THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực sin x sin x : x y = sin x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sin x Tập xác định hàm số sin 2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực cos x cos x : x y = cos x gọi hàm số sin, kí hiệu y = cos x Tập xác định hàm số cô sin 3) Hàm số tang Hàm số tang hàm số xác định công thức y = sin x cos x (cos x ¹ 0), kí hiệu y = tan x ìp ï ï2 ợ ỹ ù ù ỵ Tp xỏc nh ca hm số y = tan x D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý 4) Hàm số côtang Hàm số côtang hàm số xác định công thức y = cos x sin x (sin x ¹ ), kí hiệu y = cot x Tập xác định hàm số y = cot x D = \ {k p, k Ỵ } II – TÍNH TUẦN HỒN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn, tồn số T ¹ cho với x Ỵ D ta có: ● x -T Ỵ D x +T Ỵ D ● f ( x +T ) = f ( x ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn Người ta chứng minh hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2p ; hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T = p ; hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T = p ; hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T = p 2) Chú ý ● Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 2p a ● Hàm số y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 2p a ● Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = p a ● Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = p a ● Hàm số y = f1 ( x ) tuần hoàn với chu kì T hàm số y = f ( x ) tuần hồn với chu kì T hàm số y = f1 ( x ) f ( x ) tuần hoàn với chu kì T bội chung nhỏ T1 T Lưu ý số thực không xác đinh bội chung nn, nên T0 mT1 nT2 với m,n số tự nhiên nguyên tố ) III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số y = sin x ● Tập xác định D = , có nghĩa xác định với x Ỵ ; ● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ sin x £ 1; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì p, có nghĩa sin ( x + k 2p ) = sin x với k Ỵ ; ỉ p p Hm s ng bin trờn mi khong ỗỗỗ- + k 2p; + k 2p÷÷÷ nghịch biến mi khong ố 2 ứ ổp ỗỗ + k p; 3p + k p ÷÷ , k ẻ ; ữứ ỗố 2 L hm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 2) Hàm số y = cos x ● Tập xác định D = , có nghĩa xác định với x Ỵ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang ● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ cos x £ 1; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì p, có nghĩa cos ( x + k 2p ) = cos x với k Ỵ ; ● Hàm số đồng biến khoảng (-p + k 2p; k 2p ) nghịch biến khoảng (k 2p; p + k 2p ) , k Ỵ ; ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng 3) Hàm số y = tan x ìp ù2 ù ợ ỹ ù ù ỵ Tp xỏc định D = \ ïí + k p, k Î ïý ; ● Tập giá trị T = ; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Ỵ ; ỉ p p Hm s ng bin trờn mi khong ỗỗỗ- + k p; + k pữữữ, k ẻ ; ố ø ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y x 3p -p p O p p 3p 4) Hàm số y = cot x ● Tập xác định D = \ {k p, k Ỵ }; ● Tập giá trị T = ; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Ỵ ; ● Hàm số đồng biến khoảng (k p; p + k p ), k Ỵ ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang y -2p - 3p -p - p O p p 3p 2p x B PHÂN LOAIJVAF PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAIF TÂP Dạng 1: Tìm tập xác đinh hàm số Phương pháp Để tìm tập xác định hàm số ta cần lưu ý điểm sau y u x có nghĩa u x xác định u(x) y y Hàm số y s inx, y cosx xác định tập giá trị là: u(x) có nghĩa u x , v x xác định v(x) v(x) u(x) v(x) có nghĩa u x , v x xác định v(x) 1 sin x ; cos x Như vậy, y s in u x , y cos u x xác định u x xác định k,k y tan u x có nghĩa u x xác định u x y cot u x có nghĩa u x xác định x k,k Các ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: 5x ; x2 b) y cos x2 ; a) y sin c) y sin x; d) y sin x Giải 5x xác định x x 1 x 1 a) Hàm số y sin Vậy D \ 1 b) Hàm số y cos x xác định x x2 2 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang Vậy D x | 2 x 2 c) Hàm số y sin x xác định sinx k2 x k2,k Vậy D x | k2 x k2,k d) Ta có: 1 s inx s inx Do đó, hàm só ln ln xác định hay D Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: 6 a) y tan x ; 3 b) y cot x ; c) y sin x ; cos(x ) d) y tan x Giải 2 k, k a) Hàm số y tan x xác định x k x 6 2 k,k 3 Vậy D \ 3 b) Hàm số y cot x xác định x k x k,k 3 k,k Vậy D \ c) Hàm số y 3 sin x xác định cos x x k x k,k 2 cos(x ) 3 k,k 2 Vậy D \ d) Hàm số y xác định tan x x k, k tan x 4 Vậy D \ k,k Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: a) y cos2x ; cos x b) y 3cos2x sin3x cos3x Giải a) Hàm số y cos2x 2 xác định cosx x k, k cosx Vậy D \ k,k Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang b) Hàm số y 3cos2x xác định sin 3x cos3x k sin 3x cos3x sin 6x 6x k x ,k k ,k Vậy D \ Ví dụ Tìm m để hàm số sau xác định : y 2m 3cos x Giải Hàm số cho xác định R 2m 3cos x cosx Bất đẳng thức với x 2m 2m m 3 Bài tập trắc nghiệm Câu Tìm tập xác định D hàm số y = 2021 sin x A D = B D = \ {0} C D = \ {k p, k Ỵ } D D = \ ïí + k p, k ẻ ùý ỡp ù ù2 ợ ỹ ù ù þ ìp ï ï2 ỵ ü ï ï þ Lời giải Chọn C Hàm số xác định sin x ¹ x ¹ k p, k Ỵ Vật tập xác định D = \ {k p, k Ỵ } Câu Tìm tập xác định D hàm số y = + sin x cos x -1 A D = B D = \ ïí + k p, k Î ïý C D = \ {k p, k Î } D D = \ {k 2p, k Î } Lời giải Chọn D Hàm số xác định cos x -1 ¹ cos x ¹ x ¹ k 2p, k Î Vậy tập xác định D = \ {k 2p, k Ỵ } Câu Tìm tập xác định D hàm số y = cos x ổ pử sin ỗỗ x - ữữữ ỗố 2ứ Giỏo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang ỡ p ùợù ỹ ùỵù A D = \ ùớk , k ẻ ùý ỡ ùợù B D = \ {k p, k ẻ } ỹ ùỵù p C D = \ ïí(1 + k ) , k Ỵ ïý D D = \ {(1 + k ) p, k Ỵ } Lời giải Chọn C ỉ pư p p Hàm số xỏc nh sin ỗỗỗ x - ữữữ x - ¹ k p x ¹ + k p, k ẻ ố 2ứ ỡp ùợù 2 ỹ ùỵù Vy xỏc nh D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý Câu Tìm tập xác định D hàm số y = 2021 sin x - cos x ì p ùợù ỹ ùỵù B D = \ ùớ- + k p, k Ỵ ïý A D = ỡp ợùù ỹ ùỵù ỡp ợùù C D = \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý ỹ ùỵù D D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý Lời giải Chọn D p Hàm số xác định sin x - cos x ¹ tan x ¹ x ¹ + k p, k ẻ ỡp ợùù ỹ ùỵù Vy xỏc nh D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý ỉ pư Câu Tìm tập xác định D hàm số y = cot ỗỗỗ2 x - ữữữ + sin x ố ỡp ùợù 4ứ ỹ ùỵù A D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý ìp ùợù B D = ặ ỹ ùỵù p C D = \ ïí + k , k Î ïý D D = Lời giải Chọn C æ pö p p kp Hàm số xác định sin ỗỗỗ2 x - ữữữ x - ¹ k p x ¹ + , k Ỵ è 4ø ìp ỵïï p ỹ ùỵù Vy xỏc nh D = \ ïí + k , k Ỵ ïý ỉx pư Câu Tìm tập xác định D hàm số y = tan ỗỗỗ - ữữữ ố2 4ứ ì 3p ü + k p, k Ỵ ïý ùợù ùỵù A D = \ ùớ Giỏo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 ìp ïỵï ỹ ùỵù B D = \ ùớ + k 2p, k ẻ ùý Trang ỡp ùợù ỡ 3p ùỹ + k p, k ẻ ý ùợù ùỵù ỹ ùỵù D D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý C D = \ ïí Lời giải Chọn A ỉx pư p x p 3p Hm s xỏc nh cos ỗỗỗ - ữữữ - + k p x + k 2p, k ẻ ố2 4ø 2 ì 3p ü + k p, k ẻ ùý ùợù ùỵù Vy xác định D = \ ïí Câu Tìm tập xác định D hàm số y = ìp ïỵï tan x - - sin x ỹ ùỵù ỡp ùợù ỹ ùỵù A D = \ ïí + k 2p, k Î ïý B D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý C D = \ {p + k p, k Ỵ } D D = Lời giải Chọn B Hàm số xác định - sin x ¹ tan x xác định ìïsin x ¹ p ïí cos x ¹ x ¹ + k p, k ẻ ùùợcos x ỡp ùợù ỹ ùỵù Vy xỏc nh D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý Câu Tìm tập xác định D hàm số y = sin x + A D = B D = [-2; +¥) C D = [0;2 p ] D D = Ỉ Lời giải Chọn A Ta có -1 £ sin x £ ¾¾ £ sin x + £ 3, "x Ỵ Do ln tồn bậc hai sin x + với x Ỵ Vậy tập xác định D = Câu Tìm tập xác định D hàm số y = sin x - A D = B \ {k p, k Ỵ } C D = [-1;1] D D = Ỉ Lời giải Chọn D Ta có -1 £ sin x £ ¾¾ -3 £ sin x - £ -1, "x Ỵ Do khơng tồn bậc hai sin x - Vậy tập xác định D = Ỉ Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y = 1 - sin x ỡp ùợù ỹ ùỵù B D = \ ïí + k p, k Î ïý A D = \ {k p, k ẻ } ỡp ùợù ỹ ùỵù C D = \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý D D = Ỉ Lời giải Chọn C Hàm số xác định - sin x > sin x < (*) p Mà -1 £ sin x £ nên (*) sin x ¹ x ¹ + k 2p, k ẻ ỡp ùợù ỹ ùỵù Vy xỏc định D = \ ïí + k 2p, k Î ïý Câu 11 Tìm tập xác định D hàm số y = - sin x - + sin x A D = Ỉ B D = ép êë C D = ê + k 2p; ù 5p + k 2p ú , k Ỵ úû é 5p ù 13p + k p; + k p ú , k Ỵ êë úû D D = ê Lời giải Chọn B ì1 + sin x ù , "x ẻ ù ù ợ1 - sin x ³ Ta có -1 £ sin x £ ïí Vậy tập xác định D = ỉp Câu 12 Tìm tập xỏc nh D ca hm s y = tan ỗỗỗ cos x ữữữ ố2 ứ ỡp ùợù ỹ ùỵù ỡp ùợù ỹ ùỵù A D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý B D = \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý C D = D D = \ {k p, k Ỵ } Lời giải Chọn D Hàm số xác định p p cos x ¹ + k p cos x ¹ + k (*) 2 Do k ẻ nờn (*) cos x 1 sin x ¹ x ¹ k p, k Ỵ Vậy tập xác định D = \ {k p, k Ỵ } Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ hàm số y f(x) Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số; kiểm chứng D tập đối xứng qua số tức x,x D x D (1) Bước 2: Tính f(x) so sánh f(x) với f(x) - Nếu f(x) f(x) f(x) hàm số chẵn D (2) - Nếu f(x) f(x) f(x) hàm số lẻ D (3) Chú ý: - Nếu điều kiện (1) khơng nghiệm f(x) hàm khơng chẵn không lẻ D; - Nếu điều kiện (2) (3) khơng nghiệm đúng, f(x) hàm khơng chẵn khơng lẻ D Lúc đó, để kết luận f(x) hàm không chẵn không lẻ ta cần điểm x0 D cho f( x ) f(x ) f( x ) f(x ) Các ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: c) y sin x b) y = tan x ; a) y = sin2x; Giải a) TXĐ: D Suy x D x D Ta có: f x sin 2x sin 2x f x Do hàm số cho hàm số lẻ b) TXĐ: D \ k,k Suy x D x D Ta có: f x tan x tan x f x Do hàm số cho hàm số chẵn c) TXĐ: D Suy x D x D Ta có: f x sin x sin x f x Do hàm số cho hàm số chẵn Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 10 Ta có: VT * VP * * có nghiệm x Khi x k, k k, k : cos2 x , chia hai vế (*) cho cos2 x tan x tan x k, k 6 Vậy nghiệm phương trình (*) x k, k ; x k, k Ví dụ Giải phương trình cos3 x 2sinxcos2x 3sin3x * Giải Khi x cox k, k 2 sin x Ta có: VT * 3 VP * khơng có nghiệm x k, k cos3 x Chia hai vế (*) cho cos3 x , ta được: tanx 3tan3 x tan x 1 tan x 3tanx 0 tan x tan x k, k 4 Vậy nghiệm phương trình (*) x k, k Ví dụ Giải phương trình cos3 x sinx 3sin2xcosx * Giải Khi x cox k, k 2 sin x Ta có: VT * 1 VP * khơng có nghiệm cos3 x Chia hai vế (*) cho cos3 x , ta tan x tan x tan x tan x 2tan x tan tanx 1 tan x 2tanx tan x tan x x tan x tan x 2tanx x arctan k Vậy nghiệm (*) x ;x arctan k, k Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 93 Ví dụ Xác định a để asin2 x 2sin2x 3acos2x * có nghiệm Giải cos2x cos2x 2sin x 3a 2 2 * a 2sin 2x a cos2x 2a 1 (*) có nghiệm 1 có nghiệm 22 a 2a a 8a 4a 3a 8a a 8 Vậy với a phương trình cho có nhiệm Ví dụ Cho phương trình: sin3 x 2m 1 sin2 xcosx 3m 1 sinx cos3 x * Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x ;0 Giải Khi x cox k, k 2 sin x Ta có: VT * 1 VP * khơng có nghiệm cos3 x Chia hai vế (*) cho cos3 x , ta được: tan3 x 2m 1 tan2 x 3m 1 tanx m Đặt t tanx với x ;0 t ;0 Ta có: t 2m 1 t 3m 1 t m t 1 t 1 t 2mt m f t t 2mt m 1 Để (*) có ba nghiệm phân biệt x ;0 (1) có hai nghiệm phân biệt m m 0, m P t1 t m-1 m 1 t1 ,t : t1 ,t 1 S m f 1 1 2m m Vậy m thỏa mãn đề Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 94 Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giải phương trình sin x -( + 1) sin x cos x + cos x = p p A x = + k 2p (k Ỵ ) C B x = + k p (k Ỵ ) é p ê x = + k 2p ê (k Ỵ ) ê ê p ê x = + k 2p êë D é p êx = + kp ê (k Ỵ ) ê ê p êx = + kp êë Lời giải Chọn D é tan x = Phương trình tan x - ( + 1) tan x + = êê êë tan x = é p êx = + kp ê ê (k Ỵ ) p ê êx = + kp ëê Câu 2: Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sin x + sin x cos x = ? æ A cos x (cot x - 3) = é æ è 2ứ ự p C ờờcos2 ỗỗỗ x + ữữữ -1úú (tan x - ) = pử ộ ổ pử ự B sin ỗỗỗ x + ữữữ ờờ tan ỗỗỗ x + ữữữ - - úú = è 2ø ë è 4ø û D (sin x -1)(cot x - ) = û Lời giải Chọn B Phương trình sin x + sin x cos x = sin x + cos2 x sin x cos x - cos x = cos x æ è ( ) sin x - cos x = pö 2ø cos x = sin ỗỗỗ x + ữữữ = sin x - cos x = tan x = p +1 tan x + tan ỉ ư÷ ỉ p pư = = + tan ỗỗ x + ữữữ - - = Ta cú tan ỗỗỗ x + ữữ = ỗ p ố ố ø - tan x tan 4ø 1.1 ù ỉ pư é ỉ pư Vậy phương trình ó cho tng ng vi sin ỗỗỗ x + ữữữ ờờ tan ỗỗỗ x + ữữữ - - úú = è 2ø ë è 4ø û Câu 3: Cho phương trình cos x - sin x cos x + = Mệnh đề sau sai? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 95 A x = k p khơng nghiệm phương trình B Nếu chia hai vế phương trình cho cos2 x ta phương trình tan x - tan x + = C Nếu chia vế phương trình cho sin x cot x + cot x + = ta phương trình D Phương trình cho tương đương với cos x - sin x + = Lời giải Chọn C ìïsin x = ìïsin x = Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy íï ïïỵcos x = 1 ïïỵcos x = Với x = k p ¾¾ íï A ( thay x = k khơng thỏa mãn pt) Phương trình cos x - sin x cos x + sin x + cos2 x = sin x - sin x cos x + cos x = tan x - tan x + = Vậy B Phương trình cos2 x - sin x cos x + sin x + cos2 x = cos x - sin x cos x + sin x = cot x - cot x + = Vậy C sai Phương trình + cos x sin x -3 + = cos x - sin x + = Vậy D 2 Câu 4: Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin x - sin x cos x + cos2 x = đường tròn lượng giác là? A B C D Lời giải Chọn C Phương trình sin x - sin x cos x + cos2 x = (sin x + cos2 x ) -4 sin x - sin x cos x - cos x = (2 sin x + cos x ) = sin x + cos x = tan x = - ¾¾ có vị trí biểu diễn nghiệm đường tròn lượng gác Câu 5: Số nghiệm phương trình cos x - sin x cos x + sin x = (-2p;2p ) ? A B C D Lời giải Chọn D é p é tan x = êx = + kp ê ê Phương trình - tan x + tan x = ê 1ê ê tan x = ê ê x = arctan + k p ëê êë 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 96 p k Ỵ Vỡ x ẻ (-2p;2p ) ắắ -2p < + k p < 2p - < k < ¾¾¾ k Ỵ {-2; -1;0;1} Vì x Î (-2p;2p ) ¾¾ -2p < arctan + k p < 2p CASIO k ẻ ắắắ -28, 565 < k < -24, 565 ắắắ k ẻ {-28; -27; -26; -25} xapxi Vậy có tất nghiệm Câu 6: Nghiệm dương nhỏ phương trình sin x + 3 sin x - cos2 x = là: A p 12 B p C p D p Lời giải Chọn B Phương trình sin x + 3 sin x - cos2 x = (sin x + cos2 x ) 3 sin x - cos x = cos x ( é cos x = ê sin x - cos x = ê ê tan x = êë ) é ép p k Ỵ p êx = + kp ê + k p > k > - ¾¾¾ kmin = x = ê ê2 2 Cho >0 ê ¾¾¾ ê k Ỵ p p ê êp = + + > > ¾¾¾ = = 0 x k k k k x p p ê ê 6 ëê ëê So sánh hai nghiệm ta x = Câu 7: Cho phương trình ( p nghiệm dương nhỏ ) -1 sin x + sin x + ( ) + cos x - = Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A x = 7p nghiệm phương trình B Nếu chia hai vế phương trình cho cos2 x ta phương trình tan x - tan x -1 = C Nếu chia hai vế phương trình cho sin x cot x + cot x -1 = ta phương trình D Phương trình cho tương đương với cos x - sin x = Lời giải Chọn D Câu 8: Nghiệm âm lớn phương trình sin x + (1 - ) sin x cos x + (1 - ) cos2 x = p A - p B - C - 2p D - p 12 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 