Untitled Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn Ths Lê Văn Đoàn Page 256 Chuyên đề Bài 1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) , 0,a b thì 2 a b a b[.]
Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Chun đề 11 BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Bài CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) a , b 0, thì: a b a.b Dấu " " xảy khi: a b a , b , c 0, thì: a b c 3 a.b.c Dấu " " xảy khi: a b c Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab ab ab abc a.b a.b.c Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a , b, x , y , thì: ( a.x b.y)2 ( a2 b2 )( x y ) Dấu " " xảy khi: a b x y a , b, c , x , y , z , thì: ( a.x b.y c.z)2 ( a2 b2 c )( x2 y z ) Dấu " " xảy khi: a b c x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x b.y ( a b2 )( x2 y ) Hệ Nếu a , b, c số thực x , y , z số dương thì: a2 b2 ( a b)2 a b c ( a b c )2 : bất đẳng thức cộng mẫu số x y xy x y z x y z Bất đẳng thức véctơ Xét véctơ: u ( a; b), v ( x; y) Ta ln có: u v u v a2 b2 x y ( a x)2 ( b y)2 Dấu " " xảy u v hướng Một số biến đổi đẳng thức thường gặp x y ( x y)3 3xy( x y) x y z ( x y z) 3( x y)( y z)( z x) x y z 3xyz ( x y z) x2 y z ( xy yz zx) ( a b)( b c)(c a) ab bc ca (a b b2 c c a) x y z ( x y z )2 2( xy yz zx) (a b)(b c)(c a) (a b c)( ab bc ca) abc ( a b)2 ( b c )2 ( c a)2 2( a b2 c ab bc ca) 2( a b3 c ) abc abc ( a b)3 (b c) ( c a)3 3( a b)(b c)(c a) 2 2 ( a b )2 ( a b ) ( a b )2 ( a b)2 ab 2 Một số đánh giá bất đẳng thức phụ Các đánh giá thường sử dụng (không cần chứng minh lại) .( a2 b2 ) .ab suy a x; y; z x y z xy yz zx suy b x; y; z ( x y)( y z)( z x) xyz suy 3( x2 y z ) ( x y z)2 c x; y; z suy d x; y; z ( x y z)( x y z ) 3( x y y z z x) suy e x; y; z ( x y z )2 3( xy yz zx) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn Page - 256 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán suy f x; y; z x y y z z x2 xyz( x y z) suy g x; y; z ( xy yz zx)2 3xyz( x y z ) suy 3( x2 y y z z x ) ( xy yz zx) h x; y; z suy i x; y; z ( x y z )( xy yz zx) ( x y)( y z )( z x) Các bất đẳng thức phụ thường sử dụng (chứng minh lại áp dụng) suy x y ( x y )3 j x; y 1 1 suy suy k xy xy 2 2 xy xy 1 x 1 y 1 x 1 y suy Suy ra: xy suy l x; y 1 1 suy xy x y xy x y xy 1 2 xy (1 x) (1 y) suy m x; y 0;1 1 x 1 y xy x , y 1 suy n 1 1 1 x y x y xy Chứng minh đánh giá a Chứng minh: x; y; z x y z xy yz zx suy x y x2 y xy Áp dụng BĐT Cauchy: y z y z yz x2 y z xy yz zx Dấu " " x y z 2 2 z x z x zx suy ( x y)( y z)( z x) xyz b Chứng minh: x; y; z x y xy nhân Áp dụng BĐT Cauchy y z yz ( x y)( y z )( z x ) x y z xyz Dấu " " x y z z x zx suy 3( x2 y z ) ( x y z)2 c Chứng minh: x; y; z Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số, ta được: x2 y2 z2 x y z ( x2 y z ) 3( x2 y z ) ( x y z )2 Dấu " " x y z 1 suy d Chứng minh: x; y; z ( x y z)( x y z ) 3( x y y z z x) Ta có: ( x y z)(x y z ) ( x3 xy ) ( y yz ) ( z zx2 ) x y y z z x Áp dụng BĐT Cauchy cho dấu (…) ta được: ( x y z)( x2 y z ) x2 y y z z x x2 y y z z x 3( x y y z z x ) Dấu " " x y z suy ( x y z )2 3( xy yz zx) e Chứng minh: x; y; z Ta có: ( x y z)2 x2 y z 2( xy yz zx) 3( xy yz zx) Dấu " " x y z suy f Chứng minh: x; y; z x y y z z x2 xyz( x y z) Đặt: a xy; b yz ; c zx bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2 b2 c ab bc ca : theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.) Biên soạn: Ths Lê Văn Đồn Page - 257 - Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn Dấu đẳng thức x y z y z x y z x suy g Chứng minh: x; y; z ( xy yz zx)2 3xyz( x y z ) Đặt: a xy; b yz ; c zx bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( a b c) 3( ab bc ca) : theo BĐT e Dấu đẳng thức x y z y z x y z x suy h Chứng minh: x; y; z 3( x2 y y z z x ) ( xy yz zx) ( xy )2 ( yz )2 ( zx)2 Cauchy Schwarz Ta có: 3( x y y z z x2 ) ( xy yz zx)2 1 Dấu đẳng thức xảy x y z suy i Chứng minh: x; y; z ( x y z )( xy yz zx) ( x y)( y z )( z x) Cauchy Ta có: ( x y)( y z)( z x) xy yz zx xyz Mặt khác: ( x y z)( xy yz zx) xyz ( x y)( y z)( z x) Suy ra: 1 ( x y z)( xy yz zx) ( x y)( y z)( z x) ( x y)( y z)( z x) 8 Dấu đẳng thức xảy khi: x y z Chứng minh bất đẳng thức phụ suy j Chứng minh: x; y x y ( x y )3 ( x y)3 x y Dấu " " x y Ta có: x y ( x y) 3x.y( x y) ( x y ) ( x y) 1 1 suy suy k Chứng mnh: xy xy 2 2 xy xy 1 x 1 y 1 x 1 y Cauchy 3 3 Chứng minh: xy 1 2 xy 1 x 1 y (1) 1 1 Bất đẳng thức (1) tương đương với: 0 2 xy x xy y xy x2 (1 x )(1 xy) ( y x) xy y (1 y )(1 xy) x(1 y ) y(1 x ) (1 x )(1 y )(1 xy) 2 ( y x)2 ( xy 1) (1 x )(1 y )(1 xy) Chứng minh: xy 0 x( y x) (1 x )(1 xy) ( y x) y( x y ) (1 y )(1 xy ) ( x y) xy(y x) (1 x )(1 y )(1 xy) 0 0 : xy Dấu " " x y xy 1 2 xy 1 x 1 y (2) Ta làm tương tự dấu đẳng thức xảy x y xy Suy ra: xy 1 1 xy x y xy x y xy Mở rộng: x; y; z 1 x y z xyz (3) Chứng minh: Ghép cặp xoay vòng, cộng lại Dấu " = " khi: x y z Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn Page - 258 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán suy l Chứng minh: x; y 1 2 xy (1 x) (1 y) 1 1 0 Ta có: 2 xy (1 x) (1 y) x y (1 x)(1 y) xy ( y x) xy x y ( y x) ( x 1)( y 1) : x , y 2 2 (1 x) (1 y) (1 x)(1 y)(1 xy) (1 x) (1 y) (1 x)(1 y)(1 xy) Dấu đẳng thức xảy x y 1 suy m Chứng minh: x; y 0;1 Ta có: 1 1 x Cauchy Schwarz 1 y Mặt khác x , y (0;1), 1 x 12 12 1 y xy 1 x2 y2 (1) 1 x2 y xy (2) xy x2 xy y 1 Thật vậy: (2) 0 xy y xy (1 x2 )(1 xy) (1 y )(1 xy) 1 x x( y x) (1 x )(1 xy) Từ (1), (2), suy ra: y( x y) (1 y )(1 xy) 1 x2 0 1 y2 ( y x)2 ( xy 1) (1 x )(1 y )(1 xy) xy : xy , x; y 0;1 Dấu đẳng thức xảy khi: x y x , y 1 suy n Chứng minh: 1 1 1 x y x y xy Ta có: BĐT ( x y )2 ( x y )2 1 4 1 xy x y ( x y)2 x y xy ( x y)2 x y x y xy( x y)2 xy( x y) ( x y )2 (1 x y) : với x y dấu " " khi: x y § BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ I Bài toán hai biến có tính đối xứng VD (CĐ – 2008) Cho hai số x , y thỏa mãn điều kiện: x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ min P 7 x y 1 ĐS: 13 1 1 x ; y max P 2 VD Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y 3xy Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: P 2( x3 y ) xy biểu thức: P VD 3y 3x 1 2 2 y( x 1) x( y 1) x y ĐS: max P x y (D – 2009) Cho x , y thỏa mãn điều kiện: x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P (4 x2 y)(4 y 3x) 25 xy Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn 191 2 2 x ; y P 16 4 ĐS: max P 25 x y 2 Page - 259 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn VD Cho số thực x , y thỏa: x y x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: 3 P x ; y 2 P x y x2 y 2( x 1)( y 1) ĐS: max P 34 x ; y 2 2 VD Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P 7( x4 y ) x y 18 5 x ; y min P 25 5 ĐS: max P 70 xy , x y 20 33 33 33 VD Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện: x xy y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P x4 y x y 1 2 ĐS: P 11 max P 15 VD (B – 2011) Cho a , b thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2( a b ) ab ( a b)( ab 2) Tìm giá trị a b3 a2 b2 nhỏ của: P a a b b ĐS: P a 2, b 23 a 1, b x 1 y 1 VD (HSG – Hà Tĩnh – 2014) Cho số thực dương x , y thỏa: x y Hãy tìm x y x2 y2 x x 2596 giá trị nhỏ của: P ( x y) ĐS: P xy 81 x y y y II Bài tốn hai biến có tính đẳng cấp VD Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y Tìm giá trị lớn max P x 0; y ĐS: 3x xy y P 0,5 x y VD 10 (B – 2008) Cho hai số thực x y thay đổi thỏa mãn hệ thức: x y Tìm giá trị lớn xy y giá trị nhỏ của: P x y ĐS: max P xy y x y VD 11 Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2 xy y Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ của: P 2( x xy) VD 12 (D – 2013) Cho số thực dương x y thay đổi thỏa điều kiện: xy y Hãy tìm giá trị giá trị nhỏ biểu thức: P x2 2xy y lớn của: P xy x xy y 2 x 2y 6( x y) ĐS: P 2 max P ĐS: max P x ; y 30 VD 13 Cho x y số thực dương thỏa: y (11x2 1) x4 y Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y ( x2 y )( y x2 y ) ĐS: P 1 x ; y VD 14 Cho x y số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P xy x4 9x y x2 y x y VD 15 Cho hai số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y Hãy tìm giá trị lớn ĐS: max P biểu thức: P 7( x y ) x xy y Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn ĐS: max P x ; y 3 Page - 260 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán III Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, đặt ẩn phụ sau VD 16 (D – 2012) Cho số thực dương x y thỏa: ( x 4)2 ( y 4)2 xy 32 Hãy tìm giá trị nhỏ 17 5 1 x y 4 VD 17 Cho hai số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x , y Hãy tìm giá trị lớn biểu của: P x y 3( xy 1)( x y 2) thức: P x y x2 y ( x 1)( y 1) ĐS: P ĐS: P x y VD 18 Cho hai số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy Hãy tìm giá trị nhỏ 2 x y ( x y )2 biểu thức: P ĐS: P 13 x 1, y VD 19 Cho hai số thực dương a , b khác thỏa mãn điều kiện: a2 2b 12 Tìm giá trị nhỏ 4 27 biểu thức: P ĐS: P a 2; b 64 a b 8( a b)2 VD 20 (B – 2006) Cho x , y Tìm giá trị nhỏ nhất: P x2 y x x y x y ĐS: P x 0, y 3 xy x y Tìm giá trị nhỏ 3y 3x 34 (3x y )(3 y x) ĐS: P biểu thức: P x y 9 y 9x VD 21 Cho hai số thực dương x y thay đổi thỏa: x; y VD 22 Cho số dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y xy Tìm giá trị nhỏ 3 x 1 y 1 2 biểu thức: P 4 x y ĐS: P 64 x y y x VD 23 (D – 2014) Cho hai số thực dương thay đổi x y thỏa: x; y Tìm giá trị nhỏ của: P x 2y x 3y y 2x y 3x 4( x y 1) ĐS: P x 1, y VD 24 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2 y / xy Tìm giá trị lớn của: P 3 2 xy 1 x 1 y ĐS: max P 32 x y 15 2 Tìm giá trị lớn nhất: P ? 2 2ab 1 a 4b 4ab VD 26 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa điều kiện: x y / xy Tìm giá trị nhỏ VD 25 Cho a , b 0, thỏa: 2ab a 16b4 biểu thức: P xy 1 2x 2y x2 y2 ĐS: P x y VD 27 Cho x , y thỏa mãn: x , y (0;1) ( x3 y )( x y) xy( x 1)( y 1) Tìm giá trị lớn của: P 1 x 1 y xy ( x y) ĐS: max P 10 1 x y VD 28 Cho hai số thực dương a b thay đổi thỏa điều kiện: a2 b2 a b Tìm giá trị nhỏ a2 b2 ab của: P a b ĐS: P ( a b) a a b b VD 29 Cho hai số thực dương a b thay đổi thỏa điều kiện: a4 b4 của: P a1 b1 ab a 2b a b Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn ĐS: P Hãy tìm giá trị nhỏ ab a b Page - 261 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y x y Tìm giá trị lớn giá min P x y ĐS: max P x y trị nhỏ của: P x y x y y x BT Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 thức: P ( x 1) ( y 1) y x BT min P x y x y ĐS: 27 P max x y 1 xy xy Cho số thực x y thỏa mãn điều kiện: x 1, y xy 3( x y) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P x y BT Cho x , y thỏa: ( xy 1)(9 xy xy) 7( x2 y ) xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P xy xy BT ĐS: P x y 65 min P 12 x y ĐS: x 1, y max P 74 x 3, y 3 2 x y Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy x y Tìm giá trị lớn giá P x y ĐS: max P 33 x y Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x , y x y xy Tìm giá trị lớn trị nhỏ của: P x4 y xy x3 y BT giá trị nhỏ của: P x y x y BT P 24 x y ĐS: 51 x , y max P 2 xy min P 2 x 2, y 1 ĐS: 33 x 4, y max P x y ( x y) (A – 2006) Cho x , y số thực khác thỏa mãn điều kiện: ( x y).xy x y xy Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P BT Cho số thực x y thỏa: x y y x Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P BT 1 3 x y ĐS: max P 16 x y Cho số không âm x y thay đổi thỏa: x y xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P x y min P x y ĐS: max P x 0, y 3y xy 3x y 1 x 1 x y BT 10 Cho số thực dương x , y Hãy tìm giá trị lớn của: P x4 y x2 y xy ( x y) ( x y) x y x y BT 11 Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy x y Hãy tìm giá trị lớn ĐS: max P giá trị nhỏ của: P Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn x2 y 4y x3 8y3 P 0,5 x 0, y ĐS: max P x y Page - 262 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BT 12 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y y(3 x 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 2y x2 y x2 xy y xy y BT 13 Cho x y số thực thỏa mãn điều kiện: x xy y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P x2 xy y Đáp số: P 16 x 7 2 , y 3 max P x 5 ; y 2 21 21 BT 14 Cho x y số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y xy y Tìm giá trị lớn biểu thức: P x2 xy y BT 15 Cho x , y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x(4 x2 3) y(4 y 3) x y xy Đáp số: P x y 0,5 BT 16 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3xy x y trị lớn biểu thức: P 16 x2 y x y 2 ĐS: max P Hãy tìm giá xy 20 x y BT 17 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y y x x y 3xy Tìm giá trị nhỏ của: P x2 y (1 xy)2 xy ĐS: P 71 x y BT 18 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y2 x2 8y x ĐS: P x 4, y BT 19 Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y x y Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P x y 2( x 1)( y 1) x y Đáp số: P 18 x 1, y 1 max P 25 x 2, y BT 20 Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y y x2 Tìm giá trị lớn BT 21 Cho số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: ( x2 y 1)2 3x y x2 y Tìm của: P xy ( x y)3 12( x 1)( y 1) ĐS: max P 10 x y giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P Đáp số: P x 0; y 1 max P x2 y 3x y x2 y x 0; y x y 1 BT 22 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y Tìm y x x y x4 y 1 giá trị nhỏ biểu thức: P 3xy x y y x BT 23 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 5( x y)( xy 3) 6( x y ) 20 xy x4 y4 x3 y x2 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 16 25 x x x y y y 14156 Đáp số: P a 1, b a 3, b 27 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn Page - 263 - Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn BT 24 Cho số thực a b thay đổi thỏa mãn điều kiện: ( a 2b2 )2 3a2 b2 2( a2 b2 )(a 2b ) Tìm 2 2 2 a b3 8b ( a b) a 5b ( a b) 2a 5b giá trị nhỏ biểu thức: P b3 a ab( a b ) Đáp số: P 97 a b c BT 25 Cho hai số thực x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y xy x y Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y xy ĐS: max P 12 x 1; y 0,5 BT 26 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện: x y x y Tìm giá trị lớn nhất, giá 2(1 xy x y ) y x trị nhỏ biểu thức: P ( x y ) ( y x) 2 xy BT 27 Cho x , y hai số thực dương thay đổi thỏa: 3x2 y 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 4 2 x y ( x y )2 ĐS: P x 2, y BT 28 (B – 2009) Cho số thực x , y thay đổi thỏa: ( x y)3 xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 3( x y x2 y ) 2( x y ) ĐS: P x y 16 BT 29 Cho x y số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4( x2 y xy) 2( x y) x y 1 1 BT 30 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y Tìm giá trị y x Tìm giá trị lớn của: P xy x y x y ĐS: P nhỏ của: P xy x2 y ĐS: P 10 x y BT 31 Cho x y số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y x y 2014 2012 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn của: P ( x 1)2 ( y 1)2 Đáp số: P 4044122 2015 xy x y x y 1 x 2 x 2015 max P 4096577 2013 2026 y 2023 y 2014 2015 BT 32 Cho hai số thực dương x y thay đổi thỏa: x y Tìm giá trị lớn nhỏ t x y HD: f ( t ) t , t t 1 2;1 BT 33 Cho x y thỏa mãn điều kiện: x 16 y (2 xy 1)2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 1)2 3(2 xy 1) (3 y 1)2 x 3y biểu thức: P x( x2 3) y(4 y 3) HD: Bài toán đối xứng theo x , y BT 34 Cho số thực dương x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: lớn biểu thức: P 16 x2 y2 x y 2 ĐS: P BT 35 Cho x , y thỏa: x y xy Tìm giá trị nhỏ của: P x3 y 2 Tìm giá trị xy y x xy 20 x y 4y 4x 2xy 3xy y 1 x1 Đáp số: P x y BT 36 Cho số thực dương x y thỏa mãn điều kiện: x xy y ( x y )( xy 1) Tìm giá trị nhỏ của: P ( x y ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn xy xy 2 4( xy 1) y 3( x y) x ĐS: P 55 Page - 264 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Tốn § BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ I Ba biến đối xứng Đặt ẩn phụ trực tiếp VD 30 Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2xy yz zx xyz ĐS: max P 3 x y z 3 VD 31 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z xy yz zx x y z 3 2 ĐS: P x y z VD 32 Cho x , y , z số thực thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( xy yz zx)2 ( x y z ) xy yz 2 VD 33 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: biểu thức: P 4xyz 3 xyz 4( x y z ) 2 , y ĐS: P x z 16xyz x2 y z Tìm giá trị lớn ĐS: max P 13 x y z 28 VD 34 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 2xyz Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x (1 y )(1 z ) y (1 z )(1 x ) z (1 x )(1 y ) 2 x y z ĐS: max P x y z Đánh giá trước, đặt ẩn phụ sau Hãy tìm giá trị nhỏ 15 ĐS: P x y z 2 VD 35 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z biểu thức: P x2 y z2 1 y z x x y z VD 36 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P xyz x3 y3 z3 ĐS: max P x y z VD 37 Cho x , y , z số thực dương thỏa: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3 1 x y z P ( x y z )2 xyz xy yz zx 2 ĐS: P x y z VD 38 Cho x , y , z số thực dương thỏa: x y z x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P ( x y )( y z )( x z )( xy yz zx) ĐS: max P x 2; y 1; z VD 39 Cho x , y , z không âm thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 3( x y y z z x2 ) 3( xy yz zx ) x y z ĐS: P ( x; y; z) (1; 0; 0) VD 40 (B – 2010) Cho a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a b c Hãy tìm giá trị nhỏ của: P 3( a b b2 c c a ) 3( ab bc ca) a b2 c ĐS: P ( a; b; c ) (1; 0; 0) VD 41 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ xy yz zx biểu thức: P x y z ĐS: P x y z x y y2 z z2 x Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn Page - 265 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn VD 42 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x y z 1)2 x yy zz x 2 1 x y z ĐS: P 13 x y z VD 43 (HSG Bình Phước 2014) Cho x , y , z số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z 1 2 ( x 1)( y 1)( z 1) ĐS: max P x y z VD 44 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 1, y 0, z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z 2x 2 2 x( y 1)( z 1) ĐS: max P y z 1, x VD 45 Cho x , y , z số thực dương thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 16 ( x z)( y z) xy x y z2 ĐS: P 5 x y z VD 46 (B – 2013) Cho a , b, c số thực dương Hãy tìm giá trị lớn biểu thức sau: P a b c 4 2 ( a b) ( a 2c)(b 2c) ĐS: max P a b c VD 47 Cho x , y , z số thực dương thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P xyz ( x y)( y z)( z x) x y z 2 y z x ĐS: P x y z VD 48 Cho số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 16 x y y z z x 1 2 2 2 xy yz zx xyz ĐS: P 28 x y z VD 49 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 72 x y z 1 ( x y)( y z)( z x) ĐS: P 44 x y z VD 50 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xyz Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y3 x3 z3 y( z 2) z( x 2) x( y 2) x y z ĐS: P 12 x y z 12 VD 51 Cho số thực dương x , y , z thỏa: x y z xy yz zx Hãy tìm giá trị nhỏ của: P x3 y z3 54 ln( x y z ) y z x2 xy yz zx ĐS: P ln x y z VD 52 Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z 2( y 1) Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P xy yz x y z1 ĐS: max P 21 x z 1; y VD 53 Cho x , y , z số thực dương thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P x2 y z y2 z x 13 xyz z2 x y 3( xy yz zx ) ĐS: P 40 x y z VD 54 Cho a , b , c thỏa điều kiện: 3( a4 b4 c ) 7( a b2 c ) 12 Tìm giá trị nhỏ a2 b2 c2 ĐS: P a b c b c c a a 2b VD 55 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: 3( x y z ) x2 y z xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P biểu thức: P Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn 20 xz 20 y2 x y z ĐS: P 26 x 1; y 2; z Page - 266 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn VD 56 (HSG Hà Nội 2014) Cho a 0, b 0, c a2 b2 c Tìm GTLN GTNN biểu P a , b c ĐS: max P 10 a b c VD 57 Cho x , y , z số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: thức: P 2ab 3bc 3ca P 24 abc 13x 12 xy 16 yz x y z ĐS: P 16 x y 16z 21 VD 58 (HSG Nghệ An 2013) Cho a , b, c số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu 16 thức: P ĐS: P a 4b 16c 21 a ab abc abc VD 59 Cho x , y , z số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y yz y 2( x z )2 ĐS: P 1 y ; x z 2 VD 60 Cho x , y , z số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức: P 4( xy yz xyz ) x y ( x y z) ĐS: max P 14 16 x y 16z 21 x y; z 1, cho xyz Hãy tìm giá trị nhỏ 1 22 biểu thức: P ĐS: P x ; y z 1 x 1 y 1 z 15 VD 61 Cho số thực dương x , y , z thỏa: VD 62 Cho số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P xy yz zx 2 ( x 1) ( y 1) ( z 1)2 ĐS: P x y z VD 63 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 xyz 3 1 x 1 y z3 ĐS: P x y z II Ba biến mà có hai biến đối xứng VD 64 Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 c ĐS: P 3 x y ; z 2 ĐS: P x y z a2 ab b2 ab VD 65 Cho x , y , z số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P y2 x2 z3 ( x y )2 ( y z )2 3( z x)3 VD 66 (A – 2011) Cho số thực x , y , z thuộc đoạn 1; thỏa điều kiện: x y; x z Tìm giá trị y x z 34 nhỏ biểu thức: P ĐS: P x y z 2x 3y y z z x 33 VD 67 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P x x y 2 y y z 2 z zx ĐS: max P x y z VD 68 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y z x2 x y y z z.( xz z) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn ĐS: P x y z Page - 267 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn VD 69 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xy z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y x z3 y x 3( xy 1) ĐS: P x y z VD 70 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xy yz zx Tìm giá trị lớn x y 10 ĐS: max P 10 z VD 71 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 3x y z Tìm giá trị nhỏ biểu biểu thức: P thức: P y x 3z 2 1 x 1 y z2 18 3x 1 3x y z 3x y ĐS: P 15 x 1 ; y ; z 12 VD 72 Cho x , y , z số thực dương thỏa điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: 43 x y z 1 VD 73 Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ a b 2c P xyz y x x yz y zx z xy biểu thức: P ĐS: max P a b c bc ca a b2 c2 ĐS: P 13 a b 2c 13 VD 74 (A – 2013) Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn: ( a c)( b c) 4c Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 32a 32b a b2 c ( b 3c ) ( a 3c ) ĐS: P a b c VD 75 Cho số thực không âm thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x3 y 16 z ( x y z) ĐS: P 16 x y z 81 VD 76 Cho x , y , z số thực dương thỏa điều kiện: x y ( x z)( y z) Hãy tìm giá trị nhỏ x z ĐS: P 20 y z VD 77 (B – 2014) Cho số thực a , b, c không âm thỏa điều kiện: ( a b)c Tìm giá 12 biểu thức: P ( x y ) ( y z ) ( z x) biểu thức: P a b c bc a c 2(a b) ĐS: P trị nhỏ (a; b; c) (0; m; m 0) VD 78 Cho a , b, c không âm thỏa điều kiện: ab bc ca 0; a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 0; y z ĐS: P y 0; x z b c a 3 ca ab bc VD 79 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x3 x ( y z )3 y3 y ( z x) 3 z3 ĐS: P x y z 27 VD 80 (A – 2014) Cho x , y , z số không âm thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn của: P yz yz x2 x y z x yz x ĐS: P x y 1, z VD 81 Cho x , y , z số không âm thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P yz x2 x yz x x y z xyz Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn ĐS: max P x 0; y z Page - 268 - Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn VD 82 Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: abc Tìm giá trị lớn biểu 1 bc thức: P ĐS: P a b c a c a b3 a VD 83 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ của: P x y z2 y2 x2 3 ( y z )2 yz ( z x)2 5zx ĐS: P x y z VD 84 Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y2 3( x y)2 x2 ( y z) yz ( z x)2 5zx ĐS: P 1 x y z VD 85 Cho số thực dương x , y , z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y ( x y)2 2x 2y x z 2 yz zx x y z 4z ĐS: P x y z VD 86 Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 thức: P ( a b4 c ) c 4b 4a ĐS: P 81 2a 2b c VD 87 Cho số thực dương x , y , z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x3 y z y z ( x y z )3 x y z 25 VD 88 Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; Hãy tìm giá trị nhỏ ( x y )2 biểu thức: P ĐS: P x y 1, z z 4( xy yz zx) ĐS: P VD 89 Cho số thực x , y , z phân biệt thỏa mãn điều kiện: x , y , z 0; Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: P ĐS: P x 0; y 1; z ( x y ) ( y z ) ( z x) VD 90 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: x ĐS: P ( x y )( z 1) ( z 1) z y 1, z VD 91 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xyz x z y Tìm giá trị lớn biểu thức: P P ( z z xy )2 2z 2 4z 3z x 1 y 1 z ( z 1) z ĐS: max P 2 x ; y 2; z VD 92 Cho x , y , z số thực dương thỏa điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y2 z2 x2 y x x2 y x y ĐS: P 20 28 z 2 VD 93 Cho ba số thực x , y , z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 27 2 32 x y z ( 2x y z 1) 1 x y ; z 2 2 VD 94 Cho số thực dương x , y , z thỏa: x y z 5( x y z) xy Tìm giá trị nhỏ ĐS: P x y z biểu thức: P 48 3 x 10 yz Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn ĐS: P 58 x 2, y 3, z Page - 269 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn III Phương pháp đồ thị Bài tốn có giả thiết tổng biến số với P = f(a) + f(b) + f(c) VD 95 Cho số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c Hãy tìm giá trị lớn a b c biểu thức: P ĐS: max P a b c 10 a 1 b 1 c 1 VD 96 Cho số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c Hãy tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: P ĐS: P a b c a 1 b 1 c 1 VD 97 Cho số không âm a , b, c , d thỏa điều kiện: a b c d Hãy tìm giá trị lớn biểu a b c d 1 thức: P ĐS: max P a b c d 3a 3b 3c 3d VD 98 (France MO) Cho số không âm a , b, c , d thỏa điều kiện: a b c d Chứng minh rằng: 6( a3 b c d3 ) a b c d2 VD 99 (China MO) Cho số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a ( b c ) 2b ( c a ) 2 c ( a b ) VD 100 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 4 x 4 y 4 z 4x 4y 4z ĐS: P x y z VD 101 Cho số thực dương a , b, c , d thỏa mãn điều kiện: a b c d Hãy tìm giá trị nhỏ 1 a 1 b 1 c 1 d ĐS: P a b c d 1a 1b 1c 1d VD 102 Cho số không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: P P x y z ĐS: max P x 3; y z VD 103 (USA MO) Cho số thực dương a , b, c thay đổi Chứng minh rằng: của: P x2 x y y z z (2a b c)2 (2b c a) (2c a b)2 a ( b c ) 2b ( c a ) 2 c ( a b ) VD 104 (Crux Mathematicorum – Canada) Cho số thực dương a , b, c thay đổi Chứng minh rằng: ( b c a )2 ( c a b) ( a b c )2 ( b c) a2 ( c a)2 b ( a b)2 c Bài tốn có giả thiết tổng bình phương biến số với P = f(a) + f(b) + f(c) VD 105 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 ( x y z ) x y z ĐS: P x y z VD 106 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ 1 1 biểu thức: P 3( x y z ) x y z VD 107 Cho số thực dương x , y , z thỏa: x , y , z biểu thức: P Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn x2 y z x y z ĐS: P 15 x y z x y z 12 Hãy tìm giá trị lớn 15 ĐS: max P x y z 2 Page - 270 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 108 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y x z 1 x y2 z2 ĐS: P 3 x y z VD 109 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y x z y z x z x2 y 2 ĐS: P 3 x y z VD 110 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ y x z biểu thức: P ĐS: P ( x; y; z) (0; 0;1) yz zx xy VD 111 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y x z ( y z ) ( z x) ( x y ) ĐS: P x y z VD 112 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 1 x 1 y 1 z ĐS: P 39 x y z VD 113 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ của: P 4y 4x 4z x 2x y y z z ĐS: P x y z VD 114 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị lớn của: P x5 x3 x y y y z z z y z2 z x2 x2 y ĐS: max P x y z 3 VD 115 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P x2 xy 5z y yz 5x z zx y2 ĐS: max P x y z VD 116 Cho số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 4x 4y 4z 4x y 4x ĐS: P x y z VD 117 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 xy yz zx ĐS: max P x y z VD 118 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Chứng minh rằng: 1 1 30 13 a a1 b b1 c c 1 Bài tốn có giả thiết tích biến số P có dạng P = f(a).f(b).f(c) VD 119 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 1 x y 1 y z 1 z ĐS: P x y z Hãy tìm giá trị nhỏ 125 ĐS: P x y z 64 VD 120 Cho số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z biểu thức: P (1 x2 )(1 y )(1 z ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đồn Page - 271 - Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn VD 121 Cho số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ 100 x y z 729 VD 122 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 4( x y z) Hãy tìm giá trị lớn ĐS: P biểu thức: P (1 x2 )(1 y )(1 z ) VD 123 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 4( x y z) Hãy tìm giá trị lớn của: P ( x x2 1).( y y 1).( z z 1) ĐS: max P x y z VD 124 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz Hãy tìm giá trị nhỏ biểu của: P ( x x2 1) y ( y y 1) z ( z z 1)x ĐS: max P 4 x y z a2 b2 c2 ĐS: P x y z bc ac ab VD 125 Cho số thực dương a , b , c Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: thức: P P a b b3 c c a3 a 3b b c c 3a ĐS: P a b c VD 126 Cho số thực dương a , b , c Chứng minh: a4 b4 c4 a b3 c a 4b b c c a IV Đánh giá dồn biến f(a) f(b) f(c), xét hàm VD 127 Cho số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2( x2 y z ) 4xyz x 2015 ĐS: P 2008 x 1; y z VD 128 Cho số không âm x , y , z thỏa điều kiện: x y z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z xyz ĐS: P z 0; x y 2 VD 129 Cho x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z x y z 12 Tìm giá trị lớn biểu thức: P xy yz zx2 xyz y y x ĐS: max P 11 y z VD 130 Cho x , y , z số thực dương thỏa điều kiện: x 3y z 22 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z 3x y z ĐS: P 25 x 1, y 2, z 3 VD 131 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 y 36 z 2(2 x 1) ĐS: P 1 x , y , z VD 132 Cho số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z ĐS: max P 137 x y 1, z VD 133 (B – 2012) Cho số thực x , y , z thỏa điều kiện: x y z x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z ĐS: max P 1 z ,x y 36 VD 134 (HSG Vĩnh Phúc 2013) Cho số thực x , y , z thỏa: x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3x y y 5z z x2 VD 135 Cho x , y , z thỏa điều kiện: thức: P x y z Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn ĐS: max P 10 x y z 1 x y z Tìm giá trị lớn biểu x y 0, z ĐS: max P 64 x z 0, y Page - 272 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn V Xét hàm biến xét hàm đại diện cho ba biến VD 136 Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; Hãy tìm giá trị nhỏ 36 x y z biểu thức: P ĐS: P x 1; y z yz xz xy VD 137 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: P ĐS: P x y z x xy y yz z zx 4 VD 138 (A – 2011) Cho số thực x , y , z 1; thỏa điều kiện: x y; x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y x z 2x 3y y z z x ĐS: P 34 x 4; y 1; z 33 VD 139 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y x 2y x 10 y z x y z x y ĐS: P z x y VD 140 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz x z y Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2 x 1 y 1 z 1 ĐS: max P 10 2 x , y 2, z xy yz zx 1 VD 141 Cho x , y , z ;1 Tìm giá trị lớn của: P z x y 2 1 32 x 1, y , z 2 VD 142 Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn điều kiện: a , b, c 1; Tìm giá trị lớn ĐS: max P biểu thức: P ab ( a b)c bc ( b c )a ca ( c a )b ĐS: max P a b c BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 37 Cho ba số thực không âm thỏa: x y z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P xy yz zx xyz BT 38 Cho số thực x , y , z thỏa mãn: x y z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P xy yz zx xy yz zx BT 39 Cho x , y , z thỏa điều kiện: 2( x2 y z ) xy yz zx Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z x yz3 BT 40 Cho x , y , z thỏa điều kiện: 3( x y z ) xy yz zx 12 Tìm gía trị lớn giá trị nhỏ của: P x2 y z xy yz zx x yz BT 41 Cho số thực x , y , z 0; thỏa: x y z Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P x2 y z xy yz zx xy yz zx BT 42 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn xy yz zx x y z2 Page - 273 - Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn BT 43 Cho số thực dương x , y , z Hãy Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P x y z2 ( x y z 3) 3( x 1)( y 1)( z 1) BT 44 Cho số thực x , y , z thỏa điều kiện: x y 5z Tìm giá trị lớn biểu thức: P ( xy yz zx) 1 ( x2 y 5z ) BT 45 Cho số thực dương x , y , z thỏa x y z xyz Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P x4 y z BT 46 Cho x , y , z Chứng minh rằng: ( x y z)2 x yz y xz z xy 3xyz( x y z ) BT 47 Cho số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y z BT 48 Chứng minh với số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x( x y z) 3yz , ta có: ( x y) ( x z )3 3( x y)( x z)( y z) 5( y z)3 BT 49 Cho số thực dương x , y , z phân biệt thỏa: xy yz z 2x z Tìm giá trị lớn biểu thức: P y x z xy yz zx BT 50 Cho số thực x , y , z (0;1) thỏa điều kiện: xyz (1 x)(1 y)(1 z ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y z BT 51 Cho số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 324 ( x2 y z )2 x yz BT 52 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: y xz z xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y x 2014 z x y y z zx BT 53 Cho số thực dương x , y , z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P x xy yz xyz BT 54 Cho số thực dương x , y , z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P xyz xy z xyz zx y xyz 9( x y z ) BT 55 Cho số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x2 y z2 y z x2 BT 56 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z (0;1) Tìm giá trị lớn biểu thức: P x3 y z y z2 x BT 57 Cho x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z 3xy 5yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 32 1 ( x y ) ( y z ) ( z x) BT 58 Cho số khơng âm x , y , z phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1 P (x2 y2 z2 ) 2 ( x y ) ( y z ) ( z x) Biên soạn: Ths Lê Văn Đồn Page - 274 - Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn BT 59 Cho số dương x , y , z thỏa điều kiện: x y z xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P xy z2 z2 2 xy ( x y z) x y BT 60 Cho số thực phân biệt x , y , z thỏa điều kiện: x , y , z 0; Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: P ( x y ) ( y z ) ( z x) BT 61 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu 1 18 1 x y x y 2z thức: P BT 62 Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ của: P y3 x3 x ( y z )2 y ( z x) 2z 27 BT 63 Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P xyz y x x yz y zx z xy BT 64 Cho x , y , z thỏa điều kiện: ( x y) ( y z) ( z x)2 18 Tìm giá trị lớn biểu ( x y z) 108 BT 65 Cho x , y , z thỏa mãn điều kiện: 5( x y z ) 6( xy yz zx) Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z thức: P 2( x y z ) y z BT 66 Cho số thực x , y , z 0; thỏa mãn điều kiện: xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z BT 67 Cho số thực không âm x , y , z thỏa: x y z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P ( x xy y )( y yz z )( z zx x ) BT 68 Cho số thực dương x , y , z 1; thỏa điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P ( x 2)( y 2)( z 2) BT 69 Cho số thực x , y , z Chứng minh: 6( x y z )( x2 y z ) 27 xyz 10 ( x2 y z )3 BT 70 Cho x , y , z 0;1 thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị lớn của: P x2 y z 2 2 BT 71 Cho số thực x , y , z thỏa: x y z Tìm giá trị nhỏ của: P ( x 2)( y 2)( z 2) BT 72 Cho số thực x , y , z 1; 3 thỏa: x y z Tìm giá trị lớn của: P x y z BT 73 Cho x , y , z thay đổi thỏa: 5( x y z ) 6( xy yz zx) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn 1 1 biểu thức: P ( x y z ) x y z BT 74 Cho x , y , z thỏa: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 3( x y z ) xyz BT 75 Cho x , y , z thỏa đồng thời điều kiện: x y z xy yz zx Tìm giá trị nhỏ 1 1 biểu thức: P ( x3 y z ) x y z BT 76 Cho x , y , z thỏa: ( x y z)3 32 xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn x4 y z ( x y z) Page - 275 - ... liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán V Xét hàm biến xét hàm đại diện cho ba biến VD 136 Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z 1; Hãy tìm giá trị nhỏ 36 x y z biểu thức: ... giá trị nhỏ của: P ( x y ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn xy xy 2 4( xy 1) y 3( x y) x ĐS: P 55 Page - 264 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn § BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC... Tìm giá trị nhỏ ĐS: P x y z biểu thức: P 48 3 x 10 yz Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn ĐS: P 58 x 2, y 3, z Page - 269 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán