Mục lục 0 1 Dạng đại số của số phức 4 0 2 Dạng lượng giác của số phức 6 1 Ma trận 11 1 1 Các khái niệm cơ bản 11 1 2 Các phép biến đổi sơ cấp 13 1 3 Các phép toán ma trận 14 1 4 Hạng của ma trận 15 1[.]
Mục lục 0.1 0.2 Ma 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức trận Các khái niệm Các phép biến đổi sơ cấp Các phép toán ma trận Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo 11 11 13 14 15 16 Định thức 18 2.1 Định nghĩa định thức ví dụ 18 2.2 Tính chất định thức 19 2.3 Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp định thức 21 Hệ phương trình 23 3.1 Hệ Cramer 25 3.2 Hệ 26 Không gian véc tơ 4.1 Định nghĩa ví dụ 4.2 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính 4.3 Hạng họ véc tơ 4.4 Cơ sở số chiều 4.5 Tọa độ véc tơ 4.6 Ma trận chuyển sở 4.7 Không gian 4.8 Tổng giao hai không gian Không gian Euclide 5.1 Tích vơ hướng véc tơ 5.2 Bù vng góc khơng gian 5.3 Quá trình Gram-Schmidt 5.4 Hình chiếu vng góc 28 28 29 31 33 36 37 38 41 44 44 47 49 50 Ánh xạ tuyến tính 52 6.1 Định nghĩa ví dụ 52 6.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 54 6.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 55 Trị 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 riêng - véc tơ riêng Trị riêng - véc tơ riêng Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực ma trận trực giao Trị riêng - véc tơ riêng ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 60 60 63 65 67 69 ĐHBK TPHCM Dạng toàn phương 72 8.1 Định nghĩa 72 8.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc 73 8.3 Phân loại dạng toàn phương 75 T.S.Đặng Văn Vinh Trang Số phức Nội dung 0.1 1) Dạng đại số số phức 4) Nâng số phức lên lũy thừa 2) Dạng lượng giác số phức 5) Khai số phức 3) Dạng mũ số phức 6) Định lý đại số Dạng đại số số phức Định nghĩa 0.1 i) Số i, gọi đơn vị ảo, số cho i2 = −1 ii) Cho a, b số thực, i đơn vị ảo Khi z = a + bi gọi số phức Số thực a := Re(z) gọi phần thực số phức z Số thực b := Im(z) gọi phần ảo số phức z iii) Tập tất số phức dạng z = + ib, b ∈ R \ {0} gọi số ảo Ví dụ 0.1 i, −2i, 3i số ảo Tập hợp số thực tập hợp tập hợp số phức, vì: ∀a ∈ R : a = a + 0.i số phức Định nghĩa 0.2 số phức phần thực phần ảo tương ứng ( a1 = b1 , a1 + ib1 = a2 + ib2 ⇐⇒ a2 = b2 Ví dụ 0.2 cho z1 = + 3i, z2 = m + 3i Tìm m để z1 = z2 ( = m, z1 = z2 ⇐⇒ = Phép cộng trừ số phức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Ví dụ 0.3 Tìm phần thực ảo z = (3 + 5i) + (2 − 3i) z = (3 + 5i) + (2 − 3i) = (3 + 2) + (5 − 3)i = + 2i =⇒ Re(z) = 5, Im(z) = 0.