Tài liệu ôn tập Toán lớp 11 học kì II

Tài liệu ôn tập Toán lớp 11 học kì II 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn. Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:limun= 0 hay un >0 khi n > +∞ Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi nếu lim(una)=0 Kí hiệu:limun=a hay un >a khi n > +∞

Trang 1

CHƯƠNG IV.GIỚI HẠN

BÀI 1.GIOI HAN CUA DAY SO A/TOM TAT GIAO KHOA

1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới đương vô cực,nếu |u„|có thể nhỏ

hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi Kí hiệu:limu„= 0 hay u„_y 0 khi n —> +

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi ø-—> + nếu lim(u,-a)=0

Ki hiéu:limu,=a hay una khi n—- +

2 Dinh nghia giới hạn vô cực

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +œ khi ø —› +œ „nếu u„ có thể lớn hơn một số

dương bắt ki,ké tir s6 hạng nào đó trở di

Kí hiệu:limun=+œ hay ua_—› +œ khin > +0

Day số (u,) được gọi là có giới hạn -œ khi ø—› +œ „nếu lim(-uạ)=+ œ Ki hiộu:limu,=- ôâ hay ua_ - khiz —> +

3.Các giới han đặc biệt

a/lim 1 =0 slim +, =0;limn=+œ với k là số nguyên dương

n n

b/Nếu uạ>0 với mọi n và limu,=a thi a> va lim Ju, = Va 5 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực Định lí 2 kK : x1? ` 1ˆ 1 a/Néu limu,=a va limv,=+ thi lim —* = 0 1 n b/Néu limu,=+ va limv,=a>0 thi limu,v,=+o K : : ` re : 4: u c/Néu limu,=a>0,limv,=0 va v,>0 véi moi n thi lim— = +00 Vv, n

6.Cấp số nhân lùi vô hạn ;

*Cap so nhan lui v6 han 1a cap so nhan thoa man |q|<1

1ì

*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S=u¡+uz+us+ = B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

I Vấn đề 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SÓ NHỜ VÀO CÁC ĐỊNH LÍI, 2 VỀ GIỚI HẠN

PHƯƠNG PHÁP

Trang 2

*Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho n*,trong đó k là

số mũ cao nhất của n(hoặc q" với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)

*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thé dùng các phép biến đồi sau: +Đặt thừa số chung dé áp dụng định lí về giới hạn vô cực

+Nhân và chia cho biểu thức liên hợp đề đưa về dạng phân thức,khi biểu thức

Trang 3

lim Vn a1 Vn? on) =Him +1 —n)QnŠ +1 + Vn —n) (7? +1)-(n? -n) Xn°+l+Vn°—n n+l vn? nàn _n +1 I++ = Chú ý : khi gặp các dang sau(1a gọi là các dạng vô dinhthi ta phải biến đổi để đưa về dạng thích hợp đề vận dụng các định lí để giải Ta có : =lim =lim————————— =lim-———”—— 0.‡© 7“ ;+ø—(e) ;~œ+ (+) 2 œ 0

II.Vấn đề 2 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp : Chứng minh dãy sô tương ứng là một câp sô nhân lùi vơ hạn(nêu bài tốn chưa cho giả thiệt này).Sau đó tính tông băng công thức : se I~g Ví dụ 1 Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn sau : ee > 379° 27 val 3 7 Giải Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có số hạng đầu u;=1,công bội q= -5 | _ Do đó, S= Nà +yˆ+ = = =3 9 27 3 il 4 wile — 3,303) 3p", Vi du 2 Tinh tổng S= ——-=+ 8 a 2 “32 4" Ry"

Dãy số: +3, see _.„ là một cắp số nhân lùi vô hạng với công bội

Trang 5

A.TOM TAT GIAO KHOA

1 Định nghĩa giới han hữu hạn của hàm số

*Cho khoảng K chứa điêm xạ và hàm số y=f{x) xác định trên K hoặc trên K\(xo) Số L được gọi là giới hạn của hàm số y=f(xọ) khi x đần tới x_„ nếu với đãy số (xa)

bat kìÌ,Xae K \(Xo) Va Xp» Xo ta 06 f(Kp) _›L

Ki hiéu tim f(x)=L hay f(x) +L khi x +x,

e Cho ham s6 y= f(x) xác định trên khoảng (xo;b)

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm sô y=f(x) khi x_-y x, nếu với dãy SỐ (Xn) bat ki,xo<Xp<b V a Xa _y Xo,ta có f(x,) >L

Kí hiệu: lim f(x) =L

e Cho hàm số y= x) xác định trên khoảng (a;Xo)

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm sô y=f(x) khi x_› Xo nếu với dãy số (Xn) bat ki,a<x, <Xo Va Xp» Xo,ta cd f(x) >L

Ki hiéu: lim f(x) =L

¢ Cho ham sé y= x) xác định trên khoảng (a;+œ)

Số L được gọi là giới hạn bên của hàm số y=f(x) khi x_»+œ nếu với day sé (Xp) bat kì xạ>a v à xa_y +œ,ta có f(xn) _yL

Kí hiệu: lim f(x)=L

¢ Cho ham sé y= f(x) xác định trên khoảng (-œ;a)

Số L được gọi là giới hạn bên của hàm sé y=f(x) khi x_-« néu voi day sé (Xn)

bat kì xạ<a và xạ_y-œ ,ta có f(xa) _yL

Kí hiệu: lim f(x)=L

2.Định nghĩa giới han vô cực của hàm số

*Cho hàm số y=f(x) xac định trên khoảng (a;+ )

Hàm số y=f(x) được gọi là có giới hạn -œ khi x_„+œ nếu với dãy sé (xn) bắt kì,xn>a và xạ_y+œ,ta có Í(n) _y-œ

