Dang bai tap tiep tuyen va tiep xuc

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC I Phương pháp giải Tiếp tuyến Tiếp tuyến tại điểm   0 0 ;M x y của đồ thị     C y f x    0 0 0 ''''y y f x x x   hay    0 0 0 ''''y f x x x y   Phương tr[.]

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC I Phương pháp giải Tiếp tuyến: Tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  đồ thị  C  : y  f  x  y  y0  f '  x0  x  x0  hay y  f '  x0  x  x0   y0 Phương trình có yếu tố x0 , y0 xà hệ số góc: f '  x0   k  tan  x , t  Tiếp xúc: Cho đồ thị y  f  x  y  g  x   f x  gx Điều kiện tiếp xúc hệ phương trình  có nghiệm  f '  x   g '  x  II Ví dụ minh họa Bài tốn Cho hàm số y  x  3mx   m  1 x  (1) Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh để x  1 qua điểm A 1;2  Giải Tập xác định D  Ta có y '  3x  6mx  m  Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ x  1, suy M  1;2m  1 y '  1   5m Tiếp tuyến d đồ thị hàm số cho M  1;2m  1 có phương trình là: y    5m  x  1  2m  Tiếp tuyến d qua A 1;2     5m   2m   m  3x  Tính diện tích tam giác tạo trục toạ độ x 1 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M  2;5 Bài toán Cho hàm số y  Giải Tập xác định: D  \ 1 , y '   x  1 Phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số M là: y  y '  2  x     y   x     y  x     Đường thẳng d cắt trục hoành A   ;  cắt trục tung B  0;9   Diện tích tam giác OAB S  OA.OB    81 1 x2 có đồ thị  C  Tìm toạ độ điểm M đồ thị  C  x cho tiếp tuyến đồ thị  C  điểm M cắt hai tiệm cận  C  hai điểm A, B Bài toán Cho hàm số: y  độ dài AB ngắn Giải Ta có y   x2  x  x x Tâp xác đinh D  \ 0 , TCĐ: x  0, TCX: y   x Phương trình tiếp tuyến M0  x0 , y0       :  1  x1   x  x   x   0  x0  Toạ độ giao điểm    với TCĐ, TCX: A  0;  AB  8x02  2  ; B  x0 ; 2 x0  x0  4 1    Dấu = 8x02   x04   x0   x0 x0  1     1  Vậy điểm cần tìm: M  ;    ; M   ;    2 2  2x  Tìm điểm đường thẳng d : x  mà từ vẽ x 2 tiếp tuyến đến đồ thị  C  Bài toán Cho hàm số y  Giải Tập xác định D  \ 2 Ta có y '  5  x  2 Gọi M  3; b   d Phương trình tiếp tuyến qua M hệ số góc k : y  k  x  3  b  2x   x   k  x  3  b  f  x   g  x     5 Ta tìm điều kiện hệ sau có nghiệm x:  k  f '  x   g '  x     x  2  2x  5  x  3  b   b   x   2b  1 x  4b  17  0, x  2  x   x  2 Do Xét b  hệ có nghiệm x  (chọn) Xét b  điều kiện  '  0, y     b  Vậy điểm cần tìm M  3; b  với b  Bài toán Cho hàm số y  x  3x  Tìm a để tiếp tuyến  C  x  a cắt  C  điểm khác Giải Tập xác định: D   y '  x3  x  x x   Phương trình tiếp tuyến x  a a4 5 y  2a  6a  x  a    3a2   2a a2  x  a4  3a2  2 2     Phương trình hồnh độ giao điểm với đồ thị: x4 5  x   2a a2  x  a  3a2  2 2 2 x  x  4a a  x  3a  6a     x  a  x 2     2ax  3a2    '  a2  3a2     3a Điều kiện cần tìm:    g  a    a  1 Bài toán Chứng minh đồ thị  C  : y  x  x tiêp xúc với đồ thị  P  : y  x  x  Giải 2  f x  gx  x  x  x  8x  Hai đồ thị  C   P  tiếp xúc hệ sau có nghiệm:    f '  x   g '  x  3x  8x  x   x  hay x   x  x  x       x2 3 x  10 x    x  hay x   Vậy đồ thị tiếp xúc điểm A  2; 8 Bài toán Chứng minh hai đồ thị: f  x   x2 3x tiếp xúc với Viết  x g  x   2 x2 phương trình tiếp tuyến chung chúng tiếp điểm Giải Hoành độ tiếp điểm hai đường cong nghiệm hệ phương trình:  x2 3x  x2 3x  x  1   x  x2 x2 2 2    x  x  '   3x  '  x   2    x  2  2   x     x  x  x    Ta có (1)   x  3    x  5  x  5x   x2 Suy hệ phương trình có nghiệm x  Vậy hai đường cong tiếp xúc với gốc toạ độ O : y '    Phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm chung y  x Bài toán Cho hàm số: y  2x  Tìm điểm M  C  cho tiếp tuyến  C  x 2 M cắt hai đường tiệm cận A, B thỏa mãn AB  Giải Tâp xác định D  \ 2 , y '  2  x  2 Phương trình tiếp tuyến M  x0 ; y0   C  , x0  d:y 2 x  2 x  x  x0  x0   2x  Giao điểm d với tiệm cận đứng x  A  2;   x0   Giao điểm d với tiệm cận ngang y  B  x0  2;2   x0  AB   x0       2 x0    Ta có AB    x0    x x  2  2  2 x  2 5  x     x0  1, x0    x0     x0           x0     x0  0, x0  4 Vậy M  0;1 , M 1;  , M  3;  , M  4;3  Bài toán Cho hàm số: y  x   2m  1 x   m   x  có đồ thị Cm  Tìm m cho tiếp tuyến  Cm  giao điểm A với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải Tập xác định D  , y '  x   2m  1 x  m  y '  0  m  1  Tiếp tuyến d đồ thị A  0;  d : y   m   x   3  1  ;0 Đường thẳng d cắt Ox B   3m   Diện tích tam giác tạo d với hai trục tọa độ 1 1 S  OA.OB   2 3m  18 m   13 m  1 16   m2    Ta có 18 m   m   11  Vậy giá trị m m   13 11 ;m   16