Bai tap on tap chuong iii hinh hoc 9 chon loc

Trang 1

BÀI TẬP ễN TẬP CHƯƠNG III I CÂU HỎI

1.Gúc ở tõm là gỡ ? 2.Gúc nội tiếp là gỡ ?

3.Gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung là gỡ ? 4.Tứ giỏc nội tiếp là gỡ ?

5.Với ba điểm A, B,C thuộc một đường trũn khi nào thỡ:

sđAB sđAC sđCB ?

6.Phỏt biểu cỏc định lớ về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dõy căng cung đú trong một

đường trũn

7.Phỏt biểu định lớ và hệ quả về cỏc gúc nội tiếp cựng chắn một cung 8.Phỏt biểu định lớ về gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung

9.Phỏt biểu quỹ tớch cung chứa gúc

10.Phỏt biểu điều kiện để một tứ giỏc nội tiếp được đường trũn 11.Phỏt biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giỏc nội tiếp

12.Phỏt biểu định lớ về đường trũn ngoại tiếp và đường trũn nội tiếp của đa giỏc đều 13.Nờu cỏch tớnh số đo cung nhỏ, cung lớn

14.Nờu cỏch tớnh số đo của gúc nội tiếp theo số đo của cung bị chắn

15.Nờu cỏch tớnh số đo của gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung theo số đo của cung bị

chắn

16.Nờu cỏch tớnh số đo của gúc ở đỉnh ở bờn trong đường trũn theo số đo của cỏc cung bị

chắn

17.Nờu cỏch tớnh số đo của gúc cú đỉnh ở bờn ngoài đường trũn theo số đo của cỏc cung

bị chắn

18.Nờu cỏch tớnh độ dài cung n của hỡnh quạt trũn bỏn kớnh R

19.Nờu cỏch tớnh diện tớch hỡnh quạt trũn bỏn kớnh R, cung n

Giải 1.Định nghĩa gúc ở tõm:

Gúc cú đỉnh trựng với tõm đường trũn gọi là gúc ở tõm

Trang 2

Gúc nội tiếp là gúc cú đỉnh nằm trờn đường trũn và hai cạnh chứa hai dõy cung của đường trũn đú

3.Định nghĩa:

Gúc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dõy cung đi qua tiếp điểm gọi là gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung

4.Định nghĩa tứ giỏc nội tiếp

Một tứ giỏc cú bốn đỉnh nằm trờn một đường trũn được gọi là tứ giỏc nội tiếp đường trũn (gọi tắt là tứ giỏc nội tiếp)

5.Ba điểm A, B, C thuộc một đường trũn khi

Định lớ:

Nếu C là một điểm nằm trờn cung AB thỡ: sđAB sđAC sđCB

6.Định lớ 1:

Với hai cung nhỏ trong một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dõy bằng nhau

b) Hai dõy bằng nhau căng hai cung bằng nhau Định lớ 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường trũn hay trong hai đường trũn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dõy lớn hơn;

b) Dõy cung lớn hơn căng cung lớn hơn

7.Định lớ và hệ quả về gúc nội tiếp

a) Định lớ:

Trong một đường trũn, số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn b) Hệ quả:

Trong một đường trũn:

* Cỏc gúc nội tiếp bằng nhau chắn cỏc cung bằng nhau

* Cỏc gúc nội tiếp cựng chắn một cung hoặc chắn cỏc cung bằng nhau thỡ bằng nhau * Gúc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90) cú số đo bằng nửa số đo của gúc ở tõm cựng chắn một cung

* Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng

8.Định lớ về gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung

Trang 3

Số đo của gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

9 Phỏt biểu quỹ tớch cung chứa gúc

Quỹ tớch cỏc điểm nhỡn đoạn thẳng cho trước dưới cỏc gúc bằng nhau là cung tõm chứa cỏc gúc bằng nhau dựng trờn đoạn thẳng cho trước

10 Phỏt biểu điều kiện đi một tứ giỏc nội tiếp được đường trũn

Tứ giỏc thỏa món mà hai điều kiện sau thỡ nội tiếp được đường

a) Tứ giỏc cú tổng số đo hai gúc đối diện 180 thỡ nội tiếp được đường trũn b) Tứ giỏc cú bốn đỉnh cỏch đều một điểm thỡ nội tiếp được đường trũn

11 Dấu hiệu nhận biết tứ giỏc nội tiếp đường trũn

Cú 5 dấu hiệu nhận biết một tứ giỏc nội tiếp được một đường trũn a) Hỡnh thang cõn nội tiếp được đường trũn

b) Hỡnh chữ nhật nội tiếp được đường trũn

c) Tứ giỏc cú tổng số đo của hai gúc đối diện bằng 180 nội tiếp được đường trũn d) Tứ giỏc cú bốn đỉnh cỏch đều một nội tiếp được đường trũn

e) Tứ giỏc cú hai đỉnh liờn tiếp nhỡn đoạn thẳng nối hai đỉnh cũn lại dưới cỏc gúc bằng nhau thỡ nội tiếp được đường trũn (Áp dụng quỹ tớch cung chứa gúc)

12 Định lớ về đường trũn ngoại tiếp và đường trũn nội tiếp đa giỏc đều

Bất kỳ đa giỏc đều nào cũng cú một và chỉ một đường trũn ngoại tiếp, cú một và chỉ một đường trũn nội tiếp

13 Cỏch tớnh số đo cung nhỏ, cung lớn

Số đo của cung tỡm được tớnh theo cụng thức

180 Rn

l

14 Cỏch tớnh số đo của gúc nội tiếp

Số đo của gúc nội tiếp được tớnh theo định lớ:

Định lớ: Trong một đường trũn, số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

15 Cỏch tớnh số đo của gúc tạo bởi tiếp tuyến và một dõy

Vận dụng định lớ: “Số đo của gúc tạo bởi tia tiếp tuyến và dõy cung bằng nửa số đo của cung bị chắn” để tớnh số đo của gúc tạo với tiếp tuyến và một dõy

16 Muốn tớnh số đo của gúc cú đỉnh ở trong đường trũn, ta vận dụng định lớ:

Số đo của gúc cú đỉnh ở trong đường trũn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

Trang 4

Số đo của gúc cú đỉnh ở bờn ngoài đường trũn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn

18 Nếu cỏch tớnh độ dài cung n của hỡnh quạt trũn bỏn kớnh R

Muốn tớnh độ dài cung n của hỡnh quạt trũn bỏn kớnh R ta vận dụng cụng thức:

180 Rn

l

19 Muốn tớnh diện tớch hỡnh quạt trũn bỏn kớnh R cung n ta ỏp dụng cụng thức:

2

hay S=

3602



 R nlR

S (L là độ dài cung n của hỡnh quạt trũn)

II Bài tập

Bài 1: (88 / 103 / SGK T2)

Hóy nờu tờn cỏc gúc trong cỏc hỡnh dưới đõy

Trang 5

Bài 2: (89 / 104 / SGK T2)

Trong hỡnh 67, cung AmB cú số đo là 60 Hóy: a) Vẽ gúc ở tõm chắn AmB Tớnh AOB

b) Vẽ gúc nội tiếp đỉnh C chắn AmB Tớnh ACB

c) Vẽ gúc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dõy cung BA Tớnh gúc Abt d) Vẽ ADB cú đỉnh D nằm ở trong đường trũn

So sỏnh ADB với ACB

e) Vẽ AEB cú đỉnh E ở bờn ngoài đường trũn (E và C cựng phớa đối với AB) So sỏnh

AEB với ACB

Giải

a) Vẽ gúc ở tõm AOB

Hỡnh vẽ gúc ở tõm AOB ở bờn cạnh Do cung AmB60(giả thiết) nờn

60



Trang 6

gúc ở tõm bằng số đo của cung bị chắn

Cỏch khỏc:

Do AmB60(giả thiết ) nờn dõy

  

ABRAOB cú OAOBABR

nờn AOB là tam giỏc đều

60OABOBA AOB

b) Vẽ gúc nội tiếp đỉnh C chắn AmB

Tớnh ACB

Muốn tớnh số đo của gúc nội tiếp ta sử dụng định lớ: Số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

sđ60sđ3022A mBA CB Hoặc sử dụng định lớ:

Số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của gúc ở tõm cựng chắn một cung Do AmB60(giả thiết )  AOB60

60sđsđ3022A OBA CB 

c) Vẽ gúc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dõy cung BA Muốn tớnh số đo của gúc tạo bởi tia

tiếp tuyến Bt và dõy BA ta sử dụng định lớ:

Trang 7

VậyABt  30

d) Vẽ ADB cú đỉnh D nằm ở bờn trong đường trũn (O) Gọi C là giao điểm của AD và (O) E là giao

