CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 9 HỆ THỨC VI ÉT (NÂNG CAO) Câu 1 Cho phương trình x4 – mx3 + (m + 1)x2 – m(m + 1)x + (m + 1)2 = 0 A B C D Lời giải Khi m = −2, ta có phương trình x4 + 2x3 − x2 – 2x + 1 =[.]
Trang 1CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 9 HỆ THỨC VI-ÉT (NÂNG CAO)
Câu 1: Cho phương trình x4 – mx3 + (m + 1)x2 – m(m + 1)x + (m + 1)2= 0
A B
C D
Lời giải
Khi m = −2, ta có phương trình x4 + 2x3 − x2 – 2x + 1 = 0 Kiểm tra ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình
Chia hai vế của phương trình cho x2+ ta được: x2 + +2 − 1 = 0 Đặt t = x , suy ra x2 + = t2 + 2 Thay vào phương trình nêu trên ta được:
t2 + 2t – 1 = 0 t = −1 Với t = −1 ta được: x2 + x – 1 = 0
Vậy với m = −2 phương trình có nghiệm Đáp án cần chọn là: A
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình x2 – (2m + 1)x + m2+ 1 = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn (x1; x2)2 = x1
A 2 B 3 C 4 D 1
Lời giải
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì
> 0 (2m + 1)2 – 4(m2 + 1) > 0 4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 4 > 0 4m – 3 > 0 m
Vậy m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Trang 2Với m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2Theo hệ thức Vi-ét ta có: (x1 – x2)2 = x12 + x22 − 2x1.x2 = (x1 + x2)2 − 4x1.x2 = (2m + 1)2 – 4(m2+ 1) = 4m – 3 = x1 x2 = 2m + 1 – x1 = 2m + 1 – 4m + 3 = 4 – 2m x1x2 = m2 + 1 (4m − 3)(4 – 2m) = m2 + 1 16m – 8m2 – 12 + 6m = m2 + 1 9m2 – 22m + 13 = 0 (m – 1)(9m – 13) = 0
Vậy m = 1; thỏa mãn điều kiện bài toán Đáp án cần chọn là: A
Câu 3: Cho phương trình x2 – (m – 1)x – m2 + m – 2 = 0, với m là tham số Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1; x2 Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất
A m = 4 B m = 3 C m = 2 D m = 1
Lời giải
+) Xét a.c = −m2 + m – 2 = − < 0 với mọi m Vậy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với mọi m
+) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1; x2
Vì phương trình ln có hai nghiệm trái dấu nên x1x2 0, do đó A được xác định với mọi x1; x2
Do x1; x2 trái dấu nên = − t với t > 0, suy ra < 0, suy ra A < 0
Trang 3Đặt = −t, với t > 0, suy ra Khi đó A = −t mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi –A có giá trị nhỏ nhất
Ta có –A = −t 2 (BĐT Cô-si), suy ra A −2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t2 = 1 t = 1
Với t = 1 ta có = −1 = −1 x1 = − x2 x1 + x2 = 0 − (m – 1) = 0 m = 1
Vậy với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là −2 Đáp án cần chọn là: D
Câu 4: Cho phương trình 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0, với m là tham số Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2không phụ thuộc vào m
A x1.x2 = x2 – x1 + 1 B x1 − x2 = x2 – x1 – 1 C x1.x2 = x2 – x1 + 1 D x1.x2 = x1 + x2 − 1
Lời giải
Ta có = m2 – 4(m – 1) = (m – 2)2 0, với mọi m Do đó phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = m và x1.x2 = m – 1
Thay m = x1 + x2 vào x1.x2 = m – 1, ta được x1.x2 = x1 + x2 – 1
Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là x1.x2 = x1 + x2 – 1
Đáp án cần chọn là: D
Câu 5: Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0, với m là tham số Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình Chọn câu đúng
Trang 4C |x1 + x2 + x1.x2 | = D |x1 + x2 + x1.x2 | 2
Lời giải
Ta có =(m – 1)2 – (2m2 – 3m + 1) = −m2 + m = m(1 – m) Để phương
trình có hai nghiệm Theo định lý Vi-ét ta có:
x1 + x2 = 2 (m – 1) và x1.x2 = 2m2 – 3m + 1 Ta có: |x1 + x2 + x1.x2 | = |2(m – 1) + 2m2 – 3m + 1| = |2m2 – m − 1| = 2 = 2 Vì suy ra Do đó |x1 + x2 + x1.x2 | = 2 = 2 =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Đáp án cần chọn là: A
Câu 6: Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + 1 = 0, với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho biểu thức có giá trị là số nguyên
A m = 1 B m = 2 C m = −2 D m = 0
Lời giải
Trang 5Do đó = Suy ra 4P = 2m – 1 +
Do nên 2m + 1 > 1
Để P thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5, suy ra 2m + 1 = 5 m = 2
Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn) Vậy m = 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán Đáp án cần chọn là: B
Câu 7: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 2mx2 – x + m2 – m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x
A f(x) = (m + x2 – x – 1)(m + x2 + x) B f(x) = (m − x2 – x – 2)(m − x2 + x) C f(x) = (m − x2 – x – 1)(m − x2 + x + 1) D f(x) = (m − x2 – x – 1)(m − x2 + x) Lời giải Ta có x4 – 2mx2 – x + m2 – m = 0 m2 – (2x2 + 1)m + x4 – x = 0 Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có:
= (2x2 + 1)2 – 4(x4 – x) = 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 0
Suy ra f(x) = 0 m= hoặc
Do đó f(x) = (m − x2 – x – 1)(m − x2 + x) Đáp án cần chọn là: D
Câu 8: Cho phương trình x2 – 4x = 2|x – 2| − m – 5, với m là tham số Xác định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt
Trang 6(x – 2)2 – 2|x – 2| = −m – 1 (1)
Đặt t = |x −2| 0 Khi đó (1) thành: t2 – 2t + 1 + m = 0 (2)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có:
−1 < m < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đáp án cần chọn là: C
Câu 9: Tìm m để phương trình 3x2 + 4(m – 1)x + m2 – 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:
A m = 1; m = 5 B m = 1; m = −1 C m = 5 D
m 1
Lời giải
Trước hết phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác 0 nên: (*)
Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:
S = x1 + x2 = ; P = x1.x2 =
Ta có:
(x1 + x2)( x1.x2 − 2) (do x1.x2 0) m = 1; m = −1; m = 5
Trang 7Câu 10: Tìm các giá trị của m để phương trình x – mx + m – m – 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh góc vng của tam giác ABC tại A biết độ dài cạnh huyền BC = 2
A m = 2 + B m =
C m = 1 + D m = 1 −
Lời giải
Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên x1; x2 > 0
Theo định lý Vi-ét ta có (1)
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
m2 – 4(m2 – m – 3) 0 3m2– 4m – 12 0 (2) Từ giả thiết suy ra x12 + x22 = 4 (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 4 Do đó m2 – 2(m2 – m – 3) = 4 m2 – 2m – 2 = 0 m = 1
Thay m = 1 vào (1) và (2) ta thấy chỉ có m = 1 + thỏa mãn Vậy giá trị cần tìm là m = 1 +
Đáp án cần chọn là: C
Câu 11: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2, với m là tham số Khi phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì biểu thức P = x1 x2 – 2(x1 + x2) – 6 có giá trị nhỏ nhất là:
A −10 B 0 C −11 D −12
Lời giải
Ta có = (m + 1)2 – (m2 + 2) = 2m – 1
Để phương trình có hai nghiệm 0 (*) Theo định lý
Vi-ét ta có:
x1 + x2 = 2m + 2 và x1.x2 = m2 + 2 Ta có:
P = x1.x2 – 2(x1 + x2) – 6 = m2 + 2 – 2(2m + 2) – 6 = m2 – 4m – 8 = (m – 2)2 – 12 −12
Trang 8Câu 12: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 – (3a – 1)x – 2 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P (x1 − x2)2 + 2
A 24 B 20 C 21 D 23
Lời giải
Ta có =(3a – 1)2 + 16 > 0 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Vi-ét thì: x1 + x2 = ; x1.x2 = −1 ta có:
P = (x1 + x2)2 + 2 = 6 (x1 − x2)2
= 6[(x1 + x2)2 − 4 x1.x2] = 6 24
Đẳng thức xảy ra khi 3a – 1 = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 24
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm
thuộc [0; 3] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A 5 B 4 C 2 D 3
Lời giải
Vì phương trình bậc hai có 2 nghiệm nên a 0 Biểu thức Q có dạng đẳng
cấp bậc hai ta chia cả tử và mẫu của Q cho a2 thì
Trang 9Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-ét ta có
Vậy
Ta đánh giá (x1 + x2)2 qua x1x2 với điều kiện x1; x2 [0; 3] Giả sử
(x1 + x2)2 = x12 + x22 + 2x1.x2 9 + 3x1.x2
Đẳng thức xảy ra hay hoặc
Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3 Đáp án cần chọn là: D
Câu 14: Cho phương trình x2 – (m + 1)x – 3 = 0 (1), với x là ẩn, m là tham số Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Đặt
Trang 10A B −1 C 2 D
Lời giải
Phương trình x2 – (m + 1)x – 3 = 0 (1)
+ Nhận xét = (m + 1)2 + 12 > 0, Suy ra (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2+ Theo hệ thức Vi-ét ta có: Ta có Nên B (B – 3)m2 + 2(B – 5)m + 3B – 20 = 0 (*) + Nếu B = 3 thì
+ Nếu B 3 thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn m Phương trình (*) có nghiệm m khi và chỉ khi 0
Hay (B – 5)2 – (B – 3)(3B – 20) 0 2B2 – 19B + 35 0
(2B – 5)(B – 7) 0
Với B = 7 thì thay vào (*) ta có 4m2 + 4m + 1 = 0 (2m + 1)2 = 0