Trường điện từ - ĐTVT

Tổng hợp bài tập trường điện từ, đề thi trường điện từ - Viện Điện Tử Viễn Thông - ĐH Bách Khoa

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ_ĐTVT

BÀI TẬP PHẦN TRUYỀN SÓNG

Câu 1: Sóng điện từ lan truyền trong không gian tự do có cường độ điện trường đc biểu diễn theo biên độ phức: E=[ (-√ ) ⃗ +(1-i√ ) ⃗ +i √ ⃗⃗⃗⃗ ] √ V/m Hãy chứng minh đây là sóng phẳng đơn sắc?

Xác định hướng truyền lan của sóng, bước sóng, tần số và vận tốc truyền lan?

Tìm biên độ phức của trường?

Câu 2: Sóng phẳng đơn sắc truyền vuông góc với mặt phân cách hai môi trường điện môi

có , và Tại mặt phân cách biên độ phức của trường E=2mV/m Xác định biên độ phức của điện trường sóng tới, sóng phản

xạ, khúc xạ qua mặt phân cách Viết các thành phần E,H tức thời ở trong hai môi trường

Câu 3 : Một lớp điện môi lý tưởng dày d, hệ số =50, =1, được phủ lên bề mặt vật dẫn lý tưởng Có sóng phẳng đơn sắc đi từ không khí đến vuông góc với điện môi và kim loại xác định hệ số phản xạ tại mặt phân cách không khí và điện môi Tìm d để cho sóng phản xạ lại không khí bằng không ?

Câu 4 : Sóng phẳng đơn sắc có biên độ cường độ điện trường phức :

- Tần số góc, bước sóng, hệ số pha, vận tốc pha

- Viết biểu thức cường độ từ trường

- Hãy chỉ sóng trên phân cực gì? Tại sao?

Câu 6: Sóng phẳng đồng nhất có phân cức ngang đi tới mặt phân cách hai môi trường là

không khí và kim loại (đồng) dưới góc 30 độ , có biên độ

a Hãy vẽ minh họa , xác định góc phản xạ, khúc xạ và hệ số phản xạ, hệ số khúc xạ

b Xác định bề dày tấm đồng đề làm màn chắn sao cho sau màn E giảm đi 1000 lần (Cho biết không khí , )

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ_ĐTVT

Câu 7: Cho một sóng phẳng đơn sắc có tần số f=10MHz biên độ phức của từ trường cho

bởi ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗⃗) Môi trường có Xác định hướng truyền lan của sóng, trở kháng sóng, bước sóng, vận tốc truyền lan và E tức thời

Câu 8: cho một sóng phẳng đơn sắc tần số f=50MHz truyền trong điện môi lý tưởng có

Cho biết mật độ công suất cảu trường là 5 W/ Xác định vận tốc pha, bước sóng, trở kháng sóng và giá trị hiệu dụng của E,H

ĐỀ THI MÔN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ – Lần thứ I – Lớp BT07DCN-DT-TDH

(Thời gian thi : 90 phút – Không kể chép đề) – (Thi ngày 20 – 7 - 2009 )

-

Bài 1: Phát biểu định luật Gauus về điện ? Viết phương trình định luật này dạng tích phân và dẫn

ra dạng vi phân của nó ? Tìm div(D)G biết D Q2

4πr i r

=

trong hệ tọa độ cầu (Q = const) ?

Bài 2: Trình bày các tính chất của vật dẫn khi đặt trong trường điện tĩnh ?

Bài 3: Quả cầu bán kính a có phân bố điện tích khối ρ = const, đặt đồng tâm với

vỏ cần kim loại bán kính trong là b, bán kính ngoài là c Tìm cảm ứng điện các

miền (r < a; a < r < b; b < r < c và r > c) khi không nối đất và nối đất vỏ cầu ?

Bài 4: Tụ điện trụ, bán kính cốt trong là a, bán kính cốt ngoài

là b, dài L, điện môi lý tưởng có ε = const

a) Tìm cường độ trường điện trong điện môi khi cốt tụ trong có

thế điện U, cốt tụ ngoài nối đất ?

b) Tìm điện tích trên cốt tụ trong ? Suy ra điện dung của tụ ?

Bài 5: Tụ điện cầu, bán kính cốt trong a = 1 cm, bán kính cốt ngoài b = 3 cm, cách điện là điện môi

thực có độ dẫn điện γ = 10–8 S/m Nếu đặt tụ dưới hiệu thế U = 5 V, xác định mật độ dòng điện trong điện môi ? Suy ra dòng rò qua tụ ?

