BÀI 1 CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1 Qui tắc cộng Ví dụ 1 Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10[.]
Trang 1BÀI 1: CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1 Qui tắc cộng
Ví dụ 1 Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng chọn đề tài?
Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Trang 2– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Tổng quát:
Một công việc X được thực hiện theo một trong k phương án A , A , , A , trong đó: 1 2 kPhương án A có 1 n cách thực hiện 1
Phương án A có 2 n cách thực hiện 2………………………………………… Phương án A có k n cách thực hiện k
Số cách hồn thành cơng việc X là: 123k k ii 1
n X n n n n n
cách
2 Qui tắc nhân
Trang 3– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Ví dụ 2 Lớp 11A có 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp như trên?
Trang 4– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Ví dụ 2 Trong một hộp có 6 bi đỏ, 5 bi trắng và 4 bi vàng Có bao nhiêu cách lấy 3 viên bi từ hộp này sao cho chúng không đủ ba màu?
Trang 5– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Tổng quát:
Đối tượng x cần đếm được chứa trong một đối tượng X gồm x và x đối lập nhau Nếu X có m cách chọn, x có n cách chọn Vậy x có m n cách chọn
Về mặt thực hành, đề cho đếm những đối tượng thỏa a và b Ta cần làm: Bài toán 1: Đếm những đối tượng thỏa a
Bài toàn 2: Đếm những đối tượng thỏa a, khơng thỏa b
Do đó, kết quả bài toán = kết quả bài toán 1 kết quả bài toán 2
Lưu ý
Nếu bài tốn chia ra từng trường hợp khơng trùng lặp để hồn thành cơng việc thì dùng qui tắc cộng, nếu bài toán chia ra từng giai đoạn thực hiện thì ta dùng qui tắc nhân Trong nhiều bài toán, ta kết hợp giữa hai qui tắc này lại với nhau để giải mà cần phải phân biệt khi nào cộng, khi nào nhân, khi nào trừ
“Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng Khi đó thì số phần tử của A B
Trang 6viên bi để chơi Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
BT 2 Chợ Bến Thành có 4 cổng ra vào Hỏi một người đi chợ: a) Có mấy cách vào và ra chợ?
b) Có mấy cách vào và ra chợ bằng 2 cổng khác nhau?
BT 3 Có 8 quyển sách Tốn, 7 quyển sách Lí, 5 quyển sách Hóa Một học sinh chọn 1 quyển trong bất kì trong 3 loại trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn
BT 4 Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ bên cạnh Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 5 cơng tắc để có được dịng điện đi từ A đến B
BT 5 Đề thi học kì mơn Hóa gồm hai phần: trắc nghiệm và tự luận Trong ngân hàng đề thi có 15 đề trắc nghiệm và 8 đề tự luận Hỏi có bao nhiêu cách ra đề
BT 6 Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, trong đó có 18 áo màu xanh và 12 áo màu đỏ; 12 quần xanh và 8 quần đỏ Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo khác màu để người ca sĩ này đi trình diễn?
BT 7 Trong lớp 11A có 39 học sinh trong đó có học sinh tên Chiến, lớp 11B có 32 học sinh trong đó có học sinh tên Tranh Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 2 học sinh khác lớp mà khơng có mặt Chiến và Tranh cùng lúc?
BT 8 Trong lớp 11A có 50 học sinh, trong đó có 2 học sinh tên Ưu và Tiên Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh đi thi mà trong đó có mặt ít nhất 1 trong 2 học sinh tên Ưu và tên Tiên?
BT 9 Có 20 bơng hoa trong đó có 8 bơng hồng, 7 bông cúc, 5 bông đào Chọn ngẫu nhiên 4 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó hoa được chọn có đủ cả ba loại?
Trang 7BT 11 Có bao nhiêu biển số xe gồm hai chữ cái ở đầu (26 chữ cái) và 4 chữ số theo sau (chữ số đầu không nhất thiết khác 0 và chữ số cuối khác 0), sao cho:
a) Số chữ cái tùy ý và bốn chữ số tùy ý chia hết cho 2 theo sau
b) Số chữ cái khác nhau và 4 chữ số đôi 1 khác nhau chia hết cho 5 tiếp theo sau
BT 12 Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường Đại học bằng một chữ cái (26 chữ cái) và một số nguyên dương theo sau mà không vượt quá số 100 Bằng cách ghi như vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau?
BT 13 Cho tập hợp A0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số được lấy từ tập A, sao cho các chữ số này:
(1) Tùy ý
(2) Khác nhau từng đôi một
(3) Khác nhau từng đôi một và năm chữ số này tạo thành một số lẻ
(4) Khác nhau từng đôi một và năm chữ số này tạo thành một số chia hết cho 5 (5) Khác nhau từng đôi một và năm chữ số này tạo thành một số chia hết cho 2
BT 14 Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau đơi một và chữ số chính giữa ln là số 2?
BT 15 Cho tập hợp X0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một từ X sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1
BT 16 Cho sáu số: 1; 2; 3; 4; 5; 6 Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5
BT 17 Cho tập A0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số có nghĩa đơi một khác nhau chia hết cho 5 và ln có chữ số 0 được lấy từ tập A?
Trang 8nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1?
BT 27 Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có sáu chữ số đơi một khác nhau, trong đó phải có mặt chữ số 7
BT 28 Cho tập A0;1; 2;3; 4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3
BT 29 Cho tập A0;1; 2;3; 4;5 , từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số và số đó chia hết cho 3?
BT 30 Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác nhau đơi một và chữ số chính giữa luôn là số 2?
BT 31 Trong một trường THPT A, khối 11 có: 160 em tham gia câu lạc bộ Toán, 140 em tham gia câu lạc bộ Tin học, 50 em tham gia cả hai câu lạc bộ Hỏi khối 12 có bao nhiêu học sinh? BT 32 Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi ít nhất một trong hai mơn thể thao: bóng đá và cầu lơng Có 30 em đăng ký mơn bóng đá, 25 em đăng ký mơn cầu lơng Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả hai mơn thể thao?
BT 33 Có 5 học sinh, trong đó có An và Bình Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh này lên một đoàn tàu gồm 8 toa, biết rằng:
a) 5 học sinh lên cùng một toa
b) 5 học sinh lên 5 toa đầu và mỗi toa một người c) 5 học sinh lên 5 toa khác nhau
d) An và Bình lên cùng toa đầu tiên
e) An và Bình lên cùng một toa, ngồi ra khơng có học sinh nào khác lên toa này
Trang 9BT 35 Có 20 thẻ đựng trong hai hộp khác nhau, mỗi hộp chứa 10 thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 10 Có bao nhiêu cách chọn hai thẻ (mỗi hộp một thẻ) sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn
BT 36 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt khác nhau được lấy từ tập
A 0;1; 2;3; 4;5; 6 Hỏi S có bao nhiêu phần tử Có bao nhiêu cách lấy hai phần tử từ tập S sao cho tích của hai phần tử này là một số chẵn