    Giá trị  a  b  c  bằng A   B   C   D 6 2  S1  :  x  1   y  3   z    49   và  2  S2  :  x  10    y     z    400  và mặt phẳng   P  : x  y  mz  22   Có bao nhiêu  số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu   S1  ,  S   theo giao tuyến là hai đường trịn khơng có tiếp  Câu 35 Trong  hệ  tuyến chung?  A   trục Oxyz ,  cho  B 11   hai  mặt  cầu  C Vô số.  D 2 Câu 36 Trong không gian  Oxyz , cho hai điểm  A(2;3;3)  và mặt cầu  S  :  x  1   x     x  3  12   Xét khối trụ  T   nội tiếp mặt cầu   S   và có trục đi qua điểm  A  Khi khối trụ  T  có thể tích lớn  nhất  thì  hai  đường  tròn  đáy  của  T  nằm  trên  hai  mặt  phẳng  có  phương  trình  dạng  x  ay  bz  c   và  x  ay  bz  d   Giá trị  a  b  c  d  bằng  A 4    B 5   C    D 5    Trang x 4 y 5 z 3     và  hai  điểm  A  3;1;2  ; B   1;3; 2    Mặt  1 cầu tâm  I  bán kính  R  đi qua hai điểm hai điểm  A, B  và tiếp xúc với đường thẳng  d  Khi  R  đạt  Câu 37 Trong  không  gian  Oxyz   Cho  d : giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm  A, B, I  là   P  : x  by  cz  d   Tính  d  b  c B   A   C 1   D   Câu 38 Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  A  2;1;1   và  B  2;1;1   Xét  khối  nón   N    có  đỉnh  A   đường trịn đáy nằm trên mặt cầu đường kính  AB  Khi   N   có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng   P   chứa đường tròn đáy của   N   cách điểm  E 1;1;1  một khoảng là bao nhiêu? A d    C d    B d    D d  Câu 39 Một  hình  nón  đỉnh  S   có bán kính  đáy bằng  a ,  góc ở  đỉnh  là  1200. Thiết  diện qua đỉnh của  hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất  S max  của thiết điện đó là bao nhiêu?  B Smax  a 2   A Smax  2a   Câu 40 Trong  S  : x không  gian  C Smax  4a   Oxyz,   cho  hai  điểm  D S max  9a   A  2;3; 1 ; B 1;3; 2    và  mặt  cầu   y  z  x  y  z    Xét khối nón   N   có đỉnh là tâm  I  của mặt cầu và đường  trịn đáy nằm trên mặt cầu   S   Khi   N   có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường trịn đáy  của   N    và  đi  qua  hai  điểm  A, B   có  phương  trình  dạng  x  by  cz  d    và  y  mz  e    Giá trị của  b  c  d  e  bằng A 15 .  B 12 .  C 14 .  D 13   Câu 41 Trong không gian  Oxyz  cho hai điểm  A 1;0;0  , B  3; 4; 4   Xét khối  trụ  T    có trục  là  đường  thẳng  AB  và có hai đường trịn đáy nằm trên mặt cầu đường kính  AB  Khi  T   có thể tích lớn  nhất,  hai  đáy  của  T    nằm  trên  hai  mặt  phẳng  song  song  lần  lượt  có  phương  trình  là  x  by  cz  d1    và  x  by  cz  d    Khi  đó  giá  trị  của  biểu  thức  b  c  d1  d   thuộc  khoảng nào sau đây? A  0;21   B  11;0    C  29; 18    D  20; 11 1.B  11.B  21.B  31.D  41.C    Trang 2.D  12.D  22.B  32.D    3.A  13.B  23  33.C    4.C  14.A  24.A  34.A    BẢNG ĐÁP ÁN 5.C  6.A  7.A  15.C  16.D  17.D  25.B  26.C  27.C  35.D  36.B  37.A        8.D  18.A  28.A  38.A    9.D  19.C  29.C  39.A    10.B  20.C  30.B  40.D    Chủ đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,   cho  mặt  phẳng  ( P) : x  y  z  và  mặt  cầu  ( S ) : x  ( y  1)  ( z  2)2    Xét một điểm  M thay đổi  trên mặt  phẳng  ( P)  Gọi khối nón  ( N ) có đỉnh là điểm  M và có đường trịn đáy là tập hợp các tiếp điểm  vẽ  từ  M đến  mặt  cầu  ( S )   Khi  ( N ) có  thể  tích  nhỏ  nhất,  mặt  phẳng  chứa  đường  trịn  đáy  của  ( N ) có phương trình dạng  x  ay  bz  c   Tính  a  b  c   A 2   B   C   D   Lời giải Chọn B  Cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm  I (0;1; 2) và điểm  M ta được thiết diện như sau:  M B H   A I R  HA  Khi đó  ( N ) có bán kính đáy AB đường cao h  MH   Dễ thấy khi  M gần I ( N ) có R; h nhỏ hay thể tích nhỏ IM ngắn nhất, tức M hình chiếu vng góc I lên ( P )   Ax  By  Cz  D 1.0  1.1  1.2    1  và điểm  M có tọa độ   Có  t   I I I A  B C 12  12  12  xM  xI  At    1   yM  yI  Bt     z  z  Ct    M (1;0;1)   I  M hay IH IM  IA2  12  IH    IM 1 3 Mặt khác, có  IM  d ( I , ( P)     111   IH  IM H ( ; ; ) 3 3   Suy   Mặt phẳng đáy đi qua  H  và có VTPT  IM  (1; 1; 1)  (1;1;1) nên có phương trình  1( x  )  1( y  )  1( z  )  x y z20 3 hay Suy a  b  c       Câu (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Trong  khơng  gian  Oxyz ,  cho  ba  điểm  A 1;1;1 ;  B  2;1;0  ;  C  2;0;2    Gọi   P    là  mặt  phẳng  chứa  BC   và  cách  A   một  khoảng  lớn  nhất.  