điểm của BD và (O)

Ta cú: sđsđ2A mBCEA DB (Theo định lớ:

số đo của gúc cú đỉnh ở bờn trong đường trũn cú số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị

chắn) 60 sđ 30 sđ

222

CECE



 

*So sỏnh ADB và ACB

BDC cú ADB là gúc ngoài đỉnh C nờn ADB ACBDBC(Theo định lớ: mỗi gúc ngoài của tam giỏc bằng tổng hai gúc trong kề với nú  ADB ACB)

e) Vẽ AEB cú đỉnh E ở ngoài đường trũn (O) AE cắt (O) tại F BE cắt (O) tại C

sđsđ2A mBCFA EB (Theo định lớ số đo của gúc cú đỉnh ở bờn ngoài đường trũn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn) So sỏnh ACB và AEB

ACE cú ACB là gúc ngoài đỉnh C nờn ACBCEA CAEACB AEB

Bài 3: (90 / 104 / SGK T2)

a) Vẽ hỡnh vuụng cạnh cú độ dài 4cm b) Vẽ đường trũn ngoại tiếp hỡnh vuụng đú

Tớnh bỏn kớnh R của đường trũn này c) Vẽ đường trũn nội tiếp hỡnh vuụng đú

Trang 8

Giải

GT Đường trũn (O; R) ngoại tiếp ABCD ABCD cú AB = BC = CD = DA = 4 cm 090A   BCD

Đường trũn (O;r) nội tiếp ABCD KL * Tớnh R

* Tớnh r

a) Vẽ hỡnh vuụng ABCD cú ABBCCDDA4cm b) Vẽ đường trũn ngoại tiếp hỡnh vuụng ABCD

Cỏch vẽ đường trũn (O) ngoại tiếp ABCD

- Kẻ đường chộo AC vẽ đường chộo BD cho cắt nhau tại O Cú OAOCOBOD(Tớnh chất đường chộo của hỡnh vuụng) - Vẽ đường trũn tõm O, bỏn kớnh OA được đường trũn O ngoại tiếp hỡnh vuụng ABCD

- Tại O hạ OM AB MO cắt CD tại N

- Vẽ đường trũn tõm O, bỏn kớnh OM được đường trũn O, bỏn kớnh OM là đường trũn nội tiếp hỡnh vuụng ABCD

*Tớnh R

AOM vuụng tại M cú OAM 45 (Tớnh chất đường chộo của hỡnh vuụng)

 AOM vuụng cõn tại M

2222222448OA  AM OM    84.22 2OA R  cm

Vậy bỏn kớnh của đường trũn (O) ngoại tiếp hỡnh vuụng ABCD là R2 2cm

*Tớnh r

Do ACBD tại trung điểm O của mỗi đường nờn AOB vuụng cõn tại OOM

vừa là đường cao vừa là trung tuyến thuộc đỏy AB nờn 4 2

22

 AB  

MAMOMB

Trang 9

Vậy r 2cm

Bài 4: (91 / 104 / SGK T2)

Trong hỡnh 68 đường trũn tõm O cú bỏn kớnh R2cm AOB,75

a) Tớnh sđApB

b) Tớnh độ dài cung AqB và cung ApB c) Tớnh diện tớch hỡnh quạt trũn OAqB

Giải

a) Muốn tớnh số đo của cung AqB ta vận dụng định lớ

Trong một đường trũn số đo của một cung bằng số đo của gúc ở tõm chắn cung đú



sđAOB  75 giả thiếtsđAqB  75

Muốn tớnh số đo của AqB ta vận dụng định lớ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa

360 và số đo của cung nhỏ (cú chung hai mỳt với cung lớn) nờn sđ

360sđ36075285

ApB   AqB    

b) Tớnh độ dài AqB và ApB

Muốn tớnh được độ dài cung AqB và cung ApB ta vận dụng cụng thức

;180 rRnL .2.755;1801806AqBrRnLcm .2.285191801806ApBRnLcm

c) Muốn tớnh diện tớch hỡnh quạt trũn OAqB

Muốn tớnh được diện tớch hỡnh quạt trũn OAqB ta vận dụng cụng thức:

2 hay S=3602 R nlRSTa cú: 22  2quạt OaqB.2 7553603606R nS  cmBài 5: (92 / 104 / SGK T2)

Trang 10

Giải *Với hỡnh 69

Muốn tớnh diện tớch hỡnh vành khăn ở hỡnh 69 ta lấy diện tớch hỡnh trũn 0;1,5 trừ diện tớch hỡnh trũn (0;1) Vận dụng cụng thức:   2222S= R1, 52, 25 ta có Diện tích hình trịn 0;1 là:S= 11SR  Diện tớch hỡnh vành khăn là:  2.2, 25.1 1, 25Scm*Với hỡnh 70

Muốn tớnh được diện tớch hỡnh chấm đậm ta dựa vào kết quả của hỡnh 69

Diện tớch hỡnh trũn 0;1,5 trừ đi diện tớch hỡnh quạt trờn AOB Diện tớch hỡnh quạt trờn AOB cú AOB80, bỏn kớnh 1,5 Tớnh diện tớch hỡnh quạt trờn gúc 80 bỏn kớnh 1 Hiệu của chỳng là diện tớch hỡnh chấm đậm

Cỏch khỏc: Tớnh diện tớch hỡnh quạt trũn bỏn kớnh 1 và gúc 80 trừ đi diện tớch hỡnh quạt trũn bỏn kớnh hỡnh chấm đậm

*Với hỡnh 71

Diện tớch hỡnh chấm đậm bằng diện tớch hỡnh vuụng cạnh bằng 3cm trừ 4 lần diện tớch hỡnh quạt trũn gúc 90 bỏn kớnh 1,5cm

Hoặc diện tớch hỡnh vuụng cạnh 3cm trừ diện tớch hỡnh trũn bỏn kớnh 1,5cm

 2  

22

31,5 9 2, 251,935 cm

Bài 6: (93 / 104 / SGK T2)

Trang 11

Khi một bỏnh xe quay thỡ hai bỏnh xe cũn lại cũng quay theo

Bỏnh xe A cú 60 răng, bỏnh xe B cú 40 răng, bỏnh xe C cú 20 răng Biết bỏn kớnh bỏnh xe C là 1 cm Hỏi:

a) Khi bỏnh xe C quay được 60 vũng thỡ bỏnh xe B quay được mấy vũng ? b) Khi bỏnh xe A quay được 80 vũng thỡ bỏnh xe B quay được mấy vũng ? c) Bỏnh của cỏi bỏnh xe A và B là bao nhiờu ?

Giải

a) Biết rằng số vũng quay của bỏnh xe tỉ lệ thuận với sự di chuyển của số răng cưa Do đú khi bỏnh xe C quay 60 vũng thỡ di động của số răng cưa là:

60.201200 (lần số răng của chuyển động)

Khi đú số vũng quay của bỏnh xe B là: 1200 : 4030(vũng) b) Khi bỏnh xe A quay 80 vũng thỡ bỏnh xe B quay được:

80.60 : 40 120(vũng)

c) Gọi bỏn kớnh của bỏnh xe A, bỏnh xe B, bỏnh xe C lần lượt là R R R1,2,3

Ta cú: 12R 60k22R 40k32R 20kTừ đú ta cú R13R33 cm R,22R32 cmBài 7: (94 / 105 / SGK T2)

Hóy xem biểu đồ hỡnh quạt biểu diễn sự phõn phối học sinh của một trường trung học cơ sở theo diện ngoại trỳ, bỏn trỳ, nội trỳ (hỡnh 72) Hóy trả lời cỏc cõu hỏi sau:

a) Cú phải 1

2 số học sinh là học sinh ngoại trỳ khụng ? b) Cú phải 1

3 số học sinh là học sinh bỏn trỳ khụng ?

c) Số học sinh nội trỳ chiếm bao nhiờu phần trăm ?

d) Tớnh số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800cm

Trang 12

)  90

a COD Hỡnh quạt COD chiếm 1

2 nửa hỡnh trũn đường kớnh AB nờn đỏp ỏn a) đỳng

1313

)  90  90    903060

b OOOO

Hỡnh quạt AOC chiếm 1

3 nửa hỡnh trũn đường kớnh AB

cú 1

3 số học sinh bỏn trỳ  đỏp ỏn b) đỳng

)

c AOB là gúc bẹt bằng 180 mà BOD  30 số học sinh nội trỳ chiếm 30 %

180 (số học sinh) Số học sinh bỏn trỳ là: 1800 6003 (học sinh) Số học sinh ngoại trỳ là: 1800 9002 (học sinh) Số học sinh nội trỳ là: 18006009001800 1500300(học sinh) Bài 8: (95 / 105 / SGK T2)

Cỏc đường cao hạ từ A và B của ABC cắt nhau tại H (gúc C khỏc 90) và cắt đường trũn ngoại tiếp ABClần lượt tại D và E

a) Chứng minh CECD b) Chứng minh BHD cõn c) Chứng minh CDCH

Giải

a) Chứng minh CECD

Cõu này thuộc thể loại toỏn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Cú rất nhiều phương phỏp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Chỳ ý: Hai đoạn thẳng CE và CD là hai dõy của đường trũn (O) ngoại tiếp ABC

Do thế ta nờn dựng định lớ về quan hệ giữa cung và dõy căng cung để chứng minh

AIC vuụng tại I nờn IACACB 90 (Theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng hai gúc nhọn phụ nhau) (1)

Trang 13

Từ (1) và (2) ta cú IACCBK(cựng phụ ACB)CDCE

(Theo định lớ: Trong một đường trũn, hai gúc nội tiếp bằng nhau thỡ chắn hai cung bằng nhau) CECD(Theo định lớ: Trong một đường trũn hai cung bằng nhau căng hai dõy bằng nhau)

b) Chứng minh BHDcõn

Cú nhiều phương phỏp chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn Trong cỏc phương phỏp đú cú ba phương phỏp được sử dụng nhiều là:

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn, ta chứng minh tam giỏc đú cú hai cạnh bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn, ta chứng minh tam giỏc cú hai gúc bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn ta chứng minh tam giỏc đú cú một đường chủ yếu mang hai tớnh chất

Ta dựng phương phỏp nào để chứng minh BHD cõn ?

Với giả thiết: “Đường cao” “nội tiếp “ ta nghĩ ngay đến cỏc gúc cựng phụ và vuụng gúc Từ đú ta cú phương phỏp





21

12

Hai góc nội tiếp cùng chắn Chứng minh trênBACDBA  12cùng bằng 1BBABI

 là phõn giỏc của DBH  BDH cú BI vừa là đường cao, đồng thời lại là phõn giỏc nờn BDH cõn tại B

c) Chứng minh CDCH

Trong cỏc phương phỏp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, cú một phương phỏp sử dụng tớnh chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Cõu này ta sử dụng tớnh chất đường trung trực của một đoạn thẳng nhưng cũng cú thể dựng định nghĩa tam giỏc cõn đó chứng minh CH CD

Cỏch 1:

Ta cú BI là đường cao thuộc đỏy DH của BDH cõn tại B (chứng minh trờn ) BI lại là trung trực của đoạn DHCH CD(Tớnh chất đường trung trực của một đoạn

thẳng)

Cỏch 2:

CDH cú CI vừa là đường cao vừa là trung trực của DH (chứng minh trờn) nờn CDH

cõn tại CCDCH(hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn)

Trang 14

Cho ABCnội tiếp đường trũn (O) và tia phõn giỏc của BAC cắt đường trũn (O) tại M Kẻ đường cao AH

a) Chứng minh OM đi qua trung điểm của dõy BC b) Chứng minh AM là tia phõn giỏc của OAH

Giải

GT ABCnội tiếp đường trũn (O) Phõn giỏc của BACcắt (O) tại M

AHBC

KL *OM đi qua trung điểm I của BC

*AM là tia phõn giỏc của

OAH

Chứng minh

a) Chứng minh OM đi qua trung điểm I của BC

Muốn chứng minh được I là trung điểm của BC ta phải sử dụng định lớ và đường kớnh đi qua điểm chớnh giữa của một cung và dõy căng cung ấy

Do AM là phõn giỏc của BAC nờn BAM CAM BM CM (Theo định lớ: Trong một đường trũn hai gúc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) M là điểm chớnh giữa của cung BC Đường kớnh OM đi qua trung điểm I của dõy BC (Theo định lớ: Trong một đường trũn, đường kớnh đi qua điểm chớnh giữa của một cung thỡ đi qua trung điểm của dõy căng cung ấy)

OM BC tại I (Theo định lớ: Trong một đường trũn, đường kớnh đi qua trung điểm của một dõy thỡ vuụng gúc với dõy ấy)

b) Ta cú: AH // OM (cựng vuụng gúc với BC)  A1 M1(Hai gúc so le trong) (1)

AOM cú OAOM R nờn AOM cõn tại O (Tam giỏc cú hai cạnh bằng nhau là tam giỏc cõn)

21

 A M (Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau) (2) Từ (1) và (2) ta cú A1  A2 (cung bằng M1)AM là phõn giỏc của OAH

Bài 10: (97 / 105 / SGK T2)

Trang 15

a) Chứng minh tứ giỏc ABCD nội tiếp được đường trũn b) Chứng minh ABD ACD

c) Chứng minh CA là phõn giỏc của SCB

Giải

Chứng minh

a) Chứng minh tứ giỏc ABCD nội tiếp được đường trũn

Cú 5 phương phỏp chứng minh tứ giỏc nội tiếp được đường trũn được sử dụng nhiều nhất Muốn chứng minh ABCD nội tiếp được đường trũn ta sử dụng phương phỏp nào?

Với giả thiết: “Tam giỏc ABC vuụng tại A”, “Đường trũn (O) đường kớnh C”, “BM cắt đường trũn (O) tại D” Ta biết ngay: Muốn chứng minh tứ giỏc ABCD nội tiếp được đường trũn ta dựng phương phỏp: quỹ tớch cung chứa gúc

Ta cú: BAC  90 (giả thiết )

90 

BDC (vỡ MDC nội tiếp chắn nửa đường trũn đường kớnh CM)

 A và D cựng nhỡn đoạn BC dưới gúc 90 Tứ giỏc ABCD nội tiếp được trũn tõm I đường kớnh BC (quỹ tớch cung chứa gúc)

b) Chứng minh ABD ACD

GT 0 (90 )MACABC A

Đường trũn (O) đường kớnh MC ( )( )BMOSSAOKL

*ABCD nội tiếp đường trũn

*ABDACD

Trang 16

Muốn chứng minh ABD ACD ta phải dựng phương phỏp nào?

Theo giả thiết và kết quả của cõu a, ta thấy ABD và ACD là hai gúc nội tiếp của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ABCD Do thế ta cú ngay phương phỏp chứng minh



ABDACD là dựng định lớ về gúc nội tiếp và cung bị chắn

sđsđ2

A D

A BD  (Theo định lớ: Trong một đường trũn, số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (1)

sđsđ

2

A D

A CD  (Theo định lớ về gúc nội tiếp và cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta cú ABD ACD ( đều cú số đo bằng 1sđ

2 A D ) c) Chứng minh CA là phõn giỏc của BCS

Ta cú C1 D1 (Hai gúc nội tiếp cựng chắn AB của đường trũn (I) đường kớnh BC)

21

CD (Hai gúc nội tiếp cựng chắn SM của đường trũn đường kớnh CM) C1 C2

(cựng bằng D1)CA là phõn giỏc của BCS

Bài 11: (98 / 105 / SGK T2)

Cho đường trũn (O) và một điểm A cố định trờn đường trũn Tỡm quỹ tớch cỏc trung điểm M của dõy AB khi điểm B di động trờn đường trũn

đú

Giải

Đõy là bài toỏn quỹ tớch

Muốn giải bài toỏn quỹ tớch cho đầy đủ ta phải giải qua hai phần: (Hoặc tỏch thành ba phần cũng được )

*Phần thuận: Trong phần thuận làm qua 3 bước

- Xỏc định yếu tố cố định, khụng đổi và di động

- Tỡm mối quan hệ giữa cỏc yếu tố di động và cỏc yếu tố cố định và khụng đổi

- Từ mối quan hệ giữa cỏc yếu tố di động và cỏc yếu tố cố định và khụng đổi Xỏc định được cỏi yếu tố di động nằm trờn đường nào để thỏa món điều kiện đề bài

*Phần đảo: Lấy điểm bất kỡ trờn đường vừa tỡm được Chứng minh điểm đú thỏa món

điều kiện đề bài

Trang 17

Giải cụ thể bài này:

Theo đề bài: Đường trũn (O) cố định thỡ tõm O là điểm cố định bỏn kớnh OA cú độ dài khụng đổi Điểm A cũng là điểm cố định dẫn tới đoạn thẳng nối hai điểm cố định A và O là đoạn thẳng cố định về vị trớ, khụng đổi về số đo

B di động trờn đường trũn (O) dẫn đến dõy AB cũng di động theo Do dõy AB di động dẫn đến trung điểm M của dõy AB cũng di động

Nối tõm O của đường trũn với trung điểm M của dõy AB thỡ được OM AB (Theo định lớ: Trong một đường trũn, đường kớnh đi qua trung điểm của một dõy thỡ vuụng gúc với dõy ấy)

M luụn luụn nhỡn đoạn OA cố định và khụng đổi dưới gúc khụng đổi bằng 90 M

nằm trờn đường trũn đường kớnh OA

Phần đảo:

Lấy định lớ M bất kỳ trờn đường trũn đường kớnh OA Nối A với M cho cắt (O) tại B Ta cú AM O  90 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn đường kớnh OA) M là trung điểm của dõy AB của đường trũn (O) (Theo định lớ: Trong một đường trũn, đường kớnh vuụng gúc với một dõy thỡ đi qua trung điểm của dõy ấy)

Vậy quỹ tớch trung điểm M của dõy AB là đường trũn đường kớnh OA

(Từ điểm A vỡ khi B tựy ý với A thỡ khụng cũn dõy AB, khụng cú dõy AB thỡ khụng cú trung điểm M của dõy AB)

Bài 12: (99 / 105 / SGK T2)

Dựng ABC biết BC 6cm BAC;  80

Đường cao AH 2cm Giải Giả sử ABC cú BC 6cm,80 BAC

Đường cao AH 2cm đó dựng được Ta thấy

A nằm trờn cung trũn chứa gúc 80

dựng trờn đoạn BC cú độ dài 6cm Và A nằm

trờn đường thẳng m cắt cung trũn tại A và



A cỏch BC một khoảng 2cm Từ đú ta cú cỏch dựng

- Dựng đoạn thẳng BC cú độ dài 6cm

- Dựng Bx tạo với BC một gúc CBx 80

Trang 18

- Dựng đường thẳng ByBx tại B

- Byvà d cắt nhau ở đõu đú là tõm O của cung chứa gúc 800 dựng trờn đoạn BC - Dựng đường thẳng m // BC và cỏch BC khoảng 2cm

m cắt cung trũn (O) tại A và A với B và C Avới B và C ta được hai tam giỏc ABC và



A BC thỏa món yờu cầu đề bài

Bài 13:

Cho hỡnh vuụng ABCD O là giao điểm của hai đường chộo AC và BD

a) Gọi M là trung điểm OA N là trung điểm của BC CHứng minh bốn điểm C, M, N, D thuộc một đường trũn và DNCM

b) Trờn hai cạnh AB và AD theo thứ tự lấy hai điểm I và K sao cho AI  AK Từ A hạ



APDI cắt BC tại Q Chứng minh 5 điểm C, D, K, P, Q cũng nằm trờn một đường trũn

Giải GT ABCD cú ABBCCDDA090A   BCD0ACBD; MAMO NBNC, AIAK APDEAPBCQKL

* C, M, N, D nội tiếp được đường trũn

Trang 19

Chứng minh

a) Chứng minh tứ giỏc CDMN nội tiếp đường trũn

Cú nhiều phương phỏp chứng minh một tứ giỏc nội tiếp lấy một đường trũn Trong cỏc phương phỏp đó nờu cú 5 phương phỏp được sử dụng nhiều để chứng minh một tứ giỏc nội tiếp được một đường trũn

Ta sử dụng phương phỏp nào để chứng minh tứ giỏc CDMN nội tiếp được đường trũn Tứ giỏc CDMN cú đường chộo DN là cạnh huyền của CDNvuụng tại C Từ giả thiết này ta cú thể dựng hai phương phỏp để chứng minh CDMN nội tiếp đường trũn

* Lợi dụng CDN vuụng ở C Gọi E là trung điểm của D thỡ C, D, N cỏch đều E Nếu ta chứng minh được khoảng cỏch từ M đến E cũng bằng khoảng cỏch từ C, D, N đến E thỡ bốn điểm C, D, M, N nằm trờn đường trũn tõm E

* Vỡ CDNvuụng tại C, nờn ta chứng minh được DMN vuụng tại M thỡ tứ giỏc CDMN nội tiếp đường trũn theo định lớ đảo

_Ta sử dụng phương phỏp chứng minh bốn đỉnh của tứ giỏc CDMN cỏch đều điểm E Từ N hạ NH OC.

BCO cú N là trung điểm của cạnh BC (giả thiết) Và NH // BC (cựng vuụng gúc với BC)

H là trung điểm của OCMOOH OCOAOBOD Và NH // OB và

2OBNH(Định lớ đường trung bỡnh ) MOD và NHM cú: 01 (cùng bằng )290 (c g c) (Chứng minh trên)OMNHOBMODNHMMODNHMODHM      

MDMN (hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau)  MDNcõn tại M (Tam giỏc cú hai cạnh bằng nhau là tam giỏc cõn ) MDN MND(Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau)

Do MOD vuụng tại O nờn DMOMDO 90 (Theo định lớ: Trong tam giỏc vuụng hai gúc nhọn phụ nhau ) (1)

Trang 20

Do đú trung tuyến ME thuộc cạnh huyền DN cú

2 DN

EDEMEN (Theo định lớ:

Trong một tam giỏc vuụng, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) (2)

Do CDN vuụng tại C nờn trung tuyến CE thuộc cạnh huyền DN cú:

2 DN

EDECEN

(3)

Từ (1) và (3) cú EDEM EN ECC D M N, ,, cỏch đều E nờn tứ giỏc CDMN nội tiếp được đường trũn tõm E đường kớnh DN

Cỏch khỏc:

Từ N hạ NH OC H OC



có N là trung điểm của cạnh BClại có NH // BD vng góc với AC

BOC

cùng





H là trung điểm của OC (Theo định lớ: Trong một tam giỏc, đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

OHOM MH OBODOCOAMOD và NHM cú: 1đều bằng 290 minh trênMONHOAMODNHMMODNHM c g cODHM chứng         

MDMN(Hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) và MDO NMH (Hai gúc tương ứng MOD vuụng tại O nờn MDODMO 90 (Theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng hai gúc nhọn phụ nhau) (a)

Thay MDO NMH vào đẳng thức (a) ta cú:

90

   

DMONAHDMN vuụng tại M Tứ giỏc CDMN cú:





90 góc của hình vng ABCD90 chứng minh trênNCDDMN 9090180

Trang 21

b) Chứng minh 5 điểm C, D, K, P, Q cựng nằm trờn một đường trũn AIDvuụng tại A

BQA vuụng tại B cú AI  AK(giả thiết)

Lại cú BAQ ADI (cựng phụ ADI) và AB AD (cạnh của hỡnh vuụng ABCD)

 . 

 AID BQA c g c AKBQDK CQ (hiệu của cỏc đoạn thẳng bằng nhau)  Tứ giỏc CDKQ cú DK // CQ (Thuộc hai cạnh đối của một hỡnh vuụng) và DKCQ nờn CDKQ là hỡnh bỡnh hành ) (theo dấu hiệu 3) Hỡnh bỡnh hành CDKQ lại cú QCD90

nờn là hỡnh chữ nhật (dấu hiệu 2)

 Hai đường chộo CK và DQ cắt nhau tại trung điểm F của mỗi đường

FDFK FQFC (4)

DPQ vuụng tại P (giả thiết) cú PF là trung tuyến thuộc cạnh huyền DQ nờn:



FDFPFQ (5)

Từ (4) và (5) ta cú: FD FKFP FQFCC D K P Q, , , , cỏch đều điểm F nờn 5 điểm C, D, K, P, Q cựng nằm trờn đường trũn tõm F, bỏn kớnh PC

Bài 14:

Cho ABC cõn ở A Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

1 Chứng minh 4 điểm B, D, H, F cựng thuộc một đường trũn xỏc định tõm O của đường trũn đú

2 Chứng minh 4 điểm A,F, D, C cựng thuộc một đường trũn Xỏc định tõm O của đường trũn này

3 Chứng minh OO đi qua trung điểm của FD

4 Chứng minh B nằm ngồi đường trũn (O) đó nờu ở cõu 21

Giải GT (); ; CFABH là trực tâm của ABCABC ABACADBC BEACIDIFKL

* BDHF nội tiếp (O) * ACDF nội tiếp (O’) * OO'FDI

* OO'O'A

Trang 22

1 Chứng minh tứ giỏc BDHF nội tiếp được đường trũn

Với giả thiết: “AD, CF là đường cao của ABC” ta cú HDB và HFB là cỏc gúc vuụng Mà HDB vỡ HFB là hai gúc đối diện của tứ giỏc BDHF nờn ta cú ngay phương phỏp chứng minh:

Tứ giỏc BDHF cú:





