BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II HÌNH HỌC 9 I CÂU HỎI 1 Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nếu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác, n[.]
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG II HÌNH HỌC I CÂU HỎI Thế đường tròn ngoại tiếp tam giác? Nếu cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Thế đường tròn nội tiếp tam giác, nêu xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chỉ rõ tâm đối xứng đường tròn, trục đứng đối xứng đường trịn Chứng minh định lí: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Phát biểu định lí quan hệ vng góc đường kính dây Phát biểu định lí liên hệ dây khoảng cách từ dây đến tâm Nêu vị trí tương đối đường thẳng đường tròn, tương ứng với vị trí đó, viết hệ thức d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) R (bán kính đường tròn) Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến đường trịn Phát biểu tính chất tiếp tuyến dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Phát biểu tính chất hai tiếp tuyến cắt Nêu vị trí tương đối hai đường trịn Ứng với vị trí đó, viết hệ thức đoạn nối tâm d với bán kính R, r 10 Tiếp điểm hai đường trịn tiếp xúc có vị trí đường nối tâm? Các giao điểm hai đường trịn cắt có vị trí đường nối tâm Giải Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn qua ba đỉnh tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tam cách đỉnh tam giác Muốn xác định tâm đườn tròn ngoại tiếp tam giác ta việc kẻ đường trung trực tam giác, giao điểm đường trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường trịn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách cạnh tam giác Muốn xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta kẻ đường phân giác tam giác, giao điểm đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn Mỗi đường kính trục đối xứng đường trịn Chứng minh đường kính dây lớn đường trịn Chứng minh Với đường trịn tâm O, bán kính R, dây AB không qua tâm O Nối A B với O ta có AOB Theo định lí: “Trong tam giác tổng số đo hai cạnh lớn số đo cạnh lại” Do đó: OA OB R R AB mà R R Đường kính Vậy: đường kính lớn dây khơng qua tâm đường trịn 5 Định lí đường kính vng góc với dây cung Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm dây cung Trong đường trịn: Hai dây khơng nhau, dây lớn gần tâm ngược lại Giữa đường thẳng vào đường trịn có vị trí tương đối: Đường thẳng đường trịn có hai điểm chung Trường hợp R d tức OH R AB cát tuyết đường tròn O Đường thẳng đường trịn có điểm chung Đường thẳng xy đường tròn O có số điểm chung A A tiếp điểm, xy tiếp tuyến O OA d R dR Đường thẳng đường trịn khơng có điểm chung d OA OB BA R BA d R Ba vị trí tương đối hai đường trịn Hai đường trịn khơng trùng (phân biệt) có vị trí tương đối: Hai đường trịn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt O O A B A B gọi giao điểm O O AB gọi dây chung, nối tâm OO đoạn Hai đường trịn có điểm chung OO OA OA R r OO R r Khi đường thẳng đường trịn có chung điểm đường thẳng gọi tiếp tuyến cuả đường tròn, điểm chung đường thẳng đường trịn gọi tiếp điểm Có dấu hiệu để nhận biết đường thẳng tiếp tuyến đường tròn a) Nếu đường thẳng đường trịn có điểm chung đường thẳng tiếp tuyến đường trịn b) Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Dấu hiệu nhận biết b) phát biểu thành định