Microsoft Word Chç �Á 5 PH¯€NG TRÌNH L¯âNG GIÁC TH¯ÜNG G¶P doc Trang 1 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Loại 1 Phương trình thuần nhất với sin xk và cos kx Dạ[.]
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Loại 1: Phương trình với sin kx cos kx Dạng phương trình: a sin kx b cos kx c Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a a b b sin kx 2 a b a b , ta cos kx a b Do nên đặt 2 2 a b a b a a b2 c a b2 b cos Khi phương trình trở thành cos sin x sin cos x a b2 c a b sin sin x c a b2 Đây phương trình sơ cấp biết cách giải Điều kiện có nghiệm: c a b a b2 c2 2) Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai với sin x cos x Dạng phương trình: a.sin x b.sin x cos x c.cos x Cách giải: Thực bước sau - Bước 1: Kiểm tra cos x có nghiệm phương trình hay khơng - Bước 2: Khi cos x , chia hai vế phương trình cho cos x ta thu phương trình a tan x b tan x c Đây phương trình bậc hai tan x mà ta biết cách giải Chú ý: - Với phương trình dạng a.sin x b.sin x cos x c.cos x d ta làm sau: Phương trình a sin x b sin x cos x c cos x d.1 a sin x b sin x cos x c cos x d sin x cos x a d sin x b sin x cos x c d cos x - Ngồi cách giải ta áp dụng cơng thức góc nhân đơi cơng thức hạ bậc đưa phương trình xét loại Cụ thể, a.sin x b.sin x cos x c.cos x a cos 2x 1 cos 2x b.sin 2x c 0 2 3) Loại 3: Phương trình đẳng cấp bậc ba với sin x cos x Dạng phương trình: a.sin x b.sin x.cos x c.sin x.cos x d.cos x Cách giải: Thực bước sau Trang - Bước 1: Kiểm tra cos x có nghiệm phương trình hay không - Bước 2: Khi cos x , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta thu phương trình a.tan x b.tan x c.tan x d Chú ý: Với phương trình đẳng cấp bậc ba khuyết hệ số chẵn (bậc 3-1) cách giải hồn tồn tương tự a.sin x b.sin x c.cos x d.cos x a sin x sin x 1 b c d cos x cos x cos x cos x a.tan x b.tan x 1 tan x c 1 tan x d 4) Loại 4: Phương trình có chứa sin x cos x Dạng phương trình: a sin x cos x b.sin x.cos x c Cách giải: Đặt t sin x cos x sin x t 4 Lại có t 2sin x.cos x sin x.cos x t2 1 1 t2 sin x.cos x 2 t Thay vào phương trình ta dễ dàng tìm t, suy sin x x 4 5) Loại 5: Phương trình có chứa tan x cot x Dạng phương trình: a tan x cot x b tanx cotx c Cách giải: Đặt t tanx cotx sin x cos x cos x sin x sin x.cos x sin 2x sin x cos x cos 2x sin x.cos x sin 2x Lại có t tan x cot x tan x cot x t Thay vào phương trình ẩn t, tìm t suy x 6) Loại 6: Một số phương trình đối xứng tương tự Dạng phương trình: a sin x cos x b sin 2x c Dạng phương trình: a sin x cos x b cos 2x c Dạng phương trình: a sin x cos6 x b sin 2x c Dạng phương trình: a sin x cos x b cos 2x c Dạng phương trình: a sin x b cos x c.cos 2x d II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Phương trình sin x cos x Trang Ví dụ Giải phương trình sau: a) cos x sin x b) sin x cos x Lời giải: a) cos x sin x cos x sin x cos x 2 3 7 x k2 x 12 k2 k Z x k2 x k2 12 b) sin x cos x 1 3 cos x cos x sin x 2 4 2 5 x k2 x 12 k2 k Z x k2 x k2 12 Ví dụ Giải phương trình sau cos 3x sin 3x a) b) sin x cos x sin 5x Lời giải: a) cos 3x sin 3x cos 3x cos 3x sin 3x 2 6 5 2 3x k2 x 36 k k Z 3x k2 x k 2 36 b) sin x cos x sin 5x 1 cos x sin x sin 5x