Microsoft Word Chç �Á 4 PH¯€NG TRÌNH L¯âNG GIÁC C€ B¢N doc Trang 1 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Loại 1 Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác Với phương[.]
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo hàm số lượng giác Với phương trình a.sin kx b.sin kx c ta đặt t sin kx với 1 t , quy phương trình bậc hai: a.t b.t c t sin kx x Với phương trình a.cos kx b.cos kx c ta đặt t cos kx với 1 t , quy phương trình bậc hai: a.t b.t c t cos kx x Với phương trình a.tan kx b.tan kx c ta đặt t tan kx quy phương trình bậc hai: a.t b.t c t tan kx x Tương tự cho phương trình ẩn t cot kx Chú ý: Với phương trình bậc ba theo hàm số lượng giác cách giải tương tự! Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung Với phương trình f x , kĩ thuật phân tích, cơng thức lượng giác học ta nhóm g x nhân tử chung quy dạng g x h x h x II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Giải phương trình sau a) a) tan x tan x b) 4cos x tan x tan x tan x 1 Lời giải: cos x tan x tan x x k tan x x k Vây phương trình có họ nghiệm x b) 4cos x cos x cos x k , x k , cos x cos x cos x 1 x k 2 x k 2 Vây phương trình có họ nghiệm x k 2 , x k 2 , Trang Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x cos x cos x 2 b) sin x cos x cos x Lời giải: a) sin x cos x cos x sin x cos x 2sin xcos x sin x 2 x k 2 x sin sin x sin x sin x 1 sin x x 5 k 2 sin x 2 loai Vây phương trình có họ nghiệm x 5 k 2 , x k 2 , 6 b) sin x cos x 3sin xcos x 2sin 2 x sin 2 x 2sin 2 x sin x x k Vây phương trình có họ nghiệm x k , Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x cos x sin x b) sin x x cos 2sin x 2 Lời giải: a) sin x cos x sin x 1 sin x cos x 2sin xcos x sin x 2 sin 2 x sin x sin x 1 sin x 3 2 sin x x k 2 , sin x 3 loai Vây phương trình có họ nghiệm x k 2 , b) sin x x x x x x cos 2sin x sin cos 2sin cos 2sin x 2 2 2 sin x sin x sin x sin x sin x x k , 2 sin x loai Vậy phương trình có họ nghiệm x k , Ví dụ Giải phương trình sau Trang a) sin x cos x sin x.cos x 2sin x b) sin x cos x sin x.cos x 0 Lời giải: 3 a) Điều kiện: x k 2 , k 2 4 PT sin x cos x sin x.cos x 2sin x sin x cos x sin x.cos x sin x cos x sin x cos x 3sin xcos x sin xcosx 6 sin xcosx sin xcosx 3sin xcosx 2sin xcosx 1 2 sin xcosx sin x loai x k , sin xcosx sin x Kết hợp với điều kiện suy nghiệm phương trình x 2m 1 b) sin x cos x sin x.cos x sin x cos x sin xcosx sin xcosx 2 sin xcosx sin xcosx sin xcosx 1 2sin xcosx 1 sin xcosx sin x loai x k , 1 sin xcosx sin x 1 Vây phương trình có họ nghiệm x k , Ví dụ Giải phương trình sau b) cos sin x a) Lời giải: a) ĐKXĐ: x k 2 sinx cos x 2cos x x k x k , 6 Kết hợp với ĐKXĐ suy phương trình có họ nghiệm x k với k lẻ b) Trang Vây phương trình có họ nghiệm x k , Ví dụ Giải phương trình sau sin x cos x a) tan x cos x sin x b) sin x x cos 3 Lời giải: a) Với cos x , phương trình cho tương đương sin x cos x 3sin xcos x sin x cos x sin x sin x cos x tan x cos x sin x cos x 4cos x sin x sin x x k , sin x 1 b) Phương trình cho tương đương với 2x sin 4x cos x x 2 k 2 x k 3 , 3 2 cos Ví dụ Giải phương trình sau x x a) sin tan x cos 2 4 b) cos3 x cos x cos x Lời giải: a) Với điều kiện cos x phương trình cho tương đương với sin x cos x 1 cos x 1 sin x sin x 1 cos x cos x 2 cos x 1 sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 cos x sin x cos x cos x x k 2 cosx 1 , cosx 1 x k 2 tan x tanx 1 b) Phương trình cho tương đương với 4cos x 3cos x 2cos x cos x 4cos x 2cos x cos x cos x cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 Trang x k 2 sinx , k x 2 k 2 cosx Ví dụ Giải phương trình sau x a) tan x cos x cos x sin x 1 tan x.tan 2 b) sin x cos x sin x cos x Lời giải: a) Điều kiện: cos x cos x 0 x sin sin x sin x Phương trình cho tương đương cosx cos x sin x 1 x x s cos x co co s 2 b) Phương trình cho tương đương với sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x 2sin x cos x cos x cos x sin x 1 cos x cos x 1 cos x 1 cos x sin x cos x 2 x k 2 cos x , 2 x k tan x 1 Ví dụ Giải phương trình sau a) sin x sin 3x cos 2 x cos x b) sin x cos x cos x Lời giải: a) Phương trình cho tương đương sin x sin 3x cos 2 x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x k x 10 cos x cos x cos x cos x cos x x k , cos x x k b) Phương trình cho tương đương với Trang sin x cos x cos x sin x cos x 3sin xcos x sin x cos x cos x k 3 , sin 2 x cos x 1 cos x cos x cos x x Ví dụ 10 Giải phương trình sau a) tan x cos x b) tan x cos x Lời giải: a) Với điều kiện cos x phương trình cho tương đương với tan x tan x tan x cos x tan x tan x 20 tan x tan m x m k , x n k tan x 20 tan n b) Với điều kiện cos x phương trình cho tương đương 3 cos x tan x 3cos x cos x 9cos x cos x cos x cos x cos x x 2k 2 10cos x 3cos x , cos x x m k 2 Ví dụ 11 Giải phương trình sau a) 13cos x 0 tan x b) cot x sin x Lời giải: a) Với điều kiện cos x phương trình cho tương đương 13cos x 13cos x 4cos x tan x cos x cos x x k 2 , cos x b) Với điều kiện sin x phương trình cho tương đương cot x cot x cot x cot x cot x sin x cot x 1 x k , cot x x m k Trang Ví dụ 12 Giải phương trình sau a) cos x 3cos x 4cos x b) Lời giải: a) Phương trình cho tương đương với cos x 3cos x 4cos x 2cos x 3cos x 1 cos x cos x cos x 5cos x x k 2 x cos b) Với điều kiện sin x phương trình cho tương đương với tan x x k x tan x tan , x tan tan x x k tan x 3 Ví dụ 13 Giải phương trình 2sin x 1 cos x sin x 2cos x Lời giải: PT 4sin xcos x 2sin x cos x 2cos x sin x cos x 1 cos x 2 k 2 x cos x 1 2cos x sin x 1 sin x x k 2 Vậy phương trình có họ nghiệm: x k 2 ; k , x Ví dụ 14 Giải phương trình cot x sin x 1 tan x tan 2 Lời giải: sin x k x sin x Điều kiện: cos x x 2k x 2k x cos Phương trình tương đương: x x x sin x.sin cos x.cos cos cos x sin x cos x cos x sin x sin x 4 4 x x sin x sin x cos x.cos sin x cos x cos x.cos 2 Trang x 12 k cos x sin x 4sinxcosx 2sin x sinx 5 x k 12 2 5 Vậy phương trình có họ nghiệm: x k ; k , 12 12 Ví dụ 15 Giải phương trình cos x sin x 2sin x Lời giải: PT sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x Giải 1 sin x x k x k 4 4 1 t Giải (2): Đặt sin x cos x t , t 2; sin x cos x ta có: 2 1 x k 2 1 t2 t t 1 t 1 2sin x 1 3 k 2 4 x 3 Vậy phương trình có họ nghiệm: x k 2 ; k ; k 2 , 2 Ví dụ 16 Giải phương trình cot x tan x cos x sin x Lời giải: Điều kiện: sin x x PT k cos x sinx cos x cos x sin x cos x cos x cos x sinx cos x sinx cos x x k 2 cos x cos x cos x cos x 1 2cos x 1 2 1 k 2 x cos x 2 2 Vậy phương trình có họ nghiệm: x k ; k 2 , Ví dụ 17 Giải phương trình sin x 2cos x sin x 0 tan x Lời giải: Trang x k cos x Điều kiện: tan x x k Ta có