lí: Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Tính chất hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: Điểm cách hai tiếp điểm Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua hai tiếp điểm Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Hai giao điểm hai đường trịn cắt đối xứng với qua đường nối tâm II BÀI TẬP Bài 1: (41/128/SGK T1) Cho đường trịn O có đường kính BC, dây AD vng góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đường vuông kẻ từ H đến AB AC Gọi I K theo thứ tự từ đường tròn ngoại tiếp HBE , HCF a) Hãy xác định vị trí tương đối đường trịn I O , K O , I K b) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? c) Chứng minh đẳng thức AE AB AF AC d) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn I K e) Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn Giải GT O đường kính BC dây AD AD BC HE AB E AB HF AC F AC I đường kính BH K đường kính HC KL * Vị trí tương đối I O , K O , I K * AFHE hình chữ nhật * AE AB AF AC * EF tiếp tuyến chung I K * Vị trí H để EF lớn a) Xác định vị trí tương đối I O Đường nối tâm OI OB IB I tiếp xúc O Đường nối tâm đường O K OK OC KC R r K tiếp xúc với O C Đường nối tâm I K IK KH IH R r I K tiếp xúc H b) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật Đường trịn O ngoại tiếp có đường kính BC, tâm trung điểm O thuộc cạnh BC ABC nên ABC vuông A (Theo định lí: Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông) EAF 90 1 Tương tự ta có: HFC 90 AFH 90 (vì kề bù với HFC 90 ) Và HEA 90 (vì kề bù với BEH 90 ) 3 Từ 1 , , 3 ta có AFHE hình chữ nhật ( Theo dấu hiệu: Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật) c) Chứng minh đẳng thức AE AB AF AC Câu thuộc thể loại chứng minh tích tích Có nhiều cách chứng minh tích tích Vận định lí Ta – lét Vận dụng tính chất đường phân giác tam giác Vận dụng định lí ba trường hợp đồng dạng tam giác Vận dụng dịnh lí hệ thức lượng tam giác vuông Muốn chứng minh AE AB AF AC Muốn chứng minh dạng thức ta sử dụng định lí hệ thức lượng tam giác vng “Trong ta giác vơng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền” AHB vuông H nên AH AB AE AHC vuông H (giả thiết) nên AH AC AF 5 Từ 5 ta có AE AB AF AC d) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn I K Muốn chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn I K ta phải vận dụng hai dấu hiệu nhận biết đường thẳng tiếp tuyến đường tròn: a Nếu dường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn b Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm Vận dụng dấu hiệu để chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn I K ta phải chứng minh IE EF KF EF Viết IE EF KF EF chưa chuẩn xác, mà phải viết EF IE EF KF chuẩn xác Các cháu học giải thích vậy? Có nhiều cách chứng minh EF IE Với giả thiết AH BC (vì AH tiếp tuyến I K a minh IEQ (Q giao điểm AH EF) IHQ IEQ IHQ cú IE IH (vì bán kính I ) IQ IQ (c¹nh chung) EQ HQ (hai nửa đường chéo hình chữ nhËt AFHE) IEQ IHQ (c.c.c) IEQ IHQ (hai góc tương ứng hai tam giác mà IHQ 90 nên IEQ 90 hay EF IE Chứng minh tương tự KFQ KHQ KFQ KHQ 90 EF KF Từ ta có EF tiếp tuyến chung I K (Dấu hiệu nhận biết) e) Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn Muốn xác định vị trí H để đoạn EF có độ dài lớn ta phải sử dụng kiến thức nói lớn nhất: có nhiều kiến thức nói lên so sánh độ dài Ví dụ: * Trong tam giác vuông, cạnh huyền cạnh lớn * Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính v.v… Với ta nên dùng định lí: Trong đường trịn, đường kính dây lớn Do AFHE hình chữ nhật (chứng minh trên) nên EF AH (Tính chất đường chéo hình chữ nhật: Hình chữ nhật có hai đường chéo nhau) Mà AH OA R (R nửa đường kính dây lớn nhất) Do EF lớn EF OA R không đổi AH OA Bất đẳng thức xảy đường kính dây lớn nhất) Do EF lớn EF OA R không đổi AH OA Bất đẳng thức xảy đẳng thức AH OA R H O Vậy AD BC O EF có độ dài lớn Bài 2: (42/128/SGK T1) Cho hai đường tròn O O tiếp xúc A, BC tiếp tuyến chung ngoài, B O , C O Tiếp tuyến chung A cắt BC điểm M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm OM AC a) Chứng minh tứ giác AEMF hình chữ nhật b) Chứng minh tính ME.MO MF.MO c) Chứng minh OO tiếp tuyến đường trịn đường kính BC d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn đường kính OO Giải GT O tiếp xúc O A OO OA OA BC tiếp tuyến chung O O Tiếp tuyến chung A cắt BC M OM AB E OM AC F KL * AEMF chữ nhật * ME.MO MF.MO * OO tiếp tuyến M; MB * BC tiếp tuyến đường tròn đường kính OO a) Chứng minh tứ giác AEMF hình chữ nhật Có cách chứng minh tứ giác hình chữ nhật Cách 1: AM BM hai tiếp tuyến đường tròn O nên MO tia phân giác AMB Tương tự MO có tia phân giác AMC Mà AMC hai góc kề bù nên MO MO (Theo định lí: Hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) EMF 90 1 AOB có OA OB (bán kính đường tròn AOB cân O (Tam giác có hai cạnh tam giác cân) mà MO tia phân giác AOB (Theo định lí: Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm) nên OM lại đường cao thuộc đáy AB AEM 90 Chứng minh tương tự AFM 90 3 Từ 1 , , 3 ta AEMF hình chữ nhật (Theo dấu hiệu 1: Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật) Cách 2: MA MB hai tiếp tuyến đường tròn O cắt M nên theo định lí: “Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: * Điểm cách hai tiếp điểm * Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến * Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Do MO tia phân giác AMB , MO có tia phân giác AMC Mà AMB AMC hai góc kề bù nên MO MO AOB cân O (vì OA OB R ) nên tia phân giác OM lại đường cao thuộc đáy AB) MO // AB (cïng vu«ng gãc víi OM) T¬ng tù cịng cã EM // AF AEMF hình bình hành (Theo dấu hiệu 3: Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật) Các cháu học sinh chứng minh AEMF hình chữ nhật hai cách cịn lại b) Chứng minh đẳng thức ME.MO MF.MO Có nhiều cách chứng minh tích tích điểm Bài dựa vào giả thiết: “Tiếp tuyến”, có tiếp tuyến có vng góc, từ vng góc dẫn đến liên hệ yếu tố tam giác vuông AOM vuông A (Định lí tiếp tuyến) có AE đường cao ứng với cạnh huyền OM nên ta có: AM2 MO ME (Theo định lí 1: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền) Chøng minh t¬ng tù AM2 OM MF ME MO MF.MO (cïng b»ng AM2 ) c) Chứng minh OO tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Do AEMF hình chữ nhật nên BAC 90 ABC vng A Lại có MA MB MC (Theo định lí hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm) = A, B, C cách M nên A, B, C nằm đường trịn tâm M bán kính MA Mà OO MA (vì MA tiếp tuyến chung O O ) OO tiếp tuyến đường trịn đường kính BC (Theo định lí “Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO Gọi I trung điểm đoạn OO I tâm đường trịn đường kính OO Muốn chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO ta phải chứng minh BC IM M OMO vuông M (chứng minh trên) Do I trung điểm cạnh huyền OO nên MI trung tuyến ứng với cạnh huyền OO nên MI trung tuyến ứng với cạnh huyền OO’ nên MI MO MO O, M, O cách I nên O, M, O nằm đường tròn I Muốn chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO ta phải chứng minh BC IM Muốn chứng minh ta lợi dụng giả thiết “Tiếp tuyến chung” Do BC tiếp tuyến O O nên ta có: BC OB BC OC OB // OC (cùng vng góc với BC) BCOO hình thang Hình thang BCOO có M trung điểm cạnh bên BC (Theo định lí….) I trung điểm cạnh bên OO (cách vẽ) MI đường trung bình hình thang nên: MI // OB // OC MI BC (vì OB BC ) BC tiếp tuyến đường tròn đường kính OO Bài 3: (43/128/SGK T1) Cho hai đường trịn O; R O; r cắt A B R r Gọi I trung điểm OO kẻ đường vng góc với IA A, đường thẳng cắt đường tròn O; R O; r theo thứ tự C D a) Chứng minh AC AD b) Gọi K điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Chứng minh KB AB Giải GT O; R O; r Avµ B IO IO IA IK CD IA t¹i A C O; R D O; r KL * AC AD * KB AB a) Chứng minh AC AD Làm để chứng minh đoạn AC đoạn AD? Thông thường muốn chứng minh hai đoạn thẳng ta chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng Câu a) dùng phương pháp thông minh tam giác có chứa đoạn AC tam giác có chứa đoạn AD dẫn đến toán phức tạp Ta lợi dụng giả thiết “vng góc” giả thiết “trung điểm” Từ vng góc ta tạo song song Có song song có hình thang Đã có hình thang có trung điểm lại tạo trung điểm khác, từ trung điểm tạo đoạn thẳng Từ O hạ OE AC EA EC (Theo định lí: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây (dây không qua tâm) Từ O hạ OF AD FA FD Nếu ta chứng minh AE AF dĩ nhiên AC AD Muốn chứng minh AE AF ta sử dụng yếu tố vng góc để tạo song song , có song song hình thang, có hình thang lại có trung điểm có trung điểm thứ hai Ta có OE // OF (cùng vng góc với CD) OEFO hình thang (Tứ giác có hai cạnh đối song song hình thang) Hình thang OEFO có I trung điểm cạnh bên OO (giả thiết) IA // OE // OF (cùng vng góc với CD) nên AE AF (Theo định lí: Trong hình thang, đường thẳng qua trung điểm cạnh bên song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai) Do AE AF mà AE AC CD AF nên AC AD 2 b) Chứng minh KB AB Muốn chứng minh KB AB vận dụng giả thiết “đối xứng” Do K đối xứng với A qua I trung điểm đoạn AK Lại có H trung điểm đoạn AB (Theo định lí: Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm trung trực dây chung) IH đường trung bình ABK IH // AB mà IH AB KB AB (Theo định lí: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường kia) Vậy KB AB Bài 4: Cho đường tròn O; R M điểm di động đường thẳng d cố định nằm ngồi đường trịn O Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA MB với O (A B tiếp điểm) Gọi H hình chiếu O d, dây cung AB cắt OH I cắt OM K a) Chứng minh OI.OH OK.OM R2 b) Chứng minh AB luôn qua điểm cố định M di động d Giải GT Đường tròn O; R Md OH d ; OH R MA OA A O MB OB B O AB OH I AB OM K KL * OI.OH OK.OM R2 * AB luôn qua điểm cố định M di động d a) Chứng minh OI.OH OK.OM R2 Những kiến thức sử dụng nhiều để chứng minh tích tích là: định lí hệ thức lượng tam giác vng Định lí Ta-lét Tính chất phân giác tam giác Ba định lí ba trường hợp tam giác đồng dạng Bài ta dùng kiến thức để giải? Với giả thiết “tiếp tuyến”, “hình chiếu” ta thấy phải sử dụng định lí tam giác đồng dạng Bài có nhiều cặp tam giác đồng dạng ta sử dụng cặp tam giác đồng dạng có chứa đoạn thẳng nằm bất đẳng thức ta phải chứng minh OKI vuông K (Theo định lí AMB cân M nên phân giác MO lại đường cao thuộc đáy AB) OHM vuông H (H hình chiếu O d) OKI OHM có: IOK HOM (gãc chung) OKI ∽ OHM g.g OKI OHM 90 OI OK OI.OH OM.OK OM OH 1 OAM vuông A (Theo định lí: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm) OA2 OM.OK (Theo định lí hệ thức lượng tam giác vuông: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền) Từ 1 ta có OI.OH OK.OM OA2 R2 b) Chứng minh AB luôn qua điểm cố định M di động d Do đường tròn O cố định nên tâm O đường tròn cố định, đường thẳng d cố định (giả thiết) Hình chiếu H O d cố định đoạn OH có giá trị khơng đổi đồng thời cố định vị trí Theo chứng minh câu a) OI.OH R2 Vì R khơng đổi nên OI.OH khơng đổi, OH khơng đổi OI khơng đổi O cố định, OH cố định nên I cố định Khi M di động d AB ln ln qua điểm I cố định nằm OH cố định Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, dựng hai tiếp tuyến Ax By Trên Ax By lấy hai điểm C D Chứng minh điều kiện cần đủ để CD tiếp tuyến O AB2 AC.BD Giải GT Đường trịn O đường kính AB Ax AB A By AB B C Ax ; D By KL CD tiếp tuyến O AB2 AC BD Đọc tư kỹ, vẽ hình, ghi giả thiết kết luận Bài toán yêu cầu ta phải chứng minh hai mệnh đề: thuận đảo * Nếu AB2 AC.BD CD tiếp xúc với nửa đường tròn O * Nếu CD tiếp xúc với O AB2 AC.BD a) Chứng minh AB2 AC.BD CD tiếp xúc với nửa đường tròn O Làm nào? Vận dụng kiến thức để chứng minh AB2 AC.BD CD tiếp xúc với O Nếu CD tiếp xúc với O CD phải vng góc với bán kính qua tiếp điểm Do đó: kẻ OM CD Do AC tiếp tuyến O (giả thiết) nên AC OA (Theo định lí: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm) Lại có OM CD (cách vẽ) AOC vuông A OMC vuông M Đến ta phải tư duy: Đẳng thức đề u cầu ta chứng minh có vế trái cịn vế phải tích thừa số AC có hệ số Một câu hỏi đặt ra: hệ số đâu mà ra? Do AB 2OA AB2 2OA 4OA2 Theo đề yêu cầu chứng minh AB2 AC.BD OA2 AC.BD OA BD BD AOC ∽ BDO AC OA OB AOC BDO COD 90 COD vuông O COD OBD có COD OBD 90 (chøng minh trªn) OC OA OB OD BD BD COD ∽ OBD c.g.c OCM BOD (2 góc tương ứn hai tam giác đồng dạng) mà OCM MOD (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) BOD MOD MOD BOD (cạnh huyền – góc nhọn) OM OB R CD vng góc với bán kính OM M nên CD tiếp tuyến O (Theo định lí: Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn) b) Chứng minh CD tiếp xúc với O AB2 AC.BD Muốn AB2 AC.BD ta sử dụng kiến thức bản: Định lí Ta-lét, tính chất phân giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác vuông Với giả thiết ta dùng tam giác đồng dạng ABC BDO hai tam giác có đoạn thẳng có đẳng thức AB2 AC BD Muốn chứng minh AOC ∽ BDO phải chứng minh C1 O4 Muốn chứng minh C1 O4 phải chứng minh O1 O4 Muốn chứng minh C1 O4 phải chứng minh O1 O2 O4 O2 Muốn chứng minh O1 O2 phải sử dụng định lí: Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm CA CM hai tiếp tuyến O cắt C nên: C1 C2 O1 O2 Tương tự có O3 O4 Do OC OD hai tia phân giác AOM MOB hai góc kề bù nên OC OD O2 O3 90 O1 O4 90 * O1 O2 nên O2 O4 O1 O3 90 O1 C1 90 (vì AOC vng A) Từ 1 ta có C1 O4 (cùng phụ với O1 ) AOC BOD có: AC OA AOC ∽ BOD g.g OB BD C1 O4 (chøng minh trªn) OAC DBO 90 OA.OB AC.BD Mà OA OB R nên OA.OB AC.BD AB2 AC.BD AB AB AB Nhưng OA