QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Định lý 1 Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằ[.]
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I KIẾN THỨC CƠ BẢN Quan hệ đường vng góc đường xiên Định lý Trong đường vng góc đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc ngắn đường xiên AH ⊥ a ⇒ AH < AC , AH < AD Quan hệ đường xiên hình chiếu chúng Định lý Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó: A a) Đường xiên có hình chiếu lớn lớn AH ⊥ a , HD> HC ⇒ AD > AC b) Đường xiên lớn có hình chiếu lớn AH ⊥ a , AD > AC ⇒ HD > HC D B H C a c) Nếu hai đường xiên hai hình chiếu nhau; hai hình chi ếu b ằng hai đường xien AB= AC ⇔ HB=HC II BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Trên đoạn thẳng HD HC, lấy điểm D E cho BD=CE So sánh độ dài AD, AE cách xét hai hình chiếu Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh Bc lấy điểm D E cho BD=DE=EC Gọi M trung điểm DE a Chứng minh AM ⊥ BC b So sánh độ dài ^ , D nằm A,C ( BD khơng vng góc với AC) Gọi E, F chân Bài 3: Cho Δ ABC có ^B < C đường vng góc kẻ từ A, C đến đường thẳng BD So sánh AE+CF với AB AC Bài 4: Cho tam giác ABC cân A Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC , điểm D thuộc cạnh BC ¿ khác H ¿ Chứng minh AH < AD < AB Bài 5: Cho tam giác ABC không vuông Kẻ BD vng góc với AC D , kẻ CE vng góc với AB E Chứng minh BD+CE< AB+ AC Bài 6: Cho Δ ABC vuông A, M trung điểm BA Vẽ AI ⊥ MC I, BK ⊥ MC K Chứng minh: CI +CK < BC Bài 7: Cho Δ MNP có ^ M =90 ° , I điểm nằm N, P b AC < a AB+ AC > BK a) Chứng minh MI bé cạnh góc vng b) Vẽ MH ⊥ NP H Trên cạn NP lấy điểm E cho NE=NM , cạnh MP lấy điểm F cho MF=MH Chứng minh Δ MHE=MFE c) Chứng minh tam giác vuông tổng độ dài hai cạnh góc vng nhỏ tổng độ dài cạnh huyền chiều cao tương ứng HDG Bài 1: Đường xiên AB= AC nên hình chiếu HB=HC Ta lại có BD=CE nên HD=HE Hình chiếu HD=HE nên đường xiên AD= AE Bài 2: a) Δ AMB=Δ AMC ( c c c ) ⇒ ^ AMB=^ AMC 0 Ta lại có ^ AMB+ ^ AMC=18 suy ^ AMB=9 Vậy AM ⊥ BC b) Hình chiếu MD=ME nên đường xiên AD= AE Hình chiếu MD< MB nên đường xiên AD< AB Ta có AD= AE< AB=AC Bài 3: Vì Δ EDA vuông tai E nên AD> AE ( ) Vì Δ CFD vng F nên CD >CF ( ) A Cộng theo vế ( ) ( )ta AD+CD > AE +CF hay AC > AE +CF ( ) F ^ ⇒ AC< AB ( ) ^ AC > AE +CF Bài 4: Ta có AH < AD (quan hệ đường vng góc, đường xiên) Nếu D thuộc đoạn HC ⇒ HD < HC , AD< AC = AB Nếu D thuộc đoạn HB ⇒ HD< HB ⇒ AD< AB B H D C Bởi AH < AD < AB Bài 5: A vuông D nên BD< AB D vuông E , CE < AC E Do BD+CE < AB+ AC B C Bài 6: a) Chứng minh Δ KMB=Δ IMA (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ AI =KB ; ℑ= MK Δ KMB vuông K ⇒ BK < BM Δ AIM vuông I ⇒ AI < AM ( 1) (2) Cộng theo vế ( ) ( ) AI + BK < BM + AM ⇒ AI + BK < AB ⇒ BK < AB ( ) Vì Δ IAC vuông I nên AI < AC ⇒ BK < AC ( ) Cộng theo vế cuả ( ) ( ) AB+ AC > BK B b) Δ AMC vuông M có AC 90 ° suy MN > MI Tương tự I thuộc NP suy MP> MI M Vậy MI bé cạnh góc vng b) Ta có ^ HMF=^ MNH (cùng phụ ^ NMH ) F Δ MNE cân N Δ MHF cân M lại có ^ HMF=^ MNH S N Suy góc đáy nhau: ⇒ ^ MEH = ^ MHF H I P E Có ^ MHF + ^ FHE=90° ⇔ ^ MEH + ^ FHE=90 ° Gọi S giao điểm ME HF, Δ HSE có ^ SEH + ^ SHE=90 ° suy ^ HSE=90 ° hay ME ⊥ HF S Δ HMS=Δ FMS ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) Suy HS=SF Δ HSE =Δ FSE (cạnh – góc – cạnh) Suy HE=FE Δ MHE=Δ MFE (cạnh – cạnh – cạnh) c) Ta cần chứng minh AB+ AC< BC+ AH Đặt BC=a ; AB=c ; AC =b ; AH =h Giải sử b+ c< a+h Bình phương vế ta có ( b+ c )2< ( a+h )2 2 A ⇒ b +c + 2bc