phương trình sin x cos x sin x sin x 1 cos x 1 Kết hợp điều kiện, phương trình có họ nghiệm: x k 2 ; k 2 , sin x 3 Ví dụ 18 Giải phương trình tan x 2 cos x Điều kiện: cot x Lời giải: x k sin x Ta có phương trình tương đương: cos x 1 x k 2 sin x cos x sin x 2 cos x cos x sin x 2sin x 2sin x cos x cos x sin x cos x x k 2 cos x 1 2sin x 1 sin x 5 x k 2 5 Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x k 2 ; k 2 , 6 Ví dụ 19 Giải phương trình cos x 2sin cos x x 1 Lời giải: Điều kiện: cos x x k 2 Phương trình cho tương đương x x cos x 2sin cos x sin cos x 2 4 2 4 cos x cosx sin x cos x sin x x k 2 3 Kết hợp điều kiện, suy nghiệm phương trình là: x Ví dụ 20 Giải phương trình 2 k 2 , sin x sin x sin x 1 sin x Lời giải: Trang Điều kiện: sin x 1 x k Phương trình tương đương 2sin x sin x sin x sin x 1 2sin x sin x x k 2 2sin x sin x sin x 5 x k 2 Kết hợp điều kiện, suy nghiệm phương trình là: x 3 k 2 , sin x cos x 1 cot x 5sin x 8sin x Ví dụ 21 Giải phương trình Lời giải: Điều kiện: sin x x k Phương trình tương đương: 4cos 2 x 20cos x 4cos 2 x 20cos x cos x 1 cos x cos x x k 2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x k 2 , 3 Ví dụ 22 Giải phương trình tan sin x 1 2 x sin 3x cos x Lời giải: Điều kiện: cos x x k Phương trình tương đương: sin x cos x sin 2 x sin x sin 2 x sin 2 x sin x k 2 17 k 2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x ; , 18 18 Ví dụ 23 Giải phương trình cos x 1 cot x Điều kiện: 2sin x sin x cos x Lời giải: sin x Phương trình tương đương: cos x cos x 1 cos x 1 cos x cos x 1 1 cos x cos x cos x cos x Trang 10 cos x 1 cos x 1 cos x x k 2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x Ví dụ 24 Giải phương trình k 2 , sin x cos x tan x cot x cos x sin x Lời giải: Điều kiện: sin x x k Phương trình tương đương: sin x.sin x cos x.cos x sin x cos x 2cos x cos x 2cos x cos x 1 2cos x 1 cos x x k 2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x Ví dụ 25 Giải phương trình k 2 , sin x cos x sin x sin x cot x Lời giải: Điều kiện: sin x x k Phương trình tương đương: sin x cos x sin x sin x 1 cot x sin x sin x 2 cos x sin x sin x cos x 2 cos x sin x cos x cos x cos x cos x cos x sin x cos x sin x cos x k Với cos x x Với sin x cos x sin x x k 2 4 Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x k ; k 2 , Ví dụ 26 Giải phương trình Điều kiện: cos x cos x 8sin x sin x cos x cos x Lời giải: cos x Phương trình tương đương: cos x cos x cos x.cos x 8sin x.cos x.sin x.cos3 x cos x cos x.cos x sin x.sin x cos x cos8 x cos x cos x cos x cos x cos x Trang 11 k x x k cos x cos x cos x k x k 2 cos x x k k Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x ; , BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm nghiệm phương trình sau sin x cos x A x C x k B x , k 2 , Câu Phương trình A D x k k , , 2cos x có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 3 B C D Câu Số nghiệm phương trình sin x , x 5 4 A B C D Câu Phương trình sin 3x có nghiệm thuộc khoảng 3 A B Câu Cho phương trình sin x 0; ? 2 C D Gọi n số nghiệm phương trình đoạn 0;3 giá trị n A B C D Câu Số nghiệm phương trình cos x sin x thuộc 0; 2 A B C D Câu Tính tổng tất nghiệm phương trình sin x sin x đoạn 0; 2 A 4 B 5 C 3 D 2 Câu Cho phương trình sin x cos x , nghiệm phương trình A x C x k , B x 3 k 2 , D x k , k , Câu Nghiệm dương nhỏ phương trình 2sin x 2 sin x cos x A B C D 3 Trang 12 Câu 10 Phương trình sin x sin x có nghiệm thuộc đoạn 2018 ; 2018 ? A 16145 B 20181 C 16144 D 20179 Câu 11 Phương trình cos x cos x cos3 x có nghiệm thuộc nửa khoảng ;0 ? A B C D 3 Câu 12 Phương trình sin x sin x có tổng nghiệm thuộc khoảng 0; 4 A 7 B C 3 D Câu 13 Tìm số nghiệm thuộc khoảng ; phương trình cos x sin x A B C D Câu 14 Tìm số nghiệm phương trình sin cos x đoạn x 0; 2 A B C D Vơ số Câu 15 Tìm tổng tất nghiệm phương trình cos sin x thuộc đoạn 0; 2 A 2 C B D 3 Câu 16 Tổng nghiệm phương trình sin x sin x cos x đoạn 0; 2018 A 4071315 B C 4075351 D 8142627 Câu 17 Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y sin x đoạn 0; , điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD hình chữ nhật CD A 2 B 2 Tính độ dài đoạn BC C Câu 18 Nghiệm âm lớn phương trình A B 5 sin x D 3cot x C D 2 Câu 19 Nghiệm phương trình lượng giác cos x cos x thỏa mãn điều kiện x Trang 13 A x B x 3 C x D x Câu 20 Phương trình cos x cos x có nghiệm khoảng 0; 2019 ? A 320 B 1009 C 1010 D 321 Câu 21 Tổng tất nghiệm phương trình cos x cos x 2sin x.sin x đoạn 0;3 A 16 B Câu 22 Cho phương trình 11 C 25 D 37 sin x Tính tổng tất nghiệm đoạn 0; 2018 cos x 3cos x phương trình A 1018018 B 1018080 Câu 23 Cho phương trình 1 3sin x cos x sin x cos x 2sin x khoảng 0;100 có dạng x0 a A 100 C 1018081 b , B 101 D 1020100 có x0 nghiệm dương lớn Tính tổng a b C 102 D 103 Câu 24 Số nghiệm phương trình 3sin 2 x cos x nửa khoảng 0; 4 A B C D 12 Câu 25 Gọi x0 nghiệm phương trình sin x cos x ; Tính giá trị biểu thức 2 S sin x0 sin x0 sin 3x0 sin 2018 x0 A S 1 B S D S C S Câu 26 Tính tổng nghiệm phương trình 1 2cos x 5 sin x cos x khoảng 0; 2018 A 2010.2018 C 20182 B 1010.2018 D 2016.2018 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-B 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D 10-B 11-D 12-B 13-A 14-C 15-D 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D 21-D 22-C 23-D 24-D 25-D 26-C 27- 28- 29- 30- Câu 1: sin x cos x sin x cos x sin x cos x Trang 14 sin x cos x cos x x k x k Chọn A x k 2 x k 2 12 Câu 2: cos x 7 3 x k 2 x k 2 12 TH1 Với x 2 TH2 Với x 2 12 k 2 2 25 k k k 1 24 24 7 31 k k 2 2 k k 1 12 24 24 Vậy phương trình cho có hai nghiệm Chọn B Câu 3: sin x x k 2 x k 2 4 4 Mà x 5 k 2 5 19 k k 1; 2 Chọn B 8 2 k 2 3 x k 2 x 3 Câu 4: sin x k 2 3 3 x k 2 x 3 3 2 k 2 0 4 Mà x x ; Chọn D 3 k 2 3 x k 2 x k 3 Câu 5: sin x x k 2 x k 3 7 13 4 7 Mà x 3 x ; ; ; ; ; Chọn C 6 6 3 Câu 6: cos x sin x sin 3 x cos x 2 x k 2 3 x x k 2 x k 2 3 x 2 x k 2 10 3 3 7 11 3 19 Mà x 0; 2 x ; ; ; ; ; Chọn A 10 10 10 10 sin x Câu 7: Phương trình sin x 2sin x cos x sin x 1 cos x cos x Trang 15 x k x 2 k 2 x x k TH1: Với x x 0; 2 x 2 x 2 2 k 2 2 k 2 ta giải TH2: Với x 3 x 2 4 Vậy tổng nghiệm phương trình đoạn 0; 2 5 Chọn B cosx Câu 8: sin x cos x sin x cos x cos x cos x sin x 1 sin x cosx x k , Chọn A sin x Câu 9: sin x 2 sin x cos x sin x cos x 1 cos x x k x k 3 cos x x k 2 Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình cho 3 Chọn D k x 5 x x k 2 Câu 10: sin x sin x k x x k x TH1: Với x k k mà x 2018 ; 2018 2018 2018 2 có 4036 4036 8073 nghiệm k TH2: Với x k mà 12109 k 12107 k 12109 12107 k 6 2 k có 6053 6054 12108 nghiệm k Vậy phương trình cho có 8073 12108 20181 nghiêm Chọn B Câu 11: cos x cos x cos3 x cos x cos x cos x 3cos x Trang 16 sinx cos x cos x cos x cos x 1 cos x 1 cos x 2 x k mà x 2 k 2 Chọn D 3 Câu 12: sin x sin x 4 3 x k 2 x x k 2 k 2 3 x 2 x x k 2 4 TH1 Với x k 2 mà x 0; k 2 k 2 TH2 Với x k k k k 2 k 2 mà x 0; k 2 5 15 k 5 k k 0;1 x ; 12 6 Vậy tổng nghiệm phương trình cho Chọn B Câu 13: cos x sin x sin 2 x cos x 2 x k 2 x x k 2 k 2 x x x k 2 TH1 Với x k 2 TH2 Với x k k 2 mà x ; k 2 3 k k k x 4 k 2 k 2 mà x ; 5 k 2 7 21 k k k 1; 0;1 6 12 12 Vậy phương trình cho có tất nghiệm Chọn A Câu 14: sin cos x cos x k mà cos x 1;1 Suy 1 k Do cos x x k k k 3 n. mà x 0; 2 x ; Chọn C 2 Trang 17 Câu 15: cos sin x sin x k 2 mà sin x 1;1 Suy 1 k 2 1 k k k 2 2 Do sin x x n. mà x 0; 2 x 0; ; 2 Chọn D Câu 16: sin x x Mà x 2018 0 k 2 x Do x A k k 8071 k 2018 k 4 Suy k 0;1; 2; ; 2017 x Câu 17: Vì CD 4071315 Chọn A 2 CD OD xD D ;0 6 6 y A sin 1 1 A ; BC AD Chọn B 2 2 Câu 18: Phương trình 1 cot x 3cot x cot x cot x Chọn C x k cos x Câu 19: Phương trình cos x cos x x k 2 cos x Với x k mà x k 1 k k 0 x 2 Với x k 2 mà x 9 k k Chọn C Câu 20: Phương trình 2cos x cos x cos x cos x 2019 cos x cos x x k 2 mà x 0; 2019 k cos x l 2 Mặt khác k k 1; 2; ;321 nên có 321 nghiệm cần tìm Chọn D Câu 21: Phương trình cos x cos x cos x cos x cos x cos x x k 2 x x k 2 k 2 mà x 0;3 x x x k 2 3 5 7 37 Chọn D ;3 x ;3 ; ; ; x 3 3 Trang 18 sin x sin x Câu 22: Phương trình cos x 1 cos x cos 3cos x x 2017 Do cos x 1 x k 2 mà x 0; 2018 k 2 1008 Mặt khác k k 0;1; 2; ;1008 k 2 1018081 Chọn C k 0 Câu 23: Điều kiện: sin x sin x 2 Phương trình trở thành: 6sin x cos x sin x cos x 3sin 2 x sin x k Với x 0;100 0 k 100 Mà k kmax 99 x 399 k 4 99 (thỏa mãn) a b 99 103 Chọn D Câu 24: Phương trình 1 cos 2 x cos x 3cos 2 x cos x x k 2 x k cos x 2 2 2 x arccos k 2 x arccos k cos x 3 3 TH1 Với x k 0; 4 k k 0;1; 2;3 nên có nghiệm TH2 Với x 2 arccos k 0; 4 0,116 k 3,883 3 k 0;1; 2;3 nên có nghiệm 2 TH3 Với x arccos k 0; 4 0,116 k 4,116 3 nên có nghiệm Vậy phương trình có tổng 12 nghiệm Chọn D k 2 x x x k 2 Câu 25: Phương trình sin x sin x 2 x k 2 x x k 2 Với x ; x0 S sin sin sin 2018 6 6 2 6 Ta có sin x sin x sin 3x sin nx n 1 x sin nx x sin sin Trang 19 Với x S ; n 2018 2019 2018 sin : Chọn D 2 2 2 sin 12 sin Câu 26: Phương trình 2cos x sin x cos x sin x cos x cos x 2cos x 2cos 2 x 5cos x x k 2 x k cos x cos x 3 x k 2 x k TH1 Với x k 0; 2018 12107 k 2018 k 6 2017 Mà k nên k 0;1; 2; ; 2017 k 2018 2035153 k 0 TH2 Với x k 0; 2018 k 2018 12109 k 6 2018 Mà k nên k 0;1; 2; ; 2017; 2018 k 2018 2037171 6 k 0 Vậy tổng nghiệm cần tính 4072324 20182 Chọn C Trang 20 ... TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-B 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D 10-B 1 1- D 12-B 13-A 14-C 15-D 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D 21-D 22-C 23-D 24-D 25-D 26-C 2 7- 2 8- 2 9- 3 0- Câu 1: sin x cos x sin x cos x ... phương trình 1 2cos x 5 sin x cos x khoảng 0; 2018 A 2010.2018 C 20182 B 1010.2018 D 2016.2018 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-B 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D... lớn phương trình A B 5 sin x D 3cot x C D 2 Câu 19 Nghiệm phương trình lượng giác cos x cos x thỏa mãn điều kiện x Trang 13 A x B x 3 C x D x Câu 20 Phương