Bài 6: Sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền trong điện môi lý tưởng (µ = µ0; ε = const) có vectơ

z

H 30sin(2 10G = π t−5 ) (mA/m)x iG Tìm độ thẩm điện ε , vectơ cường độ trường điện và vectơ mật độ dòng điện dịch ?

Bài 7: Ống dẫn sóng (ods) chữ nhật không tổn hao lý tưởng, lấp đầy không khí, kích thước axb =

22 mm x 10 mm , kích hoạt ở tần số 10 GHz

a) Xác định tất cả các kiểu sóng có thể truyền trong ods ?

b) Nếu kiểu sóng TE10 được truyền đi ở tần số 10 GHz, xác định vận tốc pha v10 , bước sóng λ10, hệ số pha β10 và trở sóng ZTE10 ?

-

♦ Sinh viên không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích đề thi

♦ Một số công thức cơ bản có thể tham khảo ở mặt sau của đề thi Bộ môn duyệt

Hình 4

Electromagnetic Field Exam Solution

BT07DCN Final Exam

Problem 1 solution :

Bài làm phải có 3 phần:

 Phát biểu luật Gauss

 Viết phương trình vi phân

 Dẫn ra dạng vi phân

Tính ra : div(D)=0

Problem 2 solution :

Gồm 4 tính chất

 Mật độ điện tích khối trong vdẫn = 0, xuất hiện điện tích cảm ứng mặt trên bề mặt vdẫn

 Trường điện triệt tiêu trong vdẫn

Nếu có nối đất :

Problem 4 solution :

a) Trường điện trong điện môi

b) Điện tích trên cốt tụ trong và điện dung :

Problem 7 solution :

a) Từ điều kiện tới hạn :

Ta có n = 0 và m = 1 Như vậy chỉ có một kiểu sóng TE10 truyền trong ods

b) Ta tính tần số tới hạn của kiểu TE10 = 6,818GHz Và từ đó có :

Khoa Điện ĐỀ THI CUỐI KHÓA MÔN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ – DD08 (Ngày 22-6-09)

BMCSKTĐiện ( Thời gian 110 phút , không kể chép đề )

-

Bài 1: Dẫn ra định nghĩa thế từ vectơ và thế điện vô hướng ? Thiết lập phương trình D’Alembert của thế vectơ

? Viết ra dạng nghiệm tổng quát của nó ?

Bài 2: Từ biểu thức trường điện từ của nguyên tố anten thẳng ( cho trong bảng công thức), dẫn ra biểu thức tính

trường điện từ ở miền gần (near-field) ? Nhận xét ?

Bài 3: Tụ điện trụ, bán kính cốt tụ trong là a = 1 mm, bán kính cốt ngoài là b = 2 mm,

cách điện không khí (ε = ε0), đặt dưới hiệu thế điện E = 10 V (Hình 3) Dùng phương

trình Laplace, xác định thế điện và cường độ trường điện trong cách điện ? Xác định

mật độ điện tích mặt trên cốt tụ trong ? Xác định điện dung của tụ nếu L = 1 m ?

Bài 4: Tụ điện cầu , bán kính cốt tụ trong là a , bán kính cốt ngoài là b , giữa 2 cốt tụ

là môi trường dẫn có độ dẫn điện σ = const Tụ được đặt dưới hiệu thế điện U (Hình

4) Xác định vectơ mật độ dòng trong môi trường dẫn ? Xác định điện trở của tụ ?

Bài 5: Sóng điện từ phẳng đơn sắc, truyền theo phương +z trong môi trường không nhiễm từ (µ = µ0), có thành

(V/m) x

E(z,t) 10G = e− cos(2 10 t 3πz)aπ − G Xác định :

a) Trở sóng η và mật độ dòng công suất điện từ trung bình của sóng phẳng ?

b) Công suất tiêu tán trong hình hộp giới hạn bởi các mặt : x = 0, x = 1m, y = 0, y = 1m, z = 0 và z = δ ? Với

δ = độ xuyên sâu

Bài 6: Mạch chứa đường dây không tổn hao (lossless TL) như Hình 6, biết Ė =

100∠0oV, Zn = 50 Ω, Z2 = 75 Ω Đường dây có trở kháng đặc tính Z0 = 50 Ω,

dài ℓ = 0,15λ Tìm : (a) Trở kháng vào đầu đường dây Zin ? (b) Trị phức áp và

dòng tại đầu đường dây ? (c) Công suất nhận trên Z2 ?