Kí hiệu: lim ƒ(x) =—œ

*Chú ý: lim ƒ(x)= +» lim ƒ(x) =— lim f(x) = +00

lim f(x) = +00 lim f(x)=-« được định nghĩa tương tự

XXq

*Nhận xét: lim f(x)=+0 © lim(-f(x))=- 3.Các giới han đặc biệt

a/lim x=x, 5 b/limc=c3e/limc=c3 d/lim “=0;( là hằng số) Xu xu x-s‡e x->‡ X e/ lim x‘ =+0,k x-s+ € Z* 3f/ lim x* =—= „nếu k là số lẻ

g/ lim x* =+0, néu k 1a sé chan

4.Dinh li vé giới hạn hữu han Định lí 1

Trang 6

*lim (f(x) + g(x))=L+M * tim f(x).g(x) = LM a im £0) xx, g(x) b/Nếu f(x)>0 và lim f(x) =L thi L>0 va lim /f(@) =VL (néu Mz 0)

Chú ý: Định li van ding khi x > x," 3x > xy 3x > -2:x > +00

Dinh li 2 lim f(x)=L © lim f(x)= lim =L

x À ere A

5.Quy tắc vệ giới hạn vô cực

a/Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) lm /G)=E lim g(x) lim /()øŒ) +o +o L>0 -œ _œ +œ - 0 L<0 = = b/Quy tắc tìm giới hạn của thương LO) g(x) lim f(x) lim g(x) Dấu của g(x) lim 2) 7 ‘ som g(x) L +0 Tuy y 0 + +a L>0 - -0 L<0 0 + ~œ - +o

(Dau cua g(x) xét trén mét khoang K nao dé dang tinh gibi hạn,với x # x,) B.PHUONG PHAP GIAI TOAN

Trang 7

Ta có: lim(—x` +3x—1)=(-3` +3.3—I) x3” =-19 3x+2 1m 2 rol (x +1)? Ta co: lim(x+2)=-1<0, fim (x + 1)? =0 va (x+1) >0 với mọi x z -I1 x-l Do đó 3x+2 _ = lim ma y đ/ lim ˆ ou ros 5—x Vi lim (2x -11) =-1<0, lim ì(5-x) =0 và (5-x)<0 với mọi x>5 x35 11 Do đó lim 2 x>5” Ấ—X e/ lim (4x* — 2x? + x) x40 =+ oo Ta có: lim (4x* —2x? +.x)= lim x “a-244) =+œ x” x? x +0 ` f/ lim (-2x* —5x +1) xo~= Ta có: lim (—2x` ~Sx41)= lim (AH 2-24 +)==+0 x x xo~= II.Vấn đề 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP:

Tuỳ nme dạng vô định mà sử dụng phép khử thích hợp

*Dang — ạ (tính lim „@) khi lim z(x) x9% v(x) 3%) = lim v(x) =0)

-Phan tich tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước.Cụ thể ta biến đồi:

u(x) _ lim (x—xs)4(x) - = lim A(x)

vu v(x) 9% (X= XBOX)» BCX)

-Tinh tim 4 xx B(x)

_ (Neu u(x) hay v(x) có chứa biên sô dưới dâu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với biêu thức liên hợp,trước khi phân tích chúng thành tích rôi giản ước)

*Dang (tính lim s9 khi lim z(x) 19% W(X — = lim v(x) = ‡œ )

Chia tử số và mẫu số cho x" với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x(hay phân tích tử và mẫu chứa nhân tử x° rôi giản ước)

-Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến đưới dấu căn thức thì đưa x" Ta ngoài dấu căn(với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn),trước khi chia tử số và mẫu số cho luỹ thừa của x

*Dang œ-œ(Tính lim[z(x)- v(x)] khi

lim (x) = lim v(x)=+00 hoặc lim u(x) = lim v(x) =—œ

Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số đưới dấu căn thức)hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức(néu chứa nhiều phân thức)

Trang 9

, 2X) Ì Sy 2 3 Ta có: lim(“”-—)= roe yt] x lim ex axel lim xxx x7? 4x mo | XX = 4p I ¬ x x” C.BAI TAP DE NGHI

Bài 1.Tính các giới hạn sau:

1 im Vx? —4 x3 2 tim =*5 xl x+Ï 3 lim “+4 xo-2 (x+2)°

4 lim XI x3” x—3 5 lim 2a! x3” x—3 6 lim 2! x3 y—3

7 lim(xÌ—2x+l) 8 lim VJx?+3x-7 9 lim V4x?+x-1 xtc xo Bài 2.Tính các giới hạn sau 1 lim 2222 2 lim 2x -5x+3 x2 x2 x1 x-l 3 lim 224% +3 3.tim 22 48+ 3 ¥-3 sot 3x-1 ._x`-2x -x+2 „ Vx'+l-vl-x 4 lim ———“—————— 2 4 5 lim xo vx+1-2 W-J2x=T 6 lim x>33|—Ay—2 7 lim xi x-1 im Wt x+11 +x+1-1 9 lim x +33 - lim x90 3—y? Bai 3.Tinh gidi tan cdc ham s6 sau khi x > +00,x > -20 L.f(x)=V x4 +x —Vx4*-x 2.g(x)=vx”+l+x 1 3.h(x)E X(Vx?+l+x) 4 k(x)=———————— - X4x”—2x+2x SỐ BÀI 3:HÀM SÓ LIÊN TỤC

A.TOM TAT GIAO KHOA I Dinh nghia ham số liên tục:

*Cho hàm s6 y=f(x) xác định trên khoảng K va Xoe K

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại xo nếu lim F(x) = Z0)

*Hàm số y=f{x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

* Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) v a lim, (x)= f(a), lim F(x) = f(b)

Nhận xét : Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đõ

II.Các đỉnh lí 1 Định lí 1

a/Hàm số đa thức lien tục trên toàn bộ tập số thực R

Trang 10

2 Đinh lí 2 „

Gia su y=f(x) và y=g(x)là hai hàm sô liên tục tại xọ.Khi đó :

a/Cac ham sô y=f{x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x).g(x)cũng liên tục tại xọ

b/Hàm số y= ae 5 liên tục tại Xọ nếu g(Xo)#0 øqŒ

3 Định lí 3.Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] va f(a).f(b)<0 thi ton tại ít nhât một điểm c e (a;») sao cho f(c)=0

Mệnh đề tương đương :

Nêu hàm so y=f(x) lién tuc trén doan [a ;b] va f(a) f(b)<0 thi phuong trinh

f(x)=0 co it nhat một nghiệm xọc (a;b)

4.Đinh lí 4.( định lí giá trị trung gian)