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM Phép nhân số phức (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Ví dụ 0.4 Tìm dạng đại số z = (2 + 5i)(3 + 2i) z = (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3 + 2.2i + 5i.3 + 5i.2i = + 4i + 15i + 10i2 = + 10(−1) + 19i = −4 + 19i Ghi Khi cộng(trừ) số phức, ta cộng(trừ) phần thực phần ảo tương ứng Khi nhân số phức, ta thực giống nhân biểu thức đại số với ý i2 = −1 Số phức liên hợp Số phức z¯ = a − bi gọi liên hợp số phức z = a + bi Ví dụ 0.5 Tìm số phức liên hợp z = (2 + 3i)(4 − 2i) Ta có z = (2 + 3i)(4 − 2i) = 2.4 − 2.2i + 3i.4 − 3i.2i = − 4i + 12i + = 14 + 8i =⇒ z¯ = 14 − 8i Tính chất cho số phức z, w 1) z + z¯ ∈ R 5) z.w = z.w 2) z.¯ z∈R 6) z = z 3) z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R 4) z + w = z + w 7) z n = z n , ∀n ∈ N Chia số phức a1 a2 + b1 b2 z1 a1 + ib1 (a1 + ib1 )(a2 − ib2 ) b1 a2 − a2 b1 = = +i = 2 z2 a2 + ib2 (a2 + ib2 )(a2 − ib2 ) a2 + b2 a22 + b22 Ta nhân liên tử mẫu cho liên hợp mẫu Ví dụ 0.6 Thực phép toán z = + 2i 5−i Nhân tử mẫu cho + i, ta 15 + 3i + 10i − 13 + 13i 1 (3 + 2i)(5 + i) = = = + i z= (5 − i)(5 + i) 25 + 26 2 Chú ý: so sánh với số phức Trong trường số phức C khơng có khái niệm so sánh Biểu thức z1 < z2 hay z1 ≥ z2 khơng có nghĩa trường số phức T.S.Đặng Văn Vinh Trang 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 0.2 ĐHBK TPHCM Dạng lượng giác số phức Mô đun số phức z = a + bi số thực không âm định nghĩa p mod(z) = |z| = a2 + b2 Argument số phức z góc ϕ ký hiệu arg(z) = ϕ Góc ϕ giới hạn khoảng (0, 2π) (−π, π) Ví dụ 0.7 Tìm mơ đun số phức z = − 4i p a = 3, b = −4 =⇒ |z| = 32 + (−4)2 = Chú ý • Nếu xem số phức z = a + bi điểm (a, b) mặt phẳng phức p p |z| = a2 + b2 = (a − 0)2 + (b − 0)2 khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0) đến z • Cho z = a + bi, w = c + di |z − w| = |(a − c) + (b − d)i| = p (a − c)2 + (b − d)2 khoảng cách điểm z w Ví dụ 0.8 Tập hợp số phức z thỏa |z − (2 − 3i)| = đường trịn tâm (2, −3) bán kính Cơng thức tìm argument a a , cos ϕ = = √ r a + b2 b b sin ϕ = = √ r a2 + b2 T.S.Đặng Văn Vinh Trang tan ϕ = b a 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Ví dụ 0.9 Tìm argument số phức z = √ ĐHBK TPHCM + i √ √ a 3 = , cos ϕ = = q √ r √ +1 a = 3, b = Ta tìm góc ϕ thỏa b = cos ϕ = = q √ r 2 + 12 =⇒ ϕ = π Dạng lượng giác số phức √ a b 2 √ √ i z = a + bi = a + b a2 + b2 a2 + b2 =⇒ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gọi dạng lượng giác √ Ví dụ 0.10 Tìm dạng lượng giác số phức z = −1 + i a = −1, b = √ Mô đun:r = |z| = Dạng lượng giác z = 2(cos √ + = 2π 2π + i sin ) 3 a −1 cos ϕ = = , r √2 Argument sin ϕ = b = r =⇒ ϕ = 2π Sự số phức dạng lượng giác ( r1 = r2 , z1 = z2 ⇐⇒ ϕ1 = ϕ2 + k2π Phép nhân dạng lượng giác z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) Mô đun nhân với nhau, argument cộng lại √ Ví dụ 0.11 Tìm dạng lượng giác số phức z = (1 + i)(1 − i 3) √ √ √ π −π π −π −π −π z = (1 + i)(1 − i 3) = 2(cos + i sin ).2(cos + i sin ) = 2(cos + i sin ) 4 3 12 12 Phép chia dạng lượng giác z1 r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r1 = = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )) , r2 6= z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 Mô đun chia cho nhau, argument trừ √ − i 12 Ví dụ 0.12 Tìm dạng lượng giác số phức z = √ − 3+i √ −π 4(cos −π − i 12 −π 5π −7π −π 5π −7π + i sin ) √ z= = = cos( − ) + i sin( − ) = cos + i sin 5π 6 6 2(cos 5π − 3+i + i sin ) Định lý Euler(1707-1783) eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ Dạng mũ số phức z = r.eiϕ T.S.Đặng Văn Vinh Trang 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM √ Ví dụ 0.13 Tìm dạng mũ số phức z = − + i 5π 5π 5π Dạng Mũ z = 2ei Dạng lượng giác z = cos + i sin 6 Ví dụ 0.14 Biểu diễn số phức sau mặt phẳng phức z = ea+3i , a ∈ R Ta có z = ea (cos + i sin 3) ϕ = không đổi nên tập hợp nửa đường thẳng nằm góc phần tư thứ Phép nâng lũy thừa z = a + bi, z = (a + bi)2 = a2 + (bi)2 + 2abi = (a2 − b2 ) + 2abi, z = (a + bi)3 = a3 + 3a2 bi + 3a(bi)2 + (bi)3 = (a3 − 3ab2 ) + (3a2 b − b3 )i z n = Cn0 an + Cn1 an−1 bi + Cn2 an−2 (bi)2 + · · · + Cnn (bi)n := A + Bi Ví dụ 0.15 Cho số phức z = + i Tính z z = (2 + i)5 = C50 25 + C51 24 i + C52 23 i2 + C53 22 i3 + C54 2.i4 + C55 i5 = 32 + 5.16.i + 10.8(−1) + 10.4.(−i) + 5.2.1 + i = −38 + 41i Lũy thừa bậc n i Ta phân tích n = 4p + r : r phần dư phép chia n cho in = ir Ví dụ 0.16 Tính z = i2013 Ta có 2013 = 503.4 + =⇒ z = i2013 = i1 = i Ví dụ 0.17 Cho số phức z = + i Tìm z z 100 a) z = (1 + i)3 = + 3i + 3i2 + i3 = + 3i − − i = −2 + 2i b) Ta dùng nhị thức newton dài Công thức De Moivre Dạng lượng giác z = r(cos ϕ+i sin ϕ) Dạng lượng mũ z = reiϕ =⇒ z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) z n = rn einϕ =⇒ Mô đun mũ n lên, argument tăng n lần Ví dụ 0.18 Sử dụng cơng thức De Moivre, tính √ b) (−1 + i 3)200 a) (1 + i)25 a) z = + i = √ 2(cos √ ( − i)17 c) √ ( 12 + 2i)20 √ 25 √ π π 25π 25π π π + i sin ) =⇒ z 25 = (cos + i sin ) = 12 2(cos + i sin ) 4 4 4 b) Tương tự c) Tương tự bậc n số phức Căn bậc n số phức z số phức w thỏa wn = z, n ∈ N T.S.Đặng Văn Vinh Trang 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM Công thức bậc n Cho dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Công thức √ n √ ϕ + k2π ϕ + k2π n ; k = 0, 1, , (n − 1) z = r cos + i sin n n Căn bậc n z(z 6= 0) có n giá trị phân biệt Ví dụ 0.19 Tìm bậc n số phức sau: a) b) √ r p √ c) r d) + i 16i 1+i e) 1+i √ 3−i f) √ √ + 12i + 2i Bài làm √ + k2π + k2π a) = 8(cos + i sin 0) =⇒ = cos ; k = 0, 1, + i sin 3 r π π p √ π π √ + k2π + k2π b) + i = cos + i sin = cos + i sin ; k = 0, 1, 2, 6 4 c) Tương tự d) Tương tự √ e) Argument + 12i cung đặc biệt Ta dùng dạng đại số để tính + 12i sau ( ( − b2 = 5, √ a a = ±3, + 12i = a+bi ⇐⇒ 5+12i = (a+bi)2 ⇐⇒ 5+12i = a2 −b2 +2abi ⇐⇒ ⇐⇒ 2ab = 12 b = ±2 Vậy: √ + 12i = ±(3 + 2i) Định lý đại số Mọi đa thức bậc n có n nghiệm kể bội Hệ quả: Cho P (z) đa thức hệ số thực p(a + bi) = =⇒ p(a − bi) = Ví dụ 0.20 Tìm tất nghiệm đa thức P (z) = z − 4z + 14z − 36z + 45, biết nghiệm + i Theo hệ quả: P (2 + i) = =⇒ P (2 − i) = Do P (z) chia hết cho (z − (2 + i))(z − (2 − i)) = z − 4z + thương z + Ta viết P (z) = (z − 4z + 5)(z + 9) có nghiệm + i, − i, 3i, −3i Ví dụ 0.21 Giải phương trình z + i = r −π √ + k2π −π −π z = −i = cos + i sin = cos + i sin 2 T.S.Đặng Văn Vinh −π Trang + k2π , k = 0, 1, 2, , 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM Ví dụ 0.22 Giải phương trình a) z + − i b) z + z + = c) z + z + = d) z + 2z + − i = Bài làm √ −1 + i = tương tự √ √ √ b) ∆ = b2 − 4ac = 12 − (i 3)2 =⇒ ∆ = ±i √ √4.1.1 = −3 = √ √ −b + ∆1 −1 + i −b + ∆2 −1 − i Nghiệm z1 = = , z2 = = 2a 2a a) z = c) Đặt w = t2 d) Lập ∆ tính √ ∆ tính nghiệm theo cơng thức Bài tập Câu 1) Rút gọn biểu thức (2 + 2i)9 (c) √ (i − 1)7 (2 − 3i)5 (b) i (1 + i) (a) (2 − i)5 √ (i 12 − 2)14 (d) (1 − i)19 Câu 2) Tính (a) (b) √ √ s 64 (c) + 12i −16i √ (i − 3)2 Câu 3) Giải phương trình: (a) z − 2z + = Câu 4) Tính 10 √z (b) z + z + − i = (c) z + z + − 28i = √ + 6i biết ( + 2i)z + = 3iz + (3 + i)(2 − i) 1+i Câu 5) Giải phương trình z − 4z + 17z − 16z + 52 = biết phương trình có nghiệm z1 = + 3i Câu 6) Đưa dạng lượng giác (a) z = sin ϕ + 2i sin2 T.S.Đặng Văn Vinh ϕ (b) w = cos ϕ + i(1 + sin ϕ) Trang 10 Chương Ma trận Nội dung • Định nghĩa ví dụ • Các phép biến đổi sơ cấp • Các phép tốn ma trận • Hạng ma trận • Ma trận nghịch đảo 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 (Ma trận) Ma trận cỡ m × n bảng số (thực phức) hình chữ nhật có m hàng n cột a11 a1j a1n a a a A= i1 ij in am1 amj amn Ví dụ 1.1 A= 1+i ,B = − i 4i 2×3 A ma trận cỡ × có hàng cột Các phần tử ma trận A: a11 = 3, a12 = 4, a13 = 1, a21 = 2, a22 = 0, a32 = B ma trận cỡ × có phần tử phức Ghi • Ma trận A cỡ m × n thường ký hiệu A = (aij )mìn ã Tp tt c cỏc ma trn c m×n trường số K ký hiệu Mm×n (K) Ma trận khơng Ma trận khơng có tất phần tử 0, ký hiệu 0 02×3 = 0 Có vô số ma trận tùy theo cỡ 11 |A| = ak1 ak2 akn = ak1 Ak1 +ak2 Ak2 +· · ·+akn Akn Ví dụ 2.2 Tính định thức −1 a) ... Văn Vinh Trang Số phức Nội dung 0.1 1) Dạng đại số số phức 4) Nâng số phức lên lũy thừa 2) Dạng lượng giác số phức 5) Khai số phức 3) Dạng mũ số phức 6) Định lý đại số Dạng đại số số phức Định... nghĩa 0.1 i) Số i, gọi đơn vị ảo, số cho i2 = −1 ii) Cho a, b số thực, i đơn vị ảo Khi z = a + bi gọi số phức Số thực a := Re(z) gọi phần thực số phức z Số thực b := Im(z) gọi phần ảo số phức z... −1 1 Tính 2AC − (CB)T Cho A = −1 −2 −1 −1 Cho A = f (x) = x2 − 4x − Tính f (A) A2013 −1 −2 Cho A = B = Tìm ma trận X thỏa AX = B 3 1 Đáp số X = 12 Bài Bài Bài Bài Bài Tìm