PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài toán Chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số nguyên dương n Phương pháp Bước 1 Với n 1, ta chứng minh P 1 đúng Bước 2 Giả sử P n đúng với n k 1 [.]
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Bài tốn Chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số nguyên dương n Phương pháp - Bước Với n 1, ta chứng minh P 1 - Bước Giả sử P n với n k Ta phải chứng minh P n với n k Kết luận: mệnh đề P n với số nguyên dương n Lưu ý Để chứng minh mệnh đề chứa biến P n với n p, p : nguyên dương Ta làm bước tương tự trên: - Bước Với n p, ta chứng minh P p - Bước Giả sử P n với n k p Ta phải chứng minh P n với n k Kết luận: mệnh đề P n với số nguyên dương n Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta ln có: a) n n n 1 n n 1 b) n 3 3 Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta ln có: a) u n n3 3n 5n chia hết cho b) u n 9n chia hết cho Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n 3, ta ln có: a) n n 4n b) 2n 2n Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: a) 10 n n 1 n n 1 n b) 3n 1 n 3n 1 c) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 d) 12 22 32 n n n 1 2n 1 e) 2n 1 2 2 f) 22 42 62 2n 2 n 4n 1 2n n 1 2n 1 g) 1.2 2.3 3.4 n n 1 n n 1 n h) 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 n n 1 i) n n 3 1 1.2.3 2.3.4 n n 1 n n 1 n j) 1.22 2.32 3.42 n 1 n n n 1 3n 12 , n 2, n 1 n 1 k) 1 1 1 1 , n 2, n 16 n 2n l) 1 1 2n n 2n m) n 2n n 27 4.3n BT Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có: a) u n n 11n chia hết cho b) u n n3 n chia hết cho c) u n 2n3 3n n chia hết cho d) u n 13n chia hết cho e) u n 4n 15n 1 chia hết cho f) u n 4n 6n chia hết cho g) u n 7.22n 2 32n 1 chia hết cho h) u n 32n 1 2n 2 chia hết cho i) u n 11n 1 122n 1 chia hết cho 133 j) u n 24n chia hết cho 15 BT Chứng minh rằng: a) 2n 2n 5, n * b) 2n 1 2n 3, n 2, n c) 3n 1 n n , n 4, n d) n n 1 e) n! n n , n f) 2n n , n 5, n * n 1 , n *