97 Chọn B Phương trình sin x + (1 - ) sin x cos x + (1 - ) cos2 x = sin x + cos2 x ( ) sin x + - sin x cos x - cos x = é p êx = - + kp é = tan x ê ê tan x + - tan x - = êê p ê êë tan x = êx = + kp êë ( ) é p k Î p ê- + k p < k < ¾¾¾ kmax = x = ê 4 Cho x C < m < D m 0 Lời giải Chọn B Phương trình - cos x + m sin x = m m sin x - cos x = m -1 ém < ê êm > êë Phương trình vơ nghiệm m + < (2m -1)2 3m - m > ê Câu 13: Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-3;3] để phương trình (m + 2) cos2 x - 2m sin x + = có nghiệm A B C D Lời giải Chọn C Phương trình (m + 2) + cos x - m sin x + = m sin x - (m + ) cos x = m + Phương trình có nghiệm 16m + (m + 2) ³ (m + ) 12m ³ 12 m ³ m ³ 2 m ẻ ắắắắ m ẻ {-3; -2; -1;1;2;3} ắắ cú giỏ tr nguyờn m ẻ[-3;3] Dạng Phương trình chứa sin x cos x sin x cos x Phương pháp Bài toán 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 99 Đặt: t cosx sin x 2.cos x ; t 4 t 2sin x.cos x sin x.cos x (t 1) Thay vào phương trình cho, ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa t Suy x Lưu ý dấu cosx sin x cos x sin x 4 4 cosx sin x cos x sin x 4 4 Bài toán 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = Đặt: t cos x sin x cos x ; Ñk : t 4 sin x.cos x (t 1) Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Giải phương trình a) sin x cosx 2sin x cosx 1 b) sin x cosx sin x cosx Giải a) Đặt t sinx cosx x , t t2 t2 t Phương trình (1) trờ thành: t t sin x 4 t 2 sin x sin 4 x k2 x k2 ,k x k2 x 3 k2 4 Vậy nghiệm phương trình (1) x k2 ;x k2 , k Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 100 b) Đặt t sin x cos x sin x , t t2 t 12t 13 Phương trình (2) trờ thành: 6t t sin x 4 t 13 sin x sin 4 x k2 x k2 ,k x 3 k2 x k2 4 Vậy nghiệm phương trình (2) x k ;x k , k Ví dụ Giải phương trình: sin 2x 2 sin x cosx Giải Đặt sin x cosx t t 2 sin 2x t PT t 2t t (thỏa mãn) Giải phương trình π 5π k2 π sin x cos x cos x 1 x 4 Vậy nghiệm phương trình x 5π k2 π k k Ví dụ Giải phương trình sin3 x cos3x sinx cosx 1* Định hướng: Ta sử dụng đẳng thức sin3 x cos3 x sin x cos x 1 sin x cos x Giải Ta có: * sinx cosx 1 sin x cosx sinx cosx 11 Đặt t sin x cosx sin x , t t2 Phương trình (1) trở thành: t 2t Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 101 t t 4t t t t 1 t t t t t 0, t x k2 ,k sin x sin x k2 4 Vậy nghiệm phương trình cho x k2 ;x k2 , k Ví dụ Giải phương trình: cos3x 3cos x cos2 x 8sin x Định hướng: Ta sử dụng công thức nhân cho cos3x để triệt tiêu phần 3cosx phía liền kề sau Như vậy, phương trình viết cos x cos x cos x cos x 1 , 2 thành: cos3 x cos2 x 8sin x , 8sin x 8 1 sin x Sử dụng nhóm cụm đẳng thức cos2 x sin x 1 sin x 1 sin x Đưa phương trình cho phương trình tích với nhân tử chung sinx Giải Ta có: PT cos3 x 3cos x 3cos x cos2 x 8sin x cos2 x cos x 1 1 sin x 1 sin x 1 sin x cos x 1 1 sin x π sin x x k2 π 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin x.cos x * Đặt sin x cos x t * trở