Tuong giao cua duong thang mat phang va mat cau

CHỦ ĐỀ XIII TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Dạng toán TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d qua A có vectơ phương u mặt phẳng  P  qua M có vectơ pháp tuyến n Có vị trí tương đối: _Cắt : u.n  _Song song: u.n  A   P  _Đường thẳng thuộc mặt phẳng : u.n  A   P  Hình chiếu điểm lên mặt phẳng : Hình chiếu điểm M mặt phẳng  P  : Lập phương trình tham số đường thẳng d qua M , vng góc với  P Hình chiếu H giao điểm d với  P  Từ suy điểm M  đối xứng M qua  P  nhờ H trung điểm MM  Hình chiếu điểm lên đường thẳng Hình chiếu điểm N đường thẳng d: Lập phương trình mặt phẳng  Q  qua N,vng góc với d Hình chiếu K giao điểm d với  Q  Ta dùng tọa độ K thuộc d theo tham số t tìm t nhờ điều kiện : NK ud  Từ suy điểm N  đối xứng N qua đường thẳng d nhờ H trung điểm NN  Chú ý: Cho mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  Hai điểm M1  x1 ; y1 ; z1  M  x2 ; y2 ; z2  nằm hai phía mặt phẳng  P  :  Ax1  By1  Cz1  D   Ax2  By2  Cz2  D   Hai điểm M1  x1 ; y1 ; z1  M  x2 ; y2 ; z2  nằm phía mặt phẳng  P  :  Ax1  By1  Cz1  D   Ax2  By2  Cz2  D   Bài toán Cho mặt phẳng  P  có phương trình x  y  5z   a) Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng với trục Ox, Oy, Oz b) Tính thể tích tứ diện giới hạn mặt phẳng  P  mặt phẳng tọa độ Giải 1  a) Cho y  z  giao với trục Ox A  ;0;0  2    Cho x  z  giao với trục Oy B  0;  ;0    1  Cho x  y  giao với trục Oz C  0;0;  5  b) Tứ diện cần tìm OABC có OA, OB, OC đơi vng góc nên thể tích 1 1 1 V  OA.OB.OC    6 180 Bài toán Cho ba mặt phẳng  P  : x  y  z   0, Q  : mx  y  z  m    R  : mx   m  1 y  z  2m  a) Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đơi vng góc với b) Tìm giao điểm chung ba mặt phẳng Giải a) Vectơ pháp tuyến ba mặt phẳng  P  ,  Q  ,  R  : nP  1;1;1 , nQ   m; 2;1 , nR   m; m  1; 1 Điều kiện ba mặt phẳng đơi vng góc nP nQ  m  m         m 1 nP nR   m  m     m   m2  2m     n n    m  1    Q R b) Gọi I  x; y; z  giao điểm chung ba mặt phẳng Tọa độ điểm I nghiệm hệ : x  y  z   x     x  y  z    y   I 1; 2;3 x  z   z    Bài tốn Tìm giao điểm đường thẳng:  x   2t  a)d :  y   t , với mặt phẳng  P  : x  y  5z    z  3t  b) d : x  y 1 z 1 , với mặt phẳng   : x  y  z     Giải a) Giao điểm M thuộc d nên M 1  2t;2  t;3t  thuộc  P  nên: 1  2t     t   15t    t  Thay t  7 3 vào ta M  ; ;  5 5  x   2t x  y 1 z 1  b) Đường thẳng d : có phương trình  y  1  3t    z   5t  Giao điểm A thuộc d nên A   2t; 1  3t;1  5t  Thế x, y, z vào phương trình   , ta :   2t    1  3t   1  5t    Suy t  8 8 giao điểm A  ;0;  3 3 Bài tốn Tìm giao điểm đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng: a) x  y  z  11  0,3x  y  z   với  P  : x  y  z  15  b)2 x  y  z   0, x  y  z   với mặt tọa độ Giải a)Mp  xOy  : z  32  x  2 x  y  z   10   Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ  x  y  z    y  z    z     32 10  Vậy A  ; ;0   9  Giải tương tự giao điểm với mp(yOz) B  4;0; 2  mp(xOz) C  0;10;16  b)Tọa độ giao điểm nghiệm hệ :  x  y  z  11  x    3x  y  z     y  Vậy M  4;5; 1  z  y  z  15   z  1   Bài tốn Tìm hình chiếu điểm A 1; 4;  lên mặt phẳng  P  : x  y  z   Giải Gọi d đường thẳng qua  vng góc với  P  , H hình chiếu vng góc A  P  Ta có n  1; 2;1 vectơ pháp tuyến  P  nên n vectơ phương d Suy ra, d có phương trình : x 1 y  z    Tọa độ H nghiệm hệ phương trình :  x 1 y  z       x  y  z 1  2  2 1 Giải hệ ta : x   , y  , z  Vậy H   ; ;  3  3 3 Bài toán Cho bốn điểm A  4;1;4  , B  3;3;1 , C 1;5;5 , D 