ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt Cho đường thẳng d và mặt phẳng P Có ba trường hợp xảy ra Đường thẳng d và P có 2 điểm chung phân biệt d P[.]
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt Cho đường thẳng d mặt phẳng P Có ba trường hợp xảy ra: - Đường thẳng d P có điểm chung phân biệt d P - Đường thẳng d P có điểm chung d (P) A - Đường thẳng d P khơng có điểm chung d || (P) Định nghĩa Đường thẳng d mặt phẳng P gọi song song với chúng khơng có điểm chung Các định lí - Định lí Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng d song song với đường thẳng d' nằm (a) d song song với - Định lí Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng Nếu mặt phẳng (p) chứa a cắt theo giao tuyến b b song song với a Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng - Định lí Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng P a || b Phương pháp giải: b P a || P a P Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh MN song song với mặt phẳng ABC ABD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng SBC SAD b) Gọi E trung điểm SA Chứng minh SB, SC song song với MNE Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Tìm giao tuyến cúa hai mặt phẳng Phương pháp: Áp dụng hai cách sau: a || P a || P P Q Mx || a a || Q P Q Mx || a a Q M P Q M P Q Ví dụ Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm ABC, M cạnh CD với MC 2MD a) Chứng minh: MG || ABD b) Tìm ABD BGM ? c) Tìm ABD AGM ? Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Tìm thiết diện song song với đường thẳng Phương pháp: Để tìm thiết diện mặt phẳng qua điểm song song với hai đường thẳng chéo chứa đường thẳng song song với đường thẳng, M a || d (với M a ) thường sử dụng tính chất sau: d || d Ví dụ Cho tứ diện SABC Gọi M, I trung điểm BC, AC Mặt P qua điểm M, song song với BI SC Xác định hình vẽ giao điểm P với cạnh AC, SA, SB Từ suy thiết diện P cắt hình chóp Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– BÀI TẬP ÁP DỤNG BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD Chứng minh rằng: a) BC || SAD b) AD || SBC c) MN || ABCD c) MN || SBC e) MO || SCD f) NO || SBC BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi G trọng tâm tam giác SAD E điểm cạnh DC cho DC 3DE, I trung điểm AD a) Chứng minh: OI || SAB OI || SCD b) Tìm giao điểm P IE SBC Chứng minh: GE || SBC BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB CD a) Chứng minh: MN || SBC MN || SAD b) Gọi P điểm cạnh SA Chứng minh: SB || MNP SC || MNP c) Gọi G, I trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: GI || SAB BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB, với AB 2CD Gọi O giao điểm AC BD, I trung điểm SA, G trọng tâm tam giác SB C E điểm cạnh SD cho 3SE 2SD Chứng minh: a) DI || SBC b) GO || SCD c) SB || ACE BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD Gọi I, J thuộc SM, SN cho SI SJ Chứng minh: SM SN a) MN || SBD b) IJ || SBD c) SC || IJO BT Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác ABD I điểm cạnh BC cho BI 2IC Chứng minh rằng: IG || ACD BT Cho tứ diện ABCD Gọi G, P trọng tâm tam giác ACD ABC Chứng minh rằng: GP || ABC GP || ABD BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, O giao điểm AC BD, M trung điểm SA a) Chứng minh: OM I (SCD) b) Gọi mặt phẳng qua M, đồng thời song song với SC AD Tìm thiết diện mặt phẳng với hình chóp S.ABCD BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD, mặt phẳng qua M, đồng thời song song với SA BC Tìm thiết diện với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình gì? BT 10 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N thuộc cạnh AB, CD Gọi mặt phẳng qua MN song song SA a) Tìm thiết diện hình chóp b) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang BT 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC P mặt phẳng qua AM song song với BD a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng P b) Gọi E, F giao điểm P với cạnh SB SD Tìm tỉ số diện tích SME với SBC tỉ số diện tích SMF với SCD c) Gọi K giao điểm ME CB, J giao điểm MF CD Chứng minh K, A, J nằm đường thẳng song song với EF tìm tỉ số EF KJ BT 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh BC AD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua MN song song với CD Xác định vị trí hai điểm M, N để thiết diện hình bình hành BT 13 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, M điểm đoạn IJ a) Gọi P mặt phẳng qua M song song với AB CD b) Tìm giao tuyến mặt phẳng P ICD c) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng P Thiết diện hình gì? BT 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi K J trọng tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh KJ / / SAB b) Gọi P mặt phẳng chứa KJ song song với AD Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng P BT 15 Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh rằng: G1G || ABC G1G || ABD BT 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm SAB, I trung điểm AB, lấy điểm M đoạn AD cho AD 3AM a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAD SBC b) Đường thẳng qua M song song AB cắt CI N Chứng minh NG || SCD c) Chứng minh: MG || SCD BT 17 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD AD 2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a) Chứng minh: OG || SBC b) Cho M trung điểm SD Chứng minh: CM || SAB c) Gọi I điểm cạnh SC cho 2SC 3SI Chứng minh: SA || BDI BT 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AD, SB a) Chứng minh: BD || MNP b) Tìm giao điểm MNP với BC c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng MNP SBD d) Tìm thiết diện hình chóp với MNP BT 19 Cho tứ diện ABCD Gọi M điểm thuộc BC cho MC 2MB Gọi N, P trung điểm BD AD a) Chứng minh: NP || ABC b) Tìm giao điểm Q A C với MNP tính QA Suy thiết diện hình chóp bị QC cắt MNP c) Chứng minh: MG || ABD , với G trọng tâm tam giác ACD BT 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành a) Tìm giao tuyến SAC SBD ; SAB SCD b) Một mặt phẳng qua BC song song với AD cắt SA E, (E S, E A), cắt SD F, (F S, F D) Tứ giác BEFC hình gì? c) Gọi M thuộc đoạn AD cho AD 3AM G trọng tâm tam giác SAB, I trung điểm AB Đường thẳng qua M song song AB cắt CI N Chứng minh: NG || SCD MG || SCD BT 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tâm O Gọi M, N, P trung điểm SA, B C, CD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAC SBD , SAB SCD b) Tìm giao điểm E SB MNP c) Chứng minh: NE || SAP BT 22 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB cho AM 2MB Gọi G trọng tâm ABCD I trung điểm CD, H điểm đối xứng G qua I a) Chứng minh: GD || MCH GK GM b) Tìm giao điểm K MG với ACD Tính tỉ số BT 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, K trung điểm B C, CD a) Tìm giao tuyến SIK SAC , SIK SBD b) Gọi M trung điểm SB Chứng minh: SD || ACM c) Tìm giao điểm F DM (SIK) Tính tỉ số MF MD BT 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G trọng tâm SAB, AD lấy điểm E cho AD 3AE Gọi M trung điểm AB a) Chứng minh: EG || SCD b) Đường thẳng qua E song song AB cắt MC F Chứng minh: GF || SCD c) Gọi I điểm thuộc cạnh CD cho CI 2ID Chứng minh: GO || SAI BT 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SC N trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh: SB || AMN b) Tìm giao tuyến AMN với SAB c) Tìm giao điểm I SD với AMN Tính tỉ số: IS ID d) Gọi Q trung điểm ID Chứng minh: QC || AMN BT 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm B C, CD a) Tìm giao tuyến SMD SAB b) Tìm giao tuyến SMN SBD c) Gọi H điểm cạnh SA cho HA 2HS Tìm giao điểm K MH SBD Tính tỉ số: KH KM d) Gọi G giao điểm BN DM Chứng minh: HG I (SBC) BT 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AD đáy lớn AD 2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a) Chứng minh: OG || SBC b) Gọi M trung điểm cạnh SD Chứng minh: CM || SAB c) Giả sử điểm I đoạn SC cho 2SC 3SI Chứng minh: SA || BID d) Xác định giao điểm K BG mặt phẳng SAC Tính tỉ số: KB KG BT 28 Cho hình chóp S.ABC Gọi M, P, I trung điểm AB, SC, SB Một mặt phẳng (u) qua MP song song với AC cắt cạnh SA, B C N, Q a) Chứng minh: BC || IMP b) Xác định thiết diện với hình chóp Thiết diện hình gì? c) Tìm giao điểm đường thẳng CN mặt phẳng SMQ BT 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình tứ giác lồi Gọi M, N trung điểm SC CD Gọi mặt phẳng qua M, N song song với đường thẳng AC a) Tìm giao tuyến với ABCD b) Tìm giao điểm đường thẳng SB với c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt BT 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB || CD Gọi M, N, I trung điểm AD, BC, SA a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng IMN SAC ; IMN SAB b) Tìm giao điểm SB IMN c) Tìm thiết diện mặt phẳng IDN với hình chóp S.ABCD BT 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G trọng tâm SAB; N điểm thuôc đoạn AC cho: AN ; I trung điểm AB AC a) Chứng minh: OI || SAD GN || SD b) Gọi mặt phẳng qua O song song với SA BC Mặt phẳng cắt SB, SC L K Tìm hình tính thiết diện cắt mặt phẳng với hình chóp S.ABCD BT 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi H, K trung điểm cạnh SA, SB M điểm thuộc cạnh CD, (M khác C D) a) Tìm giao tuyến của: KAM SBC , SBC SAD b) Tìm thiết diện tạo HKO với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình gì? c) Gọi L trung điểm đoạn HK Tìm I OL SBC Chứng minh: SI || BC BT 33 Cho tứ diện ABCD, có M, N trung điểm cạnh AB, BC gọi G trọngtâm tam giác ACD a) Tìm giao điểm E MG BCD b) Tìm d MNG BCD Giả sử d CD P Chứng minh: GP || ABC c) Gọi mặt phẳng chứa MN || AD Tìm thiết diện với tứ diện BT 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SA thỏa 3MA 2MS Hai điểm E F trung điểm AB BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng MEF SAC b) Xác định giao điểm K mặt phẳng MEF với cạnh SD Tính tỉ số: c) Tìm giao điểm I MF với SBD Tính tỉ số: KS KD IM IF d) Tìm thiết diện tạo mặt phẳng MEF cắt mặt hình chóp S.ABCD BT 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a) Xác định giao điểm NC OMD b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng P qua MO song song với SC BT 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SC, (P) mặt phẳng qua AM song song với BD a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng P b) Gọi E, F giao điểm P với cạnh SB SD Hãy tìm tỉ số diện tích tam giác SME với tam giác SBC tỉ số diện tích tam giác SMF tam giác S CD c) Gọi K giao điểm ME CB, J giao điểm MF CD Chứng ba điểm K, A, J nằm đường thẳng song song với EF tìm tỉ số EF KJ BT 37 Cho hình chóp S.ABCD có G trọng tâm AABC Gọi M, N, P, Q, R, H trung điểm SA, SC, CB, BA, QN, AG a) Chứng minh rằng: S, R, G thẳng hàng SG 2MH 4RG b) Gọi G ' trọng tâm SBC Chứng minh: GG ' || SAB GG ' || SAC ... ––––– Tìm thiết diện song song với đường thẳng Phương pháp: Để tìm thiết diện mặt phẳng qua điểm song song với hai đường thẳng chéo chứa đường thẳng song song với đường thẳng,... thời song song với SC AD Tìm thiết diện mặt phẳng với hình chóp S.ABCD BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD, mặt phẳng qua M, đồng thời song song... ACD BCD Chứng minh MN song song với mặt phẳng ABC ABD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng SBC