Bài 4 Nhị thức Newton A Lý thuyết Công thức nhị thức Newton (a + b)n ứng với n = 4 ; n = 5 • (a + b)4 = 0 4 C a4 + 1 4 C a3b + 2 4 C a2b2 + 3 4 C ab3 + 4 4 C b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 • (a +[.]
Bài Nhị thức Newton A Lý thuyết Công thức nhị thức Newton (a + b)n ứng với n = ; n = : • (a + b)4 = C04 a4 + C14 a3b + C24 a2b2 + C34 ab3 + C44 b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 • (a + b)5 = C50 a5 + C15 a4b + C52 a3b2 + C35 a2b3 + C54 ab4 + C55 b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Ví dụ: a) Khai triển (2 + x)4 ; b) Khai triển (x – 3)5 Hướng dẫn giải a) Ta có : (2 + x)4 = C04 24 + C14 23.x + C24 22x2 + C34 2.x3 + C44 x4 = 24 + 4.23x + 6.22.x2 + 4.2.x3 + x4 = 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4 Vậy (2 + x)4 = 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4 b) Ta có : (x – 3)5 = C50 x5 + C15 x4.(–3) + C52 x3.(–3)2 + C35 x2.(–3)3 + C54 x.(–3)4 + C55 (–3)5 = x5 + 5x4.(–3) + 10x3.(–3)2 + 10x2.(–3)3 + 5x.(–3)4 + (–3)5 = x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x – 243 Vậy (x – 3)5 = x5 – 15x4 + 90x3 – 270x2 + 405x – 243 B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Cho tập hợp E có phần tử Tính số tập E Hướng dẫn giải Số tập hợp E có phần tử là: C04 ; Số tập hợp E có phần tử là: C14 ; Số tập hợp E có phần tử là: C24 ; Số tập hợp E có phần tử là: C34 ; Số tập hợp E có phần tử là: C44 Khi số tập hợp E : C04 + C14 + C24 + C34 + C44 Mặt khác, ta có: (1 + 1)4 = C04 + C14 + C24 + C34 + C44 ⇒ C04 + C14 + C24 + C34 + C44 = 24 = 16 Vậy tập hợp E có 16 tập Bài Khai triển đa thức sau : a) (2x – 3)4 ; b) (x + 5)5 + (x – 5)5 Hướng dẫn giải a) Ta có: (2x – 3)4 = (2x)4 + 4(2x)3.(–3) + 6(2x)2.(–3)2 + 4.2x.(–3)3 + (–3)4 = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81 Vậy: (2x – 3)4 = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81 b) Ta có: (x + 5)5 + (x – 5)5 = [x5 + 5x4.5 + 10.x3.52 + 10.x2.53 + 5.x.54 + 55] + [x5 + 5x4.(–5) + 10.x3.(–5)2 + 10.x2.(–5)3 + 5.x.(–5)4 + (–5)5] = [x5 + 25x4 + 250x3 + 1250x2 + 3125x + 3125] + [x5 – 25x4 + 250x3 – 1250x2 + 3125x – 3125] = x5 + 25x4 + 250x3 + 1250x2 + 3125x + 3125 + x5 – 25x4 + 250x3 – 1250x2 + 3125x – 3125 = 2x5 + 500x3 + 6250x Vậy (x + 5)5 + (x – 5)5 = 2x5 + 500x3 + 6250x Bài Xác định hệ số x3 khai triển biểu thức (3x – 2)4 Hướng dẫn giải Áp dụng hệ thức Newton ta có : (3x – 2)4 = C04 (3x)4 + C14 (3x)3.(–2) + C24 (3x)2.(–2)2 + C34 (3x).(–2)3 + C44 (–2)4 = (3x)4 + 4(3x)3(–2) + 6(3x)2(–2)2 + 4(3x)(–2)3 + (–2)4 = 34x4 + 4.33x3.(–2) + 6.32.x2.(–2)2 + 4.3x.(–2)3 + (–2)4 ⇒ Hệ số x3 4.33.(–2) = – 216 Vậy hệ số x3 khai triển (3x – 2)4 – 216 B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Tổng hệ số x3 x2 khai triển (1 + 2x)4 : A 24; B 44; C 20; D 54 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 5a2b2 + 4ab3 + b4 Do (1 + 2x)4 = 14 + 4.13.(2x) + 5.12.(2x)2 + 4.1.(2x)3 + (2x)4 = + 8x + 20x2 + 24x3 + 16x4 Suy hệ số x3 24 hệ số x2 20 Khi ta có tổng hai hệ số 24 + 20 = 44 Câu Hệ số x2 khai triển (2 – 3x)3 k Nhận xét sau k? A k số tự nhiên; B k số nguyên âm; C k số nguyên dương; D k = Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có: (2x – 3)3 = (2x)3 + 2.(2x)2.(– 3) + 2.(2x).(– 3)2 + (– 3)3 = 8x3 – 24x2 + 36x – 27 Hệ số x2 k = – 24 Vậy k số nguyên âm 1 1 Câu Tính giá trị biểu thức T C04 C14 C42 C34 C44 16 A ; B ; 16 C 81 ; 16 D 27 16 Hướng dẫn giải Đáp án là: C 1 1 T C04 C14 C42 C34 C44 16 1 1 1 1 1 C C14 13. C42 12. C34 1. C44 2 2 2 2 2 4 81 1 16 ... Vậy: (2x – 3)4 = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81 b) Ta có: (x + 5)5 + (x – 5)5 = [x5 + 5x4.5 + 10. x3.52 + 10. x2.53 + 5.x.54 + 55] + [x5 + 5x4. (–5 ) + 10. x3. (–5 )2 + 10. x2. (–5 )3 + 5.x. (–5 )4 + (–5 )5]... (3x)4 + 4(3x)3 (–2 ) + 6(3x)2 (–2 )2 + 4(3x) (–2 )3 + (–2 )4 = 34x4 + 4.33x3. (–2 ) + 6.32.x2. (–2 )2 + 4.3x. (–2 )3 + (–2 )4 ⇒ Hệ số x3 4.33. (–2 ) = – 216 Vậy hệ số x3 khai triển (3x – 2)4 – 216 B.2 Bài tập trắc... tập Bài Khai triển đa thức sau : a) (2x – 3)4 ; b) (x + 5)5 + (x – 5)5 Hướng dẫn giải a) Ta có: (2x – 3)4 = (2x)4 + 4(2x)3. (–3 ) + 6(2x)2. (–3 )2 + 4.2x. (–3 )3 + (–3 )4 = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x