Tài liệu ôn tập toán lớp 11 chủ đề phương trình lượng giác có chứa tham số

Microsoft Word Chç �Á 7 PH¯€NG TRÌNH L¯âNG GIÁC CÓ THAM SÐ doc Trang 1 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ THAM SỐ Trong chủ đề này có một số bài toán bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối c[.]

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ THAM SỐ Trong chủ đề có số tốn bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối chương trình tốn 11, khảo sát hàm số lớp 12 để giải quyết) Phương pháp giải toán tác giả xin trình bày chi tiết thơng qua hệ thống ví dụ cụ thể Ví dụ Có giá trị tham số m thuộc tập E  3; 2; 1;0;1;2 để phương trình m sin x cos x  cos2 x  m  có nghiệm? a) b) c) d) Lời giải: Phương trình tương đương với m sin x  cos x  m  Phương trình có nghiệm  m  2   m  3  m    m   Mà m  E   m  3; 2; 1 Chọn B Ví dụ Cho phương trình m sin x  sin x cos x  3m cos2 x  Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình có nghiệm  4 a) m  0;   3  4 b) m   \ 0;   3  4 c) m  0;   3  4 d) m   0;   3 Lời giải: Phương trình  m  cos x  cos x  sin x  3m   sin x  m cos x   m 2 Phương trình có nghiệm   m   m  m  3m  m    m  Chọn C  3   sin   x     tan  Gọi S tập hợp tất giá trị thực  Ví dụ Cho phương trình sin x  tan  thuộc đoạn [0;2 ] để phương trình có nghiệm Tổng phần tử tập S a)  b)  c)  d)  Lời giải: sin x  Điều kiện:  cos   Phương trình tương đương với   cos x  3sin 2  3sin 2 sin x  cos x  sin x (1) Trang Nếu sin x    cos x   : không thỏa (1) Do phương trình có nghiệm ln thỏa mãn điều kiện sin x  cos   Để phương trình có nghiệm   (3sin 2)  16  25 cos   cos    k    cos 2      , k   : thỏa điều kiện sin 2  sin 2   3 5 7    5 7    S   ; ; ;    tổng     4 4 4 4 4  Chọn C     Ví dụ Cho phương trình sin  x   cos  x    m  sin x  cos x Gọi S  [a; b] tập tất 3 6   giá trị tham số m để phương trình có nghiệm Tính a + b a) a + b = - b) a  b   c) a + b = d) a + b = Lời giải:         Ta có sin  x   cos  x    sin  x    sin  3 6 2  6 2       1  1 x x x x      sin cos sin cos sin cos    2  6    PT  sin x  cos x   m  sin x  cos x  cos x  Phương trình có nghiệm  1  m2  2 m2     m   2  m  2 a  2   S   2;2     a  b  b  Chọn C Ví dụ Cho phương trình sin x  cos6 x  3sin x cos x  m   Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? a) b) c) 13 d) 15 Lời giải:    Ta có sin x  cos6 x  sin x  cos2 x  3sin x cos2 x sin x  cos2 x    3sin x cos2 x   sin 2 x m Phương trình   sin 2 x  3sin x cos x     3sin 2 x  sin x  12  m 4 Trang   Đặt t  sin x   3t  6t  12  m   t  1  15  m t 1;1 Vì 1  t      t  1  12 Do để phương trình có nghiệm   15  m  12 m   m  15   m  3;4;5; ;15 Chọn C Ví dụ Cho phương trình tan  tan x  cot x   m Có giá trị nguyên m nhỏ 2018 sin x để phương trình có nghiệm? a) 2004 b) 2008 c) 2011 d) 2012 Lời giải: sin x  k Điều kiện:  x  k   cos x    Phương trình viết lại  tan x    tan x  cot x  m sin x      tan x  cot x   tan x  cot x  m Đặt t  tan x  cot x Điều kiện: t    Phương trình trở thành t   t  m  3t  t  m  Xét hàm f (t )  3t  t tren ( ; 2]  [2; ) Bảng biến thiên T  + - f '(t ) f (t ) -2    14 10 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có n ghiệm  m   10  m  m   có 2011 giá trị m  7;8;9; ;2017  m  2018 Chọn C Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x  m tan x có nghiệm x  k    a) m    ;4      b) m   ;4      c) m    ;4    d) m   1;4  Lời giải: Điều kiện cos x  Trang Phương trình  sin x.cos x  m.sin x sin x  4.sin x cos x.cos x  m (*) cos x cos x   Vì x  k  nên sin x  