1 CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ MIN MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với mọi n và mọi A ta có 2 0nA , và 2 0nA khi 0A Với mọi A ta có 0A , và 0A khi 0A A B (với[.]
1 CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với mọi n và mọi A ta có: A2 n , và A2 n khi A Với mọi A ta có: A , và A khi A 1 A B An A (với n là số tự nhiên). A B (với A, B cùng dấu) thì II CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Với n , A là biểu thức chứa x; y; và m là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n m với k Hướng giải: Với k và mọi A ta có A2 n k A2 n k A2 n m m Do đó GTNN của k A2 n m là m khi A Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A x Lời giải 4 Với mọi x ta có x x , và x khi x hay x Vậy GTNN của biểu thức A x là khi x Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A x 1 2019 b) B 2021 x 2020 2022 Lời giải a) Vì x 1 x nên x 1 2019 2019 2 Dấu bằng xảy ra khi x 1 x Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2019 khi x b) Vì 2021 x 2021 x 2020 2020 x 2021 x 2020 2022 2022 Dấu bằng xảy ra khi x 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 2022 khi x 2 Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C x y 2020 y 25 30 Lời giải Với mọi x; y ta có x y 2020 , và x y 2020 khi x y hay x y Với mọi y ta có y y , và y khi y hay y 30 Do đó với mọi x; y ta có: x y 30 2020 30 y 3 x y 30 2020 y 3 25 25 hay 30 B 25 Ta có B 25 khi xảy ra đồng thời x y và y hay x y Vậy GTNN của biểu thức C x y 2020 y 25 là 25 khi x y 30 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 y 1 10 và B x y 1 100, n 2n 4n Lời giải x 1 0 x A x 1 y 1 10 10 + Ta có: y 1 y x 1 x Dấu bằng xảy ra khi y y x Vậy giá trị nhỏ nhất A 10 khi y 1 x 2n 0 x 2n 4n x y 1 100 100 + Ta có: 4n y 1 0 y 2n x x Dấu bằng xảy ra khi 4n y 1 y 1 x Vậy giá trị nhỏ nhất B 100 khi y 1 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x x 1 x 30 Phân tích: Với bài tốn mà biểu thức chưa có dạng A a.M b Ta đặt thừa số chung để đưa về dạng A a.M b Lời giải Ta có: A x x 1 x 1 29 x 1 x 1 29 x 1 29 + Vì x 1 x nên x 1 29 29 2 Dấu bằng xảy ra khi x 1 x 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 29 khi x 1 Loại 2: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n m với k Hướng giải: Với k và mọi A ta có A2 n k A2 n k A2 n m m Do đó GTLN của k A n m là m khi A Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau a) C x 10 2019 b) D 2 x 10 2020 2100 Lời giải a) Vì x x nên x 10 2019 10 2019 2 Dấu bằng xảy ra khi x x Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C bằng 10 2019 khi x b) Vì 2 x 10 2020 x 2 x 10 Dấu bằng xảy ra khi 2 x 10 2020 2020 2100 2100 x 10 Vậy giá trị lớn nhất của D bằng 2100 khi x 10 Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B 2 x 1 y Lời giải 6 Ta có: B 2 x 1 y 3 x 1 y Với mọi x ta có x 1 x 1 , và x 1 khi x hay x 4 Với mọi y ta có y , và y khi y hay y 2 Do đó với mọi x; y ta có: 6 x 1 y x 1 y x 1 y 3 hay B 3 Vậy GTLN của biểu thức B 2 x 1 y là 3 khi x và y 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C x 100 y 10 2025 2 Lời giải x 0 x 2 C x 100 y 10 2025 2025 + Ta có: 100 y 10 0 y x x Dấu bằng xảy ra khi 100 y 10 y 10 x Vậy giá trị lớn nhất C 2025 khi y 10 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B x x x 100 Lời giải Ta có: B x x x 100 x x 104 x 104 + Vì x x nên x 104 104 2 Dấu bằng xảy ra khi x x 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C bằng 104 khi x 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D x x y y 50 Lời giải Ta có: D x x x 1 y y y 55 x x 1 x 1 y y y 55 x 11 x y y 55 x 1 y 55 2 x 12 0 x 2 x 1 y 55 55 Vì y 0 y x x 1 Dấu bằng xảy ra khi y y x Vậy giá trị lớn nhất D 55 khi y Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức Ở dạng này xét các bài tốn: Tìm số ngun n ( hoặc số tự nhiên n ) để phân thức A có GTLN – GTNN. a với a; b; c số nguyên biết b.n c + Nếu a thì: Loại 1: A A có GTLN khi b.n c là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên . A có GTNN khi b.n c là số âm lớn nhất ứng với n nguyên. + Nếu a thì: A có GTLN khi b.n c là số âm lớn nhất ứng với n ngun. A có GTNN khi b.n c là số dương nhỏ nhất ứng với n ngun. Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để A 15 có GTLN. Tìm GTLN đó. 2n Lời giải Ta có tử là 15 nên A 15 có GTLN khi n và có GTNN ứng với n 2n Xét 2n 2n n Do đó để 2n và có GTNN ứng n thì n phải là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn n Từ đó ta suy ra n và GTLN của A Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để P 15 15 là 15 2n 2.3 5 (n 3) có giá trị lớn nhất n3 Lời giải Ta có: và khơng đổi. P có giá trị lớn nhất khi n là số nguyên dương nhỏ nhất . n3 Ta có: n n Do n N và n là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra: n Khi đó P đạt giá trị lớn nhất là Vậy n có giá trị nhỏ nhất Ví dụ 3: Tìm số ngun n để P 2n Lời giải Ta có: và khơng đổi. có giá trị nhỏ nhất khi 2n là số ngun âm lớn nhất . P 2n 5 Ta có: 2n n Do n và 2n là số nguyên âm lớn nhất suy ra: n 3 Khi đó P đạt giá trị nhỏ nhất là Vậy n 3 có giá trị lớn nhất. Ví dụ 4: Tìm n để phân số P 2n Lời giải Ta có: và khơng đổi. P có giá trị lớn nhất khi 2n là số nguyên dương nhỏ nhất . 2n Ta có: 2n vì n . Do đó 2n nhỏ nhất bằng khi n n nên P đạt giá trị lớn nhất là Vậy n a.n d với a; b; c; d số nguyên biết b.n c a.n d f Tách A e b.n c b.n c Loại 2: A Việc tìm n ngun để A có GTLN – GTNN trở thành bài tốn tìm n ngun để f có GTLN hoặc có GTNN (Bài tốn loại 1). b.n c A Chú ý ta có thể cách tách biểu thức A theo cách sau: a.n d b a.n d ban bd ban ac bd ac a bn c bd ac a bd ac b.n c b b.n c b b.n c b b.n c b b.n c b b b.n c Ví dụ 1: Tìm số ngun n để B 7n có GTNN. Tìm GTNN đó. 2n Lời giải Ta có: B n n 14n 10 14n 17 2n 1 17 17 17 2n n 1 2n 1 2. 2n 1 2. 2n 1 2 2n 1 2 n 1 Do đó biểu thức B 7n đạt GTNN khi đạt GTLN. 2n 2n Mặt khác, do tử là nên đạt GTLN khi 2n và có GTNN ứng với n 2n Xét 2n 2n 1 n Do đó để 2n và có GTNN ứng với n thì n phải là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn n Từ đó ta suy ra n và GTNN của B Ví dụ 2: Tìm số ngun n để M n 7.0 là 5 2n 2.0 6n đạt GTLN. Tìm GTLN đó 4n Lời giải Ta có: M 6n 6n 2n 3 6 3 n 2. 2n 3 2n 2 2n 3 2n Do đó biểu thức M 6n 3 đạt GTLN khi đạt GTLN. 4n 2n Mặt khác, do tử là nên đạt GTLN khi 2n và có GTNN ứng với n 2n Xét 2n n n Do đó để 2n và có GTNN ứng với n thì n phải là số ngun nhỏ nhất thỏa mãn n Từ đó ta suy ra n và GTLN của M Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để P Lời giải 6n 6.2 là n 4.2 5n có giá trị nhỏ nhất. 2n 5 1 n n (2 1) (2 1) 1 5n 2 5 5 Ta có: P 2n 2n 2n 2 n 2(2 n 1) 1 P đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó lớn nhất. 2(2 n 1) 2(2 n 1) Do và khơng đổi. có giá trị lớn nhất khi (2n 1) là số ngun dương nhỏ nhất . Phân số 2(2 n 1) Ta có: 2n n Do n N (2n 1) là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra: n Khi đó P đạt giá trị nhỏ nhất là Ngồi hai loại thay n lũy thừa bậc cao n ta toán mở rộng Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Với A là biểu thức chứa x; y; và m là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau: Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A m với k Hướng giải: Với k và mọi A ta có A k A k A m m Do đó GTNN của k A m là m khi A Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A x Lời giải Ta có: x với mọi x nên A Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 tại x Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức A x Lời giải Với mọi x ta có x x x 5 hay A 5 Vậy GTNN của biểu thức A x là 5 khi x hay x Loại 2: Tìm GTLN biểu thức dạng: k A m với k Hướng giải: Với k và mọi A ta có A k A k A m m Do đó GTLN của k A m là m khi A Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của B x Lời giải Ta có: x nên B Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng tại x 4 Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B x x y Lời giải Với mọi x ta có x 3 x và x khi x hay x Với mọi x; y ta có x y 5 x y và x y khi x y hay x y Suy ra mọi x; y ta có: 3 x x y x x y hay B Ta có B khi xảy ra đồng thời x và x y Thay x vào x y ta được y y Vậy GTLN của biểu thức B x x y là khi x và y Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C x x y 25 Lời giải Với mọi x ta có x , và x khi x hay x 1 Với mọi x; y ta có x y x y , và x y khi x y hay y x Do đó với mọi x; y ta có: x x y x x y 25 25 hay C 25 Ta có C 25 khi xảy ra đồng thời x 1 và y x Thay x 1 vào y x ta được y 1 Vậy GTLN của biểu thức C x x y 25 là 25 khi x 1 và y CÁC DẠNG TỐN TỔNG HỢP Loại 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A x 1 y Lời giải 2 Với mọi x ta có x 1 , và x 1 khi x hay x Với mọi y ta có y , và y khi y hay y 2 Do đó: x 1 y , với mọi x , y Suy ra A x 1 y , với mọi x , y 2 Vậy GTNN của biểu thức A x 1 y là khi x và y 2 Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B 10 x y 1 Lời giải 6 Ta có : B 10 x y 1 10 3 x y 1 Với mọi x ta có x x , và x khi x hay x 10 Với mọi y ta có y 1 , và y 1 khi y hay y 1 6 6 Do đó x y 1 3 x y 1 10 3 x y 1 10 hay B 10 Vậy GTLN của biểu thức B 10 x y 1 là 10 khi x và y 1 Loại 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức A x 2 Lời giải Do tử là nên biểu thức A đạt GTLN khi x và đạt GTNN. x 2 4 Với mọi x ta có x 1 x 1 2 Do đó GTNN của x là khi x hay x 2 2 Vậy GTLN của biểu thức A x 2 là 4 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B khi x 2 . 4 x 1 10 2 Lời giải Ta có: B 4 x 1 Biểu thức B 10 2 4 x 1 10 2 x 1 10 2 . đạt GTNN khi Mặt khác, do tử là nên 4 x 1 10 2 đạt GTLN. đạt GTLN khi x 1 và đạt GTNN. 10 x 1 10 2 Với mọi x ta có x 1 x 1 10 10 10 10 Do đó GTNN của x 1 là khi x 1 hay x Vậy GTNN của biểu thức B 4 x 1 10 là 2 khi x 2 2 ... 3n 13 3(3n 13) ? ?61 61 P đạt? ?giá? ?trị? ?nhỏ nhất khi biểu? ?thức đạt? ?giá? ?trị? ?nhỏ nhất, khi đó lớn nhất. 3(3n 13) 3(3n 13) Do 61 và? ?không đổi. ? ?61 Phân số đạt? ?giá? ?trị? ?lớn nhất khi (3n... x 10 2 Giá? ?trị? ?lớn nhất a 81 92 a là số chính phương. Bài Gọi a là? ?giá? ?trị? ?của x để biểu? ?thức? ? C 4 x2 x 16 đạt? ?giá? ?trị? ?lớn nhất. Tính? ?giá? ?trị? ?của biểu? ?thức? ? D a... GTNN phân thức chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu? ?thức? ? A 2x Lời giải Do tử là nên biểu? ?thức? ? A đạt GTLN khi x ? ?và? ?đạt GTNN. 2x Với mọi? ?giá? ?trị? ?của