1;1;1 Tìm hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (ABC) Giải Ta có AB   1; 2;3 , AC   3; 4;1 nên mp(ABC) có VTPT n   AB, AC   14;10;  hay  7;5;1  P  : 7( x    y  1  1 z  4  hay x  y  z  37  Đường thẳng d qua A , vng góc với (ABC) có phương trình tham số:  x   7t   y   5t Thế x, y, z vào  P  t  25 z   t   81 13 33  Vậy hình chiếu có tọa độ H  ; ;   25 25  Bài tốn Tìm điểm đối xứng A 1; 2; 3 qua mặt phẳng  P  : x  y  z   Giải Đường thẳng d qua A 1; 2; 3 có VTCP u  uP   2; 2; 1  x   2t  Nên có phương trình tham số d :  y   2t  z  3  t  Hình chiếu H A lên  P  thuộc d nên tọa độ H có dạng 1  2t;2  2t; 3  t  H   P  nên 1  2t     2t    3  t    Suy : t  2 nên H  3; 2; 1 Gọi A đối xứng với A qua  P  H trung điểm AA Vậy A  7; 6;1  x   2t  Bài tốn Tìm hình chiếu M  2; 1;1 lên đường thẳng d :  y  1  t  z  2t  Giải Hình chiếu H M lên d giao điểm d với mặt phẳng  P  qua M , vng góc đường thẳng d:  x  2  1 y  1   z  1  hay x  y  z   H thuộc d nên H 1  2t; 1  t;2t  Thế tọa độ vào mp  P  t  nên  17 13  H  ; ;  9 9 Cách khác : Dùng điều kiện MH u  để tìm t Bài tốn Tìm điểm đối xứng A  2;3; 4  qua đường thẳng d : x2 y2 z   3 2 Giải Đường thẳng d qua M  2;3; 4  có VTCP u   3; 2;1 Hạ AH  d H  2  3t; 2  2t; t   d Ta có AH u   t  1 nên H 1;0; 1 Điểm B đối xứng A qua d nên A trung điểm AB x A  xB   xH   xB  xH  x A   y A  yB     yB  yH  y A  3 Vậy điểm đối xứng B  4; 3;   yH     zB  zH  z A  z A  zB   zH   Bài toán 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  , hai đường thẳng d: x4 y z x  y z 1   , :   1 3 2 Tìm tọa độ điểm M nằm  P  điểm N d cho M, N đối xứng với qua đường thẳng  Giải Vì N nằm đường thẳng d nên N   t; t; 3t  Gọi I trung điểm MN I nằm đường thẳng  Do I   m;2m; 1  2m  Đường thẳng  có VTCP u  1;2;2  Ta có : NI u    1  m  t    2m  t    1  2m  3t    3  9m  3t   t   3m Suy N   3m;1  3m; 3  9m  Vì M đối xứng với N qua I nên M 1  5m; 1  7m;1  5m  Ta có M   P   1  5m    1  7m   1  5m    m  Suy M 1; 1;1 , N  5;1; 3 Dạng toán TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VỚI MẶT CẦU Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S  I ; R  mp  P  Gọi IH  d khoảng cách từ tâm I đến  P  : - Nếu d  R : mp  P  cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến Đặc biệt, d  mp  P  qua tâm I mặt cầu , giao tuyến đường trịn lớn mặt cầu có bán kính R - Nếu d  R : mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu -Nếu d  R : mp  P  khơng có điểm chung với mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu tâm I  d  IH khoảng cách từ O tới  - Nếu d  R : đường thẳng  cắt mặt cầu hai điểm A, B Độ dài dây AB  R  d - Nếu d  R : đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu - Nếu d  R : đường thẳng khơng có điểm chung với mặt cầu Chú ý : 1) Đường tròn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng có tâm H hình chiếu tâm mặt cầu I lên mp  P  , bán kính r  R  d 2) Khoảng cách từ M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng:  P  : Ax  By  Cz  D  d  M , P   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Bài tốn Xét vị trí tương đối mặt cầu  S  mặt phẳng  P  trường hợp đây: a) x2  y  z  x  y  z   x  y  z   b) x2  y  z  x  y  z  10  x  y  z  c) x2  y  z  x  y  z   x  y  z  10  Giải a)Mặt cầu có tâm I  3; 1; 2  bán kính R  a  b2  c  d  Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P  : d  I ;  P      1 1 1  6 R  Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu b)Mặt cầu có tâm I  3; 1;1 R  Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P  : d  I ,  P    32 1  1 R Vậy mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu c)Mặt cầu có tâm I  2; 4;1 , R  11 Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P  : d  I ,  P    2    10 111  17 R Vậy mặt phẳng khơng có điểm chung với mặt cầu Bài tốn Tìm tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng mặt cầu có phương trình:  P  : x  y  z    S  : x2  y  z  6x  y  2z  10  Giải Mặt cầu  S  có tâm I  3; 1;1 , bán kính R  Tâm H hình chiếu I lên  P  Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng x   t  x  y  z   :  y  1  2t  z   2t  Từ ta suy giao điểm H d mặt phẳng ứng với t  H  3; 1;1 Vì điểm H trùng với I nên  P  mặt kính cắt theo đường trịn lớn nên bán kính đường trịn giao tuyến r  R 1 Bài tốn Tìm tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng mặt cầu có phương trình :  P  : 2x  y  z    S  : x2  y  z  12 x  y  z  24  Giải Mặt cầu  S  có tâm I  6; 2;3 , R  Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng  x   2t  x  y  z   :  y  2  2t z   t  Từ suy giao điểm H d mặt phẳng ứng với t    10 14  tâm đường tròn giao tuyến H  ;  ;  3 3  Bán kính r  R2  IH  25  16  Vậy r  Bài tốn Xét vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng:  S  :  x  2   y  3   z  1 2   x   4t    16,  d  :  y    2t  z  t   Giải Mặt cầu  S  có tâm I  2;3; 1 , bán kính R  5  Đường thẳng d qua M  ;  ;0  có VTCP u   4; 2;1 2  Ta có d  I , d    IM , u    u  205 14 Vì d  I ; d   R nên đường thẳng (d) cắt mặt cầu Bài toán Xét vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng :  S  : x2  y  z  8x  y  z  25  0,  d  : x2 y2 z   1 Giải Mặt cầu  S  có tâm I  4; 3;  , bán kính R  3 Đường thẳng d qua M  2; 2;0  có VTCP u   3; 2;1 Ta có d  I , d    IM , u    3 u Vì d  I ; d   R nên đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu Bài toán Cho mặt cầu  S  : x2  y  z  x  y  z  13  đường thẳng x   t  d  :  y   mt  z  2t  Biện luận theo m số điểm chung  S  (d) Giải Điểm M  x; y; z  thuộc (d) nên x  t  2, y  mt  1, z  2t Thay vào (S) :  t  2   mt  1  4t   t     mt  1  8t  13     m2  t    4m  t  20  Ta có  '    4m  20   m2   4m2  40m  75 Biện luận : Nếu  '   15  m  :  d  cắt (S) hai điểm phân biệt 2 Nếu  '   m  15 m  :  d  tiếp xúc với (S) điểm 2 Nếu  '   m  15 m  :  d  (S) khơng có điểm chung 2 Cách khác: Tính khoảng cách từ tâm I  1;3; 2  đến đường thẳng d so sánh biện luận Bài toán Trong không gian Oxyz , xét mặt phẳng  m  : 3mx   m2 y  4mz  20  0, m   1;1 Chứng minh với m   1;1  m  tiếp xúc với mặt cầu cố định Giải Ta có d  O;  m    20 9m2  25 1  m2   16m2  20 25 4 Suy m thay đổi , mặt phẳng  m  tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm O bán kính Dạng tốn LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương trình tổng quát mặt phẳng Mặt phẳng qua điểm M  x0 , y0  có vectơ pháp tuyến n   A, B, C  , A2  B  C  có phương trình: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   biến đổi thành dạng phương trình tổng quát: Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  Chú ý: 1) Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt nhau: Nếu  P   mp  d , d   chọn VTPT n  ud , ud   2) Mặt phẳng chứa đường thẳng song song: Nếu  P   mp  d , d   d qua A, d  qua B chọn VTPT n  ud , AB  Bài toán Cho tứ diện ABCD với A  5;1;3 , B 1;6;2  , C  5;0;4  , D  4;0;6  a) Viết phương trình mặt phẳng qua A song song mp(BCD) b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B song song với CD Giải a) Ta có : BC   4; 6;  , BD   1;0;  mp(BCD) có VTPT n   BC, BD    12; 10; 6  hay  6;5; 3 Mặt phẳng qua A song song với mp(BCD) có phương trình  x  5   y  1   z  3  hay x  y  3z  44  Vì A khơng thuộc mp(BCD) nên mặt phẳng cần tìm b) AB   4;5; 1 , CD   1;0;2  Mặt phẳng qua A, B song song với CD có vectơ pháp tuyến n   AB, CD   10;9;5 Vậy phương trình là: 10  x  5   y  1   z  3  hay 10 x  y  5z  74  Vì C khơng thuộc mp nên mặt phẳng cần tìm Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua hai điểm A  0;1;1 , B  1;0;2  vng góc với mặt phẳng x  y  z   b) Đi qua hai điểm M 1; 2; 2  N  2;0; 2  vng góc với mặt phẳng tọa độ Giải a) Mặt phẳng (P) cần tìm phải vng góc với mặt phẳng x  y  z   nên vectơ pháp tuyến n (P) vng góc với n  1; 1;1 mp(P) qua hai điểm A, B nên n vng góc với AB   1; 1;1 Chọn n   AB, n   0; 2;  Phương trình (P) :  y  1   z  1  hay y  z   b) Mặt phẳng   qua M,N vng góc với mặt phẳng tọa độ Oxy nên song song chứa Oz    có dạng Ax  By  D  0, A2  B2  Mp   qua M 1; 2; 2  N  2;0; 2  ta có hệ :   t    1  2t    t   12   H  ;  ;3  5  405 Đường trịn (C) có bán kính r  R  IH  Bài toán Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng  : x  y 1 z 1 tiếp xúc với hai mặt phẳng   3 2  P  : x  y  z   0, Q  : x  y  z   Giải Ta có (P) , (Q) song song nên tâm I mặt cầu trung điểm đoạn AB với A , B giao điểm    mặt phẳng    cắt (P) A  2;1;1 , cắt (Q) B  4;5;5 nên tâm I  1;3;3 Ta có R  d  I ,  P    1  2.3  2.3  1  1 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm  x  1   y  3   z  3  2 Bài tốn Lập phương trình mặt cầu tâm A  1; 2;3 tiếp xúc với đường thẳng d : Giải Bán kính R  d  A; d  Ta có d qua B  2;1;0  có VTCP u  1; 2;1 nên d  A; d    AB, u    u  165 Vậy phương trình mặt cầu :  x  1   y     z  3  2 55 Bài toán Cho bốn điểm A 1;6;2  , B  4;0;6  , C 5;0;4  , D 5;1;3 Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD) Tìm tọa độ tiếp điểm Giải Ta có BC  1;0; 2  , BD  1;1; 3 Mặt phẳng (BCD) có VTPT n   BC , BD    2;1;1 Mặt phẳng (BCD) qua B  4;0;6  có phương trình:  x  4  1 y    1 z    hay x  y  z  14  Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD) có bán kính x  y 1 z   R  d  A;  BCD    2.1  1.6  1.2  14 1 1 2   Vậy mặt cầu có phương trình:  x  1   y  6   z  2  2 Gọi H tiếp điểm AH đường thẳng qua A , vng góc với mp(BCD) nên có vectơ phương n   2;1;1  x   2t  Vậy AH có phương trình :  y   t z   t  Kết hợp với phương trình mp(BCD), ta suy tọa độ tiếp điểm H ứng với t   20  H  ; ;   3 3 Bài tốn 10 Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x  y2 z4 x 8 z  10 d :   y6  1 2 1 a) Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox, cắt d1 M , cắt d N Tìm tọa độ điểm M, N b) Chứng minh hai đường thẳng d1 d chéo Gọi AB đường vng góc chung d1 d2  A  d1 , B  d2  Hãy viết phương trình mặt cầu đường kính AB Giải a) Viết phương trình đường thẳng d1 , d dạng tham số Từ : M  d1 nên M  t;2  t; 4  2t  N  d nên N  8  2t ;6  t ;10  t    MN   8  2t   t;4  t   t;14  t   2t  Đường thẳng MN đường thẳng d phải tìm MN / /Ox hay hai vectơ MN i 1;0;0  phương , nghĩa t   t  4 t   18   t   2t  14 t   22 Vậy M 18; 16;32  đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :  x  18  t  d :  y  16  z  32  b) Đường thẳng d1 qua điểm M1  0; 2; 4  có vectơ phương u1  1; 1;  Đường thẳng d qua điểm M  8;6;10  có vectơ phương u2   2;1; 1 Ta có u1 ; u2    1;5;3 , M1 M   8; 4;14   u1 , u2  M1 M  70   d1 , d2 chéo A  d1  A  t;2  t; 4  2t  , B  d2  B  8  2t ;6  t ;10  t   AB   8  2t   t;4  t   t;14  t   2t  AB  u1  6t  t   16 AB  u2  t  6t   26  6t  t   16 t   A  2;0;0  Giải hệ    t  6t   26 t     