BIỂU DIỄN VÀ TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Biểu diễn số phức Số phức ,z x yi x y được biểu diễn bởi điểm M(x;y) hay bởi vectơ ;u x y trong mặt phẳng toạ độ Oxy gọi là mặt ph[.]
BIỂU DIỄN VÀ TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Biểu diễn số phức: Số phức z x yi x , y biểu diễn điểm M(x;y) hay vectơ u x; y mặt phẳng toạ độ Oxy gọi mặt phẳng phức Trục thực trục hoành trục ảo trục tung Nếu z biểu diễn u z biểu diễn u z z biểu diễn u u z z biểu diễn u u Nếu z, z biểu diễn M , M z z biểu diễn OM OM, z z biểu diễn OM OM M M Nếu k số thực, z biểu diễn u kz biểu diễn ku Nếu k số thực, z biểu diễn điểm M kz biểu diễn kOM Tập điểm biểu diễn số phức: Gọi điểm M(x, y) biểu diễn số phức z x yi với x, y tìm quan hệ hồnh độ x tung độ y Các dạng phương trình: Ax By C 0, A2 B2 : đường thẳng y ax bx c : parabol đại số x a y b R : đường trịn tâm I(a,b), bán kính R x a y b R : hình trịn tâm I(a, b), bán kính R 2 , dựa vào điều kiện đề để x y2 1, a b : phương trình tắc elip a2 b2 x2 y2 :phương trình tắc hypebol a2 b2 y px : phương trình tắc parabol Chú ý tập điểm M MI R : đường trịn tâm I bán kính R MI MJ :trung trực đoạn IJ MF1 MF2 2a, F1F2 2c 2a : elip MF1 MF2 2a, F1F2 2c 2a : hypebol II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng Oxy z 3i z 4 i Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm M 2;3 biểu diễn số phức z 3i Điểm M 4; 1 diễn số phức z 4 i Bài toán 2: Biểu diễn số phức sau mặt phẳng z 4 z 5i Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm M 4; biểu diễn số phức z 4 Điểm M 0;5 diễn số phức z 5i Bài toán 3: Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: a) z b) z Giải a) Đặt: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Theo giả thiết: z x y2 x y2 Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O bán kính R = b) Đặt: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Theo giả thiết: z x y2 x y2 Vậy tập hợp điểm M hình trịn tâm O, bán kính R = Bài tốn 4: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z b) z z 4i Giải a) M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Giả sử: z x yi với x, y phức Ta có: z x y 1 i x y 1 x y 1 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R=1 b) Giả sử: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có z z 4i x yi x yi 4i x yi x y i x y x 3 y 2 x y2 x x 16 8y y2 x 8y 25 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình x 8y 25 Bài toán 5: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả điều kiện: a) z2 số ảo b) z 1 i z Giải a) Giả sử: z x yi với x, y phẳng phức Ta có z2 x yi x y xyi M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt Do đó: z2 số ảo x y x y x y x y hay x y Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai đường thẳng có phương trình: x y 0;x y b) Viết z x yi với x, y Ta có z i 1 i z x yi i 1 i x yi x y 1 i x y x y i x y 1 x y x y 2 x y2 2y x xy y x xy y x y2 2y Vậy tập hợp điểm M x; y ,biểu diễn số phức z đường trịn tâm I 0; 1 bán kính R Bài toán 6: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) zi 1 zi b) 1 i z 1 i z z Giải a) Nếu z x yi x , y , M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có zi z i z i x y 1 i x y 1 i zi x y 1 x y 1 y z số thực 2 Vậy tập hợp điểm M trục thực Ox b) Giả sử M x; y biểu diễn z x yi x , y Ta có z z x; z z yi Do 1 i z 1 i z z z z z z i z x 2y z x y x 1 y2 x y x y 2 x y xy x x y y 1 , x 2x Vì x y nên x 1 2x2 2x 0 x0 2x 2x Vậy tập hợp điểm M đồ thị hàm số y 1 với x 2x Bài toán 7: Tìm tập hợp điểm M mặt.phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: a) z i z z 2i b) z2 z 4 Giảỉ a) Gọi: z x yi với x, y M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có: z z z 2i x y 1 i y 1 i x y 1 y 1 y 2 x2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z parabol y b) Gọi z x yi với x, y x2 M x; y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có: z2 z xyi xy xy xy 1 y 1 y x x Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai hypebol y 1 y x x Bài tốn 8: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức w z i , biết 2z i 3z.z Giải Đặt w x yi, z a bi x , y, a, b Ta có w 2z i x yi 2a b 2b 1 i a x 2a y 2b b x 3 y 1 2z i 3z.z 2a 2b 1 i a2 b2 2 2a 2b 1 a2 b2 a2 b2 4b 2 2 2 x y 1 a b 2 x 3 y 5 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn tâm I(3;-5) có bán kính R = 1 i z Bài toán 9: Cho số phức z thỏa mãn 1 i a) Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z b) Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện cho, tìm số phức có mơđun lớn Giải a) Đặt z x yi x , y Ta có: 1 i z 1 i i x yi y xi x y Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I 0;2 , R b) Vì tâm I 0;2 thuộc trục tung nên Oy cắt (C) A 0;2 B 0;2 Do đó: z OM OB z OA Vì z lớn z i z nhỏ z i Cách khác: x y 2 x y2 3 1 3 Đặt x sin , y2 cos x sin , y cos z x y2 3sin2 cos cos Bài toán 10: Cho số phức z thỏa mãn 1 z i z số ảo a) Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z b) Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện cho, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ T z i Giải a) Đặt z x yi x , y Ta có: 1 z i z 1 x yi x y 1 i 1 x x y y 1 1 x y 1 yx i nên 1 z i z số ảo 1 x x y y 1 1 1 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I ; , bán kính 2 R b) 2 Gọi A 0;1 T z i AM Đường tròn (C) cắt Oy A 0;1 cắt Ox B 1;0 , AB đường kính nên T z i AM bé M A z i T z i AM lớn M B z 2 1 1 Cách khác: x y 2 2 2 2x 2y 1 2 2 2x Đặt 2y x y cos sin 2 sin cos Nên T z i x y 1 i x y 1 2 1 1 sin cos 2 2 1 2 sin cos sin 4 Bài toán 11: Gọi M , M theo thứ tự điểm mặt phẳng phức Oxy, biểu diễn số z z 1 i z , Chứng minh tam giác OMM vuông cân Giải Gọi M x; y biểu diễn số phức z x yi với x, y , z Ta có 1 i 1 Ta có: z z 1 i x yi x y x y i 2 xy xy ; Nên điểm biểu diễn số phức z M Ta có khoảng cách: OM x y MO x y x y Và MM 2 x y x y 2 x2 y2 x2 y2 Do OM MM ; OM 2 MM 2 OM Vậy tam giác OMM tam giác vuông cân đỉnh M Cách khác: Ta có OM z , OM MM OM OM 1 i z z 2 1 i z z 2 Do z , suy tam giác OMM tam giác vng cân đỉnh M Bài tốn 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A điểm biểu diễn số phức z nghiệm phương trình z2 6z 45 điểm B biểu diễn số phức z tam giác OAB vuông Giải 2i z Chứng minh z2 6z 45 có =9 45 36 36i2 nên có nghiệm z 6i z 6i Với z 6i , z 2i 3 6i 2i Suy A 3;6 , B 4; 2 Do OA 3;6 , OB 4; 2 OA.OB nên tam giác OAB vuông O Với z 6i z 2i 3 6i 4 2i Suy A 3; 6 , B 4; 2 Do OA 3; 6 , OB 4; 2 OA.OB nên tam giác OAB vuông O Vậy trường hợp ta có điều phải chứng minh Bài toán 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A điểm biểu diễn số phức z nghiệm phương trình z2 2z điểm B biểu diễn số phức z 1 i z Tính diện tích tam giác OAB Giải z 2i Ta có z2 2z z 1 4 4i z 2i Với z 2i , ta có z 3 3 1 i 2i i Suy A 1;2 , B ; 2 2 1 Ta có: OB ; , AB ; 2 2 OB AB nên tam giác OAB vuông B 1 9 SOAB OB.AB 2 4 4 Với z 2i , ta có z 3 1 3 1 1 i 1 2i i Suy A 1; 2 , B ; 2 2 2 1 3 Ta có: OB ; , AB ; 2 2 2 2 OB AB nên tam giác OAB vuông B 1 1 5 SOAB OB.OA Vậy SOAB 2 4 4 4 ... có: OB ; , AB ; 2 2 2 2 OB AB nên tam giác OAB vuông B 1 1 5 SOAB OB.OA Vậy SOAB 2 4 4 4 ... 2 1 Ta có: OB ; , AB ; 2 2 OB AB nên tam giác OAB vuông B 1 9 SOAB OB.AB 2 4 4 Với z 2i , ta có z 3 1 3 1 1 i 1 2i i Suy A 1;