Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI THPT QUỐC GIA Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com Chương BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Câu Cho bất đẳng thức a − b ≤ a + b Dấu đẳng thức xảy nào? A a = b Câu B ab ≤ D ab = Chọn B Tính chất bất đẳng thức Giá trị nhỏ biểu thức x + x với x ∈  là: A − B − Chọn C x ≥  Ta có:  ⇒ x +3 x ≥ x ≥  Câu C ab ≥ Hướng dẫn giải Cho biểu thức f ( x= ) C Hướng dẫn giải D − x Kết luận sau đúng? A.Hàm số f ( x ) có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ B.Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn C Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số f ( x ) khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f ( x ) ≥ f (1) = ; f ( x ) ≤ f ( ) = Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ giá trị lớn nhấtbằng Câu Cho hàm số f ( x ) = x2 + Mệnh đề sau đúng? A f ( x ) có giá trị nhỏ , giá trị lớn B f ( x ) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f ( x ) có giá trị nhỏ , giá trị lớn Câu D f ( x ) khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: < f ( x ) ≤ 1; ∀x ∈  f ( ) = Vậy f ( x ) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b 9 A có giá trị nhỏ B có giá trị lớn 4 C có giá trị lớn D khơng có giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn D Vì a b hai số nên khơng xác định giá trị lớn tích ab Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 1/9 Website: tailieumontoan.com Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a + b − c > ; b + c − a > ; c + a − b > Để ba số a ; b ; c ba cạnh tam giác cần thêm kiện ? A Cần có a, b, c ≥ B Cần có a, b, c > C Chỉ cần ba số a, b, c dương D Khơng cần thêm điều kiện Hướng dẫn giải Chọn B Câu Trong hình chữ nhật có chi vi A Hình vng có diện tích nhỏ B Hình vng có diện tích lớn C Khơng xác định hình có diện tích lớn D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải Chọn B Ý nghĩa hình học bất đẳng thức Cơ si Câu Tìm mệnh đề đúng? 1 A    B a < b ⇒ > a < b ⇒ ac < bc a b a < b ⇒ ac < bc, ( c > ) C a < b c < d ⇒ ac < bd D    Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu Suy luận sau đúng? a > b a > b a b ⇒ ac > bd B  A  ⇒ > c d c > d c > d a > b a > b > ⇒ ac > bd ⇒ a−c > b−d C  D  c > d c > d > Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 10 Trong tính chất sau, tính chất sai? 0 < a < b a < b a b ⇒ a+c B a < b ⇒ ac < bc C  a b c < d Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 12 Mệnh đề sau sai? a < b a ≤ b ⇒ a+c ) c > d Hướng dẫn giải Câu Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 2/9 Website: tailieumontoan.com Chọn B Tính chất bất đẳng thức Câu 13 Cho biểu thức P =−a + a với a ≥ Mệnh đề sau mệnh đề đúng? 1 A.Giá trị nhỏ P B.Giá trị lớn P 4 1 D P đạt giá trị lớn a = C.Giá trị lớn P Hướng dẫn giải Chọn B ( )  1 + a =−  a −  ≤  2 Câu 14 Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x − 5x + 11 11 A B C 11 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: P = −a + a = − a D 11  11 11  Ta có: x − x + 9=  x −  + ≥ ; ∀x ∈  2 4  8 Suy= ra: f ( x ) ≤ Vậy giá trị lớn hàm số 11 x − x + 11 Câu 15 Cho f ( x )= x − x Kết luận sau đúng? A f ( x ) có giá trị nhỏ C f ( x ) có giá trị nhỏ − Chọn D D f ( x ) có giá trị lớn Hướng dẫn giải B f ( x ) có giá trị lớn 1 1  1  1 f ( x ) =x − x =−  x − x +  + = −  x −  ≤ f   = 4 4  2  2 Câu 16 Bất đẳng thức ( m + n ) ≥ 4mn tương đương với bất đẳng thức sau đây? A n ( m − 1) − m ( n − 1) ≥ B m + n ≥ 2mn C ( m + n ) + m − n ≥ D ( m − n ) ≥ 2mn 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B ( m + n ) ≥ 4mn ⇔ m2 + 2mn + n2 ≥ 4mn ⇔ m2 + n ≥ 2mn Câu 17 Với a, b ≠ , ta có bất đẳng thức sau đúng? B a − ab + b < C a + ab + b > Hướng dẫn giải A a − b < Chọn C D a − b > b  b  3b  b  3b a + ab + b =a + 2a +   + = a +  + > 0; ∀b ≠ 2  2 Câu 18 Với hai số x , y dương thoả xy = 36 , bất đẳng thức sau đúng? 2  x+ y D  36  ≥ xy =   A x + y ≥ xy = 12 72 B x + y ≥ xy = C 4xy ≤ x + y Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 3/9 Website: tailieumontoan.com Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: x + y ≥ xy = 36 = 12 12 , bất đẳng thức sau đúng? Câu 19 Cho hai số x , y dương thoả x + y =  x+ y B xy <  36  =   D xy ≥ Hướng dẫn giải A xy ≤ C 2xy < x + y Chọn A x+ y = = x2 + y Câu 20 Cho x , y hai số thực thỏavà xy = Giá trị nhỏ A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số khơng âm x , y Ta có: A B xy ≤ D C Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x y Ta có: A = x2 + y ≥ x2 y = Câu 21 Cho a > b > và x = A x > y C x = y ( xy ) = Đẳng thức xảy x= y= 1+ a 1+ b , y= Mệnh đề nào sau đúng? 1+ a + a + b + b2 B x < y D Không so sánh Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 Ta có: = a + = b + y b +1 x a +1 Suy ra:   1 − = ( a − b ) 1 −  x y  ( a + 1)( b + 1)  Do a > b > nên a + > b + > suy ra: ( a + 1)( b + 1) < ⇒ 1− ( a + 1)( b + 1) > 1 1 1 − > ⇔ > x > y > nên > ⇔ x < y x y x y x y Câu 22 Với a, b, c, d > Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? Vậy a a a+c 1⇒ > b b b+c D Có ít nhất hai ba mệnh đề sai Hướng dẫn giải Chọn D a a + c (a − b) c Ta có: − suy A, B = b b + c b (b + c ) a + b2  a + b  Câu 23 Hai số a, b thoả bất đẳng thức ≤  thì   A a < b B a > b C a = b Hướng dẫn giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D a ≠ b Trang 4/9 Website: tailieumontoan.com a + b2  a + b  2 2 b ≤  ⇔ 2a + 2b ≤ ( a + b ) ⇔ ( a − b ) ≤ ⇔ a =   a b Câu 24 Cho a, b > Chứng minh + ≥ Một học sinh làm sau: b a 2 a b a +b I) + ≥ ⇔ ≥ (1) b a ab II) (1) ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ a + b − 2ab ≥ ⇔ (a − b) ≥ III) ( a − b ) ≥ ∀a, b > nên Cách làm : A Sai từ I) C Sai III) a b + ≥ b a B Sai từ II) D Cả I), II), III) Hướng dẫn giải Chọn D Câu 25 Cho a, b, c > Xét bất đẳng thức sau: a b a b c 1 1 II) + + ≥ III) ( a + b )  +  ≥ + ≥ b a b c a a b Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ III) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: + ≥ = ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 = ⇒ ( II ) đúng; b a b a b c a b c a a + b ≥ ab  1 1  1  ⇒ ( a + b )  a + b  ≥ ⇒ ( III )   + ≥2  a b ab  a b 1 a b c Câu 26 Cho bất đẳng thức: + ≥ (I ) , + + ≥ + + ≥ ( II ) , ( III ) (với b a a b c a+b+c b c a a, b, c > ) Bất đẳng thức nào các bất đẳng thức đúng? I) A chỉ I đúng B chỉ II đúng C chỉ III đúng Hướng dẫn giải D I , II , III đều đúng Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: + ≥ = ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 = ⇒ ( II ) đúng; b c a b c a b a b a 1 1 1 1  + + ≥ 33 1 1 ⇒ ( III ) abc ⇒ ( a + b + c )  + +  ≥ ⇒ + + ≥ a b c a b c a+b+c a b c a + b + c ≥ 3 abc  Câu 27 Cho a, b, c > Xét bất đẳng thức: I) a + b + c ≥ 3 abc Bất đẳng thức đúng: A Chỉ I) II) C Chỉ I) 1 1 II) ( a + b + c )  + +  ≥ a b c Chọn A • a + b + c ≥ 3 abc ⇒ ( I ) đúng; III) ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ B Chỉ I) III) D Cả ba Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 5/9 Website: tailieumontoan.com • 1 1 1 1  + + ≥ 33 1 1 ⇒ ( II ) đúng; abc ⇒ ( a + b + c )  + +  ≥ ⇒ + + ≥ a b c a b c a + b + c a b c   a + b + c ≥ 3 abc  • a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca ⇒ ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc ⇒ ( III ) sai Câu 28 Cho a, b, c > Xét bất đẳng thức:  a  b  c  2    I) 1 +  1 +  1 +  ≥ II)  + b + c   + c + a   + a + b  ≥ 64  b  c  a  a  b  c  III) a + b + c ≤ abc Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ I) II) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn C a a b b c c abc  a  b  c  1+ ≥ ; 1+ ≥ ; 1+ ≥ ⇒ 1 +  1 +  1 +  ≥ = ⇒ ( I ) b b c c a a bca  b  c  a  bc bc b c ⇒ +b+c ≥ = 44 +b ≥ ; +c ≥ a a a a a a a ac ab + c + a ≥ 44 ; + a + b ