Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC 9 I Phương pháp giải 1 Các định nghĩa có trong chương * Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc ký hiệu là sin ñoái sin huyeàn AC caïnh BC caïnh [.]
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC I Phương pháp giải Các định nghĩa có chương: * Tỷ số cạnh đối cạnh huyền gọi sin góc ký hiệu sin sin AC cạ nh đố i BC cạ nh huyề n * Tỷ số cạnh kề cạnh huyền gọi cosin góc ký hiệu cosin cos sin B AB cạ nh kề BC cạ nh đố i * Tỷ số cạnh đối cạnh kề gọi tang góc , ký hiệu tg tg tgB AC cạ nh đố i AB cạ nh kề * Tỷ số cạnh kề cạnh đối gọi cotg góc , ký hiệu cot g cot g cot gB AB cạ nh kề AC cạ nh đố i Các tính chất có chương a) Tính chất hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ thì: * sin a cos b * cos a sin b b) Góc nhọn có: sin 0;1 cos 0;sin2 cos2 Định lí: Nếu hai góc phụ sin góc cos góc tg góc cotg góc tga cot gb;cot ga tgb * tg sin cos ; cot g ; tg cot g cos sin Các hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông * Định lí 1: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền b2 a.b; c2 a.c * Định lí 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền h2 b.c * Định lí 3: Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng b.c a.h * Định lí 4: Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng 1 2 2 h b c Định lí cạnh góc vng tam giác vng Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cotg góc kề Các hệ thức cạnh góc tam giác vng ABC vng A, ta có: II Bài tập b a.sin B c a.sin C b a.cos C c a.cos B b c.tgB c b.tgC b c.cot gC c b.cot gB Bài 1: (33/96/SGK T1) Chọn kết kết đây: a) Trong hình 41, sin bằng: (A) ; (B) ; (C) ; (D) b) Trong hình 42, sin bằng: (A) PR , RS (B) PR ; QR (C) PS ; SR (D) SR QR c) Trong hình 54, cos30 bằng: (A) (C) 2a ; (B) ; a ; (D) 3.a2 Giải a) Theo định nghĩa: Tỷ số cạnh đối cạnh huyền gọi sin sin đáp án C đáp án b) Theo định nghĩa sin cạ nh đố i SR đáp cạ nh huyề n QR án D c) Theo định nghĩa: Tỷ số cạnh kề cạnh huyền gọi cos góc Do ta có cos30 cạ nh đố i 3a đáp án C) caï nh huyeà n 2a đáp án Bài 2: (34/93/SGK T1) a) Trong hình 44, hệ thức hệ thức sau đúng: b c (A) sin ; (B) cot g b c a c (C) tg ; a c (D) cot g b) Trong hình 45: Hệ thức hệ thức sau không đúng? (A) sin2 cos2 1; (B) sin cos ; (C) cos sin(90 ) ; (D) tg sin cos Giải a) Với hình 44 Theo định nghĩa: Tỷ số cạnh đối cạnh kề gọi tang góc , ký hiệu tg tg caï nh đố i a đáp cạ nh kề c án C đáp án b) Theo định lí đáp án C đáp án sai Bài 3: (35/94/SGK T1) Tỷ số hai cạnh góc vng tam giác vng 19 : 28 Tìm góc Giải Theo định nghĩa: Tỷ số hai cạnh tam giác vuông gọi tang góc Góc nhọn tam giác vng cho có số đo là: tg 19 0,6786 3410 28 góc nhọn lại 90 3410 5550 Bài 4: (36/94/SGK T1) Cho tam giác có góc 45 Đường cao chia cạnh kề với góc thành hai đoạn thẳng có độ dài 20cm 22cm Tính cạnh lớn hai cạnh cịn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 hình 47) Giải Theo định lí đường vng góc, đường xiên hình chiếu thì: HB HC AB AC AHB vng H (vì AH đường cao ứng với cạnh BC) có ABH 45 nên tam giác vuông cân AH HB 20(cm) ACH vng H nên ta có: AC AH HC (Theo định lí: Py-ta-go) 202 212 400 441 841 AC 841 29(cm) * Với hình 47 Theo giả thiết BH 21 HC 20 nên BH HC AB HC (Theo định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên có hình chiếu lớn lớn AHB vng H có ABH 45 (giả thiết) nên tam giác vuông cân H HA HB 21(cm) Do AHB vuông H nên AB2 AH HB2 (Định lí Py-tago) 212 212 441 441 882 AB 882 29,7(cm) Bài 5: (37/94/SGK T1) Cho ABC có AB 6cm; AC 4,5cm; BC 7,5cm a) Chứng minh ABC vng A, tính góc B, C độ dài đường cao AH tam giác b) Hỏi điểm M mà diện tích MBC diện tích ABC nằm đường nào? Giải ABC có AB 6cm; AC 4,5cm GT BC 7,5cm AH BC KL * ABC vng A * Tính B ?; C ?; AH ? * M nằm đường để SBMC SABC a) Chứng minh ABC vng A Tính B C Tính độ dài AH * Chứng minh ABC vng A Muốn chứng minh tam giác tam giác vng có nhiều cách Trong cách có cách sử dụng định lí: “Nếu tam giác có tổng bình phương hai cạnh, bình phương cạnh cịn lại tam giác tam giác vng” ABC có: 36 20,25 56,25 (1) AC (4,5) 20,25 AB2 62 36 2 BC2 (7,5)2 56,25 (2) Từ (1) (2) ta có AB2 AC BC ABC vuông A * Tính B C : TgB AC 4,5 0,75 B 37 AB C 90 B 90 37 53 B 37 Vậy: C 53 * Tính độ dài đường cao AH ABC vuông A (chứng minh trên) AH đường cao ứng với cạnh huyền BC muốn tính độ dài đường cao AH biết độ dài hai cạnh góc vng độ dài cạnh huyền ta vận dụng định lí “Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng” Do đó: BC.AH AB.AC AH AB AC 6.4,5 27 3,6(cm) BC 7,5 7,5 b) Xác định vị trí điểm M để SMBC SABC SMBC SABC (giả thiết) mà MBC ABC có chung cạnh BC diện tích có cạnh đáy chung đường cao hai tam giác phải M cách BC khoảng AH M nằm đường thẳng song song với BC cách BC khoảng AH (3,6cm) Bài 6: (38/95/SGK T1) Hai thuyền A B vị trí minh hoạ hình 48 Tính khoảng cách chúng (làm tròn đến mét) Giải Theo giả thiết IKB IKA AKB 50 15 65 BIK vuông I (giả thiết) nên: IB IK tgIKB 380.tg65 814,9(cm) IAK vuông I nên IA IK tgIKA 380.tg50 452,9(cm) Vậy khoảng cách hai thuyền là: AB IB IA 814,9 452,9 362(m) Bài 7: (39/98/SGK T1) Tìm khoảng cách hai cọc để căng dây vượt qua vực hình 49 (làm trịn đến mét) Giải Do BC //AD (cùng vng góc với AE ADE BCE (hai góc đồng vị) 50 Đặt độ dài đoạn thẳng nối hai cọc x Ta có: x 20.tg50 23,8 6,5 17,3(m) sin 50 Bài 8: (40/95/SGK T1) Tính chiều cao hình 50 Giải Chiều cao là: 1,7 32tg35 1,7 21 22,7(m) Bài 9: (41/96/SGK T1) Cho ABC vng C có AC 2cm, BC 5cm, BAC x, ABC y Dùng thơng tin sau (nếu cần) để tìm x y : sin2336 0,4;cos6624 0,4 : tg2548 0,4 Giải Tính độ lớn BAC biết số đo cạnh đối BC cạnh kề AC Vì a tính số đo ABC biết cạnh đối AC 2cm cạnh kề BC 5cm Ta có ABC y tgy 0,4 nên y 2148 BAC x 90 y 90 2148 6812 Do x y 6812 2148 4624 Bài 10: (42/96/SGK T1) Ở thang dài 3m người ta ghi: “Để đảm bảo an toàn dùng thang, phải đặt thang toạ với mặt đất góc có độ lớn từ 60 đến 70 ” Đo góc khó đo độ dài Vậy cho biết, dùng thang chân thang phải đặt cách mặt đường khoảng mét để đảm bảo an toàn? Giải Theo định lí: Muốn tính độ dài AC AC ta áp dụng công thức b a.sin B a.cos C Do ta có: AC BC.cos C 3.cos60 1,5(m) AC.BC.cos C 3cos70 1,03(m) Vậy dùng thang (có độ dài 3m) chân thang nên đặt cách chân tường khoảng 1,03m đến 1,5m an tồn Bài 11: Cho hình vng ABCD có AB BC CD DA a Qua điểm A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC K cắt DC I Chứng minh 1 2 AK AI a Giải ABCD có A B C D 90 AB BC CD DA a GT AI BC K AI DC I KL 1 2 AK AI a Sau đọc kỹ đề bài, hiểu đề bài, vẽ hình xác, ghi giả thiết kết luận Qua giả thiết kết luận ta đặt câu hỏi: Giả thiết kết luận toán này, giống giả thiết kết luận định lí định lí ta học? Giả thiết kết luận toán này, nằm dạng định lí hệ thức lượng tam giác vuông Định lí 4: Được phát biểu: Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền, tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Liên hệ giả thiết kết luận định lí với giả thiết kết luận tốn, có liệu chưa hồn toàn giống Vế trái đẳng thức kết luận tốn nghịch đảo bình phương hai đoạn thẳng hai đoạn thẳng nằm đoạn thẳng hai cạnh góc vng tam giác vng định lí 4: Còn vế phải đẳng thức kết luận tốn ta coi nghịch đảo bình phương đường cao AD Do muốn đưa tốn dạng định lí ta phải tạo hình, tức tạo tam giác vng nhận AD đường cao ứng với cạnh huyền AI cạnh góc vng tam giác Kẻ AH AI (H CD) Ta phải chứng minh AH AK Muốn chứng minh AH AK ta chứng minh ADH ABK ADH AKB có: A1 A3 (hai gó c cù ng phụ vớ i A2 ) AD AB (hai cạ nh củ a hình vuô ng ABCD) ADH ABK 90 ADH AKB (g.c.g) AH AK (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) AHI vuông A có AD đường cao ứng với cạnh huyền HI nên 1 (1) (Theo định lí 4) Thay AD2 a2 AH AK vào (1) ta có: 2 AD AH AI 1 1 1 AD AH AI a2 AK AI Bài 12: ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết AH 14cm, BH HC 30cm Giải ABC( AB AC) AD BC(D BC) GT AH BD, BH AC CH AB AD ? AH 14cm KL BH HC 30cm Bài toán tốn khác, muốn giải phải khai thác triệt để giả thiết Với giả thiết: “Tam giác cân”, “trực tâm” tức BH AC, CH AB, AE BC Lại có: BH CH 30cm (giả thiết) Từ giả thiết ta tạo tam giác vuông cách tận dụng tính chất tam giác cân; đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường trung trực cạnh Từ ta lấy E đối xứng với H qua D được: Tứ giác BHCE có đường chéo BC HE giao trung điểm D đường nên hình bình hành (cách nhận 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành) Hình bình hành BHCE lại có hai đường chéo HE BC vng góc với nên hình thoi (Theo dấu hiệu 3: Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi) Do BHCE hình thoi nên EB AB (vì BE //CH ) ABE vuông B BHCE hình thoi nên: BH HC CE EB (Theo định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh nhau) ABE vng B nên ta có: BE AE.DE (Theo định lí 1: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền) Đặt DE x Có hai trường hợp xảy ra: * Nếu BAC 90 : 302 (Vì BE BH 30cm) (2 x 14).x 900 x 14 x x 7x 450 x 18 x 18 x 25 x 25(loaï i) Với x 18 số dương nên nghiệm thích hợp Từ ta có AD 14 18 32 Vậy AD 32cm * Nếu BAC 90 ta có x(2 x 14) 302 x 14 x 900 x 7x 450 x 7x 450 x 18 x 18(loaï i) ( x 18)( x 25) x 25 x 25 Với x 25 nghiệm dương nghiệm thích hợp Vậy AD 25 14 11(cm) Bài 13: Cho ABC ( A 90) có AB AC C 45 Trung tuyến, AM, đường cao AH với MA MB MC a Chứng minh công thức: b) cos2 cos2 ; a) sin2 2sin cos ; c) cos2 2sin2 Giải ABC ( A 90) GT AB AC, ACB 45 MB MC, AH BC MA MB MC a * sin2 2sin cos KL * cos2 cos2 * cos2 2sin2 Muốn giải ta phải sử dụng kiến thức học * Tỉ số lượng giác cạnh tam giác vuông * Các định nghĩa a) Chứng minh công thức: sin2 2sin cos ABC vng A (giả thiết) có AM trung tuyến thuộc cạnh huyền BC HA đường cao thuộc BC nên: sin caï nh đố i AH ; cạ nh huyề n AC cos cạ nh kề CH AMH 2C (vì cạ nh huyề n AC AMC cân C) AMH 2 Do 2sin cos AH CH AH CH AH CH AH AH sin 2 AC AC BC.CH 2a a AC b) Chứng minh cos2 cos2 CH 2CH 2CH 2CH CH cos BC.CH 2a a AC AC (1) cos2 HM a HM MC HM CH (2) a a a a Từ (1) (2) có cos2 cos2 c) Chứng minh cos2 2sin2 Từ hệ thức sin2 cos2 cos2 sin2 thay cos2 sin2 vào cos2 cos2 cos 2sin2 Nên 2sin2 cos2 2 ... nên: IB IK tgIKB 380.tg65 814 ,9( cm) IAK vuông I nên IA IK tgIKA 380.tg50 452 ,9( cm) Vậy khoảng cách hai thuyền là: AB IB IA 814 ,9 452 ,9 362(m) B? ?i 7: ( 39/ 98/SGK T1)... 30cm B? ?i toán tốn khác, muốn gi? ?i ph? ?i khai thác triệt để giả thiết V? ?i giả thiết: “Tam giác cân”, “trực tâm” tức BH AC, CH AB, AE BC L? ?i có: BH CH 30cm (giả thiết) Từ giả thiết ta... kỹ đề b? ?i, hiểu đề b? ?i, vẽ hình xác, ghi giả thiết kết luận Qua giả thiết kết luận ta đặt câu h? ?i: Giả thiết kết luận toán này, giống giả thiết kết luận định lí định lí ta học? Giả thiết kết luận