Thông tin tài liệu
CHƯƠNG IV NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG BÀI TỐN THỰC TẾ Các em học sinh thân mến, có em nghe câu chuyện toán cân voi trạng nguyên Lương Thế Vinh ? Vào đời vua Lê Thánh Tông, quan sứ Trung Quốc Chu Hy sang Việt Nam ta với thái độ hống hách coi thường đất nước Việt Nam ta Chu Hy thách đố nước ta để cân khối lượng voi Vào thời ấy, khơng thể có loại cân đủ lớn để cân khối lượng voi lên hàng Dĩ nhiên ta xẻ thịt voi để cân Vậy Trạng nguyên Lương Thế Vinh cân voi cách nào? Chuyện kể Trạng nguyên Lương Thế Vinh sai quân lính dẫn voi lên thuyền, voi nặng nên thuyền đắm sâu xuống, Lương Thế Vinh cho quân lính đánh dấu mực nước thành thuyền, dắt voi lên bờ Sau đó, ơng sai quân lính vác đá bỏ lên thuyền thuyền đắm sâu tới mức đánh dấu lúc dừng lại Cuối cùng, ơng bảo qn lính cân hết số đá thuyền khối lượng voi Khi ấy, Chu Hy bực tức lòng thán phục Cách cân voi trạng nguyên Lương Thế Vinh mang “hơi hướng” phép tính tích phân đại ngày Để tính khối lượng voi, Lương Thế Vinh chia thành nhiều phần nhỏ (là viên đá) tính tổng khối lượng viên đá Trong thực tế ngày ta gặp nhiều vấn đề tương tự tốn cân voi Ví dụ để tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật, hay hình vng, hay hình trịn chuyện dễ dàng Tuy nhiên, khó khăn nhiều tính diện tích mảnh vườn có hình dạng phức tạp, cách chia nhỏ hình phức tạp thành nhiều hình đơn giản quen thuộc, sau tính tổng diện tích hình đơn giản cho kết hình phức tạp ban đầu Qua ta thấy phép tính tích phân đại giúp cho giải tốn cách đơn giản Khơng dừng lại đó, phép tính tích phân phát huy ưu qua nhiều ứng dụng thực tế: o Tính thể tích vật thể có hình dạng phức tạp (khơng phải hình hộp có sẵn cơng thức tính) o Tính quãng đường chuyển động vật (xe, máy bay, ) biết vận tốc suốt quãng đường o Dự đoán phát triển bào thai o Dự đoán chi phí sản xuất doanh thu doanh nghiệp o Và nhiều ứng dụng khác Tuy nhiên, chương trình sách giáo khoa lớp 12 thiên tính tốn khơ khan, học sinh biết tính tốn cách máy móc mà không thấy ứng dụng thực tế Với xu đổi cách đánh giá lực học sinh tốn ứng dụng thực tế tích phân chủ đề nóng cần thiết cho học sinh chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia Trong chương này, làm quen với toán thực tế áp dụng phép tính tích phân theo định hướng đề Bộ giáo dục đào tạo Nội dung chương bao gồm: Trang 1/31 Phần A: Tóm tắt lý thuyết kiến thức liên quan Phần B: Các toán ứng dụng thực tế Phần C: Các toán trắc nghiệm khách quan Phần D: Đáp án hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm Trang 2/31 PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Nguyên hàm Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f x xác định K Hàm số F x gọi nguyên hàm f x K F x f x , x K Nếu F x nguyên hàm f x K họ tất nguyên hàm f x K f x dx F x C , C Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K Tính chất Cho số C , k f x dx f x C f x g x dx f x dx g x dx k f x dx k. f x dx, k Nguyên hàm số hàm thường gặp Cho a, b, c , , số 0dx c dx x c 1 x 1 c ( co nst , 1) 1 dx x2 x c dx x 2 x c x dx cos xdx sin x c sin xdx cos x c cos2 x dx tan x c sin2 x dx cot x c ax x a dx c a 1 ln a e dx e x dx ln|x|c x x ax b ax b dx a c 1, a 1 ax b dx a ln|ax b|c , a cos ax b dx a sin ax b c , a sin ax b dx a cos ax b c , a 1 cos2 ax b dx a tan ax b c , a 1 sin ax b dx a cot ax b c , a a x , a 1, ln a ax b ax b e dx a e c , a x a dx c Trang 3/31 x ln a dx log |x|c a 1 a II Tích phân Khái niệm tích phân Cho hàm số f x liên tục K a, b K Nếu F x nguyên hàm f x K giá trị F(b) – F(a) gọi tích phân hàm f x từ a đến b, kí hiệu b f x dx F b F a a Đối với biến số, ta chọn chữ khác thay cho x , tức b a b b a a f x dx f t dt f u du Tính chất tích phân Cho hàm số f x liên tục a; b k , c a; b b a f x dx f x dx b c a a b b b f x dx f x dx f x dx a c b k f x dx k. f x dx a a b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx III Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C) trục hoành y f ( x) C H : y x a , x b ( a b) Diện tích tính theo cơng thức b S f ( x) dx a Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường cong y f ( x ) C1 y g x C2 H : x a x b a b Diện tích tính theo công thức b S f ( x) g x dx a IV Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay Trang 4/31 Cho hàm y f x liên tục đoạn a; b Gọi (H) hình thang cong giới hạn đường sau: C : y f x y0 H : x a x b a b y (C):y=f(x) (H) x a O b Thể tích khối trịn xoay sinh hình (H) xoay quanh trục Ox b V f x dx a Cho hàm số y f x y g x liên tục đoạn a; b thỏa điều kiện f x g x 0, x a; b Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường sau: y C : y f x C : y g x H : x a x b a b y=f(x) y=g(x) x O a b Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng (H) quay quanh trục Ox: b V f x g x dx a PHẦN B: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ Với đại lượng f x biến thiên theo biến số x tốc độ thay đổi (vận tốc) f x theo biến x đạo hàm f x (với giả sử f x tồn tại) Ngược lại, biết tốc độ thay đổi f x đại lượng f x suy mơ hình hàm số biểu thị cho đường đại lượng cách lấy nguyên hàm f x Nghĩa f x f x dx Kết hợp thêm điều kiện ban đầu thích hợp để tìm f x cách xác Khi biết tốc độ thay đổi f x đại lượng f x Sự chênh lệch giá trị đại lượng f x khoảng giá trị biến x từ a đến b xác định công thức: b f b f a f x dx a Trang 5/31 Đây mấu chốt quan trọng để giải toán thực tiễn biết tốc độ tăng trưởng đại lượng, ta tìm hàm số biểu thị số lượng đại lượng qua thời kì Trong thực tế, nhiều tốn liên quan tới nội dung kể đến như: chuyển động vật, gia tăng dân số, phát triển vi khuẩn, toán sản xuất kinh doanh… DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG Giả sử vật M chuyển động quãng đường có độ dài s khoảng thời gian t Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình v s t Tuy nhiên, gặp nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí thời gian Ví dụ xe chạy đường gặp nhiều chướng ngại vật giảm tốc, chạy đường thơng thống tăng tốc Vì ta cần phương pháp tính vận tốc xe thời điểm Giả sử v(t) vận tốc vật M thời điểm t, s(t) quãng đường vật sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ s(t) v(t) o Đạo hàm quãng đường vận tốc s t v t o Nguyên hàm vận tốc quãng đường s t v t dt Từ ta có quãng đường vật khoảng thời gian t a; b là: b v t dt s b s a a Nếu gọi a(t) gia tốc vật M ta có mối liên hệ v(t) a(t) o Đạo hàm vận tốc gia tốc v t a t o Nguyên hàm gia tốc vận tốc v t a t dt Bài tốn 1: (Trích đề minh họa 2017 Bộ GD - ĐT) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t 5t 10 m/s , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét ? A 0, 2m B 2m C 10m D 20m Phân tích tốn Ta có ngun hàm vận tốc v t 5t 10 quãng đường s t mà ô tô sau thời gian t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh Vào thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh ứng với Trang 6/31 t 0 Vào thời điểm ô tô dừng lại v t 5t 10 t Từ ta tính quãng đường xe từ lúc t đến t theo công thức v t dt Hướng dẫn giải Lúc bắt đầu đạp phanh, tức thời điểm t0 , tơ có vận tốc v0 10 m / s Suy v t0 5t0 10 10 t0 Khi ô tơ dừng lại thời điểm t1 vận tốc v1 m / s Suy v t1 5t1 10 t1 Ta có mối liên hệ đại lượng biến thiên quãng đường S t vận tốc v t là: Nguyên hàm vận tốc v t quãng đường S t Suy quãng đường từ lúc đạp phanh đến dừng lại tích phân hàm v t thời gian t từ 0s đến 2s t2 v t dt t 10 dt 5 10t 10m 0 0 0 2 Vậy chọn đáp án C Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Một là, nguyên hàm vận tốc quãng đường vật chuyển động Hai là, biết s(t) nguyên hàm v(t) quãng đường vật b khoảng thời gian t a; b tính theo cơng thức v t dt s b s a a Ba là, tốn giải theo phong cách Vật lí Từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển quãng đường S vo t at a 5 t S 10.2 5 10m v 10 o Bài toán 2: Một xe mô tô phân khối lớn sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong Parabol có hình bên Biết sau 15s xe đạt đến vận tốc cao 60m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét ? v(m) 60 t(s) O 15 Trang 7/31 Phân tích tốn Lúc ban đầu mơ tơ phóng nhanh với vận tốc thay đổi liên tục biểu đồ thị (P) hình vẽ, đề chưa cho biểu thức vận tốc v t , ta cần tìm biểu thức vận tốc chuyển động Vì đồ thị vận tốc có dạng đường Parabol hình vẽ nên biểu thức vận tốc có dạng v t at bt c , đường cong Parabol có đỉnh I 15; 60 , đồng thời qua gốc tọa độ O(0;0) Lúc bắt đầu tăng tốc xem t , theo đồ thị xe đạt vận tốc cao vào thời điểm t 15 Nhắc lại nguyên hàm vận tốc v t quãng đường Vậy quãng đường xe kể từ lúc tăng tốc ( t s) đến lúc đạt vận tốc cao ( t 15 s) tính theo cơng thức 15 v t dt Hướng dẫn giải Hàm vận tốc v t at bt c có dạng đường Parabol có đỉnh I 15; 60 , đồng thời qua gốc tọa độ O(0;0), suy a.0 b.0 c c c b 15 30a b a 15 2a a.152 b.15 60 a.15 b.15 c 60 b v t t 8t 15 Theo đồ thị xe bắt đầu tăng tốc lúc t đạt vận tốc cao lúc t 15 s nên quãng đường xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao 15 2 0 v t dt 0 15 t 8t dt 45 t 4t 600m 15 15 Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường dài 600m Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Trang 8/31 b Thơng thường để tính tích phân f x dx đề ln cho sẵn biểu thức f x a Tuy nhiên, ví dụ này, đề cho đồ thị hàm f x học sinh phải thiết lập biểu thức f x Đây kĩ cần thiết q trình học phổ thơng, học sinh thường làm toán chiều Tức là, từ hàm số f x vẽ thành đồ thị, (thậm chí khơng có) học sinh gặp tốn từ đồ thị suy biểu thức hàm f x Bài toán 3: Một máy bay chuyển động thẳng mặt đất với vận tốc v m/s bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc hàm số a t có đồ thị hàm số đường thẳng hình bên Sau 15s tăng tốc máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất Hãy tính vận tốc máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất a 90 t(s) O 15 Phân tích tốn Máy bay bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc hàm số a t , đề chưa cho công thức a t , nên bước đầu ta cần tìm cơng thức a t Vì đồ thị hàm số a t đường thẳng nên có dạng a t mt n , đường thẳng qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(16;90) từ suy phương trình a t Nhớ rằng: Nguyên hàm gia tốc a t vận tốc v t vật chuyển động nên ta có v t a t dt Chú ý điều kiện vận tốc máy bay lúc bắt đầu tăng tốc v m/s , từ ta suy hàm số v t Trang 9/31 Để tính vận tốc máy bay lúc rời khỏi mặt đất ta cần tính v 15 Hướng dẫn giải Đường thẳng a t mt n qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(16;90) nên suy m.0 n n a t 6t m.15 n 90 m Ta hiểu rằng: Nguyên hàm gia tốc a t vận tốc vật chuyển động Do ta có cơng thức vận tốc v(t) tính theo cơng thức v t a t dt 6tdt 3t C Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc xem t vận tốc lúc v m/s Suy v 3.02 C C v t 3t Vậy vận tốc máy bay đạt bắt đầu phóng khỏi mặt đất v 15 3.152 678 (m/s) Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, cho đồ thị hàm số, từ suy phương trình hàm số Hai là, nguyên hàm gia tốc vận tốc vật chuyển động Bài toán 4: Một viên đạn bắn lên trời với vận tốc 72 m/s độ cao 2m Hãy xác định chiều cao viên đạn sau thời gian 5s kể từ lúc bắn Phân tích tốn Để xác định chiều cao viên đạn thời điểm bất kì, ta cần tìm cơng thức qng đường s(t) mà viên đạn Xem thời điểm t0 viên đạn bắn lên Theo giả thiết ta có s v 72 Ta biết chuyển động ném đứng từ lên gia tốc trọng trường có giá trị âm thời điểm t, nghĩa a t 9,8m / s2 Vận tốc v(t) nguyên hàm a(t) nên ta có v t 9,8dt , kết hợp điều kiện vận tốc ban đầu v 72 ta suy dạng v t Tiếp tục có s(t) nguyên hàm v(t), kết hợp điều kiện vị trí ban đầu s ta tìm phương trình s(t) Từ ta tính s(5) Hướng dẫn giải Ta có vận tốc viên đạn thời điểm t v t 9,8dt 9,8t C1 Do v 72 nên v 9,8.0 C1 72 C1 72 v t 9,8t 72 Độ cao viên đạn thời điểm t s t v t dt 9,8t 72 dt 4,9t 72t C2 Trang 10/31 o Hướng dẫn giải a Để tìm mơ hình cho số lượng cặp đơi kết ta tìm ngun hàm f t F t 1, 218t 44,72t 709,1 dt 1, 218 44,72 t t 709,1t C 0,406t 22,36t 709,1t C Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2005 59513 triệu người nên ta có F 35 59513 0,406.353 22,36.352 709,1.35 C 59513 C 44678,25 Vậy mơ hình cần tìm F t 0, 406t 22, 36t 709,1t 44678, 25 b Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2012 F 42 65097,138 triệu người Theo báo cáo Cục điều tra dân số nước Mỹ vào năm 2012 tổng số cặp đôi kết hôn nước Mỹ khoảng 61,047 triệu người So với kết lý thuyết chênh lệch tạm chấp nhận Bài toán 4: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số B t 1000 1 0, 3t , t , B(t) số lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ t Số lượng vi khuẩn ban đầu 500 ml nước Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi số vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi sau ngày người ta phải xử lí thay nước cho hồ bơi Phân tích tốn Để biết sau ngày phải thay nước cho hồ bơi ta cần xác định sau bao nghiêu ngày số lượng vi khuẩn phát triển đến 3000 ml nước Như ta phải xác định hàm số B(t) biểu thị cho số lượng phát triển vi khuẩn ngày thứ t Ta biết tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số B t 1000 1 0, 3t Suy nguyên hàm B t hàm số B(t) biểu thị cho số lượng vi khuẩn ngày thứ t Khi đó, kết hợp với điều kiện số lượng vi khuẩn lúc đầu B(0) = 500 con, ta tìm mơ hình B(t) biểu thị cho số lượng vi khuẩn ngày thứ t Từ ta tính số lượng vi khuẩn thời điểm tùy ý xác định người bơi có an tồn hay khơng ? Có nên thay nước cho hồ bơi hay không ? Hướng dẫn giải Số lượng vi khuẩn ngày thứ t mơ hình hàm số B(t) nguyên hàm B’(t) B t 1000 1 0, 3t dt 1000 0, 3t dt 2 1000 C 0, 1 0, 3t Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu 500 ml nước nên Trang 16/31 B 500 1000 11500 C 500 C 0, 1 0, 3.0 Suy hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn ngày thứ t B t 1000 11500 0, 1 0, 3t Số lượng vi khuẩn 3000 ml nước người bơi an tồn; người bơi khơng an toàn B t 3000 1000 11500 3000 0, 1 0, 3t 1000 2500 0, 3t t 10 0, 1 0, 3t Vậy vào ngày thứ 10 số lượng vi khuẩn 3000 hồ bơi khơng cịn an tồn, cần phải thay nước Bài toán 5: Một hồ nước bị ô nhiễm xử lý chất diệt khuẩn Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn sống sót mơ hình B t 3000 1 0, 2t , t với B(t) số lượng vi khuẩn ml nước t số ngày tính từ hồ nước xử lý Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 10000 con/ml nước Sử dụng mơ hình xác định số lượng vi khuẩn sau ngày Liệu số lượng vi khuẩn vượt 2000 con/ml nước Phân tích tốn Theo giả thiết, tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn sống sót mơ hình cơng thức B t 3000 1 0, 2t , t với t số ngày tính từ hồ bơi xử lí Suy nguyên hàm B t hàm số B t biểu thị cho số lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ t (kể từ lúc hồ nước xử lí) Kết hợp với điều kiện số lượng vi khuẩn ban đầu B(0) = 10000 con/ml nước, ta tìm mơ hình B t Từ ta tính B số lượng vi khuẩn sống sót sau ngày kể từ hồ nước xử lí Hướng dẫn giải Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn sống sót mơ hình công thức đạo hàm B t 3000 , t 1 0, 2t Nguyên hàm B t hàm B t biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót ngày thứ t Ta có B t 3000 1 0, 2t dt 3000 0, 2t dt 15000 1 0, 2t C 2 1 15000 C 0, 2t Vì số lượng vi khuẩn ban đầu 10.000 con/ml nước nên có B 10000 15000 C 10000 C 5000 Vậy hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót ngày thứ t Trang 17/31 B t 15000 5000 0, 2t Số vi khuẩn sau ngày B 2500con / 1ml Như số lượng vi khuẩn vượt qua 2000 con/ml nước Bài toán 6: Người ta thay nước cho bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h1 280cm Giả sử h(t) chiều cao (tính cm) mực nước bơm thời điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t h t t lúc đầu hồ bơi nước Hỏi sau 500 nước bơm độ sâu hồ bơi? Phân tích tốn Tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t h t t Suy 500 nguyên hàm h’(t) chiều cao mực nước bơm thời điểm t Ta tính cơng thức ngun hàm h(t) Kết hợp với điều kiện lúc ban đầu hồ không chứa nước, tức độ cao mực nước hồ thời điểm t = h(0) = Ta suy mơ hình hàm số h(t) biểu thị cho chiều cao mực nước bơm thời điểm t Từ ta xác định thời gian để bơm lượng nước độ sâu hồ bơi Hướng dẫn giải Ta biết chiều cao h(t) mực nước bơm nguyên hàm tốc độ tăng h’(t) chiều cao mực nước h t h t dt 3 t 3dt t 3 C 500 2000 Lúc ban đầu (tại t ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa h t 3 3 C C 2000 2000 Suy mực nước bơm thời điểm t giây h t 3 t 3 2000 2000 Theo giả thiết, lượng nước bơm độ sâu hồ bơi nên ta có 4 3 33 h t h1 t 3 280 t 140004, 33 t 7234s 2000 2000 Vậy sau khoảng thời gian 34 giây bơm độ sâu hồ bơi Bài toán 7: Trong đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô xả lũ 40 phút với tốc độ lưu lượng nước thời điểm t giây v t 10t 500 m3 / s Hỏi Trang 18/31 