thành t t 2 t sin x.cos x t 2 t 1 t 2t t 3 (loaïi) t sin 2x x kπ Vậy phương trình cho có họ nghiệm là: x kπ (k ) Ví dụ Giải phương trình : 2cos3 x sinx 2sin2 x * Định hướng : Biến đổi sin2 x cos2 x , chuyển vế phương trình ta 2cos3 x 2cos2 x sinx , đến hoàn tồn tương tự ví dụ Giải Ta có : Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 102 * cos3 x 1 cos2 x sinx cos3 x 2cos2 x sinx cos2 x cosx 1 1 sinx 1 sinx 1 sinx cosx 1 1 sinx 1 sinx 2 1 sinx cosx 1 1 1 sinx 2 sinx cosx 2sin x cosx 1 1 2 1 sinx sinx cosx sin x cos x k2 , k Ta có : 1 x Giải (2), ta đặt t sinx cosx= sin x , t (2) trở thành : 2t t t t t sin x x k, k 4 Vậy nghiệm phương trình (*) x k2 , x k, k Ví dụ Cho sin 2x 2m sin x cosx 2m * Xác định m để phương trình (*) có 5 hai nghiệm x 0; Giải Đặt t sin x cosx sin x Với x 5 3 x 4 Phương trình (*) trờ thành t 2m t 2m t 2m t 2m t t 2m Với t sin x x k2 x k2 , k 4 5 5 0 k2 k Mà x 4 k 0 k k Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 103 Do x nghiệm (*) 5 1 sin x 4 Để (*) có hai nghiệm x 0; 2m m 2 Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Giải phương trình sin x cos x + (sin x + cos x ) = é p êx = + kp , k Ỵ ê êë x = k p B ê é p ê x = + k 2p , k Ỵ ê êë x = k 2p é p ê x = - + k 2p , k Ỵ ê êë x = k 2p D ê A ê é p ê x = - + kp , k Ỵ ê êë x = k p C ê Lời giải Chọn B ỉ ỉ pư pư Đặt t = sin x + cos x = sin ỗỗỗ x + ữữữ Vỡ sin ỗỗỗ x + ữữữ ẻ [-1;1] t Ỵ éëê- 2; ùúû è è 4ø 4ø Ta có t = (sin x + cos x )2 = sin x + cos2 x + sin x cos x sin x cos x = Khi đó, phương trình cho trở thành t -1 ét = t -1 + 2t = t + t - = êê ë t = - (loại) ỉ ỉ pư pö p Với t = , ta sin x + cos x = sin ỗỗỗ x + ữữữ = sin ỗỗ x + ữữữ = sin ỗ ố 4ứ ố 4ứ ộ p p é x = k 2p ê x + = + k 2p ê ê 4 ê , k Ỵ ê p ê x = + k 2p p p ê êë ê x + = p - + k 2p 4 ëê Câu 2: Cho phương trình (sin x + cos x ) + sin x + = Đặt t = sin x + cos x , ta phương trình đây? A 2t + t + = B t + t + = C 2t + t - = D t + t - = Lời giải Chọn A Đặt t = sin x + cos x ¾¾ sin x = t -1 Phương trình cho trở thành t + (t -1) + = 2t + t + = Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 104 Câu 3: Nghiệm âm lớn phương trình sin x + cos x = - sin x là: p A - B - p C - 3p D - 2p Lời giải Chọn C ỉ pư Đặt t = sin x + cos x = sin ỗỗỗ x + ÷÷÷ Điều kiện - £ t £ è 4ø Ta có t = (sin x + cos x )2 = sin x + cos2 x + sin x cos x sin x = t -1 Phương trình cho trở thành t = æ è ét = t -1 t + 2t - = êê ë t = - (loại) pư 4ø ỉ è pư 4ø ỉ pư p sin ỗỗ x + ữữữ = sin ỗ è 4ø Với t = , ta c sin ỗỗỗ x + ữữữ = sin ỗỗỗ x + ữữữ = ộ p p é x = k 2p ê x + = + k 2p ê ê 4 , k Ỵ ê ê p ê x = + k 2p p p ê ê x k p p + = + ê ë êë 4 k Ỵ TH1 Với x = k 2p < k < ¾¾¾ kmax = -1 x = - 2p p k Ỵ TH2 Với x = + k 2p < k < - ¾¾¾ kmax = -1 x = - Vậy nghiệm âm lớn phương trình x = - 3p 3p Câu 4: Từ phương trình (1 + )(cos x + sin x ) - sin x cos x - -1 = , ta đặt t = cos x + sin x giá trị t nhận là: A t = t = B t = t = C t = D t = Lời giải Chọn C sin x cos