90 vì AD là đường cao vng góc cạnh BC90 vì CF là đường cao ứng với cạnh AB

HDBHFB 9090180

HDBHFB     mà HDB và HFB là hai gúc đối diện của tứ giỏc BDHF nờn tứ giỏc này nội tiếp được đường trũn đường kớnh BH tõm O là trung điểm của BH (Theo định lớ: Nếu một tứ giỏc cú tổng số đo của hai gúc đối diện bằng 180 thỡ tứ giỏc đú nội tiếp được đường trũn) Hay 4 điểm B, D, H, F cựng thuộc một đường trũn 2 Chứng minh tứ giỏc ACDF nội tiếp được đường trũn

Tứ giỏc ACDF cú:





90 là đường cao ứng với cạnh AB90 vì AD là đường cao ứng với cạnh BC

A FCCFA DC 

F và D cựng nhỡn AC dưới gúc 90 nờn: Tứ giỏc ACDF nội tiếp được đường trũn tõm O đường kớnh AC (vận dụng quỹ tớch cung chứa gúc) Hay 4 điểm A, C, D, F cựng thuộc một đường trũn

3 Chứng minh OO là đi qua trung điểm I của FD

Làm thế nào để chứng minh được một đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng? Mấy từ “Trung điểm, đoạn thẳng” ta nghĩ ngay đến đường trung trực của đoạn thẳng Muốn chứng minh OO là đường trung trực của đoạn FD, ta phải chứng minh được O cỏch đều F và D; O cỏch đều F và D

Chứng minh O cỏch đều F và O tức là chứng minh OF OD Vận dụng kiến thức cơ bản nào để chứng minh OF OD

Muốn chứng minh được OF OD ta lợi dụng giả thiết “Đường cao” Từ giả thiết: “Đường cao” ta cú BFH vuụng tại F

Cỏch 1:

O là trung điểm BHFO là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH của BFH

vuụng tại F nờn:

2 BH

OBOFOH (Theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) (1)

Chứng minh tương tự cũng được

2 BH

Trang 23

Từ (1) và (2) ta cú OFOD Hay O cỏch đều F và OO nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng FD (a)

ADC và AFC vuụng tại D và F cú chung cạnh huyền AC Cú O là trung điểm của AC (chứng minh trờn) nờn DO và FO là cỏc tuyến thuộc cạnh huyền AC nờn

2 AC

O AO FO DO D (Theo định lớ: Trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giỏc vuụng) O cỏch đều D và FO nằm trờn trung trực của đoạn FD (b)

Từ (a) và (b) ta cú OO là trung trực của đoạn FD nờn OO đi qua trung điểm I của FD

Cỏch 2:

Tứ giỏc BDHF nội tiếp đường trũn (O) (chứng minh trờn) OF OD(cựng là bỏn kớnh một đường trũn ) O nằm trờn trung trực của đoạn FD (3)

Tứ giỏc ACDF nội tiếp đường trũn tõm O (chứng minh trờn)



O AO F O DO CO cỏch đều F và D (4)

Từ (3) và (4) ta cú O và O nằm ở hai phớa của FD lại cỏch đều F và D nờn OO là trung trực của đoạn FDOO đi qua trung điểm I của FD

Bài 15: Cho xOy60 Lấy điểm I cố định trờn tia phõn giỏc Ot của xOy làm tõm vẽ đường trũn sao cho nú cắt Ox tại A và cắt Oy tại B (A và B khụng đối xứng nhau qua Ot) Hạ DI Ox và IEOy

a) Chứng minh DAEB

b) Gọi O1 là tõm đường trũn ngoại tiếp AIB Chứng minh AO I1 và BO I1 là hai tam giỏc đều Xỏc định vị trớ của O1 một cỏch nhanh nhất

Giải GT 012160

(Ot là phân giác của )

( )( )() ngoại tiếp ; OExOyOOxOyIOtIAxAIOyBDAIBIDOxOyKL * DAEB*

1 và 1 là các tam giác đều.

AO IBO I



Trang 24

a) Chứng minh DAEB

Cõu này thuộc thể loại chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Muốn giải thể loại toỏn này cú rất nhiều phương phỏp như đó nờu ở cỏc bài trước Phương phỏp được sử dụng nhiều nhất là:

Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta chứng minh hai tam giỏc cú chứa hai đoạn thẳng đú bằng nhau

Muốn chứng minh DAEB ta phải chứng minh IEB IDA vỡ IDA chứa đoạn DA và IEB chứa đoạn EB

IDA và IEB vuụng tại D và E (giả thiết ) cú



IOOI(cạnh huyền chung);



IOIE(Tớnh chất phõn giỏc của một gúc: Điểm nằm trờn tia phõn giỏc của một đoạn thỡ  cỏch đều hai cạnh của gúc đú)

 IDA IEB(cạnh huyền - cạnh gúc vuụng ) DAEB(Hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau)

Cỏch khỏc:

IDA và IEB vuụng tại D và E (giả thiết ) cú:





12

cạnh huyền chung của hai tam giácvì Ot là tia phân giác của

OIOIOOxOy 

 IDA IEB(cạnh huyền - gúc nhọn)

DAEB(Hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau)

b) Chứng minh AO I1 và BO I1 là cỏc tam giỏc đều Xỏc định vị trớ của O1 một cỏch nhanh nhất

* Chứng minh AO I1 là tam giỏc đều

Cú nhiều phương phỏp chứng minh một tam giỏc là tam giỏc đều Trong cỏc phương phỏp đú cú bốn phương phỏp thường được sử dụng là:

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc đều ta chứng minh tam giỏc đú cú ba cạnh bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc đều ta chứng minh tam giỏc đú cú ba gúc bằng nhau

Trang 25

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc đều ta chứng minh tam giỏc đú cú hai đường trung tuyến Đồng thời là đường cao, phõn giỏc

Tứ giỏc ODIE cú O   DIE 360

mà O        DE 609090240 DIE360 240 120ADI vàBEI vuụng tại D và E (giả thiết ) cú:

 Cạnh huyền IA = cạnh huyền IB bán kính tính chất phân giácIIDIE

 ADI  BEI(cạnh huyền - cạnh gúc vuụng)

12

II

 mà I1 AIE 120 I2 AIE 120

Tứ giỏc AIBO cú AIB AOB   60120 180 mà A OB và A IB là hai gúc đối diện của tứ giỏc AIBO nờn AIBO nội tiếp được đường trũn

AOB

 là gúc nội tiếp chứa A B

Do AOB   60 AB 120 AI là tia phõn giỏc của A OB cắt A B tại I I là điểm chớnh giữa của AB AI IB  60

1

AO I

 cú O A1 O I1 (bỏn kớnh của đường trũn  O1 ngoại tiếp AIB đồng thời cũng là đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc OAIB) AO I1 cõn tại O, lại cú AO I1  60 (vỡ chắn

60

AI ) BO I1 đều Tương tự cũng cú IO B1 đều

Do DO I1 và IO B1 là hai tam giỏc đều lại cú chung cạnh O I1 nờn:

1111

AO IIO BO AO B

  với đường tũn (I) cú O A1 O B1 O1 là điểm chớnh giữa của cung AB của đường tũn (I) Đồng thời O1 là tõm của đường tũn ngoại tiếp AIB Đõy là cỏch xỏc định nhanh nhất điểm O1 là tõm đường trũn ngoại tiếp AIB

Bài 16: Cho ABCvuụng tại A Đường cao AH, trờn đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hỡnh chữ nhật AHKO Lấy O làm tõm, vẽ đường trũn bỏn kớnh OK, đường trũn này cắt cạnh AB tại O, cắt cạnh AC tại E Gọi F là giao điểm thứ hai của đường trũn (O) với đường thẳng AB

a) Chứng minh AEF cõn b) Chứng minh ODOE

c) Chứng minh tứ giỏc ADOE nội tiếp được đường trũn

Trang 26

Chứng minh

a) Chứng minh AEF cõn

Nhắc lại: Cú nhiều phương phỏp chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn Cú ba trong cỏc cỏch đú được sử dụng nhiều là:

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn: ta chứng minh tam giỏc đú cú hai cạnh bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn: ta chứng minh tam giỏc đú cú hai gúc bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giỏc là tam giỏc cõn: ta chứng minh tam giỏc đú cú một đường chủ yếu mang hai tớnh chất

Với giả thiết ABC vuụng cõn tại A cú AH là đường ứng với đỏy BC

AH

 lại là phõn giỏc của BA C (Tớnh chất của tam giỏc cõn ) A1 A2 45

Từ đú ta cú ngay cỏch chứng minh AEF cõn bằng phương phỏp thứ ba: Chứng minh tam giỏc cú một đường phõn giỏc lại là đường cao là tam giỏc cõn

Làm thế nào để chứng minh được AO là tia phõn giỏc của CA F?