sin x sin 5x 4 2 x 16 k 5x x k2 k Z x 3 k 5x x 2k 24 Ví dụ Giải phương trình sau a) a) sin x sin x cos x b) sin 2x sin 2x Lời giải: cos x sin x cos x sin x cos x 1 cos x sin x cos x sin x 4 4 4 4 Trang 6 6 cos x cos x 6 12 5 x k2 x 12 12 k2 k Z x k2 x 5 k2 12 12 Vậy phương trình có nghiệm x b) k2 , x k2 , k Z sin 2x sin 2x sin 2x cos 2x cos 2x 3 2 x k 2x k2 k Z x k 2x k2 3 Vậy phương trình có nghiệm x k , x k , k Z Ví dụ Giải phương trình sau a) 3sin 3x cos 9x 4sin 3x b) sin x cos x 4 Lời giải: a) 3sin 3x cos 9x 4sin 3x cos 9x 3sin 3x 4sin x 1 2 k 9x k2 x 54 cos 9x sin 9x cos 9x 6 9x k2 x k 2 18 Vậy phương trình có nghiệm x 2 2 , x k , k Z k 54 18 1 b) Ta có sin x cos x sin x cos x sin x 4 4 sin x 1 cos x 1 1 2sin x cos x 4 sin x 1 cos x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x sin x sinxcosx sinx cos x sin x sin x cos x 4 sin x x k x k cos x x k x k 4 4 Trang Vậy phương trình có nghiệm x k , x k , k Z Ví dụ Giải phương trình sau a) cos 7x sin 5x cos 5x sin 7x b) tan x 3cot x sin x cos x Lời giải: a) cos 7x sin 5x cos 5x sin 7x cos 7x sin 7x cos 5x sin 5x 7x 5x k2 x k 12 cos 7x cos 5x k Z 7x 5x k2 x k 72 6 Vậy phương trình có nghiệm x k , x k , k Z 12 72 b) Điều kiện: sin x, cos x PT tan x 3cot x sin x cos x sin x cos x 3 sin x cos x cos x sin x sin x 3cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x sinsinx x cos x cos x sin x sin 2x sin x sin x cos x 3 3 0 cos x 0 sin x cos x sin x cos x x k x k cos x 2x x k2 x k2 (thỏa mãn) 3 sin x sin 2x 3 2x x k2 x 4 k 2 Vậy phương trình có nghiệm x 4 2 , k Z k , x k2 , x k 3 Ví dụ Giải phương trình sau a) 1 cos 2x cos x 2sin x b) sin 2x sin x Lời giải: a) Điều kiện: sin x PT 1 cos 2x cos x cos 2x 2sin x cos x sin 2x cos 2x 2sin x 2x k2 x k 6 cos 2x k Z x k 6 2x k2 6 Trang Vậy phương trình có nghiệm x k , x k , k Z b) sin 2x sin x 1 1 sin 2x 1 2sin x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 2 2 1 sin 2x cos 2x cos 2x 2x k x k 2 5 2 1 ( Với sin , cos ) Vậy phương trình có nghiệm x k 2 5 2 k Z Ví dụ Giải phương trình sau a) cos x sin x 2 6 b) cos 7x sin 7x 0, x ; cos x Lời giải: a) ĐKXĐ: cos x cos x sin x cos x sin x sin x sin x sin x cos x sin x sin x x k k Z Vậy phương trình có nghiệm k , k Z 3 5 k2 x k2 x 12 b) cos 7x sin 7x cos x 3 x 3 k2 x 13 k2 12 5 6 5 Do x ; x Vậy x nghiệm cần tìm 12 12 Ví dụ Giải phương trình sau b) sin x cos x a) sin15x cos 5x sin 5x 4 sin x cos x Lời giải: a) PT cos 5x sin 5x sin15x sin 5x sin 15x 2 5x 15x k2 x 5x 15x k2 x Vậy nghiệm PT là: x k 60 10 k 15 k k , x , k Z 60 10 15 Trang b) Đặt t sin x cos x 2sin x t 2; 2 , t 1 ta có 3 PT t t t t 4t t 3t tm t 1 t x k2 x + Với t sin x 3 x 5 k2 x k2 k2 + Với t sin x x k2 x k2 3 Vậy PT có nghiệm là: x k2, x k2 k Z Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x cos x 3 sin x cos x b) cos x sin x.cos x cos x sinx Lời giải: a) Đặt t sin x cos x 2sin x t 1, t 2; 2 ta có: 6 1 13 tm t 1 13 2 PT t t t 3 sin x t 1 6 1 13 2 loai t 1 13 k2 x arcsin k Z 5 1 13 arcsin k2 x sin x b) ĐK: cos x sinx 2 sin x sinx 1 sin x 2 Với điều kiện PT cos x sin 2x cos 2x sin x cos x sin x sin 2x cos 2x 2 cos x cos 2x x k2, x k 3 6 18 Kết hợp điều kiện: Vậy PT có nghiệm