TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO Câu 1 Tìm hai số thực ,A B sao cho ( ) sin= +f x A x B , biết rằng ''''(1) 2f = và 2 0 ( ) 4f x dx = A 2 2 A B = − = − B 2 2 A B = = − C 2 2 A B = − =[.]
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO Câu Tìm hai số thực A, B cho f ( x) = A sin x + B , biết f '(1) = f ( x)dx = A = B B = − A = −2 A B = − A = −2 C B = Câu Giá trị a để đẳng thức a + (4 − 4a) x + x dx = xdx đẳng thức A B D 4a C dx (a 0) x + a2 Giá trị tích phân I = A B a Câu A = − D B = 2 4a C − 2 4a D − 4a Câu cos x dx + cos x Giá trị tích phân I = A B 2 C 4 D − Câu dt Tích phân sau có giá trị với giá trị tích phân cho 1+ t2 x Cho I = x x dt A − + t dt B + t 1 x x dt C + t dt + t D − Câu Giá trị tích phân I = ln(sin x) dx sin x A − ln + + B ln + − 3 D − ln + − C − ln − − 3 Câu Giá trị tích phân I = 1, x dx A B 3 C D − C − ln D ln −3 Câu dx dx −8 x − x Giá trị tích phân I = A ln B a Câu Biết I = x3 − ln x dx = + ln Giá trị của a là x A C B ln 2 D sin x dx Khẳng định sau sai ? (sin x + 2) Câu 10 Cho I1 = cos x 3sin x + 1dx , I = A I1 = 14 3 B I = ln + B I1 I 2 D I = ln − m Câu 11 Tất giá trị tham số m thỏa mãn ( x + 5) dx = B m = −1, m = −6 A m = 1, m = −6 C m = −1, m = D m = 1, m = Câu 12 Cho hàm số h( x) = sin x a cos x b cos x I = Tìm để tính h ( x ) = + 0 h( x)dx (2 + sin x) (2 + sin x)2 + sin x 3 B a = 4, b = −2; I = − − ln 3 D a = −2, b = 4; I = + ln A a = −4, b = 2; I = + ln 3 C a = 2, b = 4; I = − + ln Câu 13 Giá trị trung bình hàm số y = f ( x ) a; b , kí hiệu m ( f ) tính theo cơng thức m ( f ) = A b f ( x ) dx Giá trị trung bình hàm số f ( x ) = sin x 0; b − a a B C D dx 4 Câu 14 Cho ba tích phân I = , J = ( sin x − cos x ) dx K = ( x + 3x + 1) dx Tích phân 3x + 0 −1 có giá trị A K 21 ? B I C J a Câu 15 Với a , giá trị tích phân sau x A ln a−2 2a − B ln a−2 a −1 D J K dx dx là: − 3x + C ln a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + D − x3 dx = Khi đó giá trị 144m2 − bằng ( x + 2) Câu 16 Cho 3m − A −2 B − C Câu 17 Cho hàm số f liên tục đoạn [ a; b] có đạo hàm liên tục ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b) Lựa chọn khẳng định khẳng định sau b A f '( x).e b f ( x) dx = B f ( x) dx = −1 D a f '( x).e f ( x) dx = a Câu 18 dx = b b f '( x).e f ( x) a a C f '( x).e Kết phép tính tích phân I = dx có dạng I = a ln + b ln (a, b ) Khi x 3x + a + ab + 3b có giá trị 2 A B C D Câu 19 Với n , n , tích phân I = (1 − cos x ) sin xdx có giá trị n A 2n n −1 B C n +1 D n Câu 20 Với n , n , giá trị tích phân A − B n sin x dx n cos x + n sin x C 3 D − 3 2017 Câu 21 Giá trị tích phân − cos 2xdx B −4043 A 3034 C 3043 D 4034 (1 + sin x)1+ cos x ln 0 + cos x dx Câu 22 Giá trị tích phân B −2 ln − A 2ln −1 C ln − D −2ln −1 b Câu 23 Có giá trị b thỏa mãn (3x − 12 x + 11)dx = A B b Câu 24 Biết 6dx = A A 2 D a xe x dx = a Khi biểu thức b + a + 3a + 2a có giá trị B a Câu 25 Biết C C D b B dx 0 x + a = A , 0 2dx = B (với a, b ) Khi giá trị biểu thức 4aA + 2b B C 3 D 4 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Tìm hai số thực A, B cho f ( x) = A sin x + B , biết f '(1) = f ( x)dx = A = B B = − A = −2 A B = − A = −2 C B = A = − D B = Hướng dẫn giải f ( x) = A sin x + B f '( x) = A cos x f '(1) = A cos = A = − 2 0 A A f ( x)dx = ( A sin x + B)dx = − cos 2 + 2B + cos = B = 2 Câu Giá trị a để đẳng thức a + (4 − 4a) x + x dx = xdx đẳng thức A B C D Hướng dẫn giải 2 12 = a + (4 − 4a) x + x3 dx = a x + (2 − 2a) x + x a = a Câu Giá trị tích phân I = A 4a B dx (a 0) x + a2 2 4a C − 2 4a D − 4a Hướng dẫn giải x = t = Đặt x = a tan t; t ; − dx = a(1 + tan t )dt Đổi cận 2 2 x = a t = a (1 + tan t ) 14 dt = dt = Vậy I = 2 a tan t + a a0 4a Câu Giá trị tích phân I = A B cos x dx + cos x 2 C 4 Hướng dẫn giải x = t = Đặt t = sin x dt = cos xdx Đổi cận : x = t = D − 3 cos x dx = + cos x Vậy I = dt − 2t = dt −t t =0→u = 3 Đặt t = cos u dt = − sin udu Đổi cận : , suy 2 t = → u = I= dt = 2 −t sin udu = du = u = 2 − cos u ) ( 4 Câu dt Tích phân sau có giá trị với giá trị tích phân cho 1+ t2 x Cho I = x x dt A − + t dt B + t 1 x x dt C 1+ t dt 1+ t D − Hướng dẫn giải t u Đặt u = t = dt = − dt 1+ t x = x 1 du Đổi cận t = x u = ; t = u = x u 1 du 1 x x −du du dt dt u = = = 2 x 1+ t 1+ t 1+ u +1 u +1 x u − Câu Giá trị tích phân I = ln(sin x) dx sin x A − ln + + C − ln − − Hướng dẫn giải u = ln(sin x) du = cot xdx dx v = − cot x dv = sin x B ln + − D − ln + − 2 ln(s in x ) dx = − cot x ln(sin x ) − cot xdx sin x I = 6 2 = ln − cot x − x 2 = − ln + − 6 Câu Giá trị tích phân I = 1, x dx 3 A B D − C Hướng dẫn giải Xét hiệu số − x đoạn [0; 2] để tìm 1, x 2 x3 + x1 = Vậy I = 1, x dx = x dx + dx = 3 0 2 −3 Câu dx dx −8 x − x Giá trị tích phân I = A ln C − ln B D ln Hướng dẫn giải x = −8 t = x = −3 t = Đặt t = − x x = − t dx = −2tdt Đổi cận −3 dx −2tdt tdt dt t +1 Vậy I = dx = = 2 = 2 = ln = ln 2 1− t t −1 −8 x − x (1 − t ) t (1 − t ) t a Câu Biết I = 3 x3 − ln x dx = + ln Giá trị a x A C B ln D Hướng dẫn giải x − ln x ln x I = dx = + ln = xdx − 2 dx = + ln 2 x x 1 a a a a2 1 = − − ln a + − 1 = + ln a = a 2 a HD casio: Nhập Câu 10 x − ln x dx − − ln = nên a = x 2 sin x dx Khẳng định sau sai ? (sin x + 2) Cho I1 = cos x 3sin x + 1dx , I = A I1 = 14 B I1 I 3 B I = ln + 2 D I = ln − Hướng dẫn giải I1 = cos x 3sin x + 1dx = t 14 dt = sin x 1 I2 = dx = 2 − dt = ln − (sin x + 2) t t 2 m Câu 11 Tất giá trị tham số m thỏa mãn ( x + 5) dx = B m = −1, m = −6 A m = 1, m = −6 C m = −1, m = D m = 1, m = Hướng dẫn giải m ( x + 5) dx = ( x m + x) = m + 5m − = m = 1, m = −6 0 Hướng dẫn casio: Thay m = m = −6 vào thấy thỏa mãn Câu 12 Cho hàm số h( x) = a cos x sin x b cos x I = Tìm để tính h ( x ) = + 0 h( x)dx (2 + sin x)2 + sin x (2 + sin x) 2 3 B a = 4, b = −2; I = − − ln 3 D a = −2, b = 4; I = + ln A a = −4, b = 2; I = + ln C a = 2, b = 4; I = − + ln 3 3 Hướng dẫn giải Sử dụng đồng thức, ta thấy b a = −4 a cos x b cos x a cos x + b cos x(2 + sin x) sin x =1 h( x ) = + = = b=2 (2 + sin x) 2 + sin x (2 + sin x) (2 + sin x) a + 2b = −4 cos x cos x 2 + + ln + sin x Vậy h( x)dx = dx = − (2 + sin x) + sin x + sin x 0 0 2 = − + ln + − ln = + ln 3 Câu 13 Giá trị trung bình hàm số y = f ( x ) a; b , kí hiệu m ( f ) tính theo cơng thức m ( f ) = A b f ( x ) dx Giá trị trung bình hàm số f ( x ) = sin x 0; b − a a B C D Hướng dẫn giải m( f ) = sin xdx = −0 dx 4 Câu 14 Cho ba tích phân I = , J = ( sin x − cos x ) dx K = ( x + 3x + 1) dx Tích phân 3x + 0 −1 có giá trị 21 ? A K B I C J D J K Hướng dẫn giải 1 dx 1 I = = ln 3x + = ln 3x + 0 J = ( sin x − cos x ) dx = − ( cos x − sin x ) dx = 4 0 K= (x + 3x + 1) dx = −1 21 a Câu 15 Với a , giá trị tích phân sau x A ln a−2 2a − 1 B ln a−2 a −1 dx dx là: − 3x + C ln a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + D − Hướng dẫn giải dx x−2 a−2 0 x2 − 3x + = 0 x − − x − dx = ln x − = ln a − a a a x3 dx = Khi giá trị 144m2 − ( x + 2) Câu 16 Cho 3m − A −2 B − C Hướng dẫn giải d ( x + 2) 1 1 3.m − = 3.m + = 3m + − = m = ( x + 2) ( x + 2) 12 1 −2 Vậy 144m − = 144 −1 = 12 2 Câu 17 Cho hàm số f liên tục đoạn [ a; b] có đạo hàm liên tục ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b) Lựa chọn khẳng định khẳng định sau b A f '( x).e b f ( x) dx = B dx = b b f '( x).e f ( x) a a C f '( x).e f ( x) dx = −1 D a f '( x).e f ( x) dx = a Hướng dẫn giải b b a a f ( x) f ( x) f ( x) f (b ) f (a) e f '( x)dx = e d ( f ( x)) = e = e − e = b a Câu 18 Kết phép tính tích phân I = dx có dạng I = a ln + b ln (a, b ) Khi x 3x + a + ab + 3b có giá trị 2 A B C D Hướng dẫn giải dx 1 = 2 dt = − Ta có I = dt = 2ln − ln , t −1 t −1 t + x 3x + 2 4 suy a = 2, b = −1 Vậy a + ab + 3b = − + = Câu 19 Với n , n , tích phân I = (1 − cos x ) sin xdx có giá trị n A 2n B n −1 C n +1 D n Hướng dẫn giải t n +1 I = (1 − cos x ) sin xdx = t dt = = n +1 n +1 n n Câu 20 Với n , n , giá trị tích phân A − B Hướng dẫn giải Đặt t = − x dx = − dt n n sin x dx cos x + n sin x C 3 D − 3 2 f (sin x)dx = − f sin − t dt = f (cos t )dt = f (cos x)dx 0 sin x dx = I = dx I = n n cos x + sin x n 2017 Câu 21 Giá trị tích phân − cos 2xdx B −4043 A 3034 C 3043 D 4034 Hướng dẫn giải Do hàm số f ( x) = − cos x hàm liên tục tuần hồn với chu kì T = nên ta có T 2T 3T nT T 2T ( n −1)T f ( x)dx = f ( x)dx = f ( x)dx = = nT T 2T nT 0 T ( n −1)T f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx + + 2017 f ( x)dx T f ( x)dx = n f ( x)dx 0 − cos xdx = 2017 − cos xdx = 2017 sin xdx = 4034 (1 + sin x)1+ cos x Câu 22 Giá trị tích phân ln dx + cos x B −2 ln − A 2ln −1 C ln − D −2ln −1 Hướng dẫn giải 2 0 1+ cos x ln(1 + sin x) − ln(1 + cos x) dx = (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ln(1 + cos x)dx Đặt x = − t dx = −dt Đổi cận x = t = ;x = t =0 I = ln (1 + cos x )dx = − ln 1 + cos − t dt = ln (1 + sin t )dt = ln(1 + sin x)dx 0 0 2 2 0 I = (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ln(1 + sin x)dx = cos x ln(1 + sin x)dx = ln − b Câu 23 Có giá trị b thỏa mãn (3x − 12 x + 11)dx = A Hướng dẫn giải B C D b (3x − 12 x + 11)dx = ( x − x + 11x ) b 0 b Câu 24 Biết 6dx = A b = = b − 6b + 11b − = b = b = 3 a xe dx = a Khi biểu thức b x + a + 3a + 2a có giá trị B C D Hướng dẫn giải b +Ta có 6dx = b = a +Tính xe x dx u = x du = dx Đặt Khi đó, x x dv = e dx v = e a x x xe dx = xe a a − e x dx = e a − e a + = a a = 0 Vậy b2 + a3 + 3a + 2a = b a dx B 0 x + a = A , 0 2dx = B (với a, b ) Khi giá trị biểu thức 4aA + 2b Câu 25 Biết A 2 D 4 C 3 B Hướng dẫn giải a +Tính x dx + a2 Đặt t = a tan x; a ; − dx = a(1 + tan t )dt 2 2 Đổi cận : x = t = 0; x = a t = b +Tính: 2dx = 2b , suy B = 2b Vậy a (1 + tan t ) 14 dt = 0 a tan t + a a 0 dt = 4a