Dang bai tap yeu to doi xung cua do thi ham so zvitd

YẾU TỐ ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa về tâm đối xứng, trục đối xứng Hàm số chẵn x D x D    và    f x f x  Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung H[.]

YẾU TỐ ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tâm đối xứng, trục đối xứng - Hàm số chẵn: x  D   x  D f   x   f  x  Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Hàm số lẻ: x  D   x  D f   x    f  x  Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O uur - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI  x  X  x0 Oxy    IXY  với I  x ; y  :  y  Y  y 0   - Điểm A đối xứng B qua I I trung điểm đoạn AB - Điểm A đối xứng B qua đường thẳng d d trung trực đoạn AB - Điều kiện  C  nhận I  x0 ; y0  tâm đối xứng y0  f  x0  x   f  x0  x  , x0  x, x0  x  D chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện  C  nhận d : x  a làm trục đối xứng; f  a  x   f  a  x  , a  x, a  x  D, chuyển trục phép tịnh tiến đến S  a,0  hàm số chẵn Chú ý: 1) Hàm bậc hai có trục đối xứng đường thẳng qua cực trị vng góc với Ox : x   b 2a 2) Hàm bậc ba có tâm đối xứng điểm uốn 3) Hàm hữu tỉ 1/1, 2/1 có tâm đối xứng giao điểm tiệm cận Có trục đối xứng không song song với Oy phân giác góc hợp tiệm cận 4) Ta dự đốn yếu tố đối xứng qua tập xác định, bảng biến thiên, dạng đồ thị, nhóm số hạng II Ví dụ minh họa Bài tốn Chứng minh đồ thị hàm số sau có trục đối xứng: b) y  x  x  x a) y  x  x  Giải  7   a) y '  x  1, y '   x  Đồ thị có điểm cực trị I  1;   uur  x  X  Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI :  y  Y   Thế vào hàm số: Y   1 X  1   X  1   Y = X  2 Vì Y  F  X   X hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung IY có phương trình: x  b) y '  x  12 x  8x  x  x  3x   y '   x  2 x  1 x  uur  x  X  Xét điểm I  1; 1 Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI :  y  Y  Thế vào hàm số: Y    X  1   X  1   X  1  Y  X  X hàm số chẵn  đpcm Bài toán Chứng minh đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng: a) y  3x  x 1 b) y  3x  5x  x 2 Giải a) Đồ thị có TCĐ: x  1, TCN: y  nên có giao điểm I  1;3  uur  x  X  Chuyển hệ trục phép tịnh tiến vectơ OI :  y  Y  Thế vào hàm số: Y   Vì Y  F  X   b) Ta có y  I  2;5   X  1   X  1    Y  5 X 5 hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc I (1;3) X 3x  5x   3x   nên có TGĐ: x  2, TCX: y  3x  có giao điểm x 2 x 2 uur  x  X  Chuyển hệ trục phép tịnh tiến vectơ OI :  y  Y  Thế vào hàm số: Y    X      Y  3X     X  2  hàm số lẻ  đpcm X Bài tốn Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y  x2  x    đối xứng qua điểm x 1  5 I  0;   2 Giải Ta có y  x   Gọi E  x1; y1  , F  x2 ; y2  theo đề bài: x 1  x1  x2   x1  x2    x  x    4   x1  x2   x   x    x1 x2  9  y1  y2   Do x1   x2 , x12  9 nên E  3; 2  F  3; 7 Bài tốn Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  x2  2x  đối xứng qua đường x 1 thẳng d : y  x  Giải Xét đường thẳng d ' vng góc với d d ' : y   x  b PT HĐGĐ d '  C  : x2  2x    x  b, x  x 1  x   b  3 x   b  Điều kiện    b  3    b   b2  2b   Hoành độ giao điểm I d d ' : x    x  b  x1  I trung điểm đoạn AB: x1     Vậy A   b3 x A  xB b3 b3    b  (chọn) 2 14 14   14 14  ;6  ;6  ; B    2   2  Bài tốn Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2m x  m có hai điểm phân biệt đối xứng x 1 qua gốc O Giải Hai điểm thuộc đồ thị đối xứng qua gốc O có toạ độ  x; f  x     x; f   x   Xét phương trình f ( x)   f ( x), x  x  m x  m x  2m x  m  , x  0, x  1 x 1 x 1  2m  x  m , x  0, x  11   Điều kiện cần tìm phương trình (1) có nghiệm phân biệt: 2m2   0, m2  0, m2  2m2  1 1 m  , m  1  m2  , m2  0, m2   m   2 Bài tốn Tìm m để đường thẳng y   x  cắt đồ thị hàm số y  x2   m  2 x  m x 1 hai điểm đối xứng qua đường thẳng y  x Giải Điều kiện phương trình hồnh độ giao điểm (PTHĐGĐ) có nghiệm phân biệt khác 1: x2   m  2 x  m x 1   x   x   m   x   m  1  2  12   m     m   m    ĐK:  2     m    m       m  11  104 hay m  11  104 Gọi x1 , x2 hoành độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 nghiệm (1) theo định lí Viet: x1  x2   m7 Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y  x vng góc với đường thẳng y   x  nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2   x1   x1  x2  4  m    m  (thoả mãn) Bài toán Cho hàm số y  x  3x  mx (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng  d  : x  2y   Giải Ta có y '  3x  x  m Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu M1  x1; y1  , M2  x2 ; y2  y '  có hai nghiệm phân biệt:  '   3m   m  1 1 2    Ta có: f  x    x   f '  x    m   x  m 3 3    x1  x2    x1 , x2 hai nghiệm y '    m  x1 x2   2  2  1 y1  f  x1    m   x1  m, y2  f  x2    m   x2  m 3 3  3  r Đường thẳng  d  : x  2y   có VTCP v   2;1 Gọi I  x0 ; y0  trung điểm M1 , M2   x0   x1  x2     I 1; m   y   y  y   m   2 Do M1 , M2 đối xứng qua  d  nên:  I   d  1   m      uuuuuu r r r    M1 M2 v  2  x2  x1   y2  y1   Từ giải m   ... vuông góc với đường thẳng y   x  nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2   x1   x1  x2  4  m    m  (thoả mãn) Bài to? ?n Cho hàm số y  x  3x  mx (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại,... x2   x1  x2    x  x    4   x1  x2   x   x    x1 x2  9  y1  y2   Do x1   x2 , x12  9 nên E  3; 2  F  3; 7 Bài tốn Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số... có hai điểm phân biệt đối xứng x 1 qua gốc O Giải Hai điểm thuộc đồ thị đối xứng qua gốc O có to? ?? độ  x; f  x     x; f   x   Xét phương trình f ( x)   f ( x), x  x  m x  m x