là: x 2 k k Z 18 Ví dụ 10 Giải phương trình sau a) cos x cos 2x cos 3x sin x cos x cos x b) cos 2x sin 2x sin x cos x Lời giải: Trang a) ĐK: cos x 1, cos x PT Với ĐK trên: 1 cos 2x cos x cos 3x cos 2x cos x 3 sin x cos x cos x cos 2x 2 cos x cos 2x.cos x sin x sin x cos 2x cos x cos x cos 2x x k2 cos x sin x sin x sin x k2 loai 3 Vậy nghiệm PT x k2 k Z b) PT cos 2x sin x sin x sin x 3 6 6 6 2 sin x sin x sin x x k2 6 6 6 Vậy x k2 k Z Ví dụ 11 Giải phương trình sau a) sin 8x cos 6x sin 6x cos8x b) 2sin x sin 2x Lời giải: a) PT sin 8x 3cox8x sin 6x cos 6x sin 8x sin 6x 3 6 8x 6x k2 x k 8x 6x k2 x k 12 Vậy nghiệm PT là: x k k , x 12 k Z b) PT sin x 1 sin 2x sin 2x cos 2x sin 2x 6 2x k2 x k Vậy nghiệm PT là: x k k Z Ví dụ 12 Giải phương trình sau a) cos x sin x cos x b) cos 2x sin 2x sin 2x 2 6 Lời giải: a) Đk: sin 2x Khi đó: PT 8cos x.sin x.cos x sin x cos x Trang cos x.sin 2x sin x cos x sin 3x sin x sin x cos x 2 3x x k2 2 2sin 3x sin x cos x sin 3x sin x 3x x k2 x k tm x k 12 Vậy nghiệm PT là: x k k , x , k Z 12 b) PT cos 2x sin 2x 2 cos 2x cos 6 6 4 5 x k 2x 12 k2 k Z x k 2x k2 12 12 Ví dụ 13 Giải phương trình sau a) sin 2x sin x cos 2x cos x b) 8sin 2x.cos 2x sin 2x cos 2x Lời giải: a) PT sin 2x cos 2x sin x cos x cos 2x sin x 3 6 sin x x 2 2sin x sin x 6 6 x sin x Vậy PT có nghiệm là: x k k2, x k2 k , x k2 , x k2 k Z b) PT 4sin 2x sin 4x sin 2x cos 2x cos 2x cos 6x sin 2x cos 2x 6x 2x k2 sin 2x cos 2x cos 6x cos 2x cos 6x 3 6x 2x k2 k x 12 x k 24 Vậy nghiệm PT là: x k k , x 12 24 k Z Trang Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba Ví dụ Giải phương trình sau a) 2sin x sin x.cos x 3cos x b) 2sin x 3sin x.cos x cos x Lời giải: a) PT 2sin x 2sin x.cos x 3sin x.cos x 3cos x 2sin x sin x cos x 3cos x sin x cos x sin x cos x sin x 3cos x x k tanx sin x cos x k Z 3 tanx x arctan 3 k 2sin x 3cos x b) PT 2sin x 2sin x.cos x sin x.cos x cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x x k tan x sin x cos x k Z tanx x arctan k 2sin x cos x 2 Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x 10sin x.cos x 21cos x b) 2sin x 5sin x.cos x 3cos x Lời giải: a) PT sin x 3sin x.cos x sin x.cos x 21cos x sin x sin x 3cos x cos x sin x 3cos x sin x 3cos x sin x cos x x arctan 3 k sin x 3cos x tan x k Z 2sin x cos x tan x x arctan k b) PT 2sin x 2sin x.cos x 3sin x.cos x 3cos x 2sin x sin x cos x 3cos x sin x cos x sin x cos x 2sin x 3cos x x k tan x sin x cos x k Z tan x x arctan k 2sin x 3cos x 2 Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x sinx.cos x cos x a) PT sin x sin x.cos x b) 3sin x 4sin 2x cos x Lời giải: sin x.cos x cos x Trang 10 ... cos x có nghiệm phương trình hay khơng - Bước 2: Khi cos x , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta thu phương trình a.tan x b.tan x c.tan x d Chú ý: Với phương trình đẳng cấp bậc... cot x t Thay vào phương trình ẩn t, tìm t suy x 6) Loại 6: Một số phương trình đối xứng tương tự Dạng phương trình: a sin x cos x b sin 2x c Dạng phương trình: a sin x cos... 1 t2 sin x.cos x 2 t Thay vào phương trình ta dễ dàng tìm t, suy sin x x 4 5) Loại 5: Phương trình có chứa tan x cot x Dạng phương trình: a tan x cot x b tanx