Khi (*)  cos2 x cos2 x   m  x  k Đặt t  cos2 x , với  suy t   0;1 Phương trình trở thành m  8t  4t cos x  Xét hàm f ( x )  8t  4t với t  (0;1), ta   f (t )  Do phương trình có nghiệm    m  Chọn A Ví dụ Cho phương trình cos x   m  1 cos x  m   Tìm tất giá trị thực tham số m để   3  phương trình có nghiệm thuộc khoảng  ;  2  a) 1  m  b) 1  m  c) 1  m  d) 1  m  Lời giải:  cos x   Phương trình  cos x   m  1 cos x  m     cos x  m Nhận thấy phương trình cos x  khơng có nghiệm khoảng   3   ;  (Hình vẽ)     3  Do u cầu tốn  cos x  m có nghiệm thuộc khoảng  ;   1  m  2  Chọn C Ví dụ Cho phương trình cos2 x  1  m  cos x  m   Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình có nghiệm? a) b) c) 10 d) 11 Lời giải: Đặt t  cos x  1  x  1 Phương trình trở thành t  1  m  t  m    t  2t   m  t  1 (1) Trang  Xét t  1: (1) trở thành = (không thỏa mãn)  Xét t  1: (1)  Xét hàm f (t )  t  2t   2m t 1 t  2t  t  2t   t   1;1 với t  [  1;1), ta có f '(t )  t 1  t  1 Bảng biến thiên t -1 - f '(t ) f (t )  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm  m   m  m   m  10; 9; 8; ;0   có 11 giá trị m 10;10 Chọn D Ví dụ 10 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x  cos2 x  m sin x có nghiệm   thuộc khoảng  0;   12   1 a) m   0;   2 1  b) m   ;2  2  c) m   0;1 1  d) m   1;  4  Lời giải: Ta có: cos2 x   cos6 x  cos3 x  3cos x  cos x  cos2 x  2 Phương trình cho  cos2 x    cos3 x  3cos x  cos x  m 2  cos2 x    cos3 x  3cos x  1  cos x  m   cos x  1 m  cos3 x  cos2 x  3cos x  (*)   4t  4t  3t     4t  Đặt t  cos x , với x   0;    t   ;1 Khi (*)  m  t 1  12    Trang  f (t )    23 ;1      Xét hàm f (t )  4t  đoạn  ;1 , ta  f (t )    max   ;1      Vậy để phương trình m  f (t ) có nghiệm m   0;1 Chọn C Ví dụ 11 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2sin x  m cos x   m có nghiệm x thuộc    đoạn   ;   2 a) m   b) m   c) 1  m  d) 1  m  Lời giải: Nếu dùng điều kiện có nghiệm:  m  1  m     2m  m   (đáp án A) sai hồn tồn    x    ;  sin x quét hết tập giá trị [-1; 1] với cos x khơng  2 x    Lời giải Đặt t  tan , với x    ;    t  [1;1]  2 Phương trình trở thành 2t 1 t2  m   m  t  4t   2m 2 1 t 1 t max f (t )   1;1 Xét hàm f (t )  t  4t  đoạn [-1;1] Tìm  f (t )  2 min  1;1 Do u cầu tốn 2  2m   1  m  Chọn C Ví dụ 12 Cho phương trình mx  42  42 cos x Tổng tất giá trị nguyên tham số m để   phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 a) – 54 b) – 35 c) 35 d) 51 Lời giải: 42  cos x  1   Vì x   0;  nên phương trình  x2  2 Xét hàm f  x   1  cos x   x sin x cos x      với x   0;  , ta có f '( x)   0, x   0;  x x  2  2   Suy f(x) đồng biến  0;  nên lim f ( x)  f ( x)  lim f ( x)     f ( x)   x0    2 x Trang Vậy để phương trình cho có nghiệm 22  m  16 m   m  19; 18; 17 Chọn A Ví dụ 13 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ x  -2 -1 + f’(x) - + f(x)   -1  m Có số ngun m để phương trình f 3cos  x  1  1   có nghiệm? a) b) c) d) 13 Lời giải: Đặt t  3cos x  x  1    2  t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t   2; 4 1  f (t )  Do để phương trình có nghiệm  1   m   6  m  2 m   m  6; 5; 4; ; 2   có giá trị Chọn C Ví dụ 14 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ x  -1 + f’(x) -  + f(x)  -2  Có số nguyên dương m để phương trình f  sin x  1  f (m) có nghiệm? a) b) Trang c) d) Lời giải: Đặt t  2sin x    1  t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t   1;3 2  f  t   Do để phương trình có nghiệm  2  f ( m)  Cũng từ bảng biến thiên suy f(m) nhận giá trị từ - đến 1  m  m   m  1; 2;3   có giá trị  Chọn B Ví dụ 15 Cho phương trình cos 3x    2m  cos x  m   Tìm tất giá trị thực tham số    m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng   ;   3 a) 1  m b)  m  c)  m  d)  m  Lời giải:       Với x    ;    3x    ;    3   Đặt t  cos x  1  t  1 Phương trình trở thành 2t    2m  t  m    t1    phương trình có hai nghiệm Ta có    2m     t  m  2 Ta thấy ứng với nghiệm t1  cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng     ;   3 Do u cầu tốn  1  t2  (tham khảo hình vẽ)  1  m     m  Chọn B Cách khác: Trang Yêu cầu tốn tương đương với phương trình 2t    m  t  m   có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn P   1  t2     a f 1   a f  1    Ví dụ 16 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x  sin  x     m có 4   3  nghiệm thuộc khoảng  0;    a) 3  m  1  b) 3  m  1  c) 1  m  1  d) 1  m  1  Lời giải: Phương trình viết lại sin x  sin x  cos x   m   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , suy sin x  t  4       3  Với x   0;    x    ;     t  0;  4    Phương trình trở thành t  t   m (*)   Xét hàm f (t )  t  t  0;  Ta có f '  t   2t   0, t  0;   Suy f  t  đồng biến 0;  kết luận f    m  f      3  m  1     Thử lại m  1    sin  x      có nghiệm x  4   3  thuộc  0;    Lí dẫn đến sai lầm toán yêu cầu có hai nghiệm khác với yêu cầu có nghiệm Dựa vào đường trịn lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy u cầu tốn  phương trình (*) có  nghiệm t thuộc 1;   f 1  m  f     1  m  Chọn D Ví dụ 17 Cho phương trình m sin x  3sin x cos x  m   Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m  3  thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có nghiệm thuộc  0;  Tổng phần tử S   a) -15 b) -14 c) d) 15 Lời giải: Trang Phương trình  m  sin x  1  3sin x cos x    3sin x cos x  m cos2 x   Nhận thấy cos x  không thỏa phương trình Chia hai vế cho phương trình cos2 x ta tan x  tan x  m   Đặt t  tan x , ta phương trình bậc hai t  3t  m    3  Để phương trình cho có ba nghiệm thuốc  0;   phương trình t  3t  m   có hai nghiệm   m trái dấu  m    m  1   m  5; 4; 3; 2   S  14 m[ 5;5] Chọn B Ví dụ 18 Cho phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x Số giá trị nguyên tham số  2  m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;   3 a) b) c) d) Lời giải: Phương trình  1  cos x  cos x  m cos x   1  cos2 x   cos  1  1  cos x  cos x  m      cos x  m    2  Với x  0;    phương trình cos x  1 vô nghiệm  3   2   4  Với x  0;    x  0;   3   Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy yêu cầu toán m 1     4  m  2 Vì m     m  3; 2 Chọn B   Ví dụ 19 Có số thực m để phương trình  sin x  1 cos2 x   2m  1 cos m  có nghiệm thuộc đoạn 0;2 ? a) b) c) d) Lời giải: sin x   Phương trình   sin x  1 cos x  1 cos x  m    cos x    cos x  m  Trang 10  a; b  Giá trị a + b  2 a) b) c) d)   Lời giải:   Phương trình  m    sin x  m    sin x  1  sin x    sin x Xét hàm số f  t   t  t với t  [0; ) Hàm đồng biến [0; ) nên suy f   m    sin x  f    sin x  m    sin x   sin x  m    sin x   sin x  m  sin x   sin x Đặt u   sin x , sin x   1;1   u  0;    Phương trình trở thành: m  u  u  1 Xét hàm g  u   u  u  với u  0;  Ta có g '  u   2u  1; g '  u    u    Bảng biến thiên u - g’(u) + g(u) 1 -1  Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm    m  1  a      a b    b    Chọn D Ví dụ 29 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình   sin x   cos x   2 cos3 x  m  cos3 x  m   cos2 x  m   2  có nghiệm thuộc 0;  ?   a) b) c) d) Trang 17 Lời giải: Phương trình tương đương với  sin x  sin x  2 cos3 x  m   cos3 x  m   cos3 x  m   f  t  đồng biến Xét hàm f  t   2t  t với t  Ta có f '  t   6t    Mà f  sin x   f   sin x  cos3 x  m  , suy sin x  cos3 x  m    sin x  cos x  m   2  sin x  cos3 x  m  (vì sin x  0, 0;  )     cos x  2cos x  m   m  2cos x  cos x   2    Đặt u  cos x, x  0;   u    ;1 Khi phương trình trở thành: m  2u3  u          u     ;1   Xét g  u   2u3  u  1, có g '  u   6u2  2u; g '  u         u      ;1    Bảng biến thiên u  - g’(u) g(u)  0 1 -  28 27  m  1 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm   4  m   28  27 m   m  4; 3; 2; 1 Chọn D Ví dụ 30 Cho phương trình sin x  cos x  sin x  cos x  cos2 x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? a) b) c) d) Lời giải: Điều kiện: cos x  m  Phương trình cho tương đương với  sin x  sin x  cos x   cos x  m  cos2 x  m Trang 18   sin x  cos x   sin x  cos x  cos2 x  m  cos  m   sin x  cos x   sin x  cos x   cos2 x  m  2 cos x  m  hàm số f(t) đồng biến Xét hàm f  t   t  t với t  Ta có f '  t   2t   0, t   Mà f  sin x  cos x   f   cos2  m , suy sin x  cos x  cos2 x  m   sin x  cos x   cos2  m   sin x  cos2 x  m  sin x  cos x  m   Vì sin x  cos x  sin  x      2;   4   m  m  1;0;1   phương trình cho có nghiệm    m   Chọn B Ví dụ 31 Cho phương trình sin x  m  sin x  sin x  sin x  m   Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 Lời giải: a  sin x  m Đặt  b  sin x Phương trình trở thành: a  b  a3  b3     a  b  2  a3  b3    a  b    a  b   12  a  b    a  b   a  ab  b     a  b  3ab  a  b  12    a  b  a   b     Với b    sin x  : vô nghiệm  Với a    sin x  m   sin x  Phương trình có nghiệm 1   8m 8m m    m  12   m  4;5;6; ;12 Với a  b    sin x  m  sin x   m   sin x  sin x Đặt t  sin x  1  t  1 , ta m  t  4t Xét hàm f  t   t  4t đoạn [-1;1], ta 5  f  t   với t   1;1 m Suy phương trình có nghiệm  5  m    m  5; 4; ;4;5 Hợp hai trường hợp ta 18 giá trị nguyên m (vì m  4; m  lặp lại) Chọn A Trang 19 Ví dụ 32 Cho phương trình tan x   sin x  cos x   m  sin x  3cos x  Có giá trị nguyên   tham số m thuộc đoạn [-2018; 2018] để phương trình có nghiệm thuộc  0;  ?  2 a) 2015 b)2016 c) 2018 d)4036 Lời giải: Điều kiện: cos x  Vì cos x  nên phương trình tương đương với   tan x   tan x   m  tan x  3   Đặt t  tan x  1, x   0;    t  1;    2     Khi phương trình trở thành 3t t   m t   m  3t  3t t2    t  5t  3t  3t Xét hàm f  t   với t  1;   Ta có f '  t    0, t  1;   t 2 (t  2)2 Bảng biến thiên t  + f’(t) f(t)  Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm m >     m  3;4; ;2018   có 2016 giá trị m m 2018;2018 Chọn B Ví dụ 33 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình cos2 x  cos x  m  m có nghiệm a) b) c) d) Lời giải: cos2 x  u  m Đặt u  cos x  m , ta có hệ  u  cos x  m u   cos x Trừ vế theo vế ta cos2 x  u  u  cos x    u  cos x  cos x  u  1    u  cos x   Với u  cos x  ta m  cos x  cos x  3  khao sat (1)  m  cos x   cos x  1  m  cos2  cos x   m   ;3 4  Trang 20 ... =2 phương trình  x    cho ta nghiệm có số vị trí biểu diễ đường trịn 3  lượng giác    Với t = -2 phương trình sin  x    1 cho ta nghiệm có số vị trí biểu diễn đường 3  tròn lượng. .. g  u   Vậy phương trình cho có nghiệm 2  m  m   m  2; 1 Chọn B Ví dụ 27 Cho phương trình phương trình có nghiệm? m  3 m  3sin x  sin x Có giá trị nguyên tham số m để a) b)... 1;0;1   phương trình cho có nghiệm    m   Chọn B Ví dụ 31 Cho phương trình sin x  m  sin x  sin x  sin x  m   Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? a)