Hỏi  vector nào sau đây là một vector pháp tuyến của mặt phẳng   P  ?  Trang  A n   5; 2;  1    B n   5; 2;1    C n   5; 2;  1    D n   5;  2;  1   Lời giải Chọn D Ta có:  BC   0;  1;   là một vector chỉ phương của  BC   x    Phương trình tham số của  BC :   y   t    z  2t   Lấy điểm  H  BC  H  2;1  t ; 2t   AH  1;  t ; 2t  1     H  là hình chiếu của  A  trên  BC  AH BC   1.0  t  1   2t  1   t       AH   1;  ;     5  Mà  d  A ;  P    AH  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   P   AH    Khi đó một vector pháp tuyến của mặt phẳng   P   là  n   5;  2;  1   Câu (Chuyên KHTN - 2021) Trong  không  gian  Oxyz cho  hai  điểm  A(4;1;5), B(6; 1;1)   và  mặt  phẳng  ( P) : x  y  z    Xét mặt cầu  (S )  đi qua hai điểm  A, B  và có tâm thuộc  ( P )  Bán kính  mặt cầu  (S )  nhỏ nhất bằng  A 35   B 33   C   Lời giải D   Chọn A   Ta có  ( P) : x  y  z   0, G  AB  ( P)   Thế điểm  A(4;1;5), B(6; 1;1)  vào phương trình mặt phẳng thì ta thấy  ( x A  y A  z A  1)( xB  y B  z B  1)  A  và  B  nằm khác phía so với mặt phẳng  ( P)     Ta có:  AB  (10; 2; 4)  u  ( 5;1; 2)  là VTCP của  AB   Gọi  E  là trung điểm của  AB  với  E (1;0;3)  và  F  là hình chiếu của  A  lên mặt phẳng  ( P)   Gọi  I là tâm của mặt cầu  (S )  cần tìm. Vì  I  ( P)  nên suy ra điểm  I  phải thuộc giao tuyến giữa    mặt phẳng  ( P)  và mặt phẳng trung trực của  AB là  (Q)  với  n( Q )  u  (5;1; 2)   Suy ra mặt phẳng  (Q) : 5 x  y  z     Vậy để bán kính mặt cầu  (S )  nhỏ nhất thì tâm  I phải thuộc cả mặt phẳng  ( AEF )    x  4  5t  Ta có:  ( AB ) :  y   t (t  R )  mà  G  AB  ( P)  nên   z   2t  Trang    15 3   AG   ; ; 3        Suy ra  4  5t   t   2t    t    G  ; ;        2     1  EG   ; ; 1  2   GE IE  30  AF  d ( A;( P))  3  GF  AF  AG          2  EG  30 GF  GA  AF   IE  GE AF    GF  Vậy suy ra bán kính nhỏ nhất của mặt cầu  (S )  là  IA  IE  AB  35   Cách (GVPB đề xuất) Mặt phẳng trung trực đoạn  AB  có phương trình là  (Q) : 5 x  y  z     Gọi  I  là tâm mặt cầu. Khi đó  I     P    Q     5 x  y  z   Tọa độ điểm  I thỏa mãn hệ      x  y  z 1  Cho  x  t  z  2t , y  t   I  t; t  1; 2t    2 Khi đó  R  IA2   t    t   2t  5   t  1  35  35   Vậy  R  35   Câu (Chuyên KHTN - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  các  điểm  A 1;0;  , B  1;1;3 , C  3; 2;0   và mặt phẳng   P  : x  y  z    Biết rằng điểm  M  a; b; c    thuộc mặt phẳng   P   sao cho thứ  MA2  2MB  MC  đạt giá trị nhỏ nhất. Khi  a  b  c  bằng:  A 1   B   C   Lời giải D   Chọn C      Gọi điểm I là điểm thỏa mãn IA  IB  IC   Suy ra:  I  2;0;4   Ta có:        MA2  2MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC      2MI  MI IA  IB  IC  IA2  IB  IC  MI  IA2  IB  IC           MA2  2MB  MC  đạt giá trị nhỏ nhất   MI  M  là hình chiếu vng góc của  I  lên   P     x  2  t  Khi đó phương trình đường thẳng  MI  đi qua  I  và vng góc với  P   là:   y  2t    z   2t   M  2  t; 2t;  2t      M  ( P)  9t    t   M  1; 2;2   a  b  c  .  