OA AB AC BD Vậy CD tiếp xúc với O AB2 AC.BD Bài 6: Cho đường tròn O đường kính AB R dây AC tạo với AB góc 30o Tiếp tuyến đường tròn C cắt AB D 1) Chứng minh OAC ∽ CAD 2) Chứng minh BD.DA DC2 3R2 Giải GT Đường tròn O đường kính BA R Dây AC CAB 30 Tiếp tuyến C O cắt AB D KL * OAC ∽ CAD * BD.DA DC2 3R2 Chứng minh 1) Chứng minh OAC ∽ CAD Làm để chứng minh OAC ∽ CAD Ta thấy OAC CAD có góc chung CAB Với giả thiết ta nên chứng minh OAC ∽ CAD theo trường hợp đồng dạng thứ Muốn chứng minh OAC ∽ CAD theo trường hợp đồng dạng thứ ba ta nên chứng minh C1 D1 Muốn chứng minh C1 D1 ta lợi dụng giả thiết: “Đường kính AB”, CAB 30 “CD tiếp tuyến O ” OAC có OA OC R OAC cân O OAC OCA 30 hay C1 30 ABC có O trung điểm AB CO trung tuyến ứng với cạnh AB mà: OA OC OB R AB ABC vuông C (Theo định lí: Nếu tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng) C1 C2 90 1 Do CD tiếp tuyến O nên CD OC OCD vuông C nên C3 C2 90 Từ 1 ta có C1 C3 30 C2 90 C3 90 30 60 OBC có OB OC R nên OBC cân O lại có C2 60 OBC COD 60 ADC 30 (tam giác vng có góc nhọn phụ nhau) OAC CAD có: OAC CAD 30 OAC ∽ CAD g.g OCA CDA 30 2) Chứng minh BD.DA DC2 3R2 OBC (chứng minh trên) OB OC BC R CBD có BCD BDC 30 BCD cân B nên BD BC OB R OCD vng C (vì CD tiếp tuyến O ) OD2 OC2 CD2 (Theo định lí Py-ta-go) ADC DCB có: ADC BDC 30 DC BD ADC ∽ DCB g.g DA DC CAD BCD 30 DC2 DA DB mà BD BC OB R AD AB BD R R 3R DA DB DC2 3R2 Bài 7: Cho ABC AB AC Đường cao AH đường cao BK cắt I a) Chứng minh đường trịn đường kính AI qua K b) Chứng minh HK tiếp tuyến đường tròn đường kính AI Giải GT ABC AB AC AH BC BK AC AH BK I Đường trịn O đường kính AI KL * Đường tròn O qua K * HK tiếp tuyến O a) Chứng minh đường trịn đường kính AI qua K Gọi O đường kính AI Muốn chứng minh đường trịn tâm O đường kính AI qua K ta chứng minh A, K, I cách O Hay OA OI OK Muốn có OA OI OK ta lợi dụng giả thiết: “AK đường cao” tức AKI vuông K: Do O trung điểm AI (vì O tâm đường trịn đường kính AI) KO trung tuyến thuộc cạnh huyền AI nên: OA OK OI AI (Theo định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy) A, K, I cách O A, K, I nằm đường trịn tâm O, đường kính AI Hay đường trịn đường kính AI qua K b) Chứng minh HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Muốn chứng minh HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI phải chứng minh HK OK K Muốn chứng minh HK OK ta phải chứng minh K1 K2 90 Muốn có K1 K2 90 ta chứng minh K1 B1 (vì B1 I2 90 mà I2 I1 K2 ) Mà B1 A1 (vì phụ với I1 I2 ), A1 I1 90 ( AKI vuông K) BKC vuông K có H trung điểm cạnh BC HB HK HC BC (định lí HBK cân H B1 K1 1 mà B1 K2 90 K1 K2 90 ) Hay HK OK HK tiếp tuyến O (Theo định lí tiếp tuyến) Bài 8: Cho đường tròn O; R cố định điểm Q cố định ngồi đường trịn O Một đường thẳng Qx cắt đường tròn O hai điểm A B a) Chứng minh Qx quay quanh Q ln có QA.QB QO2 R2 b) Xác định vị trí Qx để QA QB nhỏ lớn Giải GT O; R , O; R Qx O A vµ B KL * Chứng minh QA.QB QO2 R2 * Vị trí Qx để QA QB nhỏ QA QB lớn Chứng minh a) Chứng minh QA.QB QO2 R2 Muốn giải câu ta phải dùng phương pháp đại số chứng minh hình học Từ O hạ OI AB I AB IA IB (Theo định lí: Trong đường trịn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây ấy) QI QA QI AB QA QB QA QB 2QI QA QB 4QI OQ2 OI 2 1 Lại có QB QA AB AI QB QA AI (Theo định lí a b a2 b2 ) OA2 OI (vì AOI vng I nên OA2 AI OI ( Định lí Py-ta-go) nên AI OA2 OI ) Từ 1 ta có 4QA.QB OQ2 OA2 QA.QB OQ2 OA2 QO2 R2 b) Xác định vị trí Qx để QA QB nhỏ QA QB lớn QOI vuông I nên QO2 QI OI (Theo định lí Py-ta-go) mà Q cố định, O cố định nên QO không đổi QO2 không đổi QI OI khơng đổi Nếu OI lớn QI nhỏ OI lớn QI nhỏ Từ ta có: Qua Q kẻ tiếp tuyến QK với đường trịn O; R , Ta có OK R QOK vuông K Nên OQ2 OK OK (Định lí Py-ta-go) QK OQ2 OK QOI vuông I nên QO2 QI OI QI OQ2 OK Mà QI OQ QK OQ QI QK QK QI dấu “=” xảy I K Từ 3 QK OQ 2QK 2QI 2OQ QK QI OQ Vậy giá trị nhỏ QA QB 2QK QAB tiếp tuyến O; R Vậy giá trị lớn QA QB 2OQ QAB qua O Bài Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính AB Qua A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By vẽ mơt phía đối AB Từ P I kẻ tiếp tuyến thứ ba cho cắt Ax By thứ tự M N a) Chứng minh MIN APB vuông I P b) Chứng minh tính PM, PN khơng đổi P chuyển động nửa đường tròn cho c) Với vị trí phân nửa đường trịn tổng AM BN có giá trị nhỏ nhất? Giải GT Nửa đường tròn I đường kính AB, tiếp tuyến Ax By AB kẻ tiếp tuyến P cắt Ax P O; M, cắt By N KL * APB MIN vuông? * PM.PN không đổi P chuyển động đường tròn * Xác định vị trí P để AM BN nhỏ Chứng minh a) Chứng minh MIN APB tam giác vuông * Chứng minh MIN vuông Muốn chứng minh MIN tam giác vuông ta lợi dụng giả thiết AM PM tiếp tuyến I cắt M Đồng thời sử dụng tính chất hai tia phân giác hai góc AIP POB hai góc kề bù Theo định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: a) Điểm cách hai tiếp điểm b) Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến c) Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Từ định lí ta có: Vậy MIN vng P * Chứng minh APB vuông P Muốn chứng minh APB vuông P ta lợi dụng giả tiết: “AB đường kính I ”, “P điểm nằm đường tròn I ” AB AB Do P I nên IP bán kính nên IP= Từ giả thiết ta có IA=IB R IA IP IB AB APB vuông P (Theo nh lớ: Nu tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng) Vậy APB vng P b) Chứng minh tính PM, PN không đổi P chuyển động nửa đường trịn cho Câu thuộc thể loại tốn chứng minh đại lượng không đổi Muốn chứng minh đại lượng khơng đổi ta chứng minh đại lượng đại lượng khơng đỏi có đề Hoặc đại lượng khơng đổi theo kiến thức Ta có: MIN vng I (chứng minh trên) có IP đường cao ứng với cạnh huyền MN nên ta có: IP2 PM.PN (Theo định lí 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền) Mà P bán kính qua I nên IP không đổi PM.PN không đổi c) Với vị trí phân nửa đường trịn tổng AM BN có giá trị nhỏ nhất? Muốn giải ta phải sử dụng liên hệ đường vng góc đường xiên Từ ta có: Qua N kẻ NM // AB tứ giác ABNM hình chữ nhật (Tứ giác có góc vng hình chữ nhật) NM=AB (hai cạnh đối hình chữ nhật) MMN vng M MN NM (Trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn nhất) nói MN MN (tính chất đường vng góc đường xiên) MN nhỏ MN AB MN tiếp xúc I với điểm P I ... BD AOC ∽ BDO AC OA OB AOC BDO COD 90 COD vuông O COD OBD có COD OBD 90 (chøng minh trªn) OC OA OB OD BD BD COD ∽ OBD c.g.c OCM BOD (2 góc tương... để tạo song song , có song song hình thang, có hình thang lại có trung điểm có trung điểm thứ hai Ta có OE // OF (cùng vng góc với CD) OEFO hình thang (Tứ giác có hai cạnh đối song song hình... ngoại tiếp tam giác tam giác vng) EAF 90 1 Tương tự ta có: HFC 90 AFH 90 (vì kề bù với HFC 90 ) Và HEA 90 (vì kề bù với BEH 90 ) 3 Từ 1 , , 3 ta có AFHE