Phuong phap giai ve nhi thuc newton 2023 ly thuyet va bai tap

BÀI 3 NHỊ THỨC NEWTON 1 Nhị thức Newton Cho a, b là các số thực *n  Ta có   n n k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n 1 n 1 n n n n n n n n k 0 a b C a b C a C a b C a b C ab C b             [.]

BÀI NHỊ THỨC NEWTON Nhị thức Newton Cho a, b số thực n  * Ta có: n  a  b    Ckn a nk bk  C0n a n  C1n a n 1b  C2na n 2b2   Cnn1abn 1  Cnn bn n k 0 Ví dụ Khai triển nhị thức sau:   x  1   x  2y  1   x   x  1    2x   x  Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Nhận xét - Trong khai triển  a  b  có n  số hạng hệ số cặp số hạng cách số hạng n đầu số hạng cuối nhau: - Số hạng tổng quát dạng: Tn1  Cnk a nk bk số hạng thứ N k  N  - Trong khai triển  a  b  dấu đan nhau, nghĩa +, , +, ….… n - Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n - Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thu công thức đặc biệt Chẳng hạn như: x 1 C0n  C1n   C nn  2n  1  x   C0n x n  C1n x n 1   C nn  n x 1  C0n  C1n    1 C nn   1  x   C0n x n  C1n x n 1    1 Cnn  n n n Tam giác Pascal Các hệ số khai triển:  a  b  ,  a  b  ,  a  b  , ,  a  b  xếp thành tam giác gọi n tam giác PASCAL n  0: n  1: 1 n  2: Hằng đẳng thức PASCAL Ckn 11 n  3: 3 n  4: n  5: 10 10 n  6: 15 20 15 n  7: 21 35 35 21  Ckn 1  Ckn Câu hỏi? Viết đầy đủ dạng khai triển nhị thức sau:  a  b  – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –––––  a  b  – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– Dạng tốn Tìm hệ số số lượng thỏa mãn điều kiện cho trước BT Tìm hệ số số hạng khai triển: a)  2x  3y  17 chứa x y9 b)  x  y  25 chứa x12 y13 c)  x  3 e)  3x  x  12 40 1  g)  x   , x  x  i)  x 2  x  k)  2x  y  13 m) 1  x  3x  10  o)  x  3x  q) 1  x  x  chứa x d) 1  3x  chứa x15 f)  x  2x  chứa x 31 chứa x 11 10 chứa x16 2  h)  x   , x  x  10 chứa x11 chứa x   xy  x j)  xy   ,   y  y  chứa x y chứa x y l)  x3  xy  chứa x 25 y10 chứa x n) 1  x  2x  chứa x17 chứa x p)  x  x 1 chứa x chứa x 1  r) 1  x   x  12 chứa x 10 15 10 BT Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) khai triễn nhị thức: 12 1  a)  x   , x  x  10 1  c)  2x   , x  x  10   e)   x  , x  x  12 2  g)  x   , x  x   20   i)  x   , x  x  12 1  k)   x  , x  x    m)  x   , x  x    b)  x   , x  x   12 x 3 d)    , x  3 x 3  f)  2x   , x  x    h)  x   , x  x     j)  xy   , xy  xy   18   l)  2x   , x  x  17   n)   x  , x   x  BT Tìm hệ số chứa x10 khai triển: 1  x  x  x  BT 4.Tìm hệ số chứa x khai triển: x 1  2x   x 1  3x  10 BT Tìm hệ số chứa x khai triển:  2x  1   2x  1   2x  1   2x  1 BT Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (dạng có điều kiện) n   a) Tìm số hạng chứa x10 khai triển  x   , x  0, biết C4n  13C2n x     b) Tìm số hạng chứa x2 khai triển  x   , x  0, biết C0n  C1n  C2n  11 x   c) Tìm số hạng chứa x8 khai triển  x   , biết A3n  8C2n  C1n  49 n n 2  d) Tìm hệ số x khai triển   x  , x  0, biết Cnn64  n.An2  454 x  n   e) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   , n  0, biết n số x  n 5 nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C3n  5C1n n 3  f) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   , với n  x   * , x  Biết A2n1  Cn21  18P3 n   g) Tìm số hạng độc lập với x khai triển  x x   , x  0, biết n số 28 x   nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cnn  Cnn1  Cnn2  79 n   h) Tìm hệ số x10 khai triển  2x   , x  0, biết n số nguyên x   dương thỏa mãn điều kiện 3C2n  2A2n  3n  15 n   i) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển:  x   , x  0, biết n số x  nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C6n  3C7n  3C8n  C9n  2C8n2 j) Cho n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn11  