sau thời gian xả lũ hồ chứa nước nhà máy thoát lượng nước ? Phân tích tốn Trong 40 phút, nhà máy thủy điện xả lũ với tốc độ v t 10t 500 m3 / s Nguyên hàm v t hàm số f t biểu thị cho lượng nước xả thời điểm t Lượng nước xả thời gian 40 phút (ứng với 2400 giây) tích phân 2400 v t dt Như vậy, phép tính ta xác định lượng nước thoát Hướng dẫn giải Lượng nước lũ xả khoảng thời gian 40 phút (2400 giây) L 2400 v t dt 2400 10t 500 dt 5t 500t 2400 3.107 m3 Vậy khoảng thời gian 40 phút, nhà máy xả lượng nước 30 triệu khối, tức hồ chứa nước thoát 30 triệu khối nước Bài toán 8: Trọng lượng bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1ounce = 28,3495 gram) sau tuần tuổi Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng bào thai dự đoán tăng với tốc độ: B t 2436e 0,193t 1 784e 0,193 t ,8 t 43 với B(t) cân nặng tính ounce t thời gian tính tuần Hãy tính trọng lượng bào thai sau 25 tuần tuổi Phân tích tốn Tốc độ tăng trọng lượng bào thai mơ hình hàm số B t 2436e 0,193t 784e 0,193t ,8 t 43 Nguyên hàm B t hàm số B t biểu thị cho cân nặng bào thai thời điểm t (tính tuần) Kết hợp với điều kiện trọng lượng ban đầu bào thai B 0,04 , ta tìm hàm số B(t) Từ ta dự đốn trọng lượng bào thai thời gian tới Hướng dẫn giải Theo giả thiết trọng lượng bào thai dự đoán tăng với tốc độ hàm số B t 2436e 0,193t 1 784e 0,193 t ,8 t 43 nên B(t) nguyên hàm B’(t) B t 24361e 0,193t 1 784e 0,193 t dt Đặt u 784e 0,193t , ta có Trang 19/31 B 16,1 du 16,1 16,1 C C u u 784e 0,193t 16,1 B t C 784e 0,193t Sau tuần tuổi bào thai cân nặng khoảng 0,04 ounce nên B 0,04 16,1 C 0,04 C 0,0556 784e 0,193.8 Do ta có hàm số cân nặng bào thai B t 16,1 0,0556, t 43 784e 0,193t Cân nặng bào thai sau 25 tuần tuổi là: B 25 16,1 0,0556 2,152ounce 784e 0,193.25 DẠNG 4: BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH Bài tốn 1: Một mảnh vườn hình thang cong OACB vng O B, có dạng hình vẽ, độ dài cạnh OA = 15m, OB = 20m, BC = 25m, đường cong AC mô tả hàm số mũ có dạng f x N.e mx N m số Hỏi mảnh vườn có diện tích bao nhiêu? C A 25 15 O 20 Phân tích toán Điều dễ nhận thấy khơng thể dùng cơng thức diện tích hình thang thơng thường để tính diện tích cho hình thang cong OACB Để tính diện tích ta cần dùng ý nghĩa hình học tích phân Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, hình thang cong OACB đơn giản hóa mặt phẳng tọa độ Oxy Bước ta cần tìm hàm số mũ f x N.e mx biểu thị cho đường cong AC, B để ý đường cong AC qua điểm A(0;15) C(20; 25) Diện tích hình thang cong tính theo công thức S 20 f x dx Hướng dẫn giải Khơng tính tổng quát, chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ cho đoạn OA, OB nằm trục Oy, Ox Để tính diện tích mảnh vườn, ta cần tìm hàm số f x N.e mx Theo hình vẽ ta có N 15 f 15 20 m 25 f 20 25 15.e y C A 25 15 x O 20 B Trang 20/31 N 15 x ln 20 f x 15 e ln m 20 Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta có diện tích mảnh vườn 20 20 S 20 x x 20 ln ln f x dx 15.e 20 dx 15.e 20 391, 52m ln 0 Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, để tính diện tích hình phẳng phức tạp (khơng phải tam giác, tứ giác, hình trịn, ) ta cần dùng đến tích phân để tính diện tích Hai là, hình phẳng ta cần chọn hệ trục tọa độ Oxy cho hình phẳng đơn giản hóa mà khơng tính tổng qt, kết diện tích khơng sai lệch Bài tốn 2: Vịm cửa lớn trường Đại Học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao m rộng m Hướng dẫn giải Phân tích tốn Hình phẳng cần tính diện tích giới hạn đường thẳng BC đường cong Parabol, ta dùng công thức tính diện tích hình đơn giản quen thuộc như: hình chữ nhật, hình trịn, tam giác, Ta cần dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng Như vậy, việc ta cần đưa đường cong Parabol cánh cửa vào hệ trục Oxy mơ hình thành hàm số bậc hai y ax2 bx c Dựa vào độ cao 8m chiều rộng 8m cánh cửa ta dễ dàng xác định hệ số a, b, c biểu thức hàm số Ứng dụng ý nghĩa hình học tích phân ta có cơng thức tính diện tích cánh cửa Trang 21/31 S ax bx c 4 Lưu ý cánh cửa rộng 8m ta cho đường cong Parabol đối xứng qua trục tung Oy nên dễ suy cận x 4 x Hướng dẫn giải Không tổng qt, ta xét dạng hình parabol vịm cửa lớn hình vẽ sau Đồng thời xét P : y