Dang bai tap bieu dien va tap hop diem cua so phuc

BIỂU DIỄN VÀ TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Biểu diễn số phức  Số phức  ,z x yi x y   được biểu diễn bởi điểm M(x;y) hay bởi vectơ  ;u x y trong mặt phẳng toạ độ Oxy gọi là mặt ph[.]

BIỂU DIỄN VÀ TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Biểu diễn số phức:  Số phức z  x  yi  x , y   biểu diễn điểm M(x;y) hay vectơ u  x; y  mặt phẳng toạ độ Oxy gọi mặt phẳng phức Trục thực trục hoành trục ảo trục tung  Nếu z biểu diễn u z biểu diễn u z  z biểu diễn u  u z  z biểu diễn u  u  Nếu z, z biểu diễn M , M  z  z biểu diễn OM  OM, z  z biểu diễn OM  OM   M M Nếu k số thực, z biểu diễn u kz biểu diễn ku Nếu k số thực, z biểu diễn điểm M kz biểu diễn kOM Tập điểm biểu diễn số phức: Gọi điểm M(x, y) biểu diễn số phức z  x  yi với x, y  tìm quan hệ hồnh độ x tung độ y Các dạng phương trình: Ax  By  C  0, A2  B2  : đường thẳng y  ax  bx  c : parabol đại số  x  a   y  b  R : đường trịn tâm I(a,b), bán kính R  x  a   y  b  R : hình trịn tâm I(a, b), bán kính R 2 , dựa vào điều kiện đề để x y2   1, a  b  : phương trình tắc elip a2 b2 x2 y2   :phương trình tắc hypebol a2 b2 y  px : phương trình tắc parabol Chú ý tập điểm M MI  R : đường trịn tâm I bán kính R MI  MJ :trung trực đoạn IJ MF1  MF2  2a, F1F2  2c  2a : elip MF1  MF2  2a, F1F2  2c  2a : hypebol II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng Oxy z   3i z  4  i Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm M  2;3 biểu diễn số phức z   3i Điểm M   4; 1 diễn số phức z  4  i Bài toán 2: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng z  4 z  5i Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm M  4;  biểu diễn số phức z  4 Điểm M   0;5  diễn số phức z  5i Bài toán 3: Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: a) z  b) z  Giải a) Đặt: z  x  yi với x, y  M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Theo giả thiết: z   x  y2   x  y2  Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O bán kính R = b) Đặt: z  x  yi với x, y  M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Theo giả thiết: z   x  y2   x  y2  Vậy tập hợp điểm M hình trịn tâm O, bán kính R = Bài tốn 4: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z   b) z  z   4i Giải a) M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Giả sử: z  x  yi với x, y  phức Ta có: z    x   y  1 i   x   y  1   x   y  1  2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R=1 b) Giả sử: z  x  yi với x, y  M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có z  z   4i  x  yi  x  yi   4i  x  yi  x     y  i  x  y   x  3    y  2  x  y2  x  x   16  8y  y2  x  8y  25  Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình x  8y  25  Bài toán 5: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả điều kiện: a) z2 số ảo b) z   1  i  z Giải a) Giả sử: z  x  yi với x, y  phẳng phức Ta có z2   x  yi   x  y  xyi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt Do đó: z2 số ảo  x  y    x  y  x  y    x  y  hay x  y  Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai đường thẳng có phương trình:  x  y  0;x  y  b) Viết z  x  yi với x, y  Ta có z  i  1  i  z  x  yi  i  1  i  x  yi   x   y  1 i  x  y   x  y  i  x   y  1   x  y    x  y  2  x  y2  2y   x  xy  y  x  xy  y  x  y2  2y   Vậy tập hợp điểm M  x; y  ,biểu diễn số phức z đường trịn tâm I  0; 1 bán kính R  Bài toán 6: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) zi 1 zi b) 1  i  z  1  i  z  z  Giải a) Nếu z  x  yi  x , y   , M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có zi   z  i  z  i  x   y  1 i  x   y  1 i zi  x   y  1  x   y  1  y   z số thực 2 Vậy tập hợp điểm M trục thực Ox b) Giả sử M  x; y  biểu diễn z  x  yi  x , y   Ta có z  z  x; z  z  yi   Do 1  i  z  1  i  z  z   z  z  z  z i  z   x  2y  z   x  y   x  1  y2 x  y  x  y     2  x  y  xy  x  x   y  y  1  , x  2x  Vì x  y nên x  1  2x2  2x   0 x0 2x 2x Vậy tập hợp điểm M đồ thị hàm số y  1  với x  2x Bài toán 7: Tìm tập hợp điểm M mặt.phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: a) z  i  z  z  2i  b) z2  z 4 Giảỉ a) Gọi: z  x  yi với x, y  M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có: z   z  z  2i  x   y  1 i   y  1 i  x   y  1   y  1  y  2 x2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z parabol y  b) Gọi z  x  yi với x, y  x2 M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức  Ta có: z2  z   xyi   xy   xy  xy  1  y  1 y   x x Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai hypebol y  1 y   x x Bài tốn 8: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức w  z   i , biết 2z  i  3z.z  Giải Đặt w  x  yi, z  a  bi  x , y, a, b   Ta có w  2z   i  x  yi   2a  b    2b  1 i  a  x  2a      y  2b  b   x 3 y 1 2z  i  3z.z  2a   2b  1 i   a2  b2   2     2a    2b  1  a2  b2   a2  b2  4b  2 2 2  x    y 1   a   b  2         x  3   y  5  16       2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn tâm I(3;-5) có bán kính R = 1  i  z   Bài toán 9: Cho số phức z thỏa mãn 1 i a) Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z b) Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện cho, tìm số phức có mơđun lớn Giải a) Đặt z  x  yi  x , y  Ta có: 1  i  z   1 i   i  x  yi       y   xi   x   y    Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I  0;2 , R      b) Vì tâm I  0;2  thuộc trục tung nên Oy cắt (C) A 0;2  B 0;2  Do đó: z  OM  OB   z  OA       Vì z lớn z   i z nhỏ z   i Cách khác: x   y   2  x   y2 3    1  3   Đặt x  sin  , y2  cos  x  sin  , y  cos  z  x  y2  3sin2    cos     cos   Bài toán 10: Cho số phức z thỏa mãn 1  z  i  z số ảo a) Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z b) Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện cho, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ T  z  i Giải a) Đặt z  x  yi  x , y     Ta có: 1  z  i  z   1  x   yi   x   y  1 i     1  x  x  y  y  1  1  x  y  1  yx i   nên 1  z  i  z số ảo  1  x  x  y  y  1  1 1 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I  ;  , bán kính 2  R b)  2 Gọi A  0;1 T  z  i  AM Đường tròn (C) cắt Oy A  0;1 cắt Ox B 1;0  , AB đường kính nên T  z  i  AM bé M  A  z  i T  z  i  AM lớn M  B  z  2  1  1 Cách khác:  x     y    2  2  2       2x     2y   1 2  2    2x  Đặt   2y    x    y   cos    sin  2 sin   cos   Nên T  z  i  x   y  1 i  x   y  1 2  1  1  sin      cos    2  2   1 2  sin   cos    sin    4      Bài toán 11: Gọi M , M  theo thứ tự điểm mặt phẳng phức Oxy, biểu diễn số z  z  1 i z , Chứng minh tam giác OMM  vuông cân Giải Gọi M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi với x, y  , z  Ta có 1 i 1 Ta có: z  z  1  i  x  yi    x  y   x  y  i  2 xy xy ; Nên điểm biểu diễn số phức z M      Ta có khoảng cách: OM  x  y MO   x  y   x  y Và MM   2   x  y    x  y 2  x2  y2 x2  y2 Do OM   MM ; OM 2  MM 2  OM Vậy tam giác OMM tam giác vuông cân đỉnh M  Cách khác: Ta có OM  z , OM   MM   OM   OM  1 i z z 2 1  i z z 2 Do z  , suy tam giác OMM tam giác vng cân đỉnh M  Bài tốn 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A điểm biểu diễn số phức z nghiệm phương trình z2  6z  45  điểm B biểu diễn số phức z   tam giác OAB vuông Giải 2i z Chứng minh z2  6z  45  có =9  45  36  36i2 nên có nghiệm z   6i z   6i Với z   6i , z   2i 3  6i    2i Suy A  3;6  , B  4; 2  Do OA   3;6  , OB   4; 2   OA.OB  nên tam giác OAB vuông O Với z   6i z   2i 3  6i   4  2i Suy A  3; 6  , B  4; 2  Do OA   3; 6  , OB   4; 2   OA.OB  nên tam giác OAB vuông O Vậy trường hợp ta có điều phải chứng minh Bài toán 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A điểm biểu diễn số phức z nghiệm phương trình z2  2z   điểm B biểu diễn số phức z  1 i z Tính diện tích tam giác OAB Giải  z   2i Ta có z2  2z     z  1  4  4i    z   2i Với z   2i , ta có z   3  3 1 i  2i     i Suy A 1;2  , B   ;   2  2  1 Ta có: OB    ;  , AB    ;    2  2  OB AB  nên tam giác OAB vuông B 1 9 SOAB  OB.AB     2 4 4 Với z   2i , ta có z  3 1 3 1 1 i 1  2i    i Suy A 1; 2  , B  ;    2 2 2 1 3 Ta có: OB   ;   , AB   ;  2 2 2 2  OB AB  nên tam giác OAB vuông B 1 1 5 SOAB  OB.OA     Vậy SOAB  2 4 4 4 ... có: OB   ;   , AB   ;  2 2 2 2  OB AB  nên tam giác OAB vuông B 1 1 5 SOAB  OB.OA     Vậy SOAB  2 4 4 4 ...  2  1 Ta có: OB    ;  , AB    ;    2  2  OB AB  nên tam giác OAB vuông B 1 9 SOAB  OB.AB     2 4 4 Với z   2i , ta có z  3 1 3 1 1 i 1  2i    i Suy A 1;