Muốn chứng minh được AO là tia phõn giỏc của gúc CA F ta phải khai thỏc triệt để cỏc giả thiết ABC vuụng cõn tại A, AH là đường cao thuộc đỏy BC, “Hỡnh chữ nhật AOKH” vỡ:

ABC vuụng cõn tại A  Đường cao AH ứng với cạnh BC nờn AH cũng là tia phõn giỏc của ABC cõn tại A A1 A2 45

AHC vuụng tại H (vỡ AH là đường cao ứng với cạnh BC) cú HAC 45

A245  ACH 45GT 00 (90 ;ABAC)K; có //, AO//HKVà 90( ;) cắt AB tại O,cắt AC tại E ( )ABC AHC AHKOAH OKAHKOO OKBAOF KL * AEF cõn *ODOE

Trang 27

AOCH là hỡnh chữ nhật (giả thiết) nờn AO // HC (Tớnh chất cạnh đối của hỡnh bỡnh hành) C1 A3 (Hai gúc so le trong) 45 Từ đú ta cú: 123454545135A A A      Mà A1 A2 A3A4 180418012318013545AAAA   AO

 là tia phõn giỏc của CA F Đồng thời cũng là phõn giỏc của EAF Do OH là đường kớnh của đường tũn (O;OK) nờn cũng là đối xứngE đối xứng với F qua

AOAD là trung trực của EF AEF vuụng cõn tại A b) Chứng minh ODOE

Gọi I là giao điểm của ED và DE

DOF cú ODOE (cũng là bỏn kớnh của (O))  DOF cõn tại O (tam giỏc cú hai cạnh bằng nhau là tam giỏc cõn) D1 F1(Theo định lớ: Trong một tam giỏ cõn hai gúc ở đỏy bằng nhau)

DOF cú DOI là gúc ngoài đỉnh O nờn DOI D1 F1 (Theo định lớ: Mỗi gúc ngoài của một tam giỏc bằng tổng hai gúc trong khụng kề với nú) hay DOI 2F1

Tương tự cũng cú EOI 2F2

Mà F1 F2 45 (vỡ AEF vuụng cõn tại A)

1212222DOIEOIFFFF 1222.459090DOEFFDOE   hay ODOE

c) Chứng minh tứ giỏc ADOE nội tiếp đường trũn

Cú 5 phương phỏp chứng minh một tứ giỏc nội tiếp được một đường trũn

Muốn chứng minh tứ giỏc ADOE nội tiếp được đường trũn ta dựng phương phỏp nào trong cỏc phương phỏp đó nờu?

Dựa vào giả thiết “ ABC vuụng ở A và kết quả của cõu b DOE 90 ta cú ngay phương phỏp chứng minh tứ giỏc ADEO nội tiếp đường trũn là: Dựng quỹ tớch cung chứa gúc

Ta cú DAE 90(vỡ ABC vuụng tại A)

90

DOE  (vỡ ODOE đó chứng minh ở cõu b )

A

 và O cựng nhỡn DE dưới cỏc gúc bằng 90 nờn A, O nằm trờn cung chứa gúc 90

Trang 28

Vậy: Tứ giỏc AOED nội tiếp đường trũn đường kớnh DE (Theo quỹ tớch cung chứa

gúc)

Bài 17: Cho đường trũn (O;R) đường kớnh AB C là điểm chớnh giữa của A B Trờn A C

lấy điểm E Trờn dõy EB lấy điểm F sao cho AE BF

1 Chứng minh ACE BCF

2 Chứng minh CFE 45

3 Gọi D là giao điểm của AC và tiếp tuyến của (O) tại B Chứng minh tứ giỏc BFCD nội tiếp đường trũn

4 Khi E chuyển động trờn cung AC thỡ F chuyển động trờn đường nào?

Giải

a) Chứng minh ACE BCF

Như đó nờu ở cỏc bài trước muốn chứng minh hai gúc bằng nhau ta cú thể sử dụng nhiều phương phỏp khỏc nhau Trong cỏc phương phỏp đú cú một phương phỏp được sử dụng rất nhiều là:

Muốn chứng minh hai gúc bằng nhau là chứng minh hai tam giỏc cú chứa hai gúc đú bằng nhau

Những tam giỏc nào chứa gúc A CE và BCF ? GT

Đường trũn (O; R) đường kớnh AB = 2R ;,ACCBEAC FBEBFAEBDAB ACBDDKL * ACEBCF* 045CFE

* BFCD nội tiếp được đường trũn

Trang 29

ACE và BCF cú:







giả thiết

hai góc nội tiếp cùng chắn hai dây căng hai cung bằng nhau

A EBFCA ECBFCEA CBCA CBC   . ACEBCF c g gACEBCF

 (Hai gúc tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau)

b) Chứng minh CFE 45

Muốn chứng minh một gúc cú số đo bằng 45 ta cú thể dựng cỏc phương phỏp sau: * Muốn chứng minh một gúc cú số đo bằng 45 ta chứng minh gúc đú tạo bởi một cạnh và tia phõn giỏc của gúc cú số đo bằng 90

* Chứng minh gúc đú là gúc nội tiếp chắn cung cú số đo là 90

* Muốn chứng minh một gúc cú số đo bằng 45 ta chứng minh gúc đú là gúc ở đỏy của tam giỏc vuụng cõn

* Muốn chứng minh một gúc cú số đo bằng 45 ta chứng minh gúc đú là gúc so le tại gúc cú số đo bằng 45 được tạo bởi hai đường thẳng song song và một cỏt tuyến v.v Cõu này với giả thiết và kết quả của cõu a) ta dựng phương phỏp:

Muốn chứng minh CFE 45 ta chứng minh CEF vuụng cõn tại C

Ta cú: C2 C3 90(BCA 90 vỡ nội tiếp chắn nửa đường trũn ) Mà C3 C1 (chứng minh trờn)

Do đú C1C2   90 CEF vuụng tại C (a) Lại cú CE CF (hai cạnh tương ứng của ACF BCF) (b) Từ (a) và (b) ta cú CEF vuụng cõn tại C nờn CFE 45

c) Chứng minh tứ giỏc BFCD nội tiếp đường trũn

Ta sử dụng phương phỏp nào để chứng minh tứ giỏc BFCD nội tiếp được đường trũn? Từ giả thiết “Điểm chớnh giữa của cung AB” cỏc kết quả của cỏc cõu trờn, ta cú:

CBD vuụng ở C ( vỡ BCD kề bự bởi ACB 90) lại cú CBD phụ với CBA 45 , nờn

45

CBD  CBD vuụng cõn tại C BDC 45180

CFE CFB (hai gúc kề bự )

18018045135

CFBCFE

Trang 30

45135180

BDCCFB

   mà BDC và BFC là hai gúc đối diện của tứ giỏc BDCF nờn BDCF nội tiếp được đường trũn (Theo định lớ: Nếu một tứ giỏc cú tổng số đo hai gúc đối diện bằng 180 thỡ tứ giỏc đú nội tiếp được đường trũn)

d) Chứng minh F nằm trờn một cung trũn

Theo đề bài đường trũn (O) cố định, điểm chớnh giữa C của cung AB cố định dẫn đến: Khi E di động trờn cung AC thỡ F cũng di động theo BE Do C, B cố định nờn AC vỡ tiếp tuyến tại B cũng cố định theogiao điểm D cố định (vỡ AC và BD cố định)

BCD

 vuụng cõn tại C cố định  đường trũn ngoại tiếp BCD cũng là đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BFCD cũng cố định Do BDC 45 khụng đổi BFC 135 khụng đổi F luụn nhỡn BC dưới gúc 135 khụng đổi nờn F nằm trờn cung chứa gúc 135

dựng trờn đoạn BC khụng đổi

Vậy khi E di động trờn cung AC thỡ F nằm trờn cung chứa gúc 135 dựng trờn đoạn BC

Bài 18: Cho ABC vuụng cõn tại A Trờn tia đối của tia CA lấy cỏc điểm D; E sao cho D nằm giữa C và E là AC CD DE Chứng minh ACB ADB AEB

Giải

Chứng minh

Đõy là bài toỏn chứng minh số đo của một gúc bằng tổng số đo của hai gúc khỏc

Trong chương trỡnh hỡnh học của trung học cơ sở chỉ cú một định lớ núi về một gúc cú số đo bằng tổng số đo của hai gúc khỏc Định lớ: Mỗi gúc ngoài của một tam giỏc bằng tổng hai gúc trong khụng kề với nú

Nếu vận dụng định lớ này thỡ ta chỉ chứng minh được C1 D1 B1

Nhưng đề bài lại yờu cầu ta chứng minh C1 D1 E1 chứ khụng phải là C1 D1B1

Như thế ta phải chứng minh E1 B1

Làm thế nào để chứng minh được E1 B1 ? GT 0 (90 ;ABAC),ABC AD EACABACCDDE

Trang 31

Chứng minh trực tiếp E1 B1 là điều khỏ khú Ta phải dựng phương phỏp trung gian Tức là tạo ra một gúc bằng B1 nhưng cũng bằng gúc E1

Làm thế nào để tạo ra một gúc vừa bằng B1 vừa bằng E1?

Bất kỳ bài toỏn hỡnh học nào (kể cả đại số, lượng giỏc) muốn giải được phải khai thỏc triệt để giả thiết để đi đến kết luận

Ta tận dụng giả thiết “bằng nhau” tức là AC CD DE để tạo ra hỡnh bỡnh hành sẽ dẫn đến cỏc gúc bằng nhau

Tứ giỏc ABDK cú hai đường chộo giao nhau tại trung điểm C của mỗi đường nờn ABCK là hỡnh bỡnh hành (Theo dấu hiệu 5: Tứ giỏc cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hỡnh bỡnh hành)

Do ABCK là hỡnh bỡnh hành nờn AK // BD (Tớnh chất cạnh đối của hỡnh bỡnh hành: Hỡnh bỡnh hành cú cỏc cạnh đối song song) B1 K1 (Hai gúc so le trong)

Cũng do ABCK là hỡnh bỡnh hành nờn AB // KD mà ABAE nờn KDAE(Theo định lớ: Nếu một đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song thỡ cũng vuụng gúc với đường kia)

Do CDDE nờn KD mà là trung tuyến mà là đường cao Nếu CKE cõn tại K E2 C2

(Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau) Mà C2 C1 (Hai gúc đối đỉnh) 45 E2 45

CKE cú C2 K E2 180 (Định lớ: Tổng là gúc trong của tam giỏc bằng 180)

 22 

18018045451809090

CKECE

        

Vậy CKE vuụng K

Thật tuyệt vời cỏc bạn ạ Toỏn học là một lõu đài nguy nga, được xõy cất trờn thảm hoa muụn hương ngàn sắc

Ta chỉ kẻ thờm một đoạn thẳng nhỏ nhoi mà ta đó đưa bài toỏn từ trong sỏng mờ mờ ảo ảo ra ỏnh sỏng tuyệt vời

Cỏc bạn thõn mến ! Tụi viết bộ sỏch này vào thời điểm đó sắp đưa thõn xỏc lờn dàn lửa (80 tuổi)

Cỏc bạn, nhất là cỏc bạn trẻ nờn “lao” vào học toỏn

Trang 32

Ta lại quay lại giải tiếp bài toỏn

Đến đõy bài toỏn trở thành hết sức đơn giản Ta chỉ cần chứng minh tứ giỏc ABEK cú: A và K cựng nhỡn BE dưới cỏc gúc bằng 90 nờn ABEK nội tiếp được đường trũn đường kớnh BE (Theo quỹ tớch cung chứa gúc ) E1 K1(gúc nội tiếp cựng chắn AB)

Mà K1 B1(chứng minh trờn ) E1 B1(cựng bằng K )

BCD cú A CB là gúc ngoài đỉnh C nờn ACB D1 B1(Theo định lớ: Mỗi gúc ngoài của một tam giỏc, bằng tổng hai gúc trong khụng kề với nú) (1)

Thay E1 B1 vào (1) ta cú C1 D1E1 hay ACB ADB AEB

Bài 19: Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn đường kớnh AD Hai đường chộo AC và

BD cắt nhau tại E Kẻ EFAD Gọi M là trung điểm của DE

1 Chứng minh cỏc tứ giỏc ABEF và DCEF nội tiếp được đường trũn 2 Chứng minh CA là phõn giỏc của BCF

3 Chứng minh tứ giỏc BCMF nội tiếp được đường trũn

Giải

Chứng minh

1 Chứng minh cỏc tứ giỏc ABEF và DCEF nội tiếp đường trũn * Chứng minh tứ giỏc ABEF nội tiếp được đường trũn

Dựa vào giả thiết ta biết ngay dựng định lớ đảo của định lớ về tứ giỏc nội tiếp đường trũn để chứng minh

Tứ giỏc ABEF nội tiếp được đường trũn GT

ABCD nội tiếp (O) đường kớnh AD EF ()MEMDACBDEAD FADKL

* ABEF và DCEF nội tiếp đường trũn

* CA là phõn giỏc của

BCF

Trang 33

Tứ giỏc ABEF cú:





90 góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng90 vì EFADABEAFE   9090180ABEAFE

    Mà A BE và A FE là hai gúc đối diện của tứ giỏc ABEF nờn ABEF nội tiếp được đường trũn (Theo định lớ: Nếu một tứ giỏc cú tổng số đo của hai gúc đối diện bằng 180 thỡ tứ giỏc đú nội tiếp được đường trũn)

* Chứng minh tứ giỏc DCEF nội tiếp được đường trũn

Ta cũng sử dụng định lớ đảo của định lớ và tứ giỏc nội tiếp để chứng minh tứ giỏc DCEF nội tiếp được đường trũn

Tứ giỏc DCEF cú:





90 góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng90 vì EFADDCEDFE   9090180DCEDFE   

Mà DCE và DFE là hai gúc đối diện của tứ giỏc DCEF nờn tứ giỏc này nội tiếp được đường trũn đường kớnh DE (Theo định lớ đảo)

2 Chứng minh CA là phõn giỏc của BCF

Với đường trũn (O) đường kớnh AD cú C1 D1(Hai gúc nội tiếp cựng chắn A B ).(1)

Với đường tũn tõm M đường kớnh DE ngoại tiếp tứ giỏc DCEF cú:

21

C D (nội tiếp EF ) (2)

Từ (1) và (2) ta cú C1 C2(cựng bằng D1)CA là tia phõn giỏc của BCF 3 Chứng minh tứ giỏc BCMF nội tiếp được đường trũn

Chứng minh tứ giỏc BCMF nội tiếp được đường trũn bằng phương phỏp nào trong 5 phương chứng minh tứ giỏc nội tiếp đường trũn

CDE vuụng tại C (A CD nội tiếp chắn nửa đường trũn) cú M là trung điểm của cạnh huyền DE CM là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nờn

2

DEME MC MD 

(Theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền )  CMD cõn tại M D2 C3 (Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau)

Trang 34

12212 hay 22Chứng minh tương tự cũng được 2CMECDMMDCMFCDFMD  

Phối hợp với kết quả của cõu 2, ta cú BCMF nội tiếp được đường trũn

Bài 20: Cho đường trũn tập P nội tiếp ABC Đường thẳng đi qua P vuụng gúc với CP cắt tia CA, CB tương ứng tại M và N

1 Chứng minh điểm M nằm giữa hai điểm C và A Điểm N nằm giữa C và B

2 Chứng minh 2A MA PBNBP 3 Chứng minh21.A MBNCPA C BC A C BC Giải Chứng minh GT

Đường trũn (P) nội tiếp

Trang 35

1 Chứng minh điểm M nằm giữa điểm A và điểm C; Điểm N nằm giữa điểm B và điểm C

Muốn chứng minh được điểm M nằm giữa hai điểm A và C ta phải chứng minh được:

APC MPC

Phải vận dụng kiến thức cơ bản nào để chứng minh được APC MPC ?