ax2 bx c 1 A 0; 8 P a c Ta có: B ; P 16a 4b c b P : y x 16 a 4b c c C 4 ; P Do đó: x3 128 SH x dx 16 x m 0 Bài toán 3: Trong nghiên cứu khoa học, người ta sử dụng thể tích trứng để xác định kích thước cách dự báo tốt thành phần cấu tạo trứng đặc điểm non sau nở Một trứng ngỗng mơ hình quay đồ thị hàm số y 7569 400 x2 , 4,35 x 4,35 quanh trục Ox Sử dụng mơ hình để 30 tính thể tích trứng ( x, y đo theo đơn vị cm ) Phân tích tốn Quả trứng ngỗng đề mơ hình quay đồ thị hàm số y 7569 400 x2 , 4,35 x 4,35 quanh trục Ox 30 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y 7569 400 x2 , 30 4,35 x 4,35 trục Ox Thể tích trứng thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox V 4,35 y dx 4,35 Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi hình phẳng (H) giới hạn đường: đồ thị hàm số y 7569 400 x2 , 4, 35 x 4, 35 trục Ox 30 Thể tích trứng thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng (H) xoay quanh trục Ox: V 7569 400 x dx 30 4,35 4,35 Trang 22/31 4,35 900 4,35 x3 7569 400 x2 dx 7569 x 400 900 4,35 153cm3 4,35 Bài tốn 4: Một thùng rượu có bán kính 30 cm 40 cm Chiều cao thùng rượu 1m Hỏi thùng rượu chứa tối đa lít rượu (kết lấy chữ số thập phân) ? Cho cạnh bên hơng thùng rượu hình parabol A 321,05 lít B 540 lít C 201,32 lít D 425,16 lít Phân tích tốn Thùng rượu có dạng khối trịn xoay có đường sinh đường cong có dạng Parabol P : y ax2 bx c a Vì để tính thể tích thùng rượu ta cần áp dụng tích phân để tính thể tích khối trịn xoay Chú ý mơ hình đường cong Parabol ta để chiều cao thùng rượu trải theo chiều trục hoành Bước đầu ta cần xây dựng hàm số P : y ax2 bx c a với điều kiện qua đỉnh N(-50; 30), A(0;40), M(50;30) hình vẽ Dựa vào chiều cao 1m thùng rượu ta tìm cận tích phân Khi lập cơng thức tính thể tích thùng rượu Hướng dẫn giải Ta để thùng rượu nằm ngang để thuận lợi cho việc tính tốn Ta cần tìm phương trình parabola P : y ax2 bx c a qua đỉnh M, N, A M 50; 30 P a 250 50 a 50b c 30 b A 0; 40 P c 40 c 40 50 a 50b c 30 N 50; 30 P Trang 23/31 x2 P : y 40 250 Tới ta áp dụng cơng thức tính thể tích V quay hình phẳng giới hạn (parabol), x 50, x 50, y xung quanh trục hoành Ox : Vruou 50 x2 x4 80 x2 y dx 40 dx 402 dx 250 250 50 50 50 250 50 50 50 x5 8x3 406000 V 402 x 425162, 20 cm3 425,16 l 312500 75 50 Vậy thùng rượu chứa tối đa 425,16 lít DẠNG 4: BÀI TỐN VỀ KINH TẾ Bài tốn 1: Sau t làm việc người cơng nhân sản xuất với tốc độ q t 100 e 0,5t đơn vị sản phẩm Giả sử người bắt đầu làm việc từ lúc sáng Hỏi người sản xuất đơn vị sản phẩm sáng 11 trưa ? Phân tích tốn Đề cho hàm q t 100 e 0,5t mô tả tốc độ sản xuất sản phẩm người công nhân Suy nguyên hàm q t hàm số S t mô tả số lượng sản phẩm làm người cơng nhân t Lúc người cơng nhân bắt đầu làm việc (ta xem t = 0) Như thời gian từ sáng đến 11 ứng với t từ đến Số đơn vị sản phẩm người cơng nhân làm từ đến 11 là: q t dt Hướng dẫn giải Gọi S t số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất sau t tính từ lúc sáng Ta có S t q t 100 e 0,5t Số đơn vị sản phẩm người sản xuất từ sáng t 1 đến 11 trưa t 4 1 0,5 t 0,5 t q t dt 100 e dt 100t 2e 200,76 đơn vị sản phẩm Bài toán 2: Qua điều tra nhà phân tích kinh tế nhận định tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004 30 t tỷ USD/năm Biết GDP quốc gia vào đầu năm 2004 100 tỷ USD Hãy dự đoán GDP quốc gia vào đầu năm 2015 Trang 24/31 Phân tích toán Tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) quốc gia sau t năm tính từ năm 2004 mô tả hàm số q t 30 t Suy nguyên hàm q t hàm số S t biểu thị GDP quốc gia sau t năm Ta có S t q t dt Năm 2004 xem t = 0, năm 2015 ứng với t = 11 Giá trị tăng thêm GDP quốc gia từ năm 2004 đến 2015 tính theo cơng thức 11 q t dt S 11 S Vậy tổng giá trị GDP quốc gia tính đến năm 2015 giá trị GDP năm 2004 cộng thêm GDP từ năm 2004 đến đầu năm 2015, tính theo cơng thức 11 q t dt 100 Hướng dẫn giải Nguyên hàm q t 30 t hàm số S t mô tả GDP quốc gia sau t năm (được tính từ năm 2004) GDP tăng thêm tính từ năm 2004 (t = 0) đến đầu năm 2015 (t = 11) t 0 q t dt 0 30 t dt 30t 11 11 11 347,6 tỷ USD 0 Như vậy, tổng giá trị GDP tính đến đầu năm 2015 347,6 100 447,6 tỷ USD Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Một là, ta cần hiểu ý nghĩa hàm S t q t dt , sản lượng GDP quốc gia làm tính đến năm thứ t, sản lượng GDP làm năm thứ t, hai điều hồn toàn khác Hai là, hiểu S t sản lượng GDP quốc gia tính đến năm thứ t giá trị GDP tính đến đầu năm 2015 GDP tính đến năm 2004 cộng với lượng GDP tăng thêm từ năm 2004 đến đầu năm 2015 Tìm hiểu chi phí cận biên doanh thu cận biên sản xuất kinh tế Để sản xuất x sản phẩm A, ta cần chi phí m đồng Nếu ta tăng sản lượng sản xuất lên đơn vị thành x + sản phẩm cần chi phí tương ứng n đồng Khi đó, mức tăng chi phí n - m gọi chi phí cận biên sản xuất x + sản phẩm (tăng từ x lên x + sản phẩm) Ta xem ví dụ minh họa bảng sau: Số lượng sản phẩm sản xuất Tổng chi phí (đồng) Chi phí cận biên(đồng) Trang 25/31 0 15 15 26 11 34 41 49 59 10 47 12 61 14 77 16 10 95 18 Theo bảng trên, sản xuất tăng từ đến sản phẩm chi phí tăng thêm 15 đồng, suy chi phí cận biên sản phẩm sản xuất 15 đồng Tương tự, sản xuất tăng từ đến sản phẩm chi phí tăng thêm 11 đồng, chi phí cận biên sản xuất sản phẩm, Nếu gọi q x chi phí cận biên sản xuất x sản phẩm nguyên hàm q x tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm Số liệu bảng ví dụ thực tế, sản xuất tăng từ đến sản phẩm chi phí cận biên giảm số lượng sản phẩm làm tăng từ trở lên chi phí cận biên bắt đầu tăng trở lại Một lí dẫn đến tượng số lượng sản phẩm tăng từ đến cơng ty sử dụng cơng nghệ đơn giản nên tiết kiệm chi phí, số lượng sản phẩm sản xuất tăng cao chi phí quản lí tăng cao Ngồi ra, tính tốn số lượng sản phẩm cần sản xuất, cơng ty cịn phải dự báo số lượng sản phẩm bán doanh thu có tăng thêm nhiều hay tăng số lượng sản phẩm sản xuất Doanh thu cận biên mức doanh thu tăng thêm tăng lượng bán thêm sản phẩm, ta có ví dụ qua bảng sau: Số lượng Đơn giá Tổng doanh Doanh thu sản phẩm thu cận biên bán 0 21 21 21 20 40 19 19 57 17 18 72 15 17 85 13 16 96 11 15 105 14 112 13 117 10 12 120 Theo bảng trên, tăng số lượng bán từ đến sản phẩm, doanh thu tăng từ 21 đồng đến 40 đồng, mức tăng thêm 40 - 21 = 19 đồng gọi doanh thu Trang 26/31 cận biên bán sản phẩm, tương tự doanh thu cận biên bán sản phẩm 15 đồng Gọi f x hàm doanh thu cận biên bán x sản phẩm, nguyên hàm f x tổng doanh thu bán x sản phẩm Trong thực tế sản xuất nhiều sản phẩm doanh thu cận biên tổng doanh thu cao, mà phụ thuộc vào nhu cầu có khả tốn người tiêu dùng Mặt khác, nhu cầu có khả toán người tiêu dùng lại tùy thuộc vào giá sản phẩm, giá sản phẩm thấp người tiêu dùng mua nhiều, giá sản phẩm tăng cao người tiêu dùng mua lại Vì vậy, doanh nghiệp thường hạ giá bán số lượng sản phẩm bán tăng lên, điều dẫn đến mối quan hệ chi phí cận biên doanh thu cận biên, đồng thời ảnh hưởng đến số lượng sản phẩm cần sản xuất Để hiểu rõ điều nói, quan sát bảng trên, số sản phẩm tăng lên chi phí tăng thêm 11 đồng, doanh thu tăng thêm 19 đồng, cơng ty có lời thêm 19 - 11 = đồng, điều khuyến khích cơng ty sản xuất sản phẩm Khi tăng số lượng sản phẩm từ đến chi phí tăng thêm 10 đồng, doanh thu tăng thêm 11 đồng, cơng ty lời thêm 11 - 10 = đồng, thấp nhiều so với mức tăng từ lên sản phẩm Và tăng số lượng sản phẩm từ lên sản phẩm chi phí tăng thêm 14 đồng, doanh thu tăng thêm đồng, doanh thu giảm - 14 = -7 đồng Như , công ty tính tốn số lượng sản phẩm sản xuất cho doanh thu cận biên lớn chi phí cận biên, chí mức chênh lệch doanh thu cận biên chi phí cận biên đủ lớn để cơng ty “có động lực” sản xuất nhiều sản phẩm Bài tốn 3: Một cơng ty sản xuất sản phẩm A, giả sử chi phí cận biên x sản phẩm sản xuất q x x3 6x2 40 USD/ sản phẩm Hỏi tổng chi phí sản xuất tăng lên sản phẩm sản xuất tăng từ sản phẩm đến sản phẩm ? Phân tích tốn Chi phí cận biên x sản phẩm sản xuất q x x3 6x2 40 USD/ sản phẩm Nguyên hàm q x x3 6x2 40 hàm S(x) mơ tả tổng chi phí sản xuất x sản phẩm, ta có S x q x dx Vậy tăng sản lượng sản xuất từ đến sản phẩm cần thêm chi phí q x dx Hướng dẫn giải Gọi S(x) hàm tổng chi phí sản xuất x sản phẩm, ta có S’(x) = q(x) Chi phí tăng thêm tăng sản lượng sản xuất từ sản phẩm đến sản phẩm 7 q x dx 3 x4 x 6x 40 dx 2x 40x 108 USD 3 Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Trang 27/31 Một là, để giải toán ta cần hiểu rõ khái niệm chi phí cận biên mức chi phí thay đổi tổng chi phí sản xuất tăng thêm đơn vị sản phẩm Hai là, nguyên hàm hàm chi phí cận biên q x hàm tổng chi phí S(x) sản xuất x đơn vị sản phẩm Bài toán 4: Một cơng ty có doanh thu cận biên mức sản lượng x xác định dạng hàm số f x 24 x , với x số lượng sản phẩm bán x1 Hỏi tổng doanh thu công ty bán 100 sản phẩm ? Phân tích tốn Hàm số f x 24 doanh thu cận biên bán x sản phẩm Ta có x1 nguyên hàm f x hàm tổng doanh thu F x bán x sản phẩm Lập cơng thức tính F x F x f x dx Dùng điều kiện ban đầu, tổng doanh thu chưa bán sản phẩm ta suy hàm F x Khi dễ dàng tính F 100 Hướng dẫn giải Hàm tổng doanh thu F x nguyên hàm f x nên ta có 24 F x f x dx dx 24 ln x C x1 Hiển nhiên tổng doanh thu số lượng sản phẩm bán F 24 ln C C F x 24 ln x Vậy 100 sản phẩm bán doanh thu F 100 24 ln x 110,76 đơn vị tiền tệ Hàm doanh thu cận biên f x 58 x Bài toán 5: Một doanh nghiệp sản xuất mặt hàng với chi phí cận biên mô tả hàm số f x x 16 x 93 , với x số sản phẩm sản xuất Giả sử 10 doanh nghiệp bán hết số lượng sản phẩm sản xuất Biết 4 doanh thu cận biên mô tả hàm số g x x 8 , với x số lượng sản phẩm bán Giả sử tổng chi phí chưa sản xuất sản phẩm đồng tổng doanh thu chưa bán sản phẩm đồng a) Hỏi sản xuất sản phẩm bán hết doanh nghiệp thu lợi nhuận ? Trang 28/31 b) Lập bảng tính chi phí cận biên doanh thu cận biên sản xuất bán số lượng từ 10 đến 18 sản phẩm Hỏi doanh nghiệp có nên tăng sản lượng lên 15 sản phẩm hay không ? Phân tích tốn Số tiền lợi nhuận sản xuất bán hết x sản phẩm tổng doanh thu bán hết x sản phẩm trừ tổng chi phí sản xuất x sản phẩm Như ta cần phải xác định hàm số Hàm tổng chi phí F x để sản xuất x sản phẩm hàm tổng doanh thu G x bán hết x sản phẩm Hàm F x nguyên hàm f x x 16 x 93 , kết hợp với điều kiện 10 ban đầu F , ta suy biểu thức F x 4 Hàm G x nguyên hàm g x 5 x 8 , kết hợp với điều kiện ban đầu G , ta suy biểu thức G x Hướng dẫn giải Nguyên hàm f x hàm số F x tổng chi phí sản xuất x sản phẩm F x f x dx x 16x 93 dx 10 x3 x 93x C 10 0 Vì F 8.02 93.0 C C Suy 10 x3 F x x 93x 10 4 Nguyên hàm hàm doanh thu cận biên g x x 8 hàm tổng doanh thu G x x 8 x 4 G x g x dx 5 dx 5x C ln Kết hợp điều kiện ban đầu G suy 8 4 4 5.0 C C 5 ln ln 5 4 G x 5 ln x 8 8 8 4 5x ln Lợi nhuận sản xuất bán hết sản phẩm Trang 29/31 G F 21,96 đồng b) Giả sử số sản phẩm bán số sản phẩm sản xuất, ta có bảng sau Số lượng Chi phí cận Doanh thu Lợi nhuận sản phẩm biên cận biên tăng thêm 10 3,3 5,64 2,34 11 3,8 5,51 1,71 12 4,5 5,41 0,91 13 5,4 5,33 -0,07 14 6,5 5,26 -1,24 15 7,8 5,21 -2,59 16 9,3 5,17 -4,13 17 11 5,13 -5,87 18 12,9 5,11 -7,79 Quan sát bảng số liệu trên, số lượng sản phẩm sản xuất bán tăng đến 13 sản phẩm mức tăng lợi nhuận bị âm Như vậy, doanh nghiệp nên sản xuất tối đa 12 sản phẩm, không nên sản xuất đến 15 sản phẩm Bài tốn 6: Tại cơng ty, giá bán P đơn vị sản phẩm mặt hàng phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x bán Ước tính sản phẩm bán với tốc độ thay đổi giá sản phẩm tính theo cơng thức: 214 x 24 x (USD/sản phẩm) Hãy xác định giá 10 sản phẩm bán ra, biết sản phẩm bán giá bán 5600 (USD) Hướng dẫn giải: Gọi x số sản phẩm bán P x giá bán sản phẩm Theo đề ta có P x Suy P x P x dx 214 x 24 x2 214 x 24 x dx 214 x 24 x2 dx Đặt t 24 x2 dt 2xdx Suy P x 214 t dt 214 t C 214 24 x C Nếu có sản phẩm bán giá P 1 5600 5600 214 24 C C 6670 Vậy P x 214 24 x2 6670 Giá bán sản phẩm 10 sản phẩm bán P 10 214 24 102 6670 4287 USD Trang 30/31 ... tốc 10m/s tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t 5t 10 m/s , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn,... 5t 10 quãng đường s t mà ô tô sau thời gian t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh Vào thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh ứng với Trang 6/31 t 0 Vào thời điểm ô tô dừng lại v t 5t... người ) tham gia cơng tác tình nguyện nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 mơ Trang 14/31 hình hàm số V t 119,85t 30et 37,26e t với t năm ( t = ứng với năm 2000 ) Hỏi số lượng người tham gia
Ngày đăng: 15/02/2023, 15:12
Xem thêm: Phuong phap giai bai toan thuc te nguyen ham tich phan 2023 ly thuyet va bai tap
