Bai tap on tap chuong iii hinh hoc 9 chon loc

BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG III I CÂU HỎI 1.Góc tâm ? 2.Góc nội tiếp ? 3.Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ? 4.Tứ giác nội tiếp ? 5.Với ba điểm A, B,C thuộc đường tròn thì: s®AB  s®AC  s®CB ? 6.Phát biểu định lí mối quan hệ cung nhỏ dây căng cung đường trịn 7.Phát biểu định lí hệ góc nội tiếp chắn cung 8.Phát biểu định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 9.Phát biểu quỹ tích cung chứa góc 10.Phát biểu điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn 11.Phát biểu số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 12.Phát biểu định lí đường trịn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp đa giác 13.Nêu cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn 14.Nêu cách tính số đo góc nội số đo cung bị chắn 15.Nêu cách tính số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung theo số đo cung bị chắn 16.Nêu cách tính số đo góc đỉnh bên đường trịn theo số đo cung bị chắn 17.Nêu cách tính số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn theo số đo cung bị chắn 18.Nêu cách tính độ dài cung n hình quạt trịn bán kính R 19.Nêu cách tính diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n Giải 1.Định nghĩa góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm 2.Định nghĩa góc nội tiếp Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn 3.Định nghĩa: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm gọi góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 4.Định nghĩa tứ giác nội tiếp Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) 5.Ba điểm A, B, C thuộc đường trịn Định lí: Nếu C điểm nằm cung AB thì: s®AB  s®AC  s®CB 6.Định lí 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung Định lí 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn hơn; b) Dây cung lớn căng cung lớn 7.Định lí hệ góc nội tiếp a) Định lí: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn b) Hệ quả: Trong đường tròn: * Các góc nội tiếp chắn cung * Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung * Góc nội tiếp (nhỏ 90 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung * Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 8.Định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Định lí: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Phát biểu quỹ tích cung chứa góc Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng cho trước góc cung tâm chứa góc dựng đoạn thẳng cho trước 10 Phát biểu điều kiện tứ giác nội tiếp đường tròn Tứ giác thỏa mãn mà hai điều kiện sau nội tiếp đường a) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 nội tiếp đường trịn b) Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm nội tiếp đường trịn 11 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn Có dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn a) Hình thang cân nội tiếp đường trịn b) Hình chữ nhật nội tiếp đường trịn c) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 nội tiếp đường trịn d) Tứ giác có bốn đỉnh cách nội tiếp đường trịn e) Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh cịn lại góc nội tiếp đường trịn (Áp dụng quỹ tích cung chứa góc) 12 Định lí đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp đa giác Bất kỳ đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp 13 Cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn Số đo cung tìm tính theo cơng thức l   Rn 180 14 Cách tính số đo góc nội tiếp Số đo góc nội tiếp tính theo định lí: Định lí: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn 15 Cách tính số đo góc tạo tiếp tuyến dây Vận dụng định lí: “Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn” để tính số đo góc tạo với tiếp tuyến dây 16 Muốn tính số đo góc có đỉnh đường trịn, ta vận dụng định lí: Số đo góc có đỉnh đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn 17 Muốn tính số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn, ta vận dụng định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 18 Nếu cách tính độ dài cung n hình quạt trịn bán kính R Muốn tính độ dài cung n hình quạt trịn bán kính R ta vận dụng công thức: l  19 Muốn tính diện tích hình quạt trịn bán kính R cung n ta áp dụng công thức: S  R2 n 360 hay S= lR (L độ dài cung n hình quạt trịn) II Bài tập Bài 1: (88 / 103 / SGK T2) Hãy nêu tên góc hình Giải  Rn 180 Bài 2: (89 / 104 / SGK T2) Trong hình 67, cung AmB có số đo 60 Hãy: a) Vẽ góc tâm chắn AmB Tính AOB b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn AmB Tính ACB c) Vẽ góc tạo tia tiếp tuyến Bt dây cung BA Tính góc Abt d) Vẽ ADB có đỉnh D nằm đường trịn So sánh ADB với ACB e) Vẽ AEB có đỉnh E bên ngồi đường trịn (E C phía AB) So sánh AEB với ACB Giải a) Vẽ góc tâm AOB Hình vẽ góc tâm AOB bên cạnh Do cung AmB  60 (giả thiết) nên AOB  60 (Theo định lí) số đo góc tâm số đo cung bị chắn Cách khác: Do AmB  60 (giả thiết ) nên dây AB  R  AOB có OA  OB  AB  R nên AOB tam giác  OAB  OBA  AOB  60 b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn AmB Tính ACB Muốn tính số đo góc nội tiếp ta sử dụng định lí: Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn s® ACB  s® AmB 60   30 2 Hoặc sử dụng định lí: Số đo góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn cung Do AmB  60 (giả thiết )  AOB  60  s® ACB  s® AOB 60   30 2 c) Vẽ góc tạo tia tiếp tuyến Bt dây cung BA Muốn tính số đo góc tạo tia tiếp tuyến Bt dây BA ta sử dụng định lí: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến Bt dây cung BA ta sử dụng định lí: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn s® ABt  s® AmB 60   30 2 Vậy ABt  30 d) Vẽ ADB có đỉnh D nằm bên đường tròn (O) Gọi C giao điểm AD (O) E giao điểm BD (O) Ta có: s® ADB   s® AmB  CE  (Theo định lí: số đo góc có đỉnh bên đường trịn có số đo nửa tổng số đo hai cung bị chắn)  60 s®CE s®CE   30  2 *So sánh ADB ACB BDC có ADB góc ngồi đỉnh C nên ADB  ACB  DBC (Theo định lí: góc ngồi tam giác tổng hai góc kề với  ADB  ACB ) e) Vẽ AEB có đỉnh E ngồi đường trịn (O) AE cắt (O) F BE cắt (O) C s® AEB   s® AmB  CF  (Theo định lí số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn) So sánh ACB AEB ACE có ACB góc ngồi đỉnh C nên ACB  CEA  CAE  ACB  AEB Bài 3: (90 / 104 / SGK T2) a) Vẽ hình vng cạnh có độ dài 4cm b) Vẽ đường trịn ngoại tiếp hình vng Tính bán kính R đường tròn c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vng Tính bán kính r đường tròn Giải GT Đường tròn (O; R) ngoại tiếp ABCD ABCD có AB = BC = CD = DA = cm A  B  C  D  900 Đường tròn (O;r) nội tiếp ABCD KL * Tính R * Tính r a) Vẽ hình vng ABCD có AB  BC  CD  DA  4cm b) Vẽ đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Cách vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp ABCD - Kẻ đường chéo AC vẽ đường chéo BD cho cắt O Có OA  OC  OB  OD (Tính chất đường chéo hình vng) - Vẽ đường trịn tâm O, bán kính OA đường trịn O ngoại tiếp hình vng ABCD - Tại O hạ OM  AB MO cắt CD N - Vẽ đường trịn tâm O, bán kính OM đường trịn O, bán kính OM đường trịn nội tiếp hình vng ABCD *Tính R AOM vng M có OAM  45 (Tính chất đường chéo hình vng)  AOM vuông cân M  OA2  AM  OM  22  22     OA  R   4.2  2  cm  Vậy bán kính đường trịn (O) ngoại tiếp hình vng ABCD R  2cm *Tính r Do AC  BD trung điểm O đường nên AOB vuông cân O  OM vừa đường cao vừa trung tuyến thuộc đáy AB nên MA  MO  MB  AB  2 2 (theo định lí: Trong tam giác vng trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) Vậy r  2cm Bài 4: (91 / 104 / SGK T2) Trong hình 68 đường trịn tâm O có bán kính R  2cm, AOB  75 a) Tính sđ ApB b) Tính độ dài cung AqB cung ApB c) Tính diện tích hình quạt trịn OAqB Giải a) Muốn tính số đo cung AqB ta vận dụng định lí Trong đường trịn số đo cung số đo góc tâm chắn cung sđAOB 75 giả thiết sđAqB 75 Muốn tính số đo AqB ta vận dụng định lí Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) nên sđ ApB  360  s®AqB  360  75  285 b) Tính độ dài AqB ApB Muốn tính độ dài cung AqB cung ApB ta vận dụng công thức L rRn ; 180 LAqB  LApB  rRn  2.75 5    cm  ; 180 180  Rn 180   2.285 180  19  cm  c) Muốn tính diện tích hình quạt trịn OAqB Muốn tính diện tích hình quạt trịn OAqB ta vận dụng công thức: S  R2 n 360 hay S= Ta có: S qu¹t OaqB  lR  R 2n 360   22.75 360  5 cm   Bài 5: (92 / 104 / SGK T2) Hãy tính diện tích miền chấm đậm hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài cm) Giải *Với hình 69 Muốn tính diện tích hình vành khăn hình 69 ta lấy diện tích hình trịn  0;1,5 trừ diện tích hình trịn (0;1) S= R   1,5  2,25   Vận dụng công thức: S   R ta có Diện tích hình tròn 0;1 là:  S= 12  1    Diện tích hình vành khăn là: S   2, 25    1, 25  cm2  *Với hình 70 Muốn tính diện tích hình chấm đậm ta dựa vào kết hình 69 Diện tích hình trịn  0;1,5 trừ diện tích hình quạt AOB Diện tích hình quạt AOB có AOB  80 , bán kính 1,5 Tính diện tích hình quạt góc 80 bán kính Hiệu chúng diện tích hình chấm đậm Cách khác: Tính diện tích hình quạt trịn bán kính góc 80 trừ diện tích hình quạt trịn bán kính hình chấm đậm *Với hình 71 Diện tích hình chấm đậm diện tích hình vng cạnh 3cm trừ lần diện tích hình quạt trịn góc 90 bán kính 1,5cm Hoặc diện tích hình vng cạnh 3cm trừ diện tích hình trịn bán kính 1,5cm 32   1,5   2, 25  1,935  cm2  Bài 6: (93 / 104 / SGK T2) Có ba bánh xe A, B, C chuyển ng n khp vi P tâm đường tròn ngoại tiếp Lại có PH PH tứ giác IHDC đường kính CH   IB  IC  gi¶ thiÕt   PI đường trung bình BHC PI  Hay IP // BD (8) BD  AC (giả thiết) (9) BH vµ PI // BH Từ (7), (8), (9) ta có QI  IP  QIP  90  QDP vuông D Chứng minh tương tự QD  DP  QDP  90  QIP vuông I  PQ cạnh huyền chung hai tam giác vuông Gọi K trung điểm PQ DI trung tuyến thuộc cạnh huyền PQ QDP vuông D nên KQ  KD  KP  PQ QID vuông I nên IK trung tuyến thuộc cạnh huyền PQ nên PQ KQ  KI  KD   KQ  KD  KP  KI  Q , D , P , I cách điểm K  Q , D , P , I nằm đường tròn tâm K đường kính PQ Cịn lại tứ giác ADHE BEHI chưa chứng minh hai tứ giác nội tiếp đường tròn Mời bạn học sinh chứng minh hai tứ giác nội tiếp đường tròn Mỗi tứ giác chứng minh chúng nội tiếp đường tròn cách khác Bài 25: Cho ABC vng A nội tiếp đường trịn (O) Đỉnh A di động cung BAC Chứng minh đường phân giác phân giác A cắt