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] va f(a) z f(b)thì với số thực M nằm giữa f(a) va f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm c e (a;b) sao cho f(c)=M B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I.Vấn đè1.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SÓ TẠI ĐIỂM Xụ DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP :

*Tinh va so sánh lim T(x) V6i f(Xo)

*Trong trường hợp bên trái,bên phải xo hàm số được xác định bang hai biéu thức khác nhau, đề tìm lim f(x) can tim Jm, F(x), fim, J (x) va luu ý rang:

lim f(x)=L = lim f(x) = lim = L xu xu” X XQ Vi du 1.Xét ‘an lien tục của các hàm số sau: 1./@)= <a #= tại x=.1, — ne =-l 2 g(x) = vàn 2 -3khix > 2 tại x=2 xˆ =x+ lhhix < 2 x-4 khi3 <x< 4 3.0@)=|Jx 3-1 CÔ tạix=4 x—2khix > 4 , Giải 1.Tập xác định của hàm sô là D=R,chứa x=-l Ta có:Ñ-1)=-2 2 lim f(x) = lim = x1 sol x +]

Do dé,ham sé lien tuc tai x=-1

2.Tập xácđịnh của ham số là D=R chứa x=2 Ta có:g(2)=-

lim g(x) = lim (x? —x +1) = 3 z ø(2) nên không ton tai lim g(x)

= lim(x-1)=-2= CĐ

Do đó,hàm số không liên tục tại x=2

Trang 11

khoảng (3; +œ) có chứa x=4 lim A(x) = lim (x— 2) =2 x4" x34" x4 (x 4x3 44D, _ lim A(x) = lim = lim ~~ $= lim (Vx -3 +1) =2 x4 G) x94 AÍy—3—l x4” x4 Jim ( * ) Vì lim h(x) = lim h(x) = h(4) = 2n€n lim h(x) = ñ(4)

Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=4

II.Vấn đề 2.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SÓ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp:

Dùng định lí về sự liên tục của các hàm số đa thức,phân thức hữu tỉ,lượng

giác

Nếu hàm số được cho bằng nhiều biểu thức khác nhau,cần nghiên cứu tính lien tục tại một điểm

Ví dụ 2.Xét tính lien tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: x°-5x+6 ——————khix >3 {@=) x3 2x + lkhix <3 Giai Tap xdc dinh ctia ham sé la D=R > _5x+6 *Với x>3:f(x)= * xe 5 là phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (3;+ ) thuộc tập xác định của nó , *Với x<3:f{(x)=2x+l là hàm sô đa thức nên liên tục trên(-œ;3)thuộc tập xác định của nó *V ới x=3: lim f(x) = lim ~ 2848 = jim Œ=3Œ=?) - m(y—2) =1 x37 x93" x— x3! x- x33* lim f(x) = lim (2x +1) =7 x3 x3”

Vì lim f(x) # lim f(x) nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi

x->3.Do đó nó không lien tục tại x=3 | ` - / Il Van dé 3.TIM DIEU KIEN DE HAM SO LIEN TUC TAI MOT DIEM

Phuong phap: „ -

Dùng định nghĩa hàm sô liên tục tại một điểm

Vi du 3:Tim giá trị của tham sô m dé hàm sô sau liên tục tại x=-l: V3x+4-1,, ———— khix + -1 S(x)= x+1 mkhix = —-1 Giải 43x+4-—L1 3x+4-1 3 3 Ta co: lim f(x) = lim =I im = lim = = x+l >l(x+l)(43x+4+l) +? !A4/3x+4+l 2

Hàm số trên liên tục tại x=-l © lim f(x) =f(-l)om =;

IV.V4n dé 4.CHUNG MINH PHUONG TRINH f(x)=0 CO NGHIEM Phuong phap:

Trang 12

Nếu phương trình chứa tham só,thì chọn a và b sao cho:

-Các giá trị f{a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không

doi

-Hoặc cả f(a) va f(b) déu chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0

*Đề chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp s6 a; va b; sao cho các khoảng (a¡;b;) rời nhau,f(a;).f(b;)<0 và hàm sô y=f(x) lien tuc trén tat cả các đoạn [aj;b;] Ví dụ 4.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (- 231):2x°-5x°-1=0 Giai: Xét hàm số f(x)= 2x°-5x°-1 Chọn hai số thực -1,0 cùng thuộc khoảng (-2;1),ta có f{-1)=2,f{0)=-I Do do f(-1).f(0)=-2<0 (1)

Hàm số nêu trên liên tục trên R„do đó liên tục trên đoạn [-1:0] (2)

Từ (1) và(2) suy ra phương trình f(x)=0 hay 2x”-5xÌ-I=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1;0),nghĩa là thuộc khoang (-2;1)

Ví dụ 5:CMR phương trinh:2x°-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm Giải

Xét hàm số fx)= 2xÌ-5x”+x+1.Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) lién tuc trên các đoạn [0;1] và [1;3].(1)

Ta có:f0)=1;f(1)E-1;3)=13.Do đó f(0).f(1)<0 và f1).3)<0(2) Từ (1) và(2) suy ra pt f(x)=0 có ít nhất hai nghiệm

Trang 13

x?°+3x+2 S(x) = x+l lkhix < -1 Bai 4.Chứng minh rằng phương trình: a/2x”+3x'+3x”-1=0 có ít nhất 3 nghiệm b/2x”+3x”+10x+200=0 luôn có nghiệm c/4x'+2x”-x-28=0 luôn có nghiệm CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

BÀI 1 ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A.TOM TAT GIAO KHOA

I, Dinh nghia

1.86 gia doi số và số gia hàm số

Cho hàm số y=f(x) xac dinh trén khoang (a;b) va Xe (asb)

*Số Ax thoả điều kiện xọt Ax ce(a;b) được gọi là số gia của biến số tại điểm xụ,

khix > -1

«Hiéu sé f(xot Ax )-f(X0,ki hiéu Ay được gọi là số gia của hàm số tại điểm xụ ứng với số gia Av

2 Dinh nghiadao hàm tại một điểm

_Cho ham sé y=f(x) xac định trên khoảng (a;b) và xọ (a;b).Khi biến số nhận một số gia Ax thì hàm sô có số gia twong tng 1a Ay= f(xot Ax )-f(Xo)