Biết rằng đường trũn nội tiếp một tam giỏc cú tõm là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc trong của tam giỏc đú Cỏc cạnh của tam giỏc ngoại tiếp đường trũn là cỏc tiếp tuyến của đường trũn nội tiếp tam giỏc đú

Ta cú A1 A2(Tớnh chất hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm )

212AA Tương tự cú 12CC 

APC cú APC A1 C1 180 (Định lớ tổng ba gúc trong của tam giỏc)

 1118018022ACAPCAC    Hay 1801802ACA PC  A PC  và 180 180 902A PC  

Lại cú CPM 90 (Theo giả thiết ) APC M nằm giữa A và C

Chứng minh tương tự cũng cú BDC NPC 90 nờn N nằm giữa B và C

2 Chứng minh 2A MA PBNBP  

Đó là chứng minh tỉ số thỡ chương trỡnh hỡnh học ở trung học cơ sở cú bảy kiến thức cơ bản thường được sử dụng chứng minh tỷ số này bằng tỷ số kia…

 Định lớ Talet

 Tớnh chất phõn giỏc của tam giỏc

 Tam giỏc đồng dạng (3 trường hợp)

 Định lớ 1: Vẽ hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng

 Định lớ 2: Vẽ hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng

 Định lớ 3: Vẽ hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng

Trang 36

Ta sử dụng kiến thức cơ bản nào trong cỏc kiến thức cơ bản vừa nờu để chứng minh 2A MA PBNBP 

Với giả thiết bài này nờn dựng kiến thức cơ bản vẽ tam giỏc đồng dạng OMC vuụng tại P (giả thiết ) cú MPC DCM CMP 180(Định lớ: Tổng ba gúc trong của tam giỏc)

 118018090180902CPMCMPCPCMC       9022CABPCM  APM cú 1 1 1 22BDMC A P B B21802BB  BPA A PM BA PA BP AMP và APB cú:  1112chứng minh trên.chứng minh trênPBAMPAPB g gMP  ∽ 2.1A MA PA M A BA PA PA B

Chứng minh tương tự cũng được PNB∽ APB g g . 2.2BNBPBN A BBPBPA BTừ (1) và (2) ta cú: 2A MA PBNBP  3 Chứng minh 21.A MBNCPA C  BC A C BC 

Cõu này cũng thuộc loại toỏn núi đến tỷ số, đó đề cập đến chứng minh tỷ số ta phải những kiến thức cơ bản núi về tỷ số

Dựa vào giả thiết và cỏc kết quả của cỏc cõu trờn ta giải cõu này bằng tam giỏc đồng dạng

MCN cú CP là phõn giỏc của MCN (Tớnh chất hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm ), CP lại là đường cao ứng với cạnh MN (giả thiết ) nờn CMN cõn tại C

12

MM

 (Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau) N2 M1

Trang 37

AMP và PNB cú:  1212chứng minh trên.chứng minh trênPBMAPNAMPPNB g gPMBNMN   ∽ AM BNPM PN

CMN cõn tại C (chứng minh trờn) nờn tia phõn giỏc của MCN lại là trung trực thuộc đỏy MN MP PN

Lại cú CM CN (Theo định lớ: Hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm thỡ điểm đú cỏch đều hai tiếp điểm)

222.AM BNPMCMCP22 AM BNCM CNCPACAMBCBNCP2 1.AMBNCMAM BCAC BNCPAC BCACBCAC BC

Bài 21: (Đề thi vào lớp 10 chuyờn toỏn năm học 2002 - 2003 của tỉnh Hà Nam)

Cho đường trũn (O;R) ngoại tiếp ABC cú 3 gúc đều nhọn và đụi một khụng bằng nhau Đường thẳng đi qua A và trực tõm H của tam giỏc cắt đường trũn tại P Vẽ đường kớnh AQ

a) Chứng minh tứ giỏc BCQP là hỡnh thang b) Chứng minh BAP CAQ

c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm H, I, Q thẳng hàng d) Gọi số đo của PA Q là  Tớnh diện tớch APQ theo R và 

Giải

GT

ABCnội tiếp đường trũn (O; R)

H là trực tõm của ABC

Trang 38

a) Chứng minh tứ giỏc BCQP là hỡnh thang

Muốn chứng minh một tứ giỏc là hỡnh thang ta phải chứng minh tứ giỏc cú hai cạnh đối song song

BCQP là hỡnh thang BC / /PQ





vì AH là đường cao ứng với cạnh BC90 nội tiếp chắn nửa đường tròn

BCAPAPQPQAP  / /càng cùng góc với APBCPQBCQP

 là hỡnh thang (Tứ giỏc cú hai cạnh đối song song là hỡnh thang)

Hỡnh thang BCQP nội tiếp đường trũn (O) nờn là hỡnh thang cõn (Theo định lớ: Trong cỏc hỡnh thang cú hỡnh thang cõn nội tiếp được đường trũn)

b Chứng minh BAP CAQ

BA P và CA Q là hai gúc nội tiếp thuộc đường trũn (O)

Muốn chứng minh hai gúc nội tiếp của một đường trũn ta phải chứng minh hai gúc đú chắn cựng một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau

BA P chắn BD BA Q, chắn CQ

Muốn chứng minh BAP CAQ ta phải chứng minh BP CQ

Ta chứng minh BAP CAQ bằng hai cỏch

Cỏch 1:

Trang 39

Do BC // PQ (Hai cạnh đỏy của hỡnh thang BCQP) nờn B1 Q1(Hai gúc so le trong)

CQBP

 (Theo hệ quả: Trong một đường trũn, hai gúc nội tiếp bằng nhau, chắn hai cung bằng nhau) BAP CAQ(Theo định lớ: Trong một đường trũn, hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thỡ bằng nhau)

Cỏch 2:

Do BC // PQ (Hai cạnh đỏy của hỡnh thang BCQP ) BP CQ(Theo định lớ: Trong một đường trũn, hai cung chắn giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau) BAP CAQ

(Theo định lớ: Trong một đường trũn, hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thỡ bằng nhau)

c Chứng minh ba điểm H, I, Q thẳng hàng

Cú nhiều phương phỏp chứng minh ba điểm thẳng hàng Trong cỏc phương phỏp này cú một phương phỏp:

Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh hai trong ba điểm đú là hai đỉnh đối của một tứ giỏc, điểm cũn lại chớnh là giao điểm hai đường chộo của tứ giỏc đú Qua giả thiết và quan sỏt hỡnh vẽ ta thấy: Ba điểm H, I, Q là hai đỉnh đối của tứ giỏc HCQB và I nằm trờn đường chộo của tứ giỏc này Nếu ta chứng minh được tứ giỏc HCQB là hỡnh bỡnh hành thỡ dĩ nhiờn I phải là trung điểm của BC và HQ

H là trực tõm của ABC( giả thiết ) nờn CHAB(vỡ CH là đường cao ứng với BC)

90

ABQ  (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng) QBAB

 // vuông góc với ABTương tự có BH // QCBQHC cùng BCQP

 là hỡnh bỡnh hành (Theo dấu hiệu 1: Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành) Đường HQ và đường chộo BC cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (Tớnh chất đường chộo của hỡnh bỡnh hành) Vậy H, I, Q thẳng hàng

d Tớnh diện tớch của APQ theo R và 

Do AQ là đường kớnh của đường trũn (O;R) nờn:

90

APQ (Theo hệ quả: Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn là gúc vuụng)  APQ

vuụng tại P APQ là nửa của hỡnh chữ nhật

Do đú: 1 .

2

A PQ

S  A P PQ

Trang 40

Bài 22: Cho đoạn thẳng AB cố định, vẽ tia Ax vuụng gúc với AB tại A C là điểm di

động trờn Ax Gọi I là tõm đường trũn nội tiếp ABC; P, Q, K lần lượt là tiếp điểm của (I) với cỏc cạnh AC, BC, AB Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D

a) Chứng minh bốn điểm B, D, Q, K cựng nằm trờn một đường trũn

b) Chứng minh ứng với khi C di động trờn Ax thỡ PQ luụn luụn đi qua một điểm cố định

Giải

Chứng minh

a) Chứng minh bốn điểm B, D, Q, K cựng nằm trờn một đường trũn

Chứng minh 4 điểm cựng nằm trờn một đường trũn cũng là chứng minh 4 điểm đú là bốn đỉnh của một tứ giỏc nội tiếp được đường trũn

Cõu này phải chứng minh hai tứ giỏc nội tiếp mới cú được 4 điểm cựng nằm trờn một đường trũn

Nhắc lại cú 5 phương phỏp chứng minh một tứ giỏc nội tiếp được một đường trũn cõu này ta dựng phương phỏp nào trong 5 phương phỏp đó nờu?

PIQ cú IP IQ (cũng là bỏn kớnh của đường trũn (I))  PIQ cõn tại I (Tam giỏc cú hai cạnh bằng nhau là tam giỏc cõn) P1 Q1(Theo định lớ: Trong một tam giỏc cõn hai gúc kề đỏy bằng nhau) (1)







90 giả thiết

Tứ giác APIK có : 90 định lí về tiếp tuyến là hình chữ nhật90 định lí về tiếp tuyếnKA PA PIA PIKA KI 

(Theo dấu hiệu 1: Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật)

Hỡnh chữ nhật APIK lại cú AP AK (Theo định lớ: Hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm thỡ điểm đú cỏch đều hai tiếp điểm )  Hỡnh chữ nhật APIK lại GT

Đoạn AB cố định

AxAB tại A

Ax

C

Đường trũn (I) nội tiếp ABC

Cỏc tiếp điểm P, Q, K thuộc cỏc cạnh AC, BC, AB

PQAI D

KL