Câu (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Trong  khơng  gian  Oxyz ,  cho  mặt  phẳng   P  :  x 1 y  z   và điểm  A 1;3;1  thuộc mặt phẳng   P   Gọi    1   là đi qua  A  nằm trong mặt phẳng   P   và cách đường thẳng  d  một khoảng cách lớn nhất. Gọi   u   a ; b ;1  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng    Giá trị của  a  2b  là:  x  y  z  , đường thẳng  d :  A   B   C 3   Lời giải D   Trang Chọn C  Mặt phẳng   P   có một vectơ pháp tuyến là  n  1;1;      Đường thẳng  d  có một vectơ chỉ phương là  u1   2;  1;1    Gọi  H 1  2t ; 1  t ;3  t   d  AH   2t ;   t ;  t      H  là hình chiếu của  A  trên  d  AH u1   4t   t   t   t  1       3 1 2 2 3  ; ;  AH   2;  3;1   AH , n      11;  7;1    4 4 1  Dễ thấy  d   ; d   AH  14   Dấu bằng xảy ra    là đường thẳng đi qua  A  nằm trong mặt phẳng   P   và vng góc với   đường thẳng    Do đó đường thẳng    có một vectơ chỉ phương là  u2  11;  7;1    a  11 ;  b  7  Vậy  a  2b  3   Câu (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Trong không gian  Oxyz cho hai điểm  A  4; 2;  , B 2;6;4   và  x   AMB  90  và  đường thẳng  d :  y  1  Gọi  M là điểm di động thuộc mặt phẳng   Oxy   sao cho   z  t  N là điểm di động thuộc  d  Tìm giá trị nhỏ nhất của  MN ?  B A C 73 Lời giải D Chọn A Ta có:  M là điểm di động thuộc mặt phẳng   Oxy   nên suy ra  M  x; y;0      AMB  90  nện suy ra  AM  BM  AM BM    Mà     Ta lại có:  AM   x  4; y  2; 4  , BM   x  2; y  6; 4   như vậy phương trình trên tương đương  với:    AM BM    x   y     y   y    16   x  y  x  y   2   x  1   y      Suy ra tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng   Oxy  là một đường trịn   C  có tâm  I1; 2;0   vá bán  kính  R    với đường trịn   C   là giao tuyến giữa mặt cầu đường kính  AB  và mặt phẳng   Oxy    Gọi  N  d   Oxy   N  5; 1;0   mà ta có  N là điểm di động thuộc  d  nên suy ra ta có:  MN  MN  M N với  M  IN   C    M N  IN  R    nên suy ra giá trị nhỏ nhất của  MN bằng 2 với dấu bằng xảy ra khi     17  IM  IN  M  ; ;0     5  Câu (Chun Quang Trung - Bình Phước - 2021) Trong  khơng  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  A  3;  2;3 ;  B 1;0;5   Tìm tọa độ điểm  M   Oxy   sao cho  MA  MB  đạt giá trị nhỏ nhất:  9  A  ;  ;0    4  9  B  ; ;0    4    C   ;  ;     4  Lời giải   D   ; ;     4  Chọn A Dễ thấy  A  3;  2;3  và  B 1;0;5   nằm cùng phía so với mặt phẳng   Oxy    Gọi  A  đối xứng với  A  qua mặt phẳng   Oxy   A  3;  2;  3   Trang   x  y 1 x    2    x2 z 4 H   P     ⇒ tọa độ của  H  là nghiệm của hệ:    ⇔   y       16 x  y  z     z     16 16 16   ⇒  H  ; ;    ⇒  a  ,  b  ,  c    ⇒  T  a  2b  c     8   3 3 3 3 3   Câu 23 (THPT Lương Thế Vinh - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz   cho  đường  thẳng  x y z d :   , điểm  A  3; 1; 1  và mặt phẳng   P  : x  y  z    Gọi    là đường thẳng đi  2 qua  A  và tạo với mặt phẳng   P   một góc    Biết khoảng cách giữa    và  d  là 3. Tính giá trị  nhỏ nhất của  cos   A .  B     Lời giải C D   Chọn C  Mặt phẳng   P  có vtpt  n  1; 2;     Đường thẳng  d  đi qua  O  0;0;0   và có vtcp  u   3; 2;     Gọi    là đường thẳng đi qua  A  3; 1; 1 và có vtcp  u    a; b; c      u .n a  2b  2c Ta có  sin      u n a  b2  c   u , u   OA   Lại có  d  d ,        u , u       u , u    2c  2b; 2a  3c;3b  2a       2c  2b   3c  2a  2a  3b d d,    3 2  2c  2b    2a  3c    3b  2a  c  b  3 8a  13b2  13c  12ab  12ac  8bc  81 c  b    8a  13b  13c  12ab  12ac  8bc    c  b   8a  13b  13c  12ab  12ac  8bc  9c  18bc  9b2  8a  13b  13c  12ab  12ac  8bc  8a  8b2  8c  12ab  12ac  10bc   4a  2b  2c  6ab  6ac  5bc   4a   b  c   6a  b  c   bc   Khi đó  sin   a  b  c  2 a b c  a  b  c   a   b  c   2bc a  b  c  2 a   b  c   8a   b  c   12a  b  c  Trang 14    a  b  c  9a   b  c   12a  b  c    Đặt  b  c  t  ta có  a  2t a  4at  4t  9sin   P sin   9a  12at  5t 9a  12at  5t   P  1 a   3P  1 at   5P   t  (*)  Nếu  a   t   (loại)  Phương trình (*) có nghiệm    3P  1   P  1 5P     P  65P    P    65 4 65 65  cos    Min  cos       sin    sin   9 81 Câu 24 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian  Oxyz , cho ba điểm  A 1; 4;5  ,  B  0;3;1 C  2; 1;0   P  : x  y  z    Gọi  M  a; b; c   là điểm thuộc mặt  ,   và mặt phẳng   P   sao cho biểu thức  T  MA2  MB  MC  đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó  a  2b  c  bằng:  phẳng  A   B   C 3   D   Lời giải Chọn A      Gọi  