x = Đặt t = sin x - cos x (- £ t £ ) ¾¾ 1- t Phương trình trở thành (1 + ) t -(t -1) - -1 = ét = t - + t + = êê t = êë t = (loaïi) ( ) Câu 5: Cho x thỏa mãn sin x - sin x + cos x + = Tính sin x A sin x = - B sin x = - Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 C sin x = D sin x = Trang 105 Lời giải Chọn C ỉ pư ỉ pư Đặt t = sin x + cos x = sin ỗỗỗ x + ữữữ Vỡ sin ỗỗỗ x + ữữữ ẻ [-1;1] t Ỵ éêë0; ùúû è è 4ø 4ø Ta có t = (sin x + cos x )2 = sin x + cos2 x + sin x cos x sin x = t -1 é êt = Phương trình cho trở thành (t -1) - t + = êê ê t = (loaïi) êë sin x = t -1 = Câu 6: Hỏi đoạn [0;2018p ] , phương trình sin x - cos x + sin x = có nghiệm? A 4037 B 4036 C 2018 D 2019 Lời giải Chọn A ỉ pư ỉ pư Đặt t = sin x - cos x = sin ỗỗỗ x - ữữữ Vỡ sin ỗỗỗ x - ữữữ ẻ [-1;1] t Ỵ éêë0; ùúû è è 4ø 4ø Ta có t = (sin x - cos x )2 = sin x + cos2 x - sin x cos x sin x = - t ét = ê Phương trình cho trở thành t + (1 - t ) = ê ê t = - (loaïi) êë Với t = , ta sin x = x = k p x = Theo giả thit x ẻ [0;2018p ] ắắ Ê kp , k Ỵ kp £ 2018p £ k Ê 4046 k ẻ ắắắ k ẻ {0;1;2;3; ;4036} ¾¾ có 4037 giá trị k nê có 4037 nghiệm Câu 7: Từ phương trình (sin x + cos x ) = tan x + cot x , ta tìm cos x có giá trị bằng: A B - C D -1 Lời giải Chọn C ì ïsin x ¹ sin x ¹ iu kin ùớ ù ù ợcos x Ta có (sin x + cos x ) = tan x + cot x (sin x + cos x ) = (sin x + cos x ) = sin x cos x + cos x sin x sin x + cos x sin x cos x (sin x + cos x ) = sin x cos x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 106 Đặt t = sin x + cos x (- £ t £ ) ¾¾ sin x cos x = t -1 Phương trình trở thành t (t -1) = t - t - = t = sin x + cos x = sin x = - cos x Mà sin x + cos2 x = cos2 x + ( - cos x ) = cos2 x - 2 cos x + = ( ) 2 cos x -1 = cos x = Câu 8: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x cos x - sin x - cos x + m = có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn C Đặt t = sin x + cos x (- £ t £ ) ¾¾ sin x cos x = Phương trình trở thành t -1 t -1 - t + m = -2m = t - t -1 (t -1) = -2m + 2 Do - £ t £ ¾¾ - -1 £ t -1 £ -1 ¾¾ £ (t -1) £ + 2 Vậy để phương trình có nghiệm £ -2m + £ + 2 - 1+ 2 £ m £1 m Ỵ ¾¾¾ m Ỵ {-1;0;1} Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ Face: Trần Đình Cư SĐT: 0834332133 Trang 107 ... 083433 213 3 Trang 14 Ta kiểm tra đáp án A hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Đáp án B hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án C D hàm số chẵn Câu 8: Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ?... D hàm số chẵn Đáp án C hàm số lẻ Câu 10 : Cho hàm số f ( x ) = sin x g ( x ) = tan x Chọn mệnh đề A f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) hàm số lẻ B f ( x ) hàm số lẻ, g ( x ) hàm số chẵn C f ( x ) hàm. .. chung nhỏ T1 T Lưu ý số thực không xác đinh bội chung nn, nên T0 mT1 nT2 với m,n số tự nhiên nguyên tố ) III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số y = sin x ● Tập xác định
Ngày đăng: 11/02/2023, 18:31
Xem thêm: