CHỦ ĐỀ 8 GÓC TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 1 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA AB a , 3AD a Gọi M là trung điểm B[.]
CHỦ ĐỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vng góc với mặt phẳng ABCD , SA AB a , AD 3a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạ hai mặt phẳng ABCD SDM A B C D Hướng dẫn giải Kẻ SH MD, H MD , mà SA MD SAH MD AH MD Do SMD , ABCD SH , AH SHA Ta lại có: S AMD AH 3a a 13 3a.a , MD CD CM 2 2S AMD 6a 13 7a 13 SH DM 13 13 cos AH 6 Vậy cosin góc hai mặt phẳng SMD ABCD SH 7 Vậy chọn đáp án B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB 2a góc BAD 120 Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy ABCD trùng với giao điểm I hai đường chéo SI a Tính góc tạo mặt phẳng SAB mặt phẳng ABCD A 30° B 45° C 60° Hướng dẫn giải Ta có BAD 120 BAI 60 BI sin 60 AB BI a Suy ra: AI a cos 60 AI AB Gọi góc hai mặt phẳng SAB ABCD Gọi H hình chiếu vng góc I AB Ta có: AB SHI AB SH Do đó: SH , IH SHI Xét tam giác vng AIB có: 1 IH a IH IA IB D 90° tan SHI SI SHI 30 hay 30 HI Vậy chọn đáp án A Câu 3* Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB a, SA SB ACB 30 , SA SB Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BC 3a Tính cosin góc hai mặt phẳng SAC SBC A 33 B 13 C 65 13 D 11 Hướng dẫn giải Gọi D trung điểm BC, suy tam giác ABD cạnh a Gọi I, E trung điểm BD AB, H giao AI DE Khi dễ thấy H trọng tâm tam giác ABD Ta có AI BC, DE AB Vì SA SB SE AB , suy AB SDE AB SH Khi ta có SH ABC Gọi K hình chiếu vng góc I lên SA, IK đoạn vng góc chung SA BC Do IK d SA; BC Đặt SH h, AI 3a a a a2 , AH SA h2 3 Lại có AI SH IK SA 2S SAI a 3a a h h2 h a Gọi M hình chiếu A lên SI, AM SBC Gọi N hình chiếu M lên SC, SC AMN SAC , SBC ANM Ta có: HI a a 39 AI SH 3a ; SI AM 6 SI 13 Mặt khác IM AI AM Ta lại có SMN ~ SCI tan a 39 5a a 30 SI SM SI IM ; SC 26 39 MN SM SM CI 3a 130 MN CI SC SC 52 AM 10 65 hay cos MN 13 Vậy góc hai mặt phẳng SBC SAC với cos 65 13 Vậy chọn đáp án C a 10 , BAC 120 Hình chiếu vng góc C ' lên mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC Tính số đo góc Câu Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có AB 2a, AC a, AA ' hai mặt phẳng ABC ACC ' A ' A 75° B 30° C 45° D 15° Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C ' H ABC Trong ABC ta có: BC AC AB AC AB.cos120 a a a C ' H C ' C CH BC a CH Hạ HK AC Vì C ' H ABC đường xiên C ' K AC ABC , ACC ' A ' C ' KH (1) ( C ' HK vuông H nên C ' KH 90 ) Trong HAC ta có HK tan C ' KH 2S HAC S ABC a AC AC C'H C ' KH 45 HK Từ (1) (2) suy (2) ABC , ACC ' A ' 45 Vậy chọn đáp án C Câu Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, A ' A A ' B A 'C a A 75° Tính góc hai mặt phẳng ABB ' A ' ABC 12 B 30° C 45° D 60° Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu A ABC Vì A ' A A ' B A ' C nên HA HB HC , suy H tâm tam giác ABC Gọi I, J trung điểm BC, AB A ' J AA '2 AJ 7a a a 12 1 a a HJ CJ 3 A ' H A ' J HJ a A ' J AB A ' JC AB A ' JC góc hai mặt phẳng Vì CJ AB ABB ' A ' ABC a A' H Khi tan A ' JC A ' JC 60 JH a Vậy chọn đáp án D Câu Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng cân B có AB BC Gọi H trung điểm AB, SH ABC Mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 60° Cosin góc mặt phẳng SAC ABC là: A 5 B 10 C D Hướng dẫn giải Kẻ HP AC SAC , ABC SPH cos SAC , ABC cos SPH Ta có HP SP SBC , ABC SBH SBH 60 tan 60 SH SH HB HB APH vuông cân P HP AH 2 SP SH HP 12 14 SP 14 cos SAC , ABC HP SP 14 Vậy chọn đáp án D Câu Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a Biết SO ABCD , AC a thể tích khối chóp A a3 Cosin góc mặt phẳng SAB ABC là: B C Hướng dẫn giải D Kẻ OP AB SAB , ABC SPO cos SAB , ABC cos SPO OP SP Cạnh AB BC a AC a AB BC CA a ABC sin 60 OP 3 a a OP OA OA 2 2 1 Ta có: VS ABCD SO.S ABCD SO.2S ABC 3 1 a a3 SO.2 .a.a.sin 60 SO SO 3a SP SO OP 9a 3a 147a 16 16 a 7a OP SP cos SAB , ABC SP 7a Vậy chọn đáp án C Câu Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O SA ABCD Để góc SBC SCD 60° độ dài SA A a C a B a Hướng dẫn giải BD AC BD SAC BD SC Ta có BD SA SC SI SC BID Kẻ BI SC ta có SC BD SBC , SCD BI , ID 60 Trường hợp 1: BID 60 BIO 30 Ta có tan BIO BO a a OI OC (vô lý) IO 2 Trường hợp 2: BID 120 BIO 60 Ta có tan BIO BO a OI IO Ta có sin ICO OI tan ICO SA AC.tan ICO a OC D 2a Vậy chọn đáp án A Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a, SB SAB vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Cosin góc đường thẳng SM DN là: A B C D Hướng dẫn giải Kẻ ME song song với DN với E AD suy AE a Đặt góc hai đường thẳng SM , DN nên SM , ME Gọi H hình chiếu S lên AB Ta có SH ABCD Suy SH AD AD SAB AD SA Do SE SA2 AE 5a a a ME SE 2 Tam giác SME cân E, có cos cos SME 5 Vậy chọn đáp án D Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a, SA a vng góc với mặt phẳng ABCD Cosin góc hai mặt phẳng SAD SBC là: A 2 B C Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AD BC BD AD BD SAD BD SI Ta có BD SA SI BD SI BDE Kẻ DE SI ta có SI DE SAD , SBC DE , BE Ta có sin AIS DE SA mà sin AIS DI SI DE DI sin AIS a D tan DEB BD cos DEB ED Vậy chọn đáp án C Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB 2a, AD DC a , SA a SA ABCD Tan góc mặt phẳng SBC ABCD A là: B C D Hướng dẫn giải Ta có SBC , ABCD ACS Ta có AC AD DC a tan ACS SA AC Vậy chọn đáp án D Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ABC , SA a Cosin góc mặt phẳng SAB SBC là: A 2 B C Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm AB CM AB CM SAB CM SB Ta có CM SA SB MN SB CMN Kẻ MN SB ta có SB CM SAB , SBC MN , NC MNC Ta có tan SBA SA SBA 60 AB Ta có sin SBA MN a MN cos MNC MB Vậy chọn đáp án D 1 D ... là: A 2 B C Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AD BC BD AD BD SAD BD SI Ta có BD SA SI BD SI BDE Kẻ DE SI ta có SI DE SAD , SBC DE , BE... sin AIS DE SA mà sin AIS DI SI DE DI sin AIS a D tan DEB BD cos DEB ED Vậy chọn đáp án C Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB 2a, AD DC... AB BC CA a ABC sin 60 OP 3 a a OP OA OA 2 2 1 Ta có: VS ABCD SO.S ABCD SO.2S ABC 3 1 a a3 SO .2 .a.a.sin 60 SO SO 3a SP SO OP 9a 3a 147a 16