Nếu tồn tại giới giới hạn hữu hạn của tỉ số n khi Ax —› 0 thì ta nói hàm số có X dao ham tại xạ và giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm Xxụ,kí hiệu là f (xohay y’(xo) Như vay ta cé:f? (x)= Jim = = lim mm Rafe) xx) AX Axx x Nhận xét: *Nếu đặt x= xọtAx thì Ax—›0 © x—› x„ và ta có: f(\)= lim F(x) = (xạ) XM%b X—#Xg

¢ Néu ham s6 f(x) có đạo hàm tại điểm xụ thì f(x) liên tục tại xọ.Tuy nhiên

điêu ngược lại chưa chắc đúng 3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Kí hiệu J là một khoảng hay hợp của những khoảng nào đó

a/Định nghĩa:nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm xụcJ thì ta nói hàm số

Trang 14

Khi đó đạo hàm của hàm số f(x) tai điểm x tuỳ ý của J được kí hiệu là y°hay f’(x) b/ Đạo hàm của một số hàm số cơ bản

*(C)'=0_ (C là hằng số) *(x=1

*(x")’=nx"! (nc N,n>1)

ty L iso) x x”

*(a) =>)

4.Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a/Dao ham cua hàm số y=f(x) tai điểm xụ là hệ số góc của tiếp tuyến cúa đồ thị hàm số đó tai diém Mo(xo3f(X0))

b/Hệ quả:Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại xạ thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tai diém M›(x¿;f(xo))có phương trình là:

y=Ÿ(&)(x-xo)+f(o)

5Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a/Vận tốc tức thời tại thời điểm tạ của một chất điểm chuyến động với phương trình s=s(t) la:v(to)=s’ (to)

b/Cường độ tức thời tại thời điểm tạ của một dòng điện với điện lượng Q=Q(t)

1a:1(to)=Q’ (to)

B.PHUONG PHAP GIAI TOAN

I.Vấn đề 1.TIM SO GIA CUA HAM SO

Phuong phap:

Dé tinh sé gia của hàm số y=f(x) tại điểm xụ tương ứng với số gia Ax cho trước ta áp dụng công thức tinh sau: Ay= f(Xot+ Ax )-f(Xo)

Trang 15

Ay =f(Xot Ax )-f(X0 )=£(0,9)-f(2)=4,82-7=-2,18 II.Vấn đề 2.TÌM ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Để tìm đạo hàm cúa hàm số y=f(x) tại điểm xạ bằng định nghĩa ta làm như sau: *Tim lim L076) xo x—*%g§ *Kết luận: +Nếu Iim @~/Œ2) X>Xq x—%g tồn tại hữu hạn thì tại xạ hàm số có đạo hàm là: FGe)E ñm /00—70/) my VAN +Néu lim LO)~ FE) không tồn tại hữu hạn thì tại xạ hàm số không có đạo XX x—%g hàm Ví dụ 2.Tìm đạo hàm cúa hàm số ¬— tại xụ=2 Giái.Ta có: P(2)=lim LO=LO) = jig ¥ 32 5-3 _ pm =3x+2 m2 ye x¬2 x-2 m2 yD =lim Œ=ĐŒ =2) _ im(y—) =1 = x- x2

Trang 16

HI,Vấn đề 3.LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA DUONG CONG Phương pháp: a/Cần nhớ: Ye~Va *Hệ số góc của đường thắng AB là k=“ Xg —X„

*f'(x¿) là hệ số góc cúa tiếp tuyến với đương f cong (C) tại điểm Mu(x;f(x¿))

b/Các loại tiếp tuyến:

Loại 1:Tiếp tuyến tại diémM(xo3yo) e(C)

Phương trình tiếp tuyến có dạng:y=fP(xo)(X-Xo)+Yo Loại 2:Tiếp tuyến song song với đường thẳng d°

*Tiếp tuyến d//d° = ka=ka:

*Goi Xo 1a hoanh do tiép diém,ta có:f?(xạ)=ka (1) *Giai (1) ta được xạ Từ đó suy ra yo

*Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=fˆ(xo)(x-Xg)+yọ Loại 3 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d°

*Tiếp tuyến d vuông góc với đường thắng ng

&'

*Gọi xụọ là hoành độ tiếp điểm,ta có:f?(xạ)=ka (2) *Giai (2) ta được xạ Từ đó suy ra yọ

*Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=f?(%o)(x-Xo)+yo Loại 4.Tiếp tuyến qua điểm A cho trước

*Goi (d) la tiếp tuyến cần tìm và (xạ;y,) là tiếp điểm

Ta có (d): y=f°(Xo)(X-Xo)+yo

*Cho (đ) qua A ta đ ược y4=f'(Xo)(XA-Xo)+o @)

Gï ải (3) ta đ ược Xo.Suy ra phương trình của tiếp tuyến Ví dụ 4.Cho hàm số y=f(x)= L có đồ thị là (C)

x

Trang 17

a/Tiếp điểm có hoành độ bằng -2

b/ Tiếp điểm có tung độ bằng 3

c/Hệ số góc cúa tiếp tuyến bằng -4

d/Tiếp tuyến song song với đường thắng (d°):y=- 5 + 2007 e/Tiép tuyén qua diém A(-8;0) Giải a/Ta €6:X9=-2 > yo=- 3 ° 1 t I Y’(X0)= -— > y'(-2)=-— x 4 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:y=~ qe 2) -5 oy= -zz~ 1 ro ¬ yd Ul b/Ta c6:yo=3 =X=;;Y ()E ;—>y G) =-9 x

Vay tiép tuyén cần tìm có phương trình:y=- 9(x -) +3 y=-9x+6

c/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4— kạ=-4 Gọi x là hoành độ tiếp điểm

ta có:f(Xo)=ku=4— — + =45 x

Vậy có hai tiếp tuyén thoa yebt:(d):y=-4(x - 3 2=-4x+4

hoặc(4):y=-4(x + „ )-2=-4x-4

d/ Tiép tuyén song song với đường thang (d’):y=— 5+ 2007

Trang 18

fF(x0)= -39-45-52 Vậy có hai tiếp tuyến thoả ycbt:(d):y= -g*+5 hoặc(d):y=- " e/Goi (T) là tiếp tuyến của (C) tại MŒ ;yạ) e (C) Ta có (T) : y= (Xa)(X-Xo)tY0 (f7): y= C2 r=) + Tiếp tuyến (T) qua A(-8;0) —`(-8- x,)+-—=0 Xo S 84x) +X) =0S xX =4> yH =-— I y'(—4) = —— >'C4) 16 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: (7): y = = x