G  là trọng tâm   ABC :  GA  GB  GC   và  G 1; 2;            T  MA2  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC            3.MG  GA  GB  GC  MG GA  GB  GC       2      3.MG  GA  GB  GC  3.MG  13   14  3.MG  30   Do đó giá trị  minT  đạt được khi  MG   2.1  2.2     M   P  ;  MG  d  G;  P    3  22   2   12 ⇒  MG   khi:  M  là hình chiếu của  G  lên   P    Phương trình của đường thẳng  d  qua  G  và vng góc với   P   là:   x   2t    ud  n P    2; 2;1 ;  d :   y   2t    z   t      x - 2t  x   y  2t  y    M  d   P   ⇒ Tọa độ  M  thỏa mãn hệ phương trình:         z - t  z  2 x - y  z  t  Vậy điểm  M  thỏa mãn ycbt có tọa độ là:  M  3;0;3   ⇒  a  ,  b  ,  c   ⇒  a  2b  c    Câu 25 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Gọi  S  là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số   x2  y  z  x  z   có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử của  S  là m  để hệ phương trình    mx  y  z  3m  12 23 19 A  B  C    D    13 5 13 Lời giải Chọn B Trang 15  Đặt   S  : x  y  z  x  z    là phương trình mặt cầu tâm  I  3; 0; 2   có bán kính  R  32    2    3   và mặt phẳng   P  : mx  y  z  3m     Bài tốn để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tức là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.  3m  2.0   2   3m  Ta có  d  I ,  P    R   4  2 m   2    1  6m   m2   36m2  24m   16m2  80  20m2  24m  76     3  26 m  3  26 3  26   Vậy       5  3  26 m   Câu 26 (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2021) Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  ba  điểm  A 1; 2;3 , B 1;2;0  , M  1;3;   Gọi  d  là đường thẳng qua  B  vng góc với  AB  đồng thời cách   M   một  khoảng  cách  nhỏ  nhất.  Một  véc  tơ  chỉ  phương  của  d   có  dạng  u   2; a; b    Tính  tổng  ab   A   B   C 1   D 2   Lời giải Chọn C Gọi     là mặt phẳng qua điểm  B  và vng góc với  AB , khi đó phương trình    : z   (     Oxy ) và  d      Gọi  H , K  là lần lượt là hình chiếu của  M  lên    và  d   Ta có  d  M ; d   MK  MH , suy ra giá trị nhỏ nhất của  d  M ; d   MH , khi đó  d  qua  H  1;3;0      d  có vecto chỉ phương là  HB   2; 1;0   u   2; 1;0     a  1; b   a  b  1   Câu 27 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Trong  không  gian  Oxyz , cho  hai  điểm    A0;0; 3 , B 2;0; 1   và  mặt  phẳng   P :3x  y  z 1   Tìm M a; b; c  P   thỏa  mãn  MA2  MB nhỏ nhất, tính  T  a  b  c   311 131 A T  B .  183 61 35   183 Lời giải  C D 85   61 Chọn C     5  Gọi  I là điểm thỏa mãn  IA  2IB   I  ; 0;     3           2 Ta có:  MA2  MB  MI  IA  MI  IB  3MI  IA2  IB  MI IA  IB          3MI  IA  IB   Do  IA2  IB  không đổi nên  MA2  MB  nhỏ nhất khi  MI  nhỏ nhất suy ra  M  là hình chiếu  2 vng góc của  I lên   P    Gọi  d  là đương thẳng đi qua  I  và vng góc với   P   suy ra  d  có phương trình  Trang 16    x   3t     y  8t      5   z  7t     4   5  13 Xét phương trình:  3  3t  88t     7t 1  t        183 1 35  2t  183   Câu 28 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Trong  không  gian  với  trục  tọa  độ  Oxyz ,  cho  3  điểm  Suy ra  a  b  c  A  1; 4;  ,  B 1;7; 2  ;  C 1; 4; 2   Mặt phẳng  ( P) :  x  by  cz  d   đi qua điểm  A  Đặt  h1  d  B;( P)  ;  h2  2d  C;(P)   Khi đó  h1  h2  đạt giá trị lớn nhất. Tính  T  b  c  d   A T  65   B T  52   C T  77   Lời giải  D T  33   Chọn A Gọi  D  là điểm sao cho  C  là trung điểm  AD ,  I  là trung điểm  BD      19  Suy ra  D(3;12; 8) ,  I  2; ; 5      Khi đó  h1  h2  d ( B;( P))  d ( D;( P))  2d ( I ;( P))  2IA   Vậy  h1  h2  đạt giá trị lớn nhất khi  ( P)  qua  A , vng góc với  IA      27  IA   3;  ;9     ( P)  nhận  n   2;9; 6   làm vec tơ pháp tuyến.    Phương trình mặt phẳng  ( P) :  x  y  z  62    Vậy  b  9; c  6; d  62  b  c  d  65   Câu 29 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Trong  không  gian với  hệ  trục  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  điểm  2  S  :  x  5   y  3   z    72   Mặt  phẳng   P  : x  by  cz  d   đi qua điểm  A  và tiếp xúc với mặt cầu   S   sao cho  khoảng cách từ  B   đến mặt phẳng   P   lớn nhất. Khi đó tổng  b  c  d  có giá trị bằng A  0;8;  , B  9; 7; 23   và  mặt  cầu  A b  c  d  B b  c  d  C b  c  d  Lời giải D b  c  d  1.  Chọn C Vì  A   P   nên  8b  2c  d   d  8b  2c   P  : x  by  cz  8b  2c    Do   P   tiếp xúc với mặt cầu   S  nên  d  I ;  P   R   3b  c  d Lại có  d  B;  P     b2  c2  15b  21c  b2  c  11b  5c  6 2   b2  c2  11b  5c     b  4c  1 6   b2  c2   Trang 17  d  B;  P     11b  5c    b2  c2 Vậy  khoảng  cách   b  4c  1  b2  c2 6 2 1  42  12  b  c  12  từ   b2  c2 B   đến  mặt   d  B;  P       b  4c  1  b2  c2    18   phẳng   P   lớn  nhất  là  18   khi   11b  5c    b  4c  1    b  1; c    b c     1 Từ đây có  b  1; c  4; d   b  c  d      Câu 30 (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  mặt  cầu  21   , bán kính  r1   và   S2   có tâm  J  0,0,1 , bán kính  r2    2   Hỏi có bao nhiêu điểm  M  x, y, z   với  x, y, z  nguyên thuộc phần giao của hai khối cầu?   S1  ,  S2  :   S1   có tâm  I  0, 0, A 11 B 13 C Lời giải D 7.  Chọn B 21   Ta có phương trình mặt cầu   S1  : x  y   z    36   2  81 Và phương trình mặt cầu   S  : x  y   z  1    2 Điểm  M  x, y, z   thuộc giao của hai khối cầu   S1  ,  S2   nên toạ độ điểm  M  x, y, z   là nghiệm  của hệ bất phương trình   21   81  2  x  y   z    36   x  y   z  1  2       81   z   x  y   z  1  81 17 Từ đó suy ra  x  y    1   x  y    4  x   x  1  x  1  x   x  2  x  17 Do  x, y    và  x  y   suy ra   ;   ; ; ; ;      y  1  y   y  1  y  2  y   y  Vậy có 13 điểm  M  x, y, z   với  x, y, z  nguyên thuộc phần giao của hai khối cầu.  Câu 31 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian cho hai điểm  I  2;3;3 và  J  4; 1;1  Xét  khối  trụ  T    có  hai  đường  trịn  đáy  nằm  trên  mặt  cầu  đường  kính  IJ   và  có  hai  tâm  nằm  trên  đường thẳng  IJ  Khi có thể tích  T   lớn nhất thì hai mặt phẳng chứa hai đường trịn đáy của  T    có phương trình dạng  x  by  cz  d1   và  x  by  cz  d   Giá trị của  d12  d 22  bằng:  A 25   B 14   C 61   D 26   Lời giải Chọn D Trang 18    IJ  , tâm  M  3;1;2   là trung  Ta có:  IJ   2; 4; 2   1; 2; 1  Mặt cầu có bán kính  R  điểm của  IJ   Gọi  H , K  lần lượt là tâm của hai đường trịn đáy của hình trụ.  r  AH  AM  MH   h2 24  h    4 Thể tích khối trụ:  24  h  V   r h   h   24  h  h   4  24  h  24  h 24  h Ta có:    h2  3  h    2   2  24  h   24  h  24  h 3 h     h   512  h  16        V  4   24  h  h  h  2  MH  MK    Gọi     vng góc với  IJ  và cách tâm  M  của mặt cầu một khoảng là    Dấu  "  "  xảy ra      : x  y  z  d    Có  d  M ,      Mà  d  M ,      2.1   d 12   2    1  1  d   d    1  d       d   Nhận xét mặt phẳng chứa hai đường trịn đáy chính là mặt phẳng      Khơng mất tính tổng qt gọi  d1   3; d    d12  d 22  26   Câu 32 Trong  không  gian  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  các  điểm  A  a; 0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với  10  ngoại tiếp tứ diện  O ABC  Khi tổng  OA  OB  OC  đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng   đi qua tâm  I  của mặt cầu   S  và song song  a  4, b  5, c   và mặt cầu   S   có bán kính bằng  với mặt phẳng   OAB  có dạng  mx  ny  pz  q   ( với  m,n,p,q  ; q  là phân số tối giản). Giá  p trị  T = m + n + p + q  bằng  Trang 19 A B C Lời giải D 5   Chọn D Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  O ABC  là  R  a  b  c 10   a  b  c  90   2 Ta có  P  OA  OB  OC  a  b  c  Đặt  x  a   0, y  b   0, z  c     Khi đó  2 a  b2  c   x     y  5   z    x  y  z  x  10 y  12 z  77  90    x  y  z  x  10 y  12 z  13   T   x  y  z   12  x  y  z   x  y  z  x  10 y  12 z   xy  yz  zx  x  y    Vì  x  y  z  x  10 y  12 z  13  và  x, y, z  nên   x  y  z   12  x  y  z   13     x  y  z   a   b   c    a  b  c  16  OA  OB  OCmin  16   Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi  a  4, b  5, c    Suy ra,  A  4;0;0  , B  0;5;0  , C  0;0;7    Gọi mặt cầu   S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d    Vì  A  4;0;0  , B  0;5;0  , C  0;0;7  , O  0; 0;0  nên ta có hệ  a   16  8a  d  b  25  10b  d    2    47  14 z  d  c  d   d    7 Tâm của mặt cầu   S   là  I  2; ;   2 Mặt phẳng    song song với mặt phẳng   OAB    Oxy  : z     : z  e    7  7 Vì  I  2; ;   thuộc     nên   e   e     2  2 Suy ra,  z    m  0; n  0; p  2; q  7   T= m + n + p + q = -5 Câu 33 Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  C  1; 2;11 , H ( 1; 2; 1) ,  hình  nón  N  có  đường  cao  CH  h   và  bán  kính  đáy  là  R    Gọi M là  điểm  trên  đoạn  CH ,  C  là  thiết  diện  của  mặt  phẳng   P  vng  góc  với trục  CH   tại  M   của  hình nón  N  Gọi   N   là  khối nón  có  đỉnh  H   đáy là   C   Khi thể tích khối nón   N    lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón   N   có tọa độ tâm  I  a; b, c  ,  bán kính là  d  Giá trị  a  b  c  d  bằng A   B   C   Lời giải Chọn C Trang 20 D 6 Đặt HM  x ,   x  h  Gọi  I , R, r  lần lượt là tâm và bán kính đường trịn đáy của nón  ( N ) , bán  kính đường trịn   C  Khi đó ta có CH  h  12  là chiều cao của  ( N ), R    Khi đó  C , I , H  thẳng hàng ( I  nằm giữa  C , H ).  Do tam giác  CEM ∽ CQH  nên  R h  x EM CM QH CM     r  EM  FM   EM  h CH QH CH Thể tích của khối nón đỉnh  O  đáy là   C   là    R h  x    1 R2 x   V   EM HM     h  x 2 x    3  h h  R2 Ta có Xét hàm số  f  x     h  x  x ,    x  h    h R2 R2 h f   x     h  x  h  x  ;  f   x      h  x  h  x   x    h h Lập bảng biến thiên ta có    h Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh  O  đáy là   C   lớn nhất khi  x  3  Chú ý: Có thể đánh giá dựa vào    Trang 21 1 h  x  h  x  2x ( h  x)( h  x)2 x  ( ) với   x  h Dấu "=" xảy  2 h ra khi ba số  ( h  x)  ( h  x)  x  x  h R.CM R.(h  x ) Khi đó  HM  x   ,  r    2  MF   h h Gọi P là giao điểm của HM với mặt cầu ngoại tiếp nón   N    Ta có  HFP  vng tại   h  x 2 x  (h  x)(h  x) x  F  HF  HM HP      HM  MF  HM HP  16  2  4.HP  HP       d  HI   HC  HI  HC  I (1; 2; 2)   4 Vậy  a  b  c  d  Câu 34 Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  A(1;3; 0), B ( 3;1; 4)   và  đường  thẳng  x  y 1 z    Xét  khối  nón  ( N )   có  đỉnh  có  tọa  độ  nguyên  thuộc  đường  thẳng     và  :   1 ngoại tiếp mặt cầu đường kính  AB  Khi  ( N )  có thể tích nhỏ nhất thì mặt phẳng chứa đường trịn  đáy của  ( N )  có phương trình dạng  ax  by  cz    Giá trị  a  b  c  bằng A   B   C   D 6 Lời giải Chọn A Mặt cầu đường kính  AB  có tâm  I ( 1; 2; 2) , bán kính    Gọi  H , r  lần lượt là tâm và bán kính đường trịn đáy của  ( N ) ,  C  là đỉnh của  ( N )   Khi đó  C , I , H  thẳng hàng ( I  nằm giữa  C , H ),  IH  IK    Đặt  CI  x   IK CK IK CH 3( x  3) CIK đồng dạng CMH  nên    r  HM   MH CH CK x2  V( N )  x  3 1   x  3    r CH    ( x  3)  3  3  x2   x 3 V( N ) nhỏ nhất    x  3 f ( x)  x  x  27   x3  x  3 f '( x)      x  f '( x)  Trang 22 x3  x2  6x   nhỏ nhất  ( x  3)   x 3 V( N )  nhỏ nhất   x  , khi đó  IC   nên  C  ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  2)2  81    43 32 41  Mặt khác  C   nên  C  1; 2;11  hoặc  C  ;  ;      11 11 11  Vì  C có tọa độ ngun nên  C  1; 2;11     IH   IC  nên  H (1; 2; 1)    Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  ( N )  đi qua  H  và nhận  IH  (0; 0;3)  làm vectơ pháp tuyến  nên phương trình mặt phẳng là  z     Do đó  a  0, b  0, c   nên  a  b  c  1  2  S1  :  x  1   y  3   z    49   và  2  S2  :  x  10    y  9   z    400  và mặt phẳng   P  : x  y  mz  22   Có bao nhiêu  số ngun m để mp (P) cắt hai mặt cầu   S1  ,  S   theo giao tuyến là hai đường trịn khơng có tiếp  Câu 35 T rong  hệ  trục Oxyz ,  cho  hai  mặt  cầu  tuyến chung?  A   B 11   C Vô số.  D Lời giải  Chọn D Mặt cầu   S1   có tâm  I 1; 3;  , bán kính  R1  ; mặt cầu   S   có tâm  J 10;9;  , bán kính   R2  20  Ta có  IJ  9;12;0  ,  IJ  15    Mặt phẳng   P  : x  y  mz  22   có vec tơ pháp tuyến  nP  4; 3; m      Do  IJ nP   nên  IJ  song song hoặc chứa trong (P).  Bán  kính  đường  trịn  giao  tuyến  của  hai  mặt  cầu   S1  ,  S    là  r  p  p   p  20  p  15 15  28   với  20   15 p  21   I J r   Phương trình mặt phẳng chứa đường trịn giao tuyến hai mặt cầu là (Q):  3x  y  30    21 96 Ta có  d  I ;(Q)   ,  d  J ;(Q)    nên  d  I ; (Q )   IJ  d  J ;(Q)    5 Ta có mp(P) cắt hai mặt cầu   S1  ,  S   theo giao tuyến là hai đường trịn, trong đó đường trịn nhỏ ở trong  đường trịn lớn khi  28 28 2m  35  d  I ;( P)      7  5 m  25 Trang 23 45m2  140m     684   m  140m  441    25 Và có m nguyên, nên  m  2; 1; 4;5;6;7   2 Câu 36 Trong không gian  Oxyz , cho hai điểm  A(2;3;3)  và mặt cầu  S  :  x  1   x     x  3  12   Xét khối trụ  T   nội tiếp mặt cầu   S   và có trục đi qua điểm  A  Khi khối trụ  T  có thể tích lớn  nhất  thì  hai  đường  trịn  đáy  của  T  nằm  trên  hai  mặt  phẳng  có  phương  trình  dạng  x  ay  bz  c   và  x  ay  bz  d   Giá trị  a  b  c  d  bằng  B 5   A 4    C 4   Lời giải  D 5    Chọn B   Gọi  r , h lần lượt là bán kính đường trịn đáy và chiều cao của mặt trụ  T  và  R là bán kính mặt cầu   S  , ta có:  R  ,  h  R2  r     Thể tích khối trụ  T   là  V   r h  2 r R2  r   r r 2R2  2r   r  r  2R2  2r 2  R   3 4 3 R R  Dấu “=” xẩy ra khi  r  Suy ra:  r r  2R  2r   R6  V    27   Mà theo Cơ-si ta có:  r r 2R2  2r  R 6 3R  ( Có thể  Vậy khi khối trụ  T   đạt thể tích lớn nhất thì chiều cao  h  R     3   dùng phương pháp hàm số).  Mặt khác tâm của khối trụ  T   chính là tâm  I 1;2;3  của mặt cầu   S  nên trục của khối trụ  x  1 t T  nằm trên đường thẳng  IA :  y   t  Vậy hai đáy của khối trụ nằm trên 2 mặt phẳng vng  z   góc với đường thẳng  AI  và cách tâm  I một khoảng bằng   Gọi  M 1  t;2  t;3  IA là tâm của  đường trịn đáy hình trụ, ta có  IM   t  t   2t    t   M  2;  2;3    t    M  2;  2;3  Vậy 2 mặt phẳng chứa 2 đường trịn đáy của mặt trụ có phương trình là:  x 1  y     x  y   2            Và   x      y      x  y   Vậy:  a  b  c  d  5   Trang 24  0  x 4 y 5 z 3     và  hai  điểm  A  3;1;2  ; B   1;3; 2    Mặt  1 cầu tâm  I  bán kính  R  đi qua hai điểm hai điểm  A, B  và tiếp xúc với đường thẳng  d  Khi  R  đạt  Câu 37 Trong  không  gian  Oxyz   Cho  d : giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm  A, B, I  là   P  : x  by  cz  d   Tính  d  b  c A   B   C 1   Lời giải D   Chọn A Gọi  E  là trung điểm của  AB  E 1;2;0   và  IE  R    Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng  AB  là   :2 x  y  z    Gọi  H  là hình chiếu vng góc của  I  lên  d   Gọi  M  là hình chiếu vng góc của  E  lên  d  EM  d E ;d      x  2t   y  t   Toạ độ  M  là nghiệm hệ    t  1  M  2;6;1  ME     z  2t  2 x  y  2z  Vì     d  và  IH  IE  EM  R nhỏ nhất   I , H , E  thẳng hàng.      7     Vậy   EI  EH  I  ;3;   IA   ; 2;    4 4 4 4     n   AB; IA   18;0;18   18 1;0; 1    P  : x  2z-2   b  0; c  2; d  2  d  b  c     R  R2    R  Câu 38 Trong  không  gian  Oxyz ,  cho  hai  điểm  A  2;1;1   và  B  2;1;1  Xét khối nón   N   có đỉnh  A  đường trịn đáy nằm trên mặt cầu đường kính  AB  Khi   N   có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng   P   chứa đường trịn đáy của   N   cách điểm  E 1;1;1   một khoảng là bao nhiêu? A d    B d    C d    Lời giải D d  Chọn A Trang 25  Ta có:  AB   4;0;0   nên   P   có vtpt là  1;0;0    AB   R   Đặt  x  như hình vẽ  Khối nón   N   có  h  x   và  r  HC   x   1  V   r h     x   x    với   x    3 Khảo sát hàm số  y    x   x    với   x      2 Đạt max khi  x   IH   3IH  IB  với  I  0;1;1   3 1      H  ;1;1   x     y  1   z  1    2     1 1   x    Khoảng cách từ điểm  E 1;1;1  tới mặt phẳng   P   là  d  E ,  P    12  02  2 Câu 39 Một  hình  nón  đỉnh  S   có bán kính  đáy bằng  a ,  góc ở  đỉnh  là  1200. Thiết  diện qua đỉnh của  hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất  S max  của thiết điện đó là bao nhiêu?  A Smax  2a   C Smax  4a   B Smax  a 2   D S max  9a   Lời giải Chọn A S O B A M   Giả sử  O  là tâm đáy và AB  là một đường kính của đường trịn đáy hình nón. Thiết diện qua đỉnh  của hình nón là tam giác cân  SAM  Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy  R  OA  a cm ,     600  Xét tam giác  SOA  vuông tại  O , ta có:  ASB  1200  nên  ASO OA OA  SA   2a   SA sin 600   2a.2a.sin ASM   2a sin ASM   Diện tích thiết diện là:  SSAM  SA.SM sin ASM 2    nên  S  Do   sin ASM SAM  lớn nhất khi và chỉ khi  sin ASM   hay khi tam giác  ASM     1200  900  nên tồn tại tam giác  ASM  thỏa mãn).  vng cân tại đỉnh  S  (vì  ASB sin 600  Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là:  Smax  2a  (đvtt).  Câu 40 Trong  S  : x không  gian  Oxyz,   cho  hai  điểm  A  2;3; 1 ; B 1;3; 2    và  mặt  cầu   y  z  x  y  z    Xét khối nón   N   có đỉnh là tâm  I  của mặt cầu và đường  trịn đáy nằm trên mặt cầu   S   Khi   N   có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường trịn đáy  của   N    và  đi  qua  hai  điểm  A, B   có  phương  trình  dạng  x  by  cz  d    và  y  mz  e    Giá trị của  b  c  d  e  bằng A 15 .  B 12 .  Chọn D Trang 26 C 14 .  Lời giải D 13   Mặt cầu   S   có tâm  I 1; 2; 1  và bán kính  R    Xét khối nón   N   có đỉnh  I , bán kính đáy r và chiều cao  h  ( h  là khoảng cách từ tâm I đến mặt  phẳng chứa đường trịn đáy) có thể tích là  1 1 VN   r h   R2  h2 h    h2 h   3h  h3   3 3         Khảo sát hàm  f  h   3h  h3  trên khoảng  0;  ta được  VN  max khi  h    Bài tốn quy về lập phương trình mặt phẳng   P  đi qua 2 điểm A,B và cách điểm I một khoảng  h 1   Gọi  n   a; b; c   a  b  c    là vectơ pháp tuyến của mp  P       Ta có  BA  1; 0;1 ;  n.BA   a  c   c  a    Mp  P   đi qua A, với vectơ pháp tuyến  n   a; b;  a   có phương trình là  a  x    b  y  3  a  z  1   ax  by  az  3a  3b    a     a  b   2a  b  a  2ab      2a  b  a  2b + Với  a   c   mp ( P ) : y     + Với  a  2b , chọn  b   a  2; c  2  mp( P) : x  y  z     Vậy  b  1; c  2; d  9; e  3  b  c  d  e  13   d  I ,  P   ab Câu 41 Trong không gian  Oxyz   cho hai điểm  A 1;0;0  , B  3;4; 4    Xét khối trụ   T    có  trục  là đường  thẳng  AB  và có hai đường trịn đáy nằm trên mặt cầu đường kính  AB  Khi   T   có thể tích lớn  nhất,  hai  đáy  của  T    nằm  trên  hai  mặt  phẳng  song  song  lần  lượt  có  phương  trình  là  x  by  cz  d1    và  x  by  cz  d    Khi  đó  giá  trị  của  biểu  thức  b  c  d1  d   thuộc  khoảng nào sau đây? A  0;21   B  11;0    C  29; 18   D  20; 11   Lời giải  Chọn C Trang 27   Mặt cầu đường kính  AB  có tâm  I  2; 2; 2   và bán kính bằng 3.  Gọi  x,   x  3  là bán kính đáy của  T  , khi đó  T   có chiều cao bằng  h   x , do đó  thể tích của  T   bằng  V  2 x  x  4 x2 x2 9  x2  2  x2 x2    9  x2     4    12         T   có thể tích lớn nhất bằng  Vmax  12  khi  x    Khi đó gọi   P   là mặt phẳng chứa đường trịn đáy của  T  ,   P   có phương trình tổng qt dạng  x  y  z  d   Khoảng cách từ tâm  I  2; 2; 2   đến   P   bằng   nên   d  3  10  2.2   2   d  3    d  3  10 Vậy  b  c  d1  d    3  10  3  10  20     Trang 28 ... b  c   AMB  60 ,  BMC A Q    B Q    C Q  10   D Q    Trang Câu 22 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Trong? ?không? ?gian? ?với hệ tọa độ  Oxyz , cho đường  x  m y  z  m2 thẳng  ... 10.B  20.C  30.B  40.D    Chủ đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Trong? ? không  gian? ? Oxyz ,   cho  mặt  phẳng  ( P) : x  y  z... 9; 7; 23   và  mặt  cầu  A b  c  d  Trang B b  c  d  C b  c  d  D b  c  d  1.  Câu 30 (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Trong? ? không  gian? ? với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  mặt