Chuyên đề giá trị min max và bất đẳng thức toán lớp 6

1 CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ MIN MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Với mọi n  và mọi A ta có 2 0nA  , và 2 0nA  khi 0A   Với mọi A ta có 0A  , và 0A  khi 0A   A B (với[.]

1     CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT     Với  mọi  n     và mọi  A  ta có:  A2 n  , và  A2 n   khi  A    Với mọi  A  ta có:  A  , và  A   khi  A    1    A B An   A   (với  n  là số tự nhiên).  A  B  (với  A, B  cùng dấu) thì  II CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Với   n    ,  A là biểu thức chứa  x; y; và  m là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ  bản như sau:  Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A2 n   k A2 n   k A2 n  m  m   Do đó  GTNN của  k A2 n  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức  A   x      Lời giải 4 Với mọi  x  ta có   x      x      , và   x     khi  x    hay  x     Vậy GTNN của biểu thức  A   x     là   khi  x     Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:  a)   A   x  1  2019   b)  B  2021 x   2020  2022   Lời giải a)  Vì   x  1  x   nên   x  1  2019  2019 2 Dấu bằng xảy ra khi   x  1   x    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  bằng 2019 khi  x        b)  Vì  2021 x   2021 x   2020 2020  x  2021 x   2020  2022  2022  Dấu bằng xảy ra khi    x  2   Vậy giá trị nhỏ nhất của  B bằng  2022  khi  x  2 Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức  C   x  y  2020   y    25   30 Lời giải Với mọi  x; y  ta có   x  y  2020   , và   x  y  2020   khi  x  y   hay  x  y   Với mọi  y  ta có   y      y     , và   y     khi  y    hay  y    30 Do đó với mọi  x; y  ta có:   x  y  30 2020 30   y  3    x  y  30 2020   y  3  25  25  hay  30 B  25   Ta có  B  25 khi xảy ra đồng thời  x  y và  y   hay  x  y    Vậy GTNN của biểu thức  C   x  y  2020   y    25  là  25  khi  x  y    30 Ví dụ 4: Tìm giá trị  nhỏ nhất của biểu thức:  A   x  1   y  1  10  và  B   x     y  1  100,   n     2n 4n Lời giải  x  1  0  x  A   x  1   y  1  10  10   + Ta có:    y  1    y  x  1  x  Dấu bằng xảy ra khi       y     y   x  Vậy giá trị nhỏ nhất  A  10  khi     y 1  x   2n  0  x 2n 4n   x     y  1  100  100   + Ta có:   4n   y  1  0  y 2n x   x    Dấu bằng xảy ra khi      4n y 1   y  1  x  Vậy giá trị nhỏ nhất  B  100  khi   y 1 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:  A  x  x  1  x  30     Phân tích:  Với bài tốn mà biểu thức chưa có dạng  A  a.M  b  Ta đặt thừa số chung để đưa về dạng  A  a.M  b   Lời giải Ta có:  A  x  x  1   x  1  29   x  1 x  1  29   x  1  29   + Vì   x  1  x   nên   x  1  29  29   2 Dấu bằng xảy ra khi   x  1   x  1   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  bằng 29 khi  x  1   Loại 2: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A2 n   k A2 n   k A2 n  m  m Do đó  GTLN của  k A n  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau  a)   C    x    10 2019   b)  D  2  x  10  2020  2100   Lời giải a)  Vì    x    x   nên    x    10 2019  10 2019   2 Dấu bằng xảy ra khi    x     x    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  C  bằng  10 2019  khi  x    b)  Vì  2  x  10  2020  x  2  x  10  Dấu bằng xảy ra khi  2  x  10  2020 2020  2100  2100     x  10   Vậy giá trị lớn nhất của  D  bằng  2100  khi  x  10   Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức  B  2  x  1   y      Lời giải 6 Ta có:  B  2  x  1   y     3    x  1   y        Với mọi  x  ta có   x  1    x  1   , và   x  1   khi  x    hay  x    4 Với mọi  y  ta có   y    , và   y     khi  y    hay  y  2       Do đó với mọi  x; y  ta có:  6  x  1   y        x  1   y         x  1   y      3  hay      B  3   Vậy GTLN của biểu thức  B  2  x  1   y     là  3  khi  x  và  y  2   Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  C    x    100  y  10   2025   2 Lời giải    x    0  x 2  C    x    100  y  10   2025  2025   + Ta có:    100  y  10   0  y x     x      Dấu bằng xảy ra khi     100  y  10    y  10 x  Vậy giá trị lớn nhất  C  2025  khi      y  10 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  B   x  x    x  100   Lời giải Ta có:  B   x  x     x     100   x    x    104    x    104   + Vì    x    x   nên    x    104  104   2 Dấu bằng xảy ra khi    x     x  2   Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  C  bằng  104  khi  x  2   Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  D   x  x  y  y  50   Lời giải Ta có:  D    x  x    x  1  y  y  y   55      x  x  1   x  1  y  y     y    55      x  11  x    y    y   55         x  1   y    55 2    x  12  0  x 2    x  1   y    55  55   Vì       y    0  y     x     x  1  Dấu bằng xảy ra khi         y     y  x    Vậy giá trị lớn nhất  D  55  khi   y  Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức Ở dạng này xét các bài tốn: Tìm số ngun  n  ( hoặc số tự nhiên  n ) để phân thức  A  có GTLN –  GTNN.  a với a; b; c số nguyên biết b.n  c + Nếu  a     thì:  Loại 1: A  A  có GTLN khi  b.n  c là số dương nhỏ nhất ứng với  n  nguyên .  A  có GTNN khi  b.n  c là số  âm lớn nhất ứng với  n  nguyên.  + Nếu  a     thì:  A  có GTLN khi  b.n  c là số âm lớn nhất ứng với  n  ngun.  A  có GTNN khi  b.n  c  là số dương nhỏ nhất ứng với  n  ngun.  Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên  n  để  A  15  có GTLN. Tìm GTLN đó.  2n  Lời giải Ta có tử là  15   nên  A  15  có GTLN khi  n   và có GTNN ứng với  n     2n  Xét  2n    2n   n    Do đó để  2n   và có GTNN ứng  n   thì  n  phải là số tự nhiên nhỏ nhất  thỏa mãn  n  Từ đó ta suy ra  n  và  GTLN của  A  Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên  n  để  P    15 15 là   15   2n  2.3  5 (n  3)  có giá trị lớn nhất  n3 Lời giải Ta có:   và khơng đổi.  P có giá trị lớn nhất khi  n   là số nguyên dương nhỏ nhất .  n3 Ta có:  n    n    Do  n  N và   n   là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra:  n   Khi đó  P  đạt giá trị lớn nhất là    Vậy  n     có giá trị nhỏ nhất Ví dụ 3: Tìm số ngun  n  để  P  2n  Lời giải       Ta có:   và khơng đổi.  có giá trị nhỏ nhất khi  2n   là số ngun âm lớn nhất .  P 2n  5 Ta có:  2n    n    Do  n   và  2n   là số nguyên âm lớn nhất  suy ra: n  3  Khi đó  P  đạt giá trị nhỏ nhất là     Vậy  n  3    có giá trị lớn nhất.  Ví dụ 4: Tìm  n  để phân số  P  2n  Lời giải   Ta có:   và khơng đổi.  P có giá trị lớn nhất khi  2n   là số nguyên dương nhỏ nhất .  2n  Ta có:  2n    vì  n    .  Do đó  2n   nhỏ nhất bằng   khi  n   n   nên  P  đạt giá trị lớn nhất là    Vậy  n    a.n  d với a; b; c; d số nguyên biết b.n  c a.n  d f  Tách  A    e b.n  c b.n  c Loại 2: A   Việc tìm  n  ngun để  A  có GTLN – GTNN trở thành bài tốn tìm  n  ngun để  f  có GTLN hoặc có GTNN (Bài tốn loại 1).  b.n  c  A Chú ý ta có thể  cách tách biểu thức  A  theo cách sau:  a.n  d b  a.n  d  ban  bd ban  ac  bd  ac a  bn  c   bd  ac a bd  ac         b.n  c b  b.n  c  b  b.n  c  b  b.n  c  b  b.n  c  b b  b.n  c  Ví dụ 1: Tìm số ngun  n  để  B  7n    có GTNN. Tìm GTNN đó.  2n  Lời giải Ta có:  B n   n   14n  10 14n   17  2n  1  17 17 17         2n   n  1  2n  1 2. 2n  1 2. 2n  1 2  2n  1 2  n  1   Do đó biểu thức  B  7n   đạt GTNN khi   đạt GTLN.  2n  2n  Mặt khác, do tử là    nên     đạt GTLN khi  2n    và có GTNN ứng với  n    2n    Xét  2n    2n  1  n     Do đó để  2n    và có GTNN ứng với  n   thì  n  phải là số nguyên nhỏ nhất  thỏa mãn  n     Từ đó ta suy ra  n   và  GTNN của  B  Ví dụ 2: Tìm số ngun  n  để  M  n  7.0  là   5   2n  2.0  6n   đạt GTLN.  Tìm GTLN đó 4n  Lời giải Ta có:  M  6n  6n    2n  3  6 3         n  2. 2n  3  2n   2  2n  3 2n  Do đó biểu thức  M  6n  3  đạt GTLN khi   đạt GTLN.  4n  2n  Mặt khác, do tử là    nên   đạt GTLN khi  2n    và có GTNN ứng với  n    2n  Xét  2n    n   n    Do đó để  2n    và có GTNN ứng với  n   thì  n  phải là số ngun nhỏ nhất  thỏa mãn  n  Từ đó ta suy ra  n   và  GTLN của  M  Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên  n  để  P  Lời giải   6n  6.2  là     n  4.2  5n   có giá trị nhỏ nhất.  2n  5 1 n n       (2 1) (2 1) 1 5n  2  5 5     Ta có:  P  2n  2n  2n  2 n  2(2 n  1) 1 P đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó  lớn nhất.  2(2 n  1) 2(2 n  1) Do   và khơng đổi.  có giá trị lớn nhất khi  (2n  1)  là số ngun dương nhỏ nhất .  Phân số  2(2 n  1) Ta có:  2n    n    Do n  N (2n  1) là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra:  n    Khi đó  P  đạt giá trị nhỏ nhất là    Ngồi hai loại thay n lũy thừa bậc cao n ta toán mở rộng       Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Với   A là biểu thức chứa  x; y;  và  m là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như  sau:  Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A   k A   k A  m  m   Do đó  GTNN của  k A  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của  A   x    Lời giải Ta có:   x   với mọi  x  nên  A    Vậy  A  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 tại  x    Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức  A  x     Lời giải Với mọi  x  ta có  x    x    x    5  hay  A  5   Vậy GTNN của biểu thức  A  x    là  5  khi  x    hay   x     Loại 2: Tìm GTLN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A   k A   k A  m  m Do đó  GTLN của  k A  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của  B   x     Lời giải Ta có:   x     nên  B    Vậy  B  đạt giá trị lớn nhất bằng   tại  x  4   Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức  B   x   x  y   Lời giải Với mọi  x  ta có  x    3 x    và  x    khi  x    hay  x    Với mọi  x; y  ta có  x  y   5 x  y   và  x  y   khi  x  y   hay  x  y   Suy ra mọi  x; y  ta có:  3 x   x  y    x   x  y   hay  B    Ta có  B   khi xảy ra  đồng thời   x  và  x  y       Thay  x  vào  x  y ta được   y  y    Vậy  GTLN của biểu thức  B   x   x  y  là   khi  x   và  y    Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức  C  x   x  y   25   Lời giải Với mọi  x  ta có  x   , và  x    khi  x    hay  x  1   Với mọi  x; y  ta có  x  y    x  y   ,  và  x  y    khi  x  y    hay  y  x    Do đó với mọi  x; y ta có:   x   x  y    x   x  y   25  25  hay  C  25   Ta có  C  25  khi xảy ra đồng thời  x  1 và  y  x    Thay  x  1 vào  y  x  ta được  y  1     Vậy  GTLN của biểu thức  C  x   x  y   25  là  25  khi  x  1  và  y    CÁC DẠNG TỐN TỔNG HỢP Loại 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức  A   x  1  y     Lời giải 2 Với mọi  x  ta có   x  1   , và   x  1   khi  x    hay  x     Với mọi  y  ta có  y   , và  y    khi  y    hay  y  2   Do đó:   x  1  y   , với mọi  x ,  y   Suy ra  A   x  1  y    , với mọi  x ,  y   2 Vậy GTNN của biểu thức  A   x  1  y    là   khi  x    và   y  2   Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức  B  10  x    y  1   Lời giải 6 Ta có :  B  10  x    y  1  10  3 x    y  1      Với mọi  x  ta có  x    x    , và  x    khi  x    hay  x      10   Với mọi  y  ta có   y  1  , và   y  1    khi  y    hay  y  1   6 6 Do đó  x    y  1    3 x    y  1    10  3 x    y  1   10  hay  B  10       Vậy GTLN của biểu thức  B  10  x    y  1  là 10 khi  x   và  y  1   Loại 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức  A     x  2  Lời giải Do tử là    nên biểu thức   A   đạt GTLN khi   x      và đạt GTNN.   x  2 4 Với mọi  x  ta có   x  1    x  1     2 Do đó GTNN của   x     là   khi   x     hay  x  2   2 Vậy GTLN của biểu thức  A   x  2  là  4 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức  B   khi  x  2  .  4  x  1 10 2   Lời giải Ta có:  B  4  x  1 Biểu thức  B  10 2  4  x  1 10 2  x  1 10 2  .   đạt GTNN khi  Mặt khác, do tử là   nên  4  x  1 10 2  đạt GTLN.   đạt GTLN khi   x  1   và đạt GTNN.  10  x  1 10 2 Với mọi  x  ta có   x  1    x  1     10 10 10 10 Do đó GTNN của   x  1  là   khi   x  1   hay  x     Vậy GTNN của  biểu thức  B    4  x  1 10  là    2  khi  x     2 2 ... 3n  13 3(3n  13) ? ?61 61 P đạt? ?giá? ?trị? ?nhỏ nhất khi biểu? ?thức đạt? ?giá? ?trị? ?nhỏ nhất, khi đó  lớn nhất.  3(3n  13) 3(3n  13) Do  61  và? ?không đổi.  ? ?61 Phân số   đạt? ?giá? ?trị? ?lớn nhất khi  (3n...  x  10   2 Giá? ?trị? ?lớn nhất  a  81  92  a  là số chính phương.  Bài Gọi  a  là? ?giá? ?trị? ?của  x  để biểu? ?thức? ? C  4 x2  x  16  đạt? ?giá? ?trị? ?lớn nhất. Tính? ?giá? ?trị? ?của  biểu? ?thức? ?  D  a... GTNN phân thức chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu? ?thức? ? A    2x   Lời giải Do tử là    nên  biểu? ?thức? ? A   đạt GTLN khi  x    ? ?và? ?đạt GTNN.  2x   Với mọi? ?giá? ?trị? ?của