Bài 7: Ống dẫn sóng (ods) chữ nhật , không tổn hao lý tưởng , lấp đầy không khí, có axb = 2,22 cm x 1,11 cm,

kích hoạt ở tần số 9 GHz

a) Xác định số kiểu sóng có thể truyền trong ods ?

b) Nếu kiểu sóng TE10 được truyền trong ods có thành phần jβ z mn

(A/m) z

H =10cos( x/a).eπ − , tìm tần số tới

hạn fC và trở sóng ηTE của kiểu sóng này ? Xác định công suất trung bình truyền qua tiết diện ngang của ods?

-

♦ Sinh viên không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích đề thi Bộ môn duyệt

♦ Một số công thức cơ bản có thể tham khảo ở mặt sau của đề thi

Electromagnetic Field Exam Solution

DD08 Final Exam

Problem 1 solution :

Bài làm phải có 3 phần:

 Định nghĩa thế vectơ và thế vô hướng

 Từ phương trình: ta dẫn ra phương trình D'Alembert:

 Viết ra dạng nghiệm thế chậm:

Problem 2 solution :

Bài làm phải có 3 phần:

 Xấp xỉ miền gần:

 Viết ra chi tiết trường điện từ ở miền gần:

 Nhận xét ở miền gần: trường điện và trường từ lệch pha 90 degs và mật độ dòng csđt trung bình = 0

Problem 3 solution :

 Dùng pt Laplace & ĐKB giải ra :

 Suy ra:

 Điện dung của tụ C = Q/E = 80,17 pF

Problem 4 solution :

 Giải pt Laplace , suy ra trường điện và suy ra mật độ dòng :

 Dòng rò qua tụ : I(rò) = J.S Điện trở cách điện : R = U/I(rò) Vậy

Như vậy chỉ có một kiểu sóng TE10 truyền trong ods

 Ta tính ra:

 Thành phần :

 Áp dụng công thức tính công suất :

Bài tập 1: Một bề mặt hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng xOy ñược xác ñịnh bởi các

tọa ñộ như sau −5m≤ ≤x 5m và 3− m≤ ≤y 3m Tính tổng ñiện tích của bề mặt ñó biết mật

Bài 1: Hai quả cầu kim loại nhỏ giống hệt nhau ñược ñặt cách nhau 10cm, như trên Hình

1 Các quả cầu có ñiện tích tương ứng là 1,7.10-9 C và -3,3×10-9 C Tìm lực tương tác giữa hai quả cầu nếu chúng ñược nối với nhau quan một dây dẫn rất nhỏ sao cho ta có thể giả thiết rằng các ñiện tích không tập trung trên dây dẫn này

Nếu bỏ qua tác ñộng của dây dẫn, lực tương tác giữa hai quả cầu bằng:

( )

2 9

7 2

Do ñiện tích trên hai quả cầu cùng dấu, hai quả cầu ñẩy nhau

Bài 2: Một vòng ñiện tích ñồng nhất có bán kính b và có mật ñộ ñiện tích dây ρl với cực tính dương Vòng ñiện tích nằm trong không gian tự do trên mặt phẳng xOy như trên

Hình 2 Xác ñịnh vector cường ñộ ñiện trường tại một ñiểm P(0, 0, h) nằm trên trục của vòng ñiện tích và cách tâm của vòng ñiện tích một ñoạn là h

10cm

10cm

Hình 2: Vòng ñiện tích trên mặt phẳng xOy

Giải:

Xét vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi một phần tử vi phân vòng ñiện tích Cụ thể là

phần tử vi phân 1 có tọa ñộ (b, φ, 0) như trên hình vẽ Phần tử vi phân này có ñộ dài

dl=bdφ và có ñiện tích dq=ρl dl=ρ φl bd Vector khoảng cách R1 từ phần tử 1 tới

l b R

Tương tự như vậy, ta có thể viết ñược vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P(0, 0, h)

sinh ra bởi phần tử 2 ñối xứng với phần tử 1 qua gôc tọa ñộ bằng:

Do ñó, vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P(0, 0, h) sinh ra bởi hai phần tử ñối xứng

với Q=2πρl b là tổng ñiện tích của vòng ñiện tích

Bài 3: Xác định vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P (0, 0, h) trong không gian tự do

ở ñộ cao h trên trục z sinh ra bởi một ñĩa ñiện tích hình tròn có bán kính a trong mặt

phẳng xOy với mật ñộ ñiện tích ñồng nhất ρs, như trong Hình 3 Sau ñó, xác ñịnh vector

cường ñộ ñiện trường cho trường hợp bản mỏng vô hạn bằng cách cho a→∞

Do ñó, vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi toàn bộ ñĩa ñiện tích bằng:

h z

−

++

Bài 4: Cho hai bản mỏng tích ñiện ñồng nhất có kích thước vô hạn trong không gian tự

do Bản mỏng thứ nhất có mật ñộ ñiện tích bề mặt ρs ñược ñặt trong mặt phẳng xOy (z =

sinh ra bởi hai bản mỏng ñó trên tất cả các vùng trong không gian

Bài 5: Hai dây ñiện tích dài vô hạn có cùng mật ñộ ñiện tích ρlñặt trong mặt phẳng xOz

song song với trục z tại các vị trí x = 1 và x = -1 Xác ñịnh vector cường ñộ ñiện trường tại một ñiểm bất kỳ trong không gian tự do dọc theo trục y

Giải:

Ta ñã biết, trường sinh ra do một dây ñiện tích dài vô hạn trên trục z bằng:

0

ˆ2

l

r

ρπε

2 0

0

2 0

l

y

y y

Bài 6: Xác ñịnh ñiện thế tại gốc tọa ñộ trong không gian tự do tạo ra bởi 4 quả cầu có

cùng ñiện tích Q=40µC ñặt tại 4 góc của một hình vuông trong mặt phẳng xOy có tâm tại gốc tọa ñộ Cạnh của hình vuông dài 2m

Bài 1: Xác ñịnh nồng ñộ của electron tự do trong nhôm biết rằng ñộ dẫn ñiện của nó là

ñồng nhất dài 300m Tìm hiệu ñiện thế trên hai ñầu sợi dây nếu vật liệu làm sợi dây có ñộ

Bài 3: Cho một ñoạn cáp ñồng trục chiều dài l , bán kính của các dây dẫn bên trong và

ngoài lần lượt là a và b Vật liệu ñiện môi giữa hai dây có ñộ dẫn ñiện σ Hãy tính ñộ dẫn ñiện trên một ñơn vị chiều dài của sợi dây G'

Bài 1: Một vật dẫn thẳng chiều dài l mang dòng ñiện I ñược ñặt dọc theo trục z như minh

họa trên hình vẽ Chứng minh rằng từ trường ñược cho bởi biểu thức:

Giả sử P nằm trên trục Ox, khoảng cách từ gốc tọa ñộ O tới ñầu trên là l2, từ O tới ñầu

dưới của dây là l1 Xét một phần tử vi phân dl

nằm tại tọa ñộ 'z trên trục z, khi ñó

vector khoảng cách từ nguồn tới ñiểm quan sát bằng:

víi víi

Bài 1: Xây dựng biểu thức của ñiện cảm trên một ñơn vị ñộ dài của một cáp ñồng trục

dựa trên công thức L

I

Φ

= Các vật dẫn là lý tưởng và có bán kính là a và b; và vật liệu cách ñiện có ñộ từ thẩm tuyến tính µ

µ π

Dây dẫn trong Mặt cắt dọc của một dây dẫn ñồng trục

Bài 2: Một vòng dây dẫn tròn bán kính a mang dòng ñiện I 1 nằm trong mặt phẳng xOy

như trên hình vẽ Bên cạnh ñó, một dây dẫn thẳng dài vô hạn ñặt song song với trục z tại

2 2

=

Trong ñó, vector ñơn vị ϕˆ ñược ñịnh nghĩa theo hệ tọa ñộ của dây dẫn thẳng Nếu xét trên hệ tọa ñộ của dây dẫn thẳng, ta nhận thấy ñiểm P nằm ở vị trí có tọa ñộ ϕ = −90o Theo công thức

BÀI TẬP SỐ 7

Bài 1: Một sóng phẳng ñồng nhất với E
=xEˆ x

lan truyền theo hướng +z trong một môi trường

không suy hao có 'ε =4 và µ' 1= Giả thiết rằng E có dạng hình sin với tần số x

Trở kháng sóng của môi trường bằng:

( )

7 12

Trường E và H của song phẳng tại thời ñiểm t = 0

b) Hàm cosine ñạt giá trị cực ñại dương nếu ñối số của nó bằng 2n± π với n=0, 1, 2,… Do ñó tại thời ñiểm t=10−8, trường ñạt giá trị cực ñại tại các vị trí z M thỏa mãn ñiều kiện:

±

Tuy nhiên, do song phẳng truyền theo phương +z nên z M chỉ nhận các giá trị dương, vì vậy