A2n  160 Tìm hệ số x khai triển: 1  2x    x  ? n n k) Cho n    a   b  có hạng a, b,  b   Biết khai triển nhị thức Newton   b  tử chứa a b9 , tìm số hạng chứa tích a b với số mũ nhau? l) Cho n số nguyên dương thỏa mãn: Cnn3  Cn21  C1n1Cnn32 Tìm hệ số số hạng n   chứa x11 khai triển: x  x n 8   , x  3x   BT Xác định số nguyên dương n để khai triển 1  x  có hệ số x lần hệ số n x BT Tính An2016 , biết hệ số x khai triển 1  3x  90 n BT Trong khai triển nhị thức 1  2ax  ,  x   ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai n 48x, số hạng thứ ba 1008x Tìm n a? BT 10 Trong khai triển nhị thức 1  ax  , ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, n số hạng thứ ba 252x Tìm n a? BT 11 Biết hệ số x n 2 khai triển  x   220 Tìm hệ số x n n BT 12 Biết hệ số x n 2 1  khai triển  x   31 Tìm số nguyên dương n 4  n 1  BT 13 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x   , biết hiệu số số hạng thứ ba x  thứ hai 35 n 2  BT 14 Trong khai triển nhị thức  x   cho biết tổng hệ số ba số hạng x  khai triển 97 Tìm hệ số số hạng có chứa x BT 15 Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (kết hợp với việc tính tổng) a) Biết tổng hệ số khai triển 1  x  1024 Tìm hệ số x12 ? n n 1  b) Tìm hệ số x khai triển   x  , với n số nguyên dương biết x  tổng hệ số khai triển 1024? c) Tìm số hạng x10 y khai triển:  2x  y  , biết n số nguyên dương thỏa n mãn điều kiện: C1n  C2n  C3n   Cnn  2047 n   d) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển P  x     x  với x  x  Biết n thỏa mãn điều kiện: C1n  C2n   Cnn1  Cnn  4095 e) Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức   x  , biết n số nguyên dương n thỏa: 3n C0n  3n 1 C1n  3n 2 C2n  3n 3 C3n    1 Cnn  2048 n f) Tìm hệ số x10 khai triển   x  3x ,  x   , biết n số nguyên n dương tổng hệ số khai triển 2048? g) Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức   x  , biết n số nguyên dương n thỏa: 3n C0n  3n 1 C1n  3n 2 C2n  3n 3 C3n    1 Cnn  2048 n h) Tìm hệ số x19 khai triển biểu thức P   2x  1  x   , biết n số n nguyên dương: C0n  C1n  C2n   Cnn  2048 ? i) Tìm hệ số x khai triển đa   3x  , n số nguyên dương thỏa 2n 1 mãn điều kiện: C12x1  C32x1  C52x1   C2n 2x 1  1024 ? BT 16 Cho P  1  2x  , n  n a11 biết a  * Khai triển P ta được: P  a  a1x  a x   a n x n Tính n a1 a a a     nn  4096 2 2 BT 17 Cho khai triển nhị thức: 1  2x  x   a  a1x  a x   a 3n x 3n Xác định n tìm n 15 a a a 1 a , biết rằng: a   22   3n   3n 2 2 Dạng toán Chứng minh tính tổng BT 18 Chứng minh: 1 2n n a) C02n  C12n  C22n  C32n   C2n 2n  C2n  2n 1 2n b) C02n  C12n  C2n  C32n   C2n  C2n 0 16 16 c) 316 C16  315 C16  314 C16   3C15 16  C16  2 2n 2n 1 d) C02n  C2n   C2n  C12n  C32n   C2n  22n1 2n 2n 32  C2n 34   C2n  22n 1  2n  1 e) C02n  C2n 2000  34 C2001   32000 C2001  22000  22001  1 f) C02001  32 C2001 g) C0n 3n  C1n 3n 1    1 Cnn  C0n  C1n   C nn n h) 2n C0n  2n 2 C2n  2n 4 C4n   Cnn  3n  n i)  C0n    C1n    Cn2     Cnn   C2n , n  2,n  n n n n n n  C1n   C2n   C3n   Cnn  Cn2n1  j)            , n  2, n     n  1        n 1  BT 19 Tính tổng sau a) S  C50  C15  C52   C55 b) S  C50  2C15  22 C52   25 C55 c) S  40 C80  41 C18  42 C82   48 C88 d) S  C02010  C12010  C22010   C2010 2010 e) S  C02010  2C12010  22 C22010   22010 C2010 2010 f) S  C10  C10  C10  C10  C10 10 g) S  C100  C100  C100   C100 100 2009 h) S  2C12010  23 C32010  25 C52010   22009 C2010 1 k 2n 1 i) S  C12n  C22n    1 Ck2n1    1 C2n 2n k 2n  j) S  1 1     2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014! 2013 k) S  12 C12013  22 C22013  32 C22013   20132 C2013 l) S  C02013 C12013 C2013 C2013     2013 2014 BT 20 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau: a) C1n  Cn2  C3n   Cnn 1  Cnn  4095 b) 3n C0n  3n 1 C1n  3n 2 C2n  3n 3 C3n    1 Cnn  2048 n 2n c) C02n  C2n  C2n  C62n   C2n  512 2n 1 d) C12n 1  C32n 1  C52n 1  C2n 1   C2n 1  1024 503n e) C22014  C2014  C62014  C82014   C1006 1 2014  f) C12n 1  C22n 1  C32n 1   Cn2n 1  220 1 BT 21 Chứng minh: a) Ckn  Cnn k b) Ckk 1  Cnk  Cnk 1 c) Ckn  3Ckn 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk 33 d) kCkn  nCkn 11 e) k  k  1 Ckn  n  n  1 Ckn 22 f) k Ckn  n  n  1 Ckn 22  nCkn 11  2n   BT 22 Chứng minh: C C C     n 1  n n n n n 1 với n  2, n  n  2x  11 BT 23 Cho khai triển:     a  a1x  a x   a11x Hãy tìm hệ số lớn nhất? 3  BT 24 Cho khai triển: 1  2x   a  a1x  a x   a n x n với hệ số a , a1 , , a n thỏa mãn n hệ thức: a  a1 a   nn  4096 Hãy tìm số lớn số a , a1 , , a n ? 2  Em có biết? MỘT SỐ MẪU CHUYỆN VỀ NHÀ TỐN HỌC PASCAL Hồi nhỏ Pascal đam mê Hình học Nhưng Pascal yếu nên cha ơng khơng muốn cho ông học Toán Cha ông giấu hết tất sách liên quan đến tốn Thế Pascal phải tự mày mị xây dựng nên mơn hình học cho riêng Ơng vẽ hình tự đặt tên cho chúng Ông gọi đường thẳng “cây gậy”, đường trịn “cái bánh xe”, hình tam giác “thước thợ”, hình chữ nhật “mặt bàn”, Ông tìm chứng minh nhiều định lí hình học, có định lí: “Tổng góc thước thợ nửa tổng góc mặt bàn” Năm Pascal 12 tuổi Năm 16 tuổi, Pascal cơng bố cơng trình tốn học: “về thiết diện đường cơníc”, ông chứng minh định lí tiếng (sau mang tên ơng) gọi “định lí lục giác thần kì” Ơng rút 400 hệ từ định lí Nhà tốn học triết học vĩ đại lúc Descartes đánh giá cao cơng trình tốn học nói rằng: “Tôi tưởng tượng người tuổi thiếu niên mà lại viết tác phẩm lớn vậy” Năm 17 tuổi, thấy cha (một kế tốn) phải làm nhiều tính tốn vất vả, Pascal nảy ý định chế tạo máy tính Sau năm lao động căng thẳng miệt mài, ơng chế tạo xong máy tính làm phép tính cộng, trừ, nhân, chia, chưa nhanh Đó máy tính nhân loại Để ghi nhớ công lao này, tên ông đặt cho ngôn ngữ lập trình, ngơn ngữ lập trình Pascal Vào năm 1651, Pascal 28 tuổi Châu Âu tôn vinh thần đồng, ông nhận thư nhà quí tộc Pháp De Méré nhờ ông giải đáp số vấn đề rắc rối nảy sinh trị chơi đánh bạc Pascal “tốn học hóa” trị chơi cờ bạc này, nâng lên toán phức tạp trao đổi vấn đề với nhà toán học Phec – ma Những trao đổi khai sinh lý thuyết xác suất – lý thuyết toán học tượng ngẫu nhiên Sau cha mất, chị gái bỏ tu, lại thêm ốm đau bệnh tật, Pascal chán chường tất Ơng bỏ tốn học, đắm chìm vào suy tư tín ngưỡng nghiên cứu thần học Vào đêm vào đầu mùa xuân năm 1658, đau dội làm Pascal không ngủ Để qn đau, ơng tập trung suy nghĩ tốn đường xyclơit, tốn khó thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học lúc Kỳ lạ thay, ơng giải tốn sáng hôm sau khỏi bệnh đau Ông nghĩ thông điệp Chúa nhắc nhở ông không quên rời bỏ toán học Và sau năm theo đường tín ngưỡng tơn giáo, Pascal lại quay với tốn học Khơng nhà tốn học thiên tài, Pascal cịn nhà vật lí học tiếng, nhà văn, nhà tư tưởng lớn Ngày người ta thường nhắc đến câu nói Pascal như: “Con người sậy, vật yếu đuối tự nhiên, sậy biết suy nghĩ” “Trái tim có lí lẽ mà lí trí khơng giải thích được” Pascal ơng 39 tuổi Ơng coi nhà bác học lớn nhân loại ...- Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thu công thức đặc biệt Chẳng hạn như: x 1 C0n  C1n  ... 1  2x    x  ? n n k) Cho n    a   b  có hạng a, b,  b   Biết khai triển nhị thức Newton   b  tử chứa a b9 , tìm số hạng chứa tích a b với số mũ nhau? l) Cho n số nguyên dương... đường trịn “cái bánh xe”, hình tam giác “thước thợ”, hình chữ nhật “mặt bàn”, Ơng tìm chứng minh nhi? ??u định lí hình học, có định lí: “Tổng góc thước thợ nửa tổng góc mặt bàn” Năm Pascal 12 tuổi