Cách Phân tích vectơ và phương pháp giải bài tập A Lí thuyết Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ a và b không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách[.]
Cách Phân tích vectơ phương pháp giải tập A Lí thuyết - Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích cách theo hai vectơ a b , nghĩa có cặp số h, k cho x = + kb Ôn lại quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ, quy tắc hình bình hành Ơn lại tính chất: Tính chất phép cộng vectơ, tích vectơ với số, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác B Các dạng Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải: Phân tích biến đổi vectơ để biến đổi vế thành vế đẳng thức biến đổi hai vế để hai vế ta biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh tương đương với đẳng thức vectơ công nhận Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến, D trung điểm AM Chứng minh : 2DA + DB + DC = 2OA + OB + OC = 4OD ( O tùy ý ) Giải: +) Ta có M trung điểm BC DB + DC = 2DM 2DA + DB + DC = 2DA + 2DM 2(DA + DM) = 2.0 = 2DA + DB + DC = ( điều cần phải chứng minh) +) Ta có M trung điểm BC OB + OC = 2OM 2OA + OB + OC = 2OA + 2OM Mà D trung điểm AM OA + OM = 2OD 2OA + 2OM = 2(OA + OM) = 2.2OD = 4OD 2OA + OB + OC = 4OD (điều cần phải chứng minh) Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm hai đường chéo AC, BD Chứng minh rằng: AB + CD = 2MN Giải: Ta có: MN = MA + AB + BN MN = MC + CD + DN 2MN = MA + AB + BN + MC + CD + DN 2MN = (MA + MC) + AB + CD + (BN + DN) 2MN = AB + CD (điều cần phải chứng minh) Dạng 2: Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương Phương pháp giải: Áp dung định nghĩa phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Phân tích AI theo hai vectơ AE AF Giải: +) Có FE đường trung bình tam giác ABC FE // BC Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC Mà AD trung tuyến tam giác ABC AI trung tuyến tam giác AFE I trung điểm FE AF + AE = 2AI 1 AI = (AF + AE) = AF + AE 2 Bài 2: Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB = 3MC Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB,AC Giải: Ta có: MB = 3MC MB = 3MB + 3BC −2MB = 3BC 2BM = 3BC BM = BC Ta có: AM = AB + BM AM = AB + BC AM = AB + (AC − AB) AM = −1 AB + AC 2 Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB = kAC Để chứng minh điều ta áp dụng quy tắc biến đổi vectơ (quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm) xác định hai vectơ thông qua tổ hợp trung gian Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho điểm A, B, C, D cho 3AB − 2AC − AD = Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng Giải: 3AB − 2AC − AD = 3AB − 2(AB + BC) − (AB + BD) = 3AB − 2AB − 2BC − AB − BD = −2BC − BD = BD = −2BC Vậy B, C, D thẳng hàng 1 Bài 2: Cho điểm A, B, I, J Biết BJ = BA + BC BI = AC − AB Chứng minh B, I, J thẳng hàng Giải: 1 BJ = BA + BC 1 BJ = BA + (BA + AC) 1 BJ = BA + BA + AC 2 BJ = BA + AC 2 BJ = AC − AB 2 BJ = AC − AB 3 BJ = BI Vậy B, I, J thẳng hàng Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng Phương pháp giải: Để chứng minh M M’ trùng nhau, ta chứng minh MM' = chứng minh OM = OM' với O tùy ý Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh trọng tâm tam giác ANP trùng với trọng tâm tam giác CMQ Giải: Gọi trọng tâm tam giác ANP G Ta có: GA + GN + GP = 1 GA + (GB + GC) + (GC + GD) = (do N, P trung điểm BC, CD) 2 1 1 1 GA + GA + GB + GC + GC + GD = 2 2 2 1 1 1 1 GC + GC + GD + GA + GA + GB = 2 2 2 2 GC + ( ) ( ) 1 GD + GA + GA + GB = 2 GC + GQ + GM = (do Q, M trung điểm AD, AB) Vậy G vừa trọng tâm tam giác ANP vừa trọng tâm tam giác CMQ Bài 2: Biết AB = DC Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AC trùng với trung điểm đoạn thẳng BD Giải: Khi AB = DC ABCD hình bình hành Hai đường chéo AC BD cắt I tâm hình bình hành ABCD Trung điểm AC BD trùng ( I) Dạng 5: Quỹ tích điểm Phương pháp giải: Đối với tốn quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau: Nếu MA = MB với A, B cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB Nếu MC = k AB với A, B, C cho trước M thuộc đường trịn tâm C, bán kính k AB Nếu MA = kBC M thuộc đường thẳng qua A song song với BC k ; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC hướng với BC k > 0; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng với BC k < Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, M điểm tùy ý mặt phẳng Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC Giải: Ta có: 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC 3(MI + IA) + 2(MI + IB) − 2(MI + IC) = CB 3MI + 3IA + 2MI + 2IB − 2MI − 2IC = CB 3MI + (3IA + 2IB − 2IC) = CB (1) Chọn điểm I cho 3IA + 2IB − 2IC = 3IA + 2CB = AI = CB (1) 3MI = CB MI = CB Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính R = BC Bài 2: Cho tam giác ABC Biết MA + MB + MC = MB + MC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC D trung điểm BC Ta có: MA + MB + MC = 3MG = 2MD MB + MC MG = MD Vậy tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng GD C Bài tập tự luyện Bài 1: Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh rằng: AC + BD = 2IJ Đáp án: AC + BD = AI + IC + BJ + JD = 2IJ Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi điểm M nằm BC cho MB = 2MC Chứng minh: MA = BA + CA 3 Đáp án: −MB = 2MC 2MC + MB = 3MA = 2CA + BA MA = BA + CA 3 Bài 3: Cho hình thang OABC, M, N trung điểm OB OC Chứng minh BN = OC − OB Đáp án: 1 BN = OC − OB BN = ON + NC − ON + BN BN = BN (luôn đúng) 2 Bài 4: Cho AK BM trung tuyến tam giác ABC Phân tích vectơ CA theo hai vectơ AK BM Đáp án: CA = −4 AK − BM 3 Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm AG Phân tích vectơ AI theo CA CB 1 Đáp án: AI = − CA + CB Bài 6: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Đáp án: 1 BK = BA + AK = (2BA + BC) ; BI = BA + AI = (2BA + BC) 4 BK = BI B, K, I thẳng hàng Bài 7: Cho tam giác ABC Lấy điểm J cho 2JA + 5JB + 3JC = Biết M, N trung điểm AB, BC Chứng minh M, N, J thẳng hàng Đáp án: 2JA + 5JB + 3JC = 4JM + 6JN = JM = −3 JN M, N, J thẳng hàng Bài 8: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh trọng tâm tam giác MPR trùng với trọng tâm tam giác NQS Đáp án: GM + GP + GR = GN + GQ + GS = G vừa trọng tâm tam giác MPR vừa trọng tâm tam giác NQS Bài 9: Cho tam giác ABC, A’ điểm đối xứng A qua B, B’ điểm đối xứng B qua C, C’ điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm Đáp án: Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ BC + CA + AB = AA' +BB'+CC'=0 GG ' = Vậy điểm G G’ trùng Bài 10: Cho tam giác ABC Biết MA + MB = MA + MC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Đáp án: Tập hợp điểm M đường trung trực EF (E, F trung điểm AB, AC) Bài 11: Cho tứ giác ABCD với k số tùy ý thuộc đoạn [0;1], lấy điểm M, N cho AM = kAB DN = kDC Tìm tập hợp trung điểm I MN k thay đổi Đáp án: Tập hợp trung điểm I đoạn thẳng PQ ... tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ BC + CA + AB = AA'' +BB''+CC''=0 GG '' = Vậy điểm G G’ trùng Bài 10: Cho tam giác ABC Biết MA + MB = MA + MC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Đáp án: Tập hợp