Bài 2: Một sóng phẳng hình sin ñồng nhất lan truyền trong không khí có từ trường tức thời ñược

cho bởi biểu thức:

j x z

π η

BÀI TẬP SỐ 8

Bài 1: Tính hằng số pha, hằng số suy hao, trở kháng song và bước sóng của một sóng có tần số 3 GHz trong

một vật liệu có µ' 1= , εr' =2, 5 và suy hao tangent bằng 0.01

Bài 2: Vector cường ñộ ñiện trường của một song phẳng ñồng nhất phân cực tuyến tính lan truyền theo

(a) Xác ñịnh hằng số suy hao, trở kháng sóng, vận tốc pha, bước song và ñộ sâu bề mặt

(b) Tim khoảng cách mà tại ñó biên ñộ của trường bằng 1% giá trị của nó tại z = 0

(c) Viết các biểu thức của E(z, t) và H(z, t)

(d) Tính ñộ sâu bề mặt tại tần số 1 GHz

Vector từ trường:

( ) ( )

8,89 8,89 /4

8,89 /4 8,89

ˆ100

Bài 3: Tính mật ñộ công suất trung bình của một song phẳng hình sin ñồng nhất lan truyền trong không khí

biết biểu thức tức thời của vector từ trường ñược cho bởi biểu thức:

Bài 1: ðiện trường của một sóng phẳng ñồng nhất lan truyền trong một môi trường ñiện

môi ñược cho bởi biểu thức

( ), ˆ2 cos 10( 8 / 3) ˆsin 10( 8 / 3) /

(a) Xác ñịnh tần số và bước sóng của sóng

(b) Xác ñịnh hằng số ñiện môi của môi trường?

(c) Tìm biểu thức tức thời của vector từ trường H

tương ứng

2

ε ω

Bài 2: Tìm ñiều kiện ñối với một sóng phẳng lan truyền vuông góc với mặt phân cách

giữa hai môi trường ñiện môi không suy hao ñể cho ñộ lớn của hệ số phản xạ bằng ñộ lớn của hệ số truyền qua Tỷ số sóng ñứng ño bằng dB trong trường hợp này bằng bao nhiêu?

Bài 1: Một sóng phẳng ñồng nhất (E H
i,
i)với tần số 3 GHz lan truyền theo hướng +z trong một môi

trường không suy hao có ε1' = 4 và µ1' =1 ðiện trường ñược phân cực theo hướng x Sóng ñi vào môi trường 2 không suy hao có ε2' = 9 và µ2' =1 theo hướng vuông góc với mặt phân cách tại z = 0 Biên

ñộ của cường ñộ ñiện trường tới là 100 V/m Hãy viết các biểu thức phasor và tức thời cho:

(a) E
1 và H
1 của sóng tổng hợp trong môi trường 1, chỉ rõ các thành phần sóng chạy và sóng ñứng

(b) E
2 và H
2 của sóng tổng hợp trong môi trường 2

(c) Vẽ các dạng sóng ñứng cho ñiện trường và từ trường Biểu thị các giá trị và vị trí (theo mm) của các ñiểm cực trị

Giải: Ta có:

a)

( )1

Bài 2: Xét một ñường microstrip có chiều dài 38,1 mm và chiều rộng 1,241 mm trên một ñế ñiện môi dày 1,27 và có hằng số ñiện môi tương ñối bằng 4 Giả thiết vật dẫn là lý tưởng và ñiện môi không có suy hao

(a) Xác ñịnh trở kháng vào của mạch tại tần số 2 GHz nếu ñường truyền ñược nối với một ñiện trở 300

b) Nếu tải là thuần trở, thì tại tải sẽ có một cực ñại ñiện áp (nếu R L > Z0 ) hoặc một cực tiểu ñiện áp (nếu

R L < Z0 ) Trong bài này, Z L=300 Ω > Z0 , nên sẽ có một cực ñại ñiện áp tại tải và các giá trị cực ñại tại các khoảng cách λ/ 2 tính từ tải

Như vậy, cực ñại ñiện áp ñạt tại các vị trí:

( )'

λ tính từ tải, và các giá trị cực ñại tại các khoảng cách λ/ 2 tính từ

ñiểm cực ñại ñầu tiên:

( )'

m

Bài 3: Xét mạch ñiện dưới ñây Tìm trở kháng ñặc tính Z0 và ñộ dài chuẩn hóa tối thiểu /l λ của mạch

dải ñể cho trở kháng vào của mạch là Zin=300 Ω

Giải:

ðặt T =tan( ) βl =tan 2( π λl/ )

( ) ( )

0

0

tan

86,821+ 120,463 tan

+

+