B  0;10;6  Suy mặt cầu đường kính AB có tâm trung điểm AB I 1;5;3 , bán kính R  IA  35 Phương trình :  x  1   y  5   z  3  35 Bài tốn 11 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  : x2  y  z  2x  y  z  11  ,mặt phẳng  P  : x  y  z   Chứng minh mặt cầu (S) cắt mp(P) theo giao tuyến đường trịn (C) Viết phương trình mặt cầu  S   qua A  6; 1;  chứa đường trịn (C) Giải Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  Vì d  I ,  P    2437   R nên mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r  52  42  Tâm J mặt cầu  S   nằm đường thẳng  qua I vng góc với (P) Ta có :  : x 1 y  z  nên J 1  2t; 2  2t;3  t    2 1 Mà R2  JA2  d  J ,  P    r   5  2t    1  2t   1  t  2  9t  12      2t  2  t  1   2 Do tâm J  1; 4;  , bán kính R  JA  58 Vậy  S  :  x  1   y     z    58 2 Dạng tốn TỐN TỔNG HỢP TƯƠNG GIAO Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : Đường thẳng d qua A có vectơ phương u mặt phẳng (P) qua M có vectơ pháp tuyến n Có vị trí tương đối: _Cắt : u.n  _Song song : u.n  A   P  _Đường thẳng thuộc mặt phẳng : u.n  A   P  Vị trí tương đối mặt phẳng :  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C   Q  : Ax  By  C z  D  0, A2  B2  C 2  Có vị trí tương đối: _Cắt nhau: A : B : C  A : B : C  _Trùng : _Song song : A B C D    A B  C  D A B C D    A B  C  D Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng : Cho mặt cầu S  I ; R  mp(P) Gọi IH  d khoảng cách từ tâm I đến (P) thì: - Nếu d  R : mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm H hình chiếu tâm mặt cầu I lên mp(P), bán kính r  R  d - Nếu d  R : mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu - Nếu d  R : mp(P) khơng có điểm chung với mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng : Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu tâm I  d  IH khoảng cách từ O tới  - Nếu d  R : đường thẳng  cắt mặt cầu hai điểm A, B Độ dài dây AB  R  d - Nếu d  R : đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu - Nếu d  R : đường thẳng điểm chung với mặt cầu Bài tốn Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình : x 1 y 1 z   1 a) Chứng minh mặt phẳng x  y  z   chứa đường thẳng  b) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz , cắt   ' Giải a) Mặt phẳng   cho có vectơ pháp tuyến n  1;5;1 Đường thẳng  có vectơ phương u   2; 1;3 Ta có n.u  nên  song song nằm mặt phẳng   Vì điểm M 1; 1;0   thuộc   nên  nằm   b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hình chiếu d1 đường thẳng  có phương trình : x  y   hình chiếu d1  ' có phương trình x  y   1  Giao điểm hai đường thẳng d1 d1 I   ; ;0   3  Khi đường thẳng qua I, song song với Oz cắt hai đường thẳng   '  x     Phương trình đường thẳng :  y    z  t   Bài toán Cho đường thẳng d mp(P) có phương trình:  x   t  11  d :  y    t , P : x  3y  z 1   z  t   a) Viết phương trình đường thẳng d  hình chiếu vng góc d mp(P) b) Viết phương trình đường thẳng d1 hình chiếu song song d mp(P) theo phương Oz Giải  11  a) Đường thẳng d qua điểm A  ;  ;0  có vectơ phương u  1;1;1 3  Gọi (Q) mặt phẳng qua d vng góc với mp(P) giao tuyến d   P    Q  hình chiếu vng góc d (P) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP  1; 3;1 Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến nQ  u, nP    4;0; 4  hay 1;0; 1 Vì (Q) chứa đường thẳng d nên qua điểm A , (Q) có phương trình x  z  hay 3x  3z   Ta có  P  : x  y  z   Đặt z  t x  2  t, y    t  x   t   Vậy d  :  y    t  z  t   b) Gọi (R) mặt phẳng chứa d song song chứa Oz d1 giao tuyến mp(R) mp(P)  11  Mặt phẳng (R) qua A  ;  ;0  có vectơ pháp tuyến 3  nR  u, k   1; 1;0  Mặt phẳng (R) có phương trình 3x  y  13  Ta có  P  : x  y  z   Đặt y  t x  13 10  t , z    2t 3 13  x   t  Vậy d1 có phương trình tham số :  y  t  10  z    2t  Bài toán Viết phương trình đường thẳng   : x  y  3z   cắt đường thẳng d:  qua A  1; 2; 3 , vng góc với x 1 y  z    3 Giải  nằm mặt phẳng (P) qua A, có vectơ pháp tuyến n   6; 2; 3  P  :  x  1   y  2   x  3   x  y  3z   Giao điểm (d) với (P) B 1; 1;3 Do đường thẳng    đường thẳng qua A B có phương trình tắc : x 1 y  z    3 Bài toán Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt hai đường thẳng d d , biết phương trình d1 , d d : x   x  4  5t  x 1 y  z    d1 :  y  2  4t , d :   ; d3 :  y  7  9t  z   t z  t   Giải Đường thẳng d1 có vectơ phương u1   0; 4; 1 , phương trình d d dạng tham số : x   t  d1 :  y  2  4t  z   3t   x  4  5t   d3 :  y  7  9t  z  t  Trên đường thẳng d2 lấy điểm M 1  t; 2  4t;2  3t  đường thẳng d lấy điểm M  4  5t ; 7  9t ; t   Ta có M M   5  5t   t; 5  9t   4t; 2  t   3t  Hai vectơ M M u1 phương : 5  5t   t  t    5  9t   4t 2  t   3t    t     1 Do M 1; 2;  M M   0; 4; 1 x   Vậy đường thẳng  qua M M có phương trình :  y  2  4t z   t  Vì M  d1 nên  đường thẳng cần tìm Cách khác :Viết phương trình mặt phẳng   qua d song song với d1 , phương trình mặt phẳng    qua d song song với d1 Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến  đường thẳng cần tìm,  khơng trùng với d1 Bài toán Cho bốn đường thẳng :  d1  : x 1 y  z   2  d2  : x2 y2 z   4  d3  : x y z 1   1  d4  : x  y z 1   2 1 Chứng minh tồn đường thẳng (d) cắt bốn đường thẳng Viết phương trình tắc (d) Giải ( d1 ) qua A 1;2;0  , A   d2  ,  d1  ( d ) có vectơ phương u  1; 2; 2  nên  d1  / /  d2  ,  d2  qua B  2; 2;0  , AB  1;0;0  Gọi (P) mặt phẳng qua  d1  ,  d2  :PT (P) y  z    d3    P   E 1; 3 ;   d4    P   F  4;2;0   2 Đường thẳng (d) qua E,F x 1  1 z 2 có vectơ phương v   2;1; 1 không phương 1 y với u Vậy (d) cắt bốn đường thẳng cho Bài toán Cho mặt cầu x  y  z  x  y  z  0 a) Lập phương trình đường kính AB mặt cầu song song với đường thẳng d có phương trình:  x  2t    y  3t   z  4t   b) Lập phương trình mặt phẳng (P) xác định đường thẳng song song AB d nói Giải 2 1  3  1  Phương trình mặt cầu viết dạng :  x     y     z    22 2  2  2  1 1 Ta có tọa độ tâm mặt cầu I  ;  ;   2 2 a)Đường kính AB mặt cầu qua tâm I song song với d có VTCP: u   2; 3;  nên có phương trình :  x   2t      y    3t     z    4t   b)Đường thẳng d qua điểm M  1;5;7  có VTCP u   2; 3;   13 15  Ta có IM    ; ;  nên (P) có VTPT n  u, 2IM    97; 47; 17   2 2 Vậy phương trình  P  : 97 x  42 y  17 z   Bài toán Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x  y 1 z  d1 :   ; d2 x   t  :  y   2t z   t  Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M  3;10;1 cắt đồng thời hai đường thẳng Giải Giả sử đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1 d hai điểm A   3a; 1  a; 3  2a  B   b;7  2b;1  b  Ta có M  nên : 3a   kb 3a  kb  a     MA  k MB  a  11  2kb  3k  a  3k  2kb  11  k  4  2a  kb 2a  kb  b      x   2t   MA   2; 10; 2  Vậy  :  y  10  10t  z   2t  Bài tốn Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  : x2  y  z  2x  y  2z   Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) A  3; 1;1 song song với mặt phẳng (P) Giải Mặt phẳng (P) có VTPT nP  1;1; 2  Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2; 1 Ta có IA   2;1;2  ; VTCP đường thẳng d : nP   IA, nP    4;6;1 Vậy phương trình đường thẳng  : x  y 1 z 1   4 Bài gian d: toán Trong không với hệ tọa độ Oxyz, chứng minh hai đường thẳng x 1 y 1 z 1 x y 1 z  cắt I   ;d :   2 1 2 Viết phương trình đường thẳng  qua M  0; 1;  cắt hai đường thẳng d , d  A B cho tam giác IAB cân A Giải  x 1 y 1 z 1 x      Ta có hệ   y 1  x  y 1  z  z    1 2 nên đường thẳng d d  cắt I 1;1;1 Chọn B  0; 1;3 , ta tìm A cho tam giác IAB cân A Ta có A 1  a;1  2a;1  2a   d Vì AB song song với AB nên AB  VTCP đường thẳng  Ta có : AI  AB  a   2a    2a    a  1   2a  1   2a   2  2a    a   2 7  Khi AB    ;7;11 Chọn VTCP  7;14; 22  2  Vậy đường thẳng d : x y 1 z    14 22 Bài toán 10 Cho mặt cầu  x     y  1   z  5 2  x  3t    49 đường thẳng d :  y  5t  11  z  4t   Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu giao điểm d với mặt cầu Giải Mặt cầu (S) có tâm I  2;1; 5 , R  Thế tọa độ x, y, z vào phương trình mặt cầu :  3t  3   5t  12   14  4t   49  t  5t    t  t  2 Do đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm A  4;4; 3 , B 1; 1;1 - Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm A có VTPT IA   6;3;  nên có phương trình : x  y  z  30  - Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm B có VTPT IB   3; 2;6  nên có phương trình : 3x  y  z  11  Bài tốn 11 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng d: x  13 y  z   tiếp xúc với mặt cầu 1  S  : x2  y  z  2x  y  6z  67  Giải Tâm (S) I 1; 2;3 , bán kính R  12  22  32  67  Đường thẳng d qua M 13; 1;0  N 12;0;  Phương trình mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  13 A  B  D   A  B  4C (P) qua M , N nên :   12 A  4C  D   D  12 B  52C Do  P  :  B  4C  x  By  Cz  12B  52C  * Điều kiện (P) tiếp xúc với (S) : d  I ,  P   R  B  4C  B  3C  12 B  52C  B  4C   B C 2  B  5C  2B  8BC  17C 9  B2  2BC  8C   B  4C B  2C Thế vào (*) rút gọn C  , ta mặt phẳng : x  y  z  28  0,8x  y  z  100  Bài toán 12 Cho mặt cầu (S) có phương trình : x2  y  z  x  y  z  a) Tùy theo giá trị k , xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mp(P) với  P  : x  y  z  k  b) Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B ,C khác với góc tọa độ O Viết phương trình mp(ABC) c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm B Giải a) Mặt cầu có tâm I 1; 2;3 có bán kính R  12  22  32  14 Gọi d khoảng cách từ tâm I mặt cầu tới mp(P) d  1   k 12  12  12  k Do : Nếu k  14 hay k  42 (P) cắt mặt cầu theo đường trịn Nếu k  42 (P) tiếp xúc với mặt cầu Nếu k  42 (P) khơng cắt mặt cầu b) Trong phương trình mặt cầu (S) : Cho y  z   x  x   A  2;0;0  Cho z  x   y  y   B  0;4;0  Cho x  y   z  z   C  0;0;6  Vậy phương trình mp  ABC  : x y z   1 c) Mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu điểm B(0;4;0) phải qua B có vectơ pháp tuyến IB   1; 2; 3 Vậy   có phương trình :   x  0   y     z    hay x  y  3z   Bài tốn 13 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng  P  : x  y  2z   0, Q  : x  y  z   0,  R  : x  y  z   Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính tiếp xúc với (P), đồng thời cắt hai mặt phẳng (Q) (R) theo hai đường tròn có bán kính lớn Giải Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu (S) Vì mặt cầu (S) cắt hai mặt phẳng (Q) (R) theo hai đường trịn có bán kính lớn nên tâm I nằm hai mặt phẳng  2a  b  c   Từ ta có :  a  b  2c    2a  b  2c  10  Mặt khác d  I ,  P     2a  b  2c      2a  b  2c    2a  b  c    Giải hệ a  b  2c   ta I 1; 2;3 2a  b  2c  10    2a  b  c    Giải hệ a  b  2c   ta I  5; 32; 15 2a  b  2c    Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn toán  S  :  x  1  S   :  x  5   y     z  3  2   y  32    z  15  2 Bài tốn 14 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z   , đường thẳng d : x  y 1 z 1 đường thẳng  giao tuyến hai mặt   1 1 phẳng : x   0, y  z   Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d , đồng thời tiếp xúc với  (P) biết tâm mặt cầu có tọa độ nguyên Giải Mặt cầu có tâm I  2t  2; t  1; t  1  d , t nguyên Khi R  d  I ,  P    t 9  có VTCP u   0;1; 1 chọn M 1;1;3   Khi MI   2t  1; t  2; t   d  I;   u , MI  12t  24t  18    u Ta có : d  I ,  P    d  I ;    R  t 9 t   6t  12t   53t  90t    t   90 53  2 Chọn t  I  2; 1;1 có tọa độ nguyên , R  Vậy phương trình mặt cầu  x     y  1   z  1  2 Bài tốn 15 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;0;3 , đường thẳng d : x 1 y  z   1 mặt phẳng  P  : 3x  y  z   Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng (P) cho đường thẳng AB vng góc cắt đường thẳng d Giải Gọi M giao điểm d AB M 1  2m;3  m;2m  Ta có AM   2m;3  m; 2m  3 Đường thẳng d có VTCP ud   2; 1;  Vì AB vng góc với đường thẳng d nên AM ud   4m   m  4m    m  Do AM   2; 2; 1 Đường thẳng AB qua A nhận AM làm VTCP nên AB : x 1 y z    2 1 Khi B 1  2b;2b;3  b  Vì B thuộc (P) nên 1  2b    2b     b     b  1 Vậy B  1; 2;  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Trong không gian Oxyz a) Tìm hình chiếu H A  0;0;1 lên đường thẳng BC với B  1; 2;0  C  2;1; 1 b) Tìm điểm M  đối xứng M 1;3;5 qua đường thẳng    : x2 y3 z   1 1 HD-ĐS  14  a) Kết H  ;  ;    19 19 19  b)Kết M   5; 1;3 Bài tập 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm : a)M 1;1; 1 qua mặt phẳng  P  : 3x  y  z   b) A  5;1;3 qua mặt phẳng (BCD) với điểm B  5;1; 1 , C 1; 3;0  D  3; 6;  HD-ĐS  10  a)Kết M   ; ;    7 7 b)Kết A 1; 7; 5 Bài tập 3: Xét vị trí tương đối mặt cầu :  S  : x2  y  z  6x  y  4z   với  P  : x  y  z   HD-ĐS Kết khơng có điểm chung Bài tập 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y   đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng   :  2m  1 z  1  m  y  m      : mx   2m  1 z  4m   Xác định m để d song song với mặt phẳng (P) HD-ĐS Kết m   Bài tập 5: Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng : a)19 x  y  z   0, 42 x  y  3z  11  qua H  3; 4;1 b)2 x  z  0, x  y  z   vng góc với mặt phẳng  P  : x  y  z   HD-ĐS a)Kết 30 x  16 y  21z   b)Kết 3x  y  z  25  Bài tập 6: Lập phương trình mặt cầu qua A  0;0;3 qua đường tròn giao tuyến mặt phẳng  : x  y  z   với mặt cầu  S  : x2  y  z  x  y  z  40  HD-ĐS Kết x2  y  z  88x  90 y  47 z  138  Bài tập 7: Cho A  2;1;1 , B  4;5;5 Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng AB tiếp xúc mặt phẳng: x  y  z   0, x  y  2z   HD-ĐS Kết  x  1   y  3   z  3  2 Bài tập 8: Cho điểm I 1; 2; 2  mặt phẳng  P  : x  y  z   a)Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I cho giao (S) mặt phẳng (P) đường trịn có chu vi 8 x  t  b)Chứng minh mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng    :  y  5  2t  z  2  2t  HD-ĐS a)Kết  S  :  x  1   y     z    25 2 ...1  a) Cho y  z  giao với trục Ox A  ;0;0  2    Cho x  z  giao với trục Oy B  0;  ;0    1  Cho x  y  giao với trục Oz C  0;0;  5  b) Tứ diện cần... 5t  Giao điểm A thuộc d nên A   2t; 1  3t;1  5t  Thế x, y, z vào phương trình   , ta :   2t    1  3t   1  5t    Suy t  8 8 giao điểm A  ;0;  3 3 Bài tốn Tìm giao. ..  Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ  x  y  z    y  z    z     32 10  Vậy A  ; ;0   9  Giải tương tự giao điểm với mp(yOz) B  4;0; 2  mp(xOz) C  0;10;16  b)Tọa độ giao điểm