C.BAL TAP DE NGHI -

Bài 1.Tìm số gia của hàm số y=3x”-4x+5,tương ứng với sự biến thiên của đối số: 1.Từ xạ=l đên x=xạ†+ Ax 2 Từ xạ=2 đên x=xụ†+ Ax

Bài2.Tính Ay vào của các hàm số sau theo x va Ar:

x

L.y=5x-3 2.y=2x"+6 3.y=2x"-4x+3 4.y=sin2x Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm sô sau tại điềm xo: 1.f(x)=2x”+3x-5 tại xụ=2 2.f(x)= 4-3x tại xụ=1 3.f(x)=cos2x tại x= 4.f(x)= vx? +1 tại xe -1 F LQ £ 3x + 2 + Bài 3.Viết phương trình cúa tiếp tuyến với đồ thị hàm số sau tại điểm có hoành độ Xụ: 6.f@)= 2 5f(x)= _Ÿ 1.y=x ,xụ=-l 2.y= 1 „X,=2 x 3.y= Vx ,xụ=9 4.y=x”,Xụ=-2

Bài 4.Cho hàm số y=x 72x43 có đồ thị (P)

1.Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm xọ

2.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ bằng 1

3.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến song song với đường thắng y=2x+10

Trang 19

Bài 5.Cho parapol (P): mã Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết: a/ Tiếp tuyến song song với đường thang y=2x+10

b/ Tiép tuyến qua điểm A(0;-1)

BÀI 2.CÁC QUY TÁC TÍNH ĐẠO HAM A.TOM TAT GIAO KHOA

1, Đạo hàm của tông hiệu các hàm số

Định lí 1:Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b)thì tông và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và:

(ut+v)’=u’+v’;(u-v)’=u’-v’ 2 Dao ham cúa tích các hàm số:

Định li 2: Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b)thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và:(u.v)°=u?.v+v°.u

Dac biét :(au)’=a.u’(a la hang số) 3,Đao hàm cúa thương hai hàm số :

Định lí 3 : Cho các hàm số u=u(x),v=v(x) cáo đạo hàm trên khoảng (a;b) và v(x) z0 trên (a ;b) thì thương tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và” cũng có đạo hàm trên v ulv-v'u 2 khoảng(a ;b) và : (“y= Vv Hé qué :a/ty=—-+ (x20) B/C y= 20) x x” v về 4 Đạo hàm của hàm số hợp : l

Định lí 4 :Nêu hàm số u=u(x) có đạo hàm tại điểm xọ và hàm sô y=f(u) có đạo hàm tại điểm uạ=u(xạ) thi ham số hợp y=F(v)=flu(x) ]cũng có đạo hàm tại xạ và :

F?(Xo)=f’ (uo).u’(Xo) hay y, = v„e,

a + Nyy n-l og ' 1 '

Hệ quả:a/(w")*=nu”ˆ.u b/(\u)'= a dt B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Trang 20

u u'v—v'u “y= 2 Ví dụ 1:Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1.y=x-4x"+3x?-4 /x +1 2.y=3x1- ” +5x-20 x Giai 1.Ta 06 y’=( x°-4x4+3x7-4 Vx +1)’= (x°)’-(4x4)’+(Bx")?-(4 Vx PHD? =6x5-16x5+6x- vx 2.y°=(3x1- ` +5x-20)°=(3x®)'-(Š )°+(5x)?-20° x x =12x+ 245 2

Ví dụ 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Trang 21

: ros -1 *yl = ya, *(u)=nu”.u° *(C y=- +0) Vv vo *(Vw)= on U 1 + Ví dụ 4.Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1.y=(2x2+3x-5)?9 2.y=+4x`—3x? +l 3.y= 4 (x +1) Giai 1.y°= |(x?+3x-5)?J?=2007(2x”+3x-5)”"*5.( 2x74+3x-5)’ =2007(2x?+3x-5)”"5.(4x+3) 2.y°=(A(4x` —3x? +1)°= (4x? —3x? +] _ 12x? —6x 6x? 24J4x)-3v°+1 24x) -3v 2+1 4x -3x +1 Sư = - +_ 8x ?+ " 741? (7 +17 C.BAI TẬP DE NGHỊ

Bài1.Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm xạ được cho kèm theo:

1.y=7+x-X”,xụ=l 2.y=xÌ-2x+1,xụ=2 3.y=2x”-2x+3,xụ=-l

Trang 22

Bài 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÓ LƯỢNG GIÁC A.TOM TAT GIAO KHOA

1 Đạo hàm của hàm số sin *(sinx)’=cosx *(sinu)’=u’.cosu *(sin"u)°=n.sin"“u.eosu.u? 2 Đạo hàm của hàm s6 cosin *(cosx)’=-sinx *(cosu)’=-u’.sinu *(cos"u)°=-n.cos"u.sinu.u? 3 Đạo hàm hàm số tang *(tanx)’= 2 =l+tan?x cos’ x u' 2 *(tanu)’= Sa (1+ tan? w)u' 2 u' n- 2 * (tan"u)’=n tan”! u.—— = n.tan"! u(1+ tan? w)u' cos’ u 4 Đạo hàm của hàm số cotang *(cotx)’=-— Ị 2 =-(l+cot x) sin” x *(cotu)’=- a =—(1+ cot? u).u' sin” u n-l *(cot"u)’=-n.cot"! u =—n.cot”™ u.(1+ cot? u).u' sin’ u

