Mau O a d D d d M I O ( )''''P ( )P MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN I ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN Cho đường thẳng D Xét một đường thẳng d cắt D tại O tạo thành một góc a với 0 2 p a< < Mặt tròn xoay sinh bởi đường[.]
MẶT NĨN – HÌNH NĨN – KHỐI NĨN I ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN Cho đường thẳng D Xét đường thẳng d cắt D p O tạo thành góc a với < a < Mặt tròn xoay sinh đường thẳng d quay quanh D gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) ● D gọi trục mặt nón ● d gọi đường sinh mặt nón ● O gọi đỉnh mặt nón ● Góc 2a gọi góc đỉnh mặt nón theo đường trịn (C ) có tâm I Lại gọi (P ') O O (P ') mặt phẳng vng góc với D O ● Phần mặt nón N giới hạn hai mặt phẳng (P ) (P ') với hình trịn xác định (C ) gọi hình nón d a II HÌNH NĨN VÀ KHỐI NĨN Hình nón Cho mặt nón N với trục D , đỉnh O , góc đỉnh 2a Gọi (P ) mặt phẳng vng góc với D điểm I khác O Mặt phẳng (P ) cắt mặt nón d D d I (P ) M ● O gọi đỉnh hình nón ● Đường trịn (C ) gọi đường trịn đáy hình nón ● Với điểm M nằm đường tròn (C ) , đoạn thẳng OM gọi đường sinh hình nón ● Đoạn thẳng OI gọi trục hình nón, độ dài OI gọi chiều cao hình nón (đó khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.) Khối nón Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên phần bên ngồi Hình nón với phần bên gọi khối nón III KHÁI NIỆM VỀ DIỆN TÍCH HÌNH NĨN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NĨN Một hình chóp gọi nội tiếp hình nón nếu: ● Đáy hình chóp đa giác nội tiếp đáy hình nón ● Đỉnh hình chóp đỉnh hình nón Định nghĩa Diện tích xung quanh hình nón giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh đáy tăng lên vơ hạn Thể tích khối nón giới hạn thể tích khối chóp nội tiếp khối nón số cạnh tăng lên vơ hạn Định lí Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R đường sinh l S xq = p R l Định lí Thể tích khối nón có bán kính đáy R chiều cao h V = p R h CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 46 Hình nón có đường sinh l = 2a hợp với đáy góc a = 600 Diện tích tồn phần hình nón bằng: B 3p a2 A p a2 D p a2 C 2p a2 Câu 47 Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a , góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón bằng: B 3p a2 A p a2 D p a2 C 2p a2 Câu 48 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A , AB = a AC = a Độ dài đường sinh l hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng: A l = a B l = a C l = a D l = 2a Câu 49 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích tồn phần thể tích hình nón có giá trị là: (1 + )p a A 2 (1 + )p a 2p a3 12 B 2p a2 2p a3 2p a3 2p a3 2p a2 D 12 2 Câu 50 Cạnh bên hình nón 2a Thiết diện qua trục tam giác cân có góc đỉnh 120° Diện tích tồn phần hình nón là: C ( A p + ) ( ) B 2p a2 + C 6p a2 ( ) D p a2 + Câu 51 Cho mặt cầu tâm O , bán kính R = a Một hình nón có đỉnh S mặt cầu đáy đường trịn tương giao mặt cầu với mặt phẳng vng góc với đường 3a thẳng SO H cho SH = Độ dài đường sinh l hình nón bằng: A l = a B l = a C l = a D l = 2a Câu 52 Cho hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O , bán kính R Dựng hai đường sinh SA SB , biết AB chắn đường tròn đáy cung có số đo 60 , R khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB ) Đường cao h hình nón bằng: R R B h = C h = a D h = a 2 Câu 53 Cho hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O Dựng hai đường sinh SA SB , biết tam giác SAB vng có diện tích 4a2 Góc tạo trục SO mặt phẳng (SAB ) 300 Đường cao h hình nón bằng: A h = a a B h = C h = a D h = a 2 Câu 54 Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường trịn đáy · · hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO = 30 , SAB = 600 Độ dài đường sinh l hình nón bằng: A h = A l = a B l = a C l = a D l = 2a Câu 55 Một hình nón có bán kính đáy R , góc đỉnh 60° Một thiết diện qua đỉnh nón chắn đáy cung có số đo 90° Diện tích thiết diện là: R2 R2 R2 3R B C D 2 2 Câu 56 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a , khoảng cách từ tâm a O đường tròn ngoại tiếp đáy ABC đến mặt bên Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng: A A p a3 B p a3 C p a3 27 D 2p a3 Câu 57 Cho hình nón có đỉnh S , đường cao SO = h , đường sinh SA Nội tiếp hình nón hình chóp đỉnh S , đáy hình vng ABCD cạnh a Nửa góc đỉnh hình nón có tan bằng: A h 2a B a 2h C a h D h a Câu 58 Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O ') , chiều cao R bán kính đáy R Một hình nón có đỉnh O ' đáy hình trịn (O; R ) Tỷ số diện tích xung quanh hình trụ hình nón bằng: A B C D Câu 59 Một hình nón có đường cao 9cm nội tiếp hình cầu bán kính 5cm Tỉ số thể tích khối nón khối cầu là: 27 27 81 81 B C D 125 125 500 500 Câu 60 Cho hình nón có bán kính đáy 5a , độ dài đường sinh 13a Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng: A A 4000 p a3 81 B 4000 p a3 27 C 40 p a3 D 400 p a3 27 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT S Câu 46 Theo giả thiết, ta có · = 600 SA = l = 2a SAO Suy R = OA = SA.cos 600 = a Vậy diện tích tồn phần hình nón bằng: A O S = p Rl + p R = 3p a2 (đvdt) Chọn B Câu 47 Theo giả thiết, ta có · = 30 OA = a OSA S Suy độ dài đường sinh: l = SA = 300 OA = 2a sin 30 A O Vậy diện tích xung quanh bằng: S xq = p R l = 4p a2 (đvdt) Chọn A Câu 48 Từ giả thiết suy hình nón có đỉnh B , tâm đường trịn đáy A , bán kính đáy AC = a chiều cao hình nón AB = a Vậy độ dài đường sinh hình nón là: l = BC = B AB + AC = 2a Chọn D C đỉnh Câu 49 Gọi S , O đỉnh tâm đường tròn đáy Acủa hình nón, thiết diện qua tam giác SAB S Theo ta có tam giác SAB vuông cân S nên AB = SB = a , SO = Suy h = SO = SB a = 2 a , l = SA = a SB = R Þ R = SB = B p R 2h = A 2a Diện tích tồn phần hình nón: S = p R l + p R Thể tích khối nón là: V = O (1 + )p a = 2 p a3 (đvtt) Chọn A 12 (đvdt) S 60 B O A Câu 50 Gọi S đỉnh, O tâm đáy, thiết diện qua trục SAB · = 60° Theo giả thiết, ta có SA = 2a ASO Trong tam giác SAO vuông O , ta có OA = SA sin 60° = a Vậy diện tích tồn phần: ( ) S = p R l + p R = p.OA.SA + p (OA ) = p a2 + (đvdt) Chọn B Câu 51 Gọi S ' điểm đối xứng S qua tâm O A điểm đường trịn đáy hình nón Tam giác SAS ' vng A có đường cao AH nên SA = SH SS ' Þ SA = a Chọn C Câu 52 Theo giả thiết ta có tam giác OAB cạnh R R Gọi H hình chiếu O SE , suy OH ^ SE ìï AB ^ OE Ta có ïí Þ AB ^ (SOE ) ị AB ^ OH ùùợ AB ^ SO Gọi E trung điểm AB , suy OE ^ AB OE = R Từ suy OH ^ (SAB) nên d éëO, (SAB )ù û= OH = Trong tam giác vuông SOE , ta có 1 R = = Þ SO = SO OH OE R Chọn A Câu 53 Theo giả thiết ta có tam giác SAB vng cân S ìï SE ^ AB Gọi E trung điểm AB , suy ïí SE = AB ïïỵ OE ^ AB Ta có S D SAB = S 1 AB.SE = a Û AB AB = a 2 2 Þ AB = a Þ SE = 2a Gọi H hình chiếu O SE , suy OH ^ SE ìï AB ^ OE Ta có ïí Þ AB ^ (SOE ) Þ AB ^ OH ïïỵ AB ^ SO Từ suy OH ^ (SAB) nên ·, (SAB ) = SO · , SH = OSH · · 30 = SO = OSE · = a Chọn C Trong tam giác vng SOE , ta có SO = SE cos OSE H O E B A Câu 54 Gọi I trung điểm AB , suy OI ^ AB, SI ^ AB OI = a S · = SA Trong tam giác vng SOA , ta có OA = SA cos SAO SA · = Trong tam giác vuông SIA , ta có IA = SA cos SAB Trong tam giác vng OIA , ta có OA = OI + IA Û O SA = a + SA Þ SA = a 4 B I A Chọn B Câu 55 Vì góc đỉnh 60° nên thiết diện qua trục SAC tam giác cạnh 2R Suy đường cao hình nón SI = R Tam giác SAB thiết diện qua đỉnh, chắn đáy cung AB có số đo 90° nên IAB tam giác vuông cân I , suy AB = R S Gọi M trung điểm AB ìïï IM ^ AB R IM = í ïïỵ SM ^ AB Trong tam giác vuông SIM , ta có SM = SI + IM = Vậy S D SAB = R 14 R2 AB.SM = (đvdt) 2 A C I Chọn A M Câu 56 Gọi E trung điểm BC , dựng OH ^ SE H B a Chứng minh OH ^ (SBC ) nên suy OH = d éëO, (SBC )ù û= Trong tam giác ABC , ta có OE = S 2a 1 2a a OA = AE = AE = = 3 3 Trong tam giác vuông SOE , ta có 1 1 1 = + Þ = = Þ SO = a OH OE SO SO OH OE a2 Vậy thể tích khối nón 1 ổ2a V = pOA SO = p ỗỗỗ 3 ỗố C A 3ử p a3 ÷ ÷ (đvtt) .a = ÷ ÷ ø H O Chọn B E B · Câu 57 Nửa góc đỉnh hình nón góc ASO S Hình vng ABCD cạnh a nên suy B A O D C OA = a Trong tam giác vng SOA , ta có · = tan ASO OA a = Chọn C SO 2h Câu 58 Diện tích xung quanh hình trụ: O' S xq(T) = 2p R.h = 2p R R = 3p R (đvdt) Kẻ đường sinh O ' M hình nón, suy l = O' M = OO '2 + OM = 3R + R = R Diện tích xung quanh hình nón: S xq(N ) = p R l = p R R = 2p R (đvdt) Vậy S xq (T ) S xq(N ) = O Chọn C M Câu 59 Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm , OS = OA = 5cm Suy OH = 4cm AH = OA - OH = 3cm Thể tích khối nón V n = p AH SH = 27p (đvtt) Thể tích khối cầu V c = 500p (đvtt) p SO = 3 Suy Vn 81 = Chọn B V c 500 Câu 60 Xét mặt phẳng qua trục SO hình nón ta thiết diện tam giác cân SAB Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn có bán kính r (bán kính mặt cầu) nội tiếp tam giác cân SAB Trong tam giác vuông SOB , gọi I giao điểm đường phân giác góc B với đường thẳng SO Chứng minh I tâm đường trịn nội tiếp tam giác bán kính r = IO = IE ( E hình chiếu vng góc I SB ) Theo tính chất phân giác, ta có Lại có IS + IO = SO = Từ suy IS = IS BS 13 = = IO BO SB - OB = 12 26 10 , IO = 3 Ta có D SEI ÿ D SOB nên IE BO 5 10 = = Þ IE = IS = IS BS 13 13 Thể tích khối cầu: V = 4000p a3 4 ỉ 10a ÷ (đvtt) Chọn A p r = p ỗỗ = ữ ứ 3 ỗố ÷ 81