đường tròn điểm cố định Tìm quỹ tích trung điểm E cạnh AC Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC Tìm quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ABC Phân giác C cắt phân giác ngồi góc B M Chứng minh BMC  45 Từ suy quỹ tích tâm đường tròn bàng tiếp C Giải ABC ( A  900 ) nội tiếp (O) GT A di động BAC * Phân tích ngồi A cắt (O) điểm cố định * Quỹ tích trung điểm E cạnh AC KL * Quỹ tích trọng tâm G ABC * Quỹ tích tâm I đường tròn nội tiếp ABC * ( BMC  450 ) tìm quỹ tích tâm đường trịn bàng tiếp góc C Chứng minh đường phân giác A cắt (O) điểm cố định Như nêu trên: Muốn chứng minh yếu tố cố định ta phải tìm liên hệ yếu tố ta phải chứng minh với yếu tố cố định không đổi có đề ABC có BAC  90 nên tiếp tuyến đường tròn (O) (giả thiết )  BAC  90 chắn nửa đường trịn đường kính BC Theo giả thiết đỉnh A ABC di động BAC , BAC ln ln góc nội tiếp chắn nửa đường trịn  BAC  90 khơng đổi Gọi AQ tia phân giác BAC , AQ chia BAC thành A1  A  90  45  AQ cắt đường tròn (O) điểm Q tạo BQ  QC  45 không đổi BQ CQ khơng đổi có đầu B C cố định nên Q phải điểm cố định Vậy di động BAC phân giác BAC cắt đường tròn (O) điểm cố định Q điểm cung BC cung đối xứng với cung BAC Chứng minh tương tự được: Tia phân giác góc ngồi đỉnh A ABC cắt (O) điểm P điểm BAC Vậy phân giác tam giác ngồi BAC cắt đường trịn (O) hai điểm cố định Q P tạo thành đường kính PQ vng góc với đường kính BC đường trịn (O) Quỹ tích trung điểm E cạnh AC Đó người học toán, yêu toán ta phải rèn luyện khả nhạy bén toán Khi nghe, đọc đến hai âm tiết “trung điểm” trung điểm dây đường tròn ta nghĩ đến tính vng góc Nối O với E trung điểm AC ta có OE  AC (Theo định lí: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây ấy)  OEC  90 Do đường tròn (O) cố định  Đường kính BC qua O cố định cạnh BC ABC cố định  O C hai điểm cố định  OC đoạn thẳng nửa mang tính cố định có tính khơng đổi  E ln ln nhìn đoạn thẳng OC góc khơng đổi 90 Nằm đường trịn đường kính OC khơng đổi Vì A di động nửa đường tròn BAC nên E nằm nửa đường tròn OEC (từ hai điểm O C) Quỹ tích trọng tâm G ABC Muốn giải câu ta phải sử dụng kiến thức bản: Tính chất ba đường trung tuyến tam giác: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy, giao điểm ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác Đường trịn (O) ngoại tiếp ABC vng A nên cạnh huyền BC ABC đồng thời đường kính đường tròn tâm O  O trung điểm cạnh BC  AO trung tuyến ứng với cạnh BC mà OA bán kính đường trịn ngoại tiếp 2 AO  R mà đường tròn O cố định nên R không đổi  OG không đổi 3  G nằm đường tròn tâm O bán kính OG  bán kính đường trịn đường kính BC ngoại tiếp ABC ABC  GO  Quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ABC Do A di động cung BAC nên tia phân giác AQ BAC di động theo A Mà AQ di động I di động theo I  AQ Do ta phải tìm mối quan hệ I A xác định quỹ tích I A di động BAC ABC có A  B  C  180 (Định lí tổng ba góc tam giác)  B  C  180  A  180  90  90 mà B  B , C1  C B  C 90  B1  C    45 2 BIC có BIC  IBC  ICB  180 (Định lí tổng ba góc tam giác)      BIC  180  IBC  ICB  180  B  C  180  45  135 Như A di động cung BAC I di động theo Do BAC  90 khơng đổi nên BIC  135 không đổi  I ln nhìn BC khơng đổi cố định khơng đổi Đó quỹ tích tâm I đường tròn nội tiếp ABC di động BAC Chứng minh BMC  45 BI đường phân giác trong, BM đường phân giác ngồi góc đỉnh B nên: MBI  90 (Theo định lí: Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) BIM góc ngồi đỉnh I BIC mà BIC  135 nên BIM  180  135  45   BIM có BIM  180  MBI  BIM  180   90  45   180  135  45 Vậy BMI  45 B Do BAC không đổi nên B  C  90 không đổi  B1  ; C1   B1  C  C B  C 90   45 không đổi  BIM không đổi 2  BIM  45 không đổi (vì MBI ln ln 90 )  M nằm cung chứa góc 45 dựng đoạn BC cố định không đổi Bài 26: Cho ABC vuông A Lấy AB AC làm cạnh dựng phía ngồi ABC hình vng ABHK ACDE Biết ABC  45 Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng Chứng minh đường cao AI ABC qua trung điểm N đoạn KE Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC F Chứng minh F điểm BAC Gọi M giao điểm BF ED hình vng ACDE Chứng minh điểm B, K, E, M, C nằm đường tròn Chứng minh hệ thức MC  MF MB Giải ABC ( A  900 ) nội tiếp (O) GT Hình vng ABHK hình vng ACDE ABC  450 * H, A, D thẳng hàng * IA qua trung điểm N KE KL * FB  FC * B, K, E, M, C nằm đường tròn * MC2  MF.MB Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng nêu nhiều lần trước Muốn chứng minh ba điểm H, A, D dùng phương pháp phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng? Với giả thiết: “Tam giác ABC vng A” “dựng hình vng ABHK ACDE” ta thấy muốn H, A, D thẳng hàng ta dùng phương pháp: Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm đỉnh, hai điểm cịn lại nằm hai cạnh góc bẹt có đỉnh ba điểm AH đường chéo hình vng ABHK nên AH phân giác góc vng BAK nên HAK  45 AD đường chéo hình vng ACDE nên EAD  45 Do HAK  KAE  EAD  45  90  45  180  HAD góc bẹt (Theo định nghĩa: Góc bẹt góc có số đo 180 ) góc bẹt góc có hai cạnh làm thành đường thẳng Do H, A, D thẳng hàng Chứng minh IA qua trung điểm N KE Có nhiều phương pháp chứng minh IA cắt kE trung điểm N Cách 1: ABC AKE có: AB  AK Hai cạnh hình vuông ABHK  BAC  KAE  90  AK  AE Hai cạnh hình vuông   ABC  AKE  c.g.c   ABC  AKE ACB  AEK (Các góc tương ứng hai tam giác nhau) BC  KE (Hai cạnh tương ứng) Lại có A1  A2 (Hai góc đối đỉnh) mà A1  C (cùng phụ với ABC )  E  A1 (cùng C )  ANE cân N (Theo định lí: Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân)  NE  NA (Hai cạnh bên tam giác cân) (1) KAN  ABC (cùng phụ với A )  AKE  KAE (cùng ABC )  AKN cân N (Theo định lí: Tam giác có hai góc tam giác cân)  NK  NA   Từ (1) (2) ta có NK  NE (cùng NA)  N trung điểm KE Vậy IA cắt KE trung điểm N KE Cách 2: Từ K hạ KQ  IA  Q  IA Từ E hạ EP  IA  P  IA AIB KQA vuông I Q có: C¹nh hun AB  C¹nh hun AK Hai cạnh hình vuông   ABI  KAQ Cïng phơ víi BAI      AIB  KAQ (Cạnh huyền - Góc nhọn)  AI  KQ (Hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) APE CIA vuông P I có: C¹nh hun AE  C¹nh huyền AC Hai cạnh hình vuông    A2  C1 Cïng phơ víi A3      APE  CIA (Cạnh huyền – Góc nhọn )  PE  AI (Hai cạnh tương ứng) Ta có KQ // EP (Cùng vng góc với IA)  K  E (Hai góc so le trong) KQN EPN vuông Q P (cách vẽ ) có: K1  E1  chøng minh trªn     KQ  EP  chøng minh trªn    KQN  EPN  g.c.g   KN  EN  Q  P  90    IA qua trung điểm N KE Chứng minh F điểm BAC Do AD đường chéo hình vuông ACDE nên CAF  45 Mà CAF góc nội tiếp đường trịn (O) ngoại tiếp ABC  CF  90 (Theo định lí: Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn) BAC  180 (nửa đường trịn) CF  90  BAC Do F điểm BAC Chứng minh điểm B, K, E, M, C nằm đường tròn Muốn chứng minh năm điểm nằm đường trịn có nhiều phương pháp * Chứng minh năm đỉnh hai tứ giác nội tiếp đường trịn Hai tứ giác có ba đỉnh chung hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác phải * Chứng minh điểm cách điểm dẫn điểm nằm đường tròn v.v… Tứ giác ACDE hình vng có AD đường chéo  DAC  45 (Tính chất đường chéo hình vng)  CE  90 (Theo định lí: Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn) BFC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn )  CFM  90 (vì CFM kề bù với BFC ) Tứ giác CFMD có: CFM  90  chøng minh trªn    MDC  90  gi¶ thiÕt    CFM  MDC  90  90  180 mà CFM CDM hai góc đối diện tứ giác CFMD nên CFMD nội tiếp đường trịn (Theo định lí đảo định lí tứ giác nội tiếp)  FDC  FMC  45  BCM  90  BCM vuông cân C  FB  FM  FC (Tam giác cân có đường ứng với cạnh huyền đồng thời đường trung tuyến) BEM vuông E (giả thiết)  EF trung tuyến thuộc cạnh huyền BM nên: FB  FM  FE (Theo định lí: Tam giác vng có trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền)  B , E , M ,C cách điểm F  B , E , M ,C nằm đường trịn tâm F Đường kính BM Tứ giác BKEC có CBK  CKE (cùng phụ với C  E ) nên nội tiếp đường trịn (quỹ tích chứa góc) Tứ giác BEMC tứ giác BKEC có ba đỉnh chung B, E, C khơng thẳng hàng nên hai đường trịn ngoại tiếp hai tứ giác trùng (Theo định lí: Qua điểm khơng thẳng hàng có đường tròn) Vậy điểm B, K, E, M, C thuộc đường tròn Cách khác: Tứ giác BEMC có E  C  90  nội tiếp đường trịn Tứ giác BKEC có B K nhìn CF góc EKC  EBC nên nội tiếp đường tròn Hai tứ giác BEMC BKMC có đỉnh chung B, E, C nên hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác trùng  điểm B, K, E, M, C thuộc đường tròn Chứng minh hệ thức MC  MF MB BCM vuông cân C có đường cao CF ứng với cạnh huyền BM nên CM2  BM.FM (Theo định lí: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền) Bài 27: Cho hai điểm A, B cố định xAy  60 thay đổi cho điểm B nằm miền xA y ( B  Ax Ay) Gọi M, N hình chiếu vng góc B Ax Ay Đường thẳng BN cắt Ax H đường thẳng BM cắt Ay K a) Chứng minh độ dài đoạn thẳng MN, HK không đổi xA y quay quanh A b) Gọi I, J trung điểm AB HK chứng minh tứ giác MINJ nội tiếp đường tròn c) Chứng minh trung điểm O MN nằm đường cố định Giải A, B cố định GT xAy  600 quanh quanh A B xAy ( B  Ax,Ay) BM  Ax ( M  Ax ); BN  Ay ( A  Ay) MB  By  k; NB  Ax  H IA  IB; JH  JK; OM  ON * MN, HK không đổi KL * MJNI nội tiếp đường tròn * D nằm đường cố định Chứng minh Chứng minh độ dài MN, HK không đổi * Chứng minh đoạn thẳng MN có độ dài khơng đổi xA y quay quanh A Muốn chứng minh đoạn thẳng có độ dài khơng đổi có nhiều phương pháp chứng minh ví dụ: - Chứng minh đoạn thẳng dây cung đường trịn căng cung có số đo khơng đổi - Đoạn thẳng cạnh đối diện với mà hai đoạn thẳng khác tạo góc có số đo khơng đổi v.v… Theo giả thiết: M hình chiếu B Ax tức BM  Ax , lại có MB cắt Ay K  AMK vuông M  MAK  AKM  90 (Theo định lí: Trong tam giác vng có hai góc nhọn phụ nhau)  AKM  90  KAM  90  60  30 (1) Tương tự có ANH vng N  NAH  NHA  90  NHA  90  NAH  90  60  30 (2) Từ (1) (2) ta có K H nhìn MN góc 30  H K nằm cung chứa góc 30 dựng đoạn MN Hay tứ giác MHKN nội tiếp đường trịn Tø gi¸c AMBN cã : AMB  90    AMB  ANB  90  90  180 mà AMB ANB hai ANB  90   góc đối diện tứ giác AMBN nên AMBN nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AB Do nội tiếp MAN  60 nên góc tâm MIN  120 (Theo định lí: Góc nội tiếp có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung AMBN nội tiếp đường tròn nên MAN  60 MBN  120  B  B  60 (vì hai góc đối đỉnh bù với góc 120 ) Do tứ giác MHKN nội tiếp đường trịn MBN  120 khơng đổi  B  B  60 không đổi theo nên H  K  30 khơng đổi  MN thuộc đường trịn ngoại tiếp MHKN không đổi Cung MN không đổi dĩ nhiên dây MN căng cung không đổi không đổi theo * Chứng minh độ dài đoạn HK không đổi xA y quay quanh H Do MBN  120 không đổi (vì bù với MAN  60 khơng đổi) MN khơng đổi (chứng minh trên) Tứ giác MHKN có M N nhìn HK góc 90 nên nội tiếp đường trịn đường kính HK  AMN  AKH (cùng bù NMH ) nên AMN AHN có MAN  KAH  gãc chung cđa tam gi¸c    AMN  AKH  chøng minh trªn    AMN ∽ AHK  g.g   MN AN  HK AH AHN vng N có AHN  30  AN  AH (Theo định lí: Nếu tam giác vng có góc nhọn 30 cạnh góc vng đối diện với góc nửa cạnh huyền)  MN  HK mà MN không đổi HK khơng đổi 2 Chứng minh tứ giác MINJ nội tiếp đường trịn HNK vng N có J trung điểm cạnh huyền HK (vì J tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MHKN) nên: JJH  JN  JK  HK (3) HMK vng M có MJ trung tuyến thuộc cạnh huyền HK nên: JH  JM  JK  HK (4) Từ (3) (4) ta có MJ  NJ (cùng HK HK ) lại có MN  (chứng minh trên) 2  MN  MJ  JN  MNJ tam giác (tam giác có ba cạnh tam giác đều)  MJN  60 Tø gi¸c MJNI cã : MIN  120  chøng minh trªn    MJN  60  chøng minh trªn    MIN  MJN  120  60  180 mà MIN MJN hai góc đối diện tứ giác MJNI nên MJNI nội tiếp đường tròn theo định lí: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường tròn) Chứng minh trung điểm O MN nằm đường cố định Câu tạo điều kiện cho người ham học toán phát huy lực tư Đề yêu cầu ta chứng minh O nằm đường cố định Những đường cố định đường thẳng hay đường tròn ta phải tìm chứng minh Ta ý đến giả thiết O trung điểm đoạn thẳng MN có độ dài khơng đổi Muốn tìm điểm di động nằm đường thẳng hay đường trịn mang tính cố định ta phải làm mối quan hệ điểm với yếu tố cố định khơng đổi có đề Với đề có hai điểm cố định điểm A điểm B Từ hai điểm cố định dẫn đến đoạn thẳng với hai điểm cố định A B đoạn AB có độ dài khơng đổi Nối I trung điểm AB với O trung điểm MN ta thấy IO  MN (vì IM IN bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMBN có đường kính AB khơng đổi  bán kính IM IN có độ dài không đổi MIN cân I nên trung tuyến IO vừa đường cao ứng với đáy MN đồng thời phân giác MIN  120  MIO  60 MIO vng O có IMO  30 (vì phụ với MIO  60 )  IO  IM (Theo định lí: Trong tam giác vng có góc nhọn 30 cạnh góc vng đối diện với góc nửa cạnh huyền) Do IM không đổi ID không đổi  O luôn cách I cố 1 độ dài MI không đổi hay IO  AB không đổi  O nằm đường tròn AB  tâm I bán kính A B khơng đổi Do đường tròn  I ; đường tròn cố 4   định định Bài 28: Cho đường tròn (O) đường kính AB Một dây CD vng góc với AB H Một điểm M thuộc đường thẳng CD ngồi đường trịn (O) MA cắt (O) E MB cắt (O) F Chứng minh FA, FB phân giác phân giác CFD Gọi I giao điểm CD FA Chứng minh hệ thức ID MC  IC MD Tiếp tuyến (O) F cắt DM J Chứng minh JI  JM Chứng minh ba điểm B, I, E thẳng hàng Giải Đường trịn (O) đường kính AB CD  AB H GT M  CD , M (O) AM  (O)  E; BM  (O)  F CM  AF  I JF  OF * AFD  AFC; CFB  BFx KL * ID.MC = IC.MD * JI = JM * B, I, E thẳng hàng Chứng minh Chứng minh FA phân giác CFD FB phân giác CFx * Chứng minh FA phân giác CFD Muốn chứng minh FA đường phân giác CFD ta phải chứng minh AFD  AFC AFD AFC hai góc nội tiếp đường trịn (O) Muốn chứng minh hai góc nội tiếp nhau, tốt ta chứng minh hai cung bị chắn AFD chắn cung DA , AFC chắn CA Như muốn chứng minh AFD  AFC ta phải chứng minh DA  CA Muốn chứng minh DA  CA ta lợi dụng giả thiết AB  CD Vì AB  CD nên ta có DA  CA (Theo định lí: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua điểm cung căng dây ấy)  AFD  AFC (Theo định lí: Trong đường trịn hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Vậy FA phân giác CFD * Chứng minh FB phân giác CFx Ta có AFB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng) hay FA  FB Mà FA phân giác CFD (chứng minh trên)  FB phân giác CFx (vì CFx kề bù với CFD ) Nên theo tính chất: “Hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) Vậy FB phân giác CFx Chứng minh hệ thức ID MC  IC MD Các phương pháp chứng minh tích tích nêu nhiều lần trước Câu ta dùng phương pháp để chứng minh ID MC  IC MD ? Ta lợi dụng tính chất phân giác tam giác FA phân giác DFC cắt cạnh CD I nên ta có: ID FD  (Theo định lí: Ttrong tam giác, đường phân giác góc chứa cạnh đối IC FC diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy) (1) Tương tự có MD FD  (2) MC FC Từ (1) (2) ta có: ID MD   ID MC  IC MD IC MC Chứng minh JI.JM Muốn chứng minh hai đoạn thẳng có chung mút nhau, ta chứng minh tam giác nhận hai đoạn thẳng làm cạnh tam giác cân Nhưng JI JM nằm nên chứng minh cách dùng tam giác chứa hai đoạn tam giác cân, khơng thể chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn Câu phải dùng phương pháp trung gian AOF có OA  OF (Hai bán kính đường trịn )  AOF cân O  FAO  AFO (Theo định lí: Trong tam giác cân hai góc kề đáy nhau) Mà FAO  FMI (cùng phụ FBA )  FMJ  AFO (3) AFO  AFJ 90 định lí tiếp tuyến    AFO  JFM cïng phơ víi AFJ (4) JFM  AFJ  90  chøng minh trªn       MJF cân J  JM  JF Chứng minh tương tự FJI cân J  JI  JF  JM  JI (cùng JF) Chứng minh điểm B, I, E thẳng hàng AMB cã BF  AF  chứng minh AI MI hai đường cao ABM MI AB  gi¶ thiÕt    Lại có AEB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  BE đường cao ứng với cạnh AM ABM  BE phải qua trực tâm H AMB Vậy ba điểm B, I, E thẳng hàng Bài 217: Cho hai đường tròn đồng tâm Trên đường thẳng qua O lấy điểm P nằm ngồi đường trịn từ P kẻ hai tiếp tuyến PA PB đến hai đường tròn Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm M đoạn OP Giải OA  PA (Định lí: Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm )  OAP vng A OB  PB (Định lí tiếp tuyến)  OBP vuông B OAP OBP vng A B có cạnh huyền chung OP Gọi Q trung điểm OP ta có AQ trung tuyến thuộc cạnh huyền OP AOP vuông A nên QA  QP  QO  OP (Theo định lí: Tam giác vng có trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) (1) OBP vng B có BQ đường trung tuyến thuộc cạnh huyền OP nên OP QB  QP  QO  (Định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Từ (1) (2) ta có QA  QB (cùng OP )  QAB cân Q  Q nằm trung trực cạnh đáy AB (Tính chất tam giác cân) Vậy đường trung trực đoạn AB trung điểm Q hay trung điểm M OP ... có cạnh đối song song)  B  K (Hai góc so le trong) Cũng ABCK hình bình hành nên AB // KD mà AB  AE nên KD  AE (Theo định lí: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với... loại, biết tổng số học sinh 1800cm Giải a)COD  90   Hình quạt COD chiếm nửa hình trịn đường kính AB nên đáp án a) b)O1  O3  90   O1  90   O3  90   30  60  Hình quạt AOC chiếm  có nửa... trú là: 1800  90 0 (học sinh) Số học sinh nội trú là: 1800   600  90 0   1800  1500  300 (học sinh) Bài 8: (95 / 105 / SGK T2) Các đường cao hạ từ A B ABC cắt H (góc C khác 90  ) cắt đường