B.PHUONG PHAP GIAI TOAN

Khi tính đạo hàm của hàm số lượng giác,ngồi các cơng thức tính đạo hàm đã học,cần chú ý đến các công thức thu gọn sau: *sin2x=2sinx.cosx *cos2x=cos’x-sin’x=2c0s7x-1=1-2sin’x Ví dụ Tính đạo hàm các hàm số sau: 1.y=sin x 2.y=2sinx+sin2x-sinˆx 3.y=sin?(2x’-3x+1) 4.y= /sin(4x +3) Giải Ly’= (sinˆx)=2sinx.cosx=sin2x 2.y’=(2sinx+sin2x-sin’x)=2cosx+2cos2x-2sinx.cosx =2cosx+2cos2x-sin2x 3.y°= [sin?(2x”-3x+1)]'=2sin(2x”-3x+1).eos(2x”-3x+1).(2x”-3x+1)° lt nóc 6m2)

3—£ Ea axas— |sn(4x +3)J 4cos(4x+3) | 2cos(4x +3)

Trang 23

cosx 6 _ sinx+cosx

5.y= sin xX + COSX — sin : xX —COSX

7.Y=Xsinx+cosx 8.y=xcotx

9.y=V1+ 2tanx 10.y=3tanx+tan3x+tan*x

Bài 2.Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1.y=sin3x.cos2x 2.y=cos 2 +sin2x-cosx”

3.y=sin’x.cos*x 4.y=cot'(2x+7)

5.y=sin’(cosx) 6.y=tan’ Vx? +1

Bai 3.Chirng minh rang ham s6 y=sin°x+cos°x+3sin’x.cos”x c6 dao ham khéng phu thuộc vào x

Bài 4.Cho hàm số y=sin2x-2cosx.Hãy giải phương trình:y°=0 Bài 5.Cho hàm số y=3sin2x+4cos2x+12x.Giải phương trình y°=2

Bài 5 ĐẠO HÀM CÁP CAO

A.TOM TAT GIAO KHOA

1 Dinh nghia

*Cho hàm số y=f(x) c6 dao ham f?(x).Ham s6 f(x) con goi la dao ham cap 1 của hàm số f(x).Nếu hàm số f(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của

hàm số f(x).Kí hiệu là:ƒ”°(x) hay y”’

*Đạo hàm cúa đạo hàm cấp hai gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x).Kí hiệu

la:f’’’(x) hay y’”’

* Đạo hàm của đạo hàm cấp ba gọi là đạo hàm cấp 4 của hàm số f(x) Ki hiéu la:f’’?’(x) hay y”’”’hay y®

*Tuong tu,ta goi dao ham cua dao ham cấp (n-1) là đạo hàm cấp n của hàm số f(x).kí hiéu la y™ hay y.Tire là ta có:

y=@“"?ÿ(ne x„n>1)

2 ý nghĩa cơ học cúa đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cúa hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I.Vẫn đề 1.Tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số

Trang 24

›„_3.2-(-4).1 10 (x+2)? (+2 ky 0 24h_ 20 _ lx+2) Ì-giay Do đó:y°?=20 © (x+2)Ï=-1 © x+2=-1 © x=-3 II.Vẫn đề 2.Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm Phương pháp:

#Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có mặt trong đẳng thức cần chứng minh

*Thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi về này cho bằng về kia.Từ đó suy ra đẳng thức cần chirng minh Vi du 3.CMR:néu y=xsinx thi xy-2y’+xy’’=-2sinx(1) Giai Ta c6:*y’=sinx+xcosx *y’’=cosx+cosx-xsinx=2c0sx-xsinx Do do: Vé trai(1)=x(xsinx)-2(sinx+xcosx)+x(2cosx-xsinx) =x’sinx-2sinx-2xcosxt+2xcosx-x’sinx

=-2sinx=Về phai(1)( dpem)

Vi du 4.Cho ham s6 y= x+ vx? +1 CMR:2Vx? +Ly'= y Giải Ta có:y=——L——(x+ vx’ +1)! QWxtvx? 41 x+ x‡Vx +l + ly =! 442 _ 2y vx +1 2y vx +1 Suy Màng + 2yýJx?°+l 2Vx”+l *y => 2vx” +I.y'= y(đpem) C.BÀI TẬP ĐÈ NGHỊ Bài 1.Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau 1.y=ax`+bx”+ex+d 2.y= ox = x ¬—- Y2 4.y=x.si y=x.sinx 5.y=xvI-x” 6.y=cos’x

Bài 2.Chứng minh:Nếu y=cotx thi y+y’sinx+tan 2 =0

Bài 3.Chứng minh:Néu y=V2x— x? thi y°y”’+1=0 Bài 4.Chứng minh:Nếu ea thi 2y°”=(y-I)y°?

Trang 25

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT

CHUYEN DE: -

VECTO TRONG KHONG GIAN

QUAN HE VUONG GOC TRONG KHONG GIAN BAI 1: VECTO TRONG KHONG GIAN A: Tóm tắc lí thuyết: 1 Các phép tính vectơ a Quy tắc hình bình hành Nếu có hình bình hành ABCD thì 4C = 48+ 4D D A b Quy tắc 3 điểm đói với phép cộng vecto Cho ba điềm A, B, C bắt kì thì 4C = 48+ BC c Quy tắc hình hộp

Nếu có hình hộp ABCD A’B’C’D’ thi 4C'= 48+ 4D+ AA"

d Quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vecto

V6i 3 diém O, A, B bat ki AB =OB-OA

c Quy tắc nhân vecto với một sô:

Cho vecto a va một số thực k thì k.a là vecto có:

aed -

k>0 Thì a cùng hướng với kac k<0 Thì z ngược hướng với k.a

2 Vecto cùng phương và vecto đồng phẳng: a Vecto cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vecto 4,5 cùng phương là có một số thực k để z = *.b b Vecto đồng phẳng

Nếu z,b là hai vecto không cùng phương thì điều kiện cần và đủ 3 vecto a,b,c

Trang 26

B Bài (ập : Bài tập 1: Cho hình lăng trụ ABC.A°B°C” Hãy nêu tên các vecto bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ: Giải: Theo tính chất của hình lăng trụ ta có AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A' AB=—BA,BC =—CB,CA =~—AC RA‘= BB'=CC*=-N'A=-B'B =-CC w% °

Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật, hãy kể tên các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình

Trang 27

Theo tính chất của hình hộp ta có: AB+ AD+ AE = AB+ BC +CG = AG

Dựa vào quy tắc hình hộp ta có:

AB+AD+ AE = AG

Bài tập 4 (bài tập tương tự ) `

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Chứng minh rắng SA+SC =SB+SD Giai: Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD Ta có: S4+ AO = SƠ SC+CO=SO => SA+SC = 2SO0(1) va SB + SD = 2SO(2) Tir (1) va (2) tacé S44+SC =SB+SD

Bai tap 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lay diém M sao cho AM =3MD va trén canh BC lay diém

N sao cho NB =-3NC Chứng tỏ rằng AB, DC, MN đồng phăng

Giải: og A

Trang 28

AM =3MD = MA=-MD va NB=-3NC ma MN = MA+ AB+ BN M va MN = MD +DC+CN(1) => 3MN =3MD +3DC +3CN(2) B (1)+ (2) => 4MN = MA+3MD + AB+3DC + BN+3CN S-4MN = MÃ+3MDœ MỸ =1 MÁ+ 2 MD Hệ thức trên chứng tỏ 48, ĐC, MN đồng phẳng Cc

Bai tap dé nghi ;

Cho hình hép chit nhat ABCD A’B’C’D’ Ching minh rằng

a)AB+ B'C'+ DD'= AC'

b)BD-D'D-B'D'= BB'

c)AC + BA'+ DB+C'D=0

BAI 2: HAI DUONG THANG VUONG GOC

A Tom tac li thuyét:

I Tich v6 hướng của hai vecto trong không gian a Góc giữa hai vecto

Cho ø và v là hai vecto trong không gian Từ một điểm A bat ki vé AB =u, AC =v Khi đó ta

goi goc BAC(O < BAC < 180°) 1a géc gitta hai vecto u và v, kí hiệu là (z „ v) Ta có

Trang 29

1 Tích vô hướng của hai vecto ~

Tích vô hướng của hai vecto „ và y đều khác vecto không là một số

được kí hiệu là ø y xác định bởi:

uv= | Jv cos(u.v)

Nếu u=0 hoặc v=0 thì ta quy ước uw v =0

2 Tính chất:

Với ba vecto a, bye trong không gian và với mọi số k ta có:

3 Vecto chí phương của đường thắng

- Vecto a#0 được gọi là vecto chỉ phương của đường thang d nếu giá cia vecto a song song hoặc trùng với đường thăng d

- Nếu z là vecto chi phương của đường thắng d thì vecto ka voik#0 cũng là một vecto chỉ

phương của d - „ -

Một đường thăng d trong khơng gian hồn tồn xác định được nêu biêt một điêm A thuộc d và một vecto chỉ phương z của d

5 Một sô ứng dụng của tích vô hướng

- Tính độ dài của đoanh thẳng AB: |4B| =VAB

- Xác định góc giữa hai vecto u va v bang cos( 1 v) theo công thức:

II Góc giữa hai đường thẳng: ;

Góc giữa hai đường thăng a và b trong không gian là góc giữa hai duong thang a’ va b’ cling di qua một điêm bât kì lân lượt song song với a và b

Ill Hai đường thăng vuông góc:

Trang 30

B Bai tap

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh đường thăng AO vuông góc với đường thăng CD Giải: A AO.CD = (AC +CO).CD = AC.CO+ CO.CD Ta có: I a3 3 ew = a.a(-~—)+—— a.— =-—+— =0 2 3 2 2 2 Theo định nghĩa vuông góc của hai đường thắng thì AO CD EE Bài tập 2:

Cho hình chóp tam giác S ABC có SA = SB =SC va c6 ASB = BSC = ESA

Trang 31

Bai tap 3: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc giữa các cặp vecto sau đây: a)AB,EG b)EF, EG c)AB, DH D C A G E F Giải:

a) Vì EG // AC nên góc giữa 4B,EG cũng bằng góc giữa AB và AC

Vậy (4B,EG)=(AB , AC) = 45°

b) Ta có AF /DG nên góc giữa AF và DG cung bang goc gitra EG va DG Ta có tam giác DEG là tam giác đều nên (AF,EG) = 600

e) Vì AB// DG nên góc giữa 4B và DH bằng góc gitta DC va DH

Trang 32

Bài tập 4: ( Bài tập tương tự )

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính góc giữa hai đường thăng AB và CD AB=a.AC=b,AD=c Giải: CD = AD-AC =c-b ABCD _ a(c-b) cos(AB.CD) = =~ = |4B|[CD| lale-bit aqe-ab aat—aat _ 4 5B 2 - 2 =0 aa a » b|=ll=||=s vay(AB, CD) =90° B C BAI 3: DUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG A Tóm tắc lí thuyết:

I Đường thăng vuông góc với mặt phẳng

- Đường thăng d được gọi là vuông góc cdi mat phang (a) nếu d vuông góc với mọi đường thăng nằm trong mặt phăng (0)

- Khi đó ta nói (œ) vuông góc với d và kí hiệu d + (a) hay (a) td II Điều kiện để đường thắng vuông góc với mặt phăng

Trang 33

IL Tinh chat:

1 Có duy nhất một mặt phăng đi qua mọt điểm cho trước và vuông góc với một đường thắng cho trước 2 Có duy nhất một đường thắng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước IV Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song 1

a) Cho hai đường thắng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thắng này thì cũng vuông góc với đường thắng kia

b) Hai đường thăng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phăng thì song song với nhau 2

a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thắng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

b) Hai mặt phăng phân biệt cùng vuông góc với một đường thăng thì song song với nhau 3

a) Cho đường thing a va mat phẳng (ơ) song song với nhau Đường thăng nào vuông góc voi (a) thì cũng vuông góc với a

b) Nếu một đường thắng và một mặt phăng ( không chứa đường thắng đó) cùng vuông góc với một đường thăng khác thì chúng song song với nhau

V Phép chiếu vuông góc

1.Định nghĩa: Cho đường thắng d vuông góc với (a) Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phang (a) được gọi là phép chiêu vuông góc lên (a)

2 Định lí 3 đường vuông góc:

Cho đường thăng a nằm trong (ơ) và b là đường thắng không thuộc (ơ) đồng thời không vuông góc với (a) Goi b’ la hình chiếu vuông góc của b lên (ơ) Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với bì

B Bài tập :

* Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt đáy ABC và BCD là hai tam giác chung đáy BC Gọi I là trung điểm cạnh BC

a) Chúng minh BC vuông góc với (ADI)

b) Goi AH la đường cao cuả tam giác ADI,chứng ming rằng AH vuông góc với (BCD)

Trang 34

a) Ching minh BC + (DIA)

Tam giác ABC cân tại A nên AI + BC

Tam giác CBD cân tại D nên DI + BC Ta có AI BC và DI+ BC — BC +(DIA) b) Chứng minh AH+ (BCD) Ta cé BC+ (DIA) va AH <(ADI) => AH+BC mat khac AHL BC và AH+ DI > AH+ (BCD)

Bài tâp 2: Cho hình chóp S ABCD c6 day ABCD 1a hinh thoi va c6 SA = SC, SB =SD Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng:

a)_ Chứng minh SO + (ABCD) b) Chtrng minh: AC + (SBD)

DB + (SAC)

Giải:

Trang 35

a) Chứng minh: SO + (ABCD) Ta có SA = SC nên tam giác SAC cân tại đỉnh S, SO là trung tuyên cũng là đường cao của tam giác SAC SO + AC (1) ; Ta có SB = SD nên tam giác SDB cAn tai dinh S , SO là trung tuyên cũng là đường cao của tam giác SDB SO +(SBD) (2) Từ (1) và (2) — SO +(ABCD) b) Chứng minh: AC + (SBD) Ta có ABCD là hình thoi nên AC + BD (3) Ta có: AC+LSO (4) Từ (3) và (4) suy ra: AC + (SBD)

Chứng minh tương tự, ta có : DB +( SAC)

* Vấn đề 2: Chứng minh hai đường thắng vuông góc

Trang 36

— CI4 AB (1)

Tương tự DI là đường cao của tam giác ADB

— DI+ AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + (CDI)

* Chứng minh BC + AD : Lập luận tương tự ta có điều phải chứng minh

BAI 4: HAI MAT PHANG VUÔNG GOC

A Tom tac li thuyét :

I Géc giita hai mat phang :

Góc giữa hai mặt phăng là góc giữa hai đường thắng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó Nếu hai mặt phăng song song hoặc trùng nhau ta nói rằng góc giữa hai mặt phăng đó bằng 0°

e Xac dinh goc gitta hai mat phẳng cắt nhau

Cho hai mặt phang (a) va (B) cắt nhau theo giao tuyén c Tir mét diém I bat kì trên c ta dựng đường thẳng a trong (ơ)vuông góc với c và dựng đường thăng b trong (B) vuông góc với e Khi đó góc giứa (B) và (œ)là góc giữa hai đường thăng a và b

e Diện tích hìn chiếu của đa giác S° = S.cosô, với S là diện tích đa giác nằm trong (a),

S’ la dién tich hình chiếu vuông góc cua da gidc do trén (B) , 6 1a géc gitta (a) va (B)

II Hai mặt phẳng vuông góc :

1 - Dinh nghĩa: Hai mặt phăng (ø) và (B) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt

phẳng đó là một góc vuông Khi đó ta kí hiệu (o) (B) 2 Tinh chat:

a) Điều kiện cần và đủ đề hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phăng này chứa một đường thắng vuông góc với mặt phẳng kia

b) Nếu hai mặt phăng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thắng nào nằm trong mặt phăng này và vuông góc với giao tuyên thì vuông góc với mặt phăng kia

e) Cho hai mặt phăng (ø) và (B) vuông góc với nhau, nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (0) ta dụng một đường thắng vuông góc với mặt phăng (B)

thì đường thắng này năm trong mặt phăng (œ)

d) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phắng đó

II hình lăng trụ đứng, hình hôp chữ nhật và hình lâp phương Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy Hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật

Hình lập phương là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên là các hình vuông IV Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:

Hình chóp déu là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Phần của hình chóp đều nằm giứa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt tất cá các cạnh bên của

hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều

Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều đồng dạng với nhau

B Bài (ập : -

Trang 37

Bai tap 1: Trong mat phang (a) cho tam giác ABC vuông ở B Kẻ đoạn thắng AD vuông góc với (œ) ở A Chứng minh răng

a) Góc UBD la góc giữa hai mặt phang (ABC) va (DBC) b) (ABD) vuông góc với (BCD) Giải: A a) Góc UBD la góc giữa hai mặt phăng (ABC) và (DBC) DA +(ABC) Và AB +BC nên DB + BC (định lí 3 đường vuông góc) DB+BC và AB LBC

vậy UBD la góc giữa hai mặt phăng (ABC) và (DBC)

b)_ (ABD) vuông góc với (BCD) Ta có BC L AB va BCDB Suy ra BC + (ABD) Ta lai co: BC+ (ABD) Va (BCD) > BC Suy ra (BCD) +( ABD) Bai tap 2:

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a va SA = SB = SC =a Chứng minh rằng a).( ABDC) vuông góc với (SBD)

Trang 38

a) (ABDC) vuông góc với (SBD) Kẻ SH vuông góc với (ABCD) Do SA = SB =SC Suy ra HA = HB = HC Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suyra H thuộc BD Suy ra SH c (SBD) Kết hợp với SH + ( ABCD) Suy ra (SBD) +( ABCD)

b) Tam giác SBD là tam giác vuông

Trang 39

Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tam giác ABC đều, AM là trung tuyến và cũng là đường cao :

BC+ AM (1)

SH (ABC) nén SH + BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC L( ASH)

Mà SA chứa trong (ASH) nên BC + SA

* Ching minh SB + AC: Chứng minh tương tự trên

BÀI 5: KHOẢNG CÁCH I Khoảng cách một điểm đến một đường thẳng

Trang 40

II Khoắng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song ; „

"Khoảng cách từ a đên mặt phăng (ơ) song song với a là khoảng cách từ một điêm A bât kì thuộc đường thăng a đên mặt phăng (0)

IV Khoảng cách giữa hai mặt phẳng Song song

Khoảng cách giữa hai mặt phăng song song là khoảng cách giữa một điểm thuộc mặt phăng này đến mặt phang kia

V Đường vuông góc chung cúa hai đường thắng chéo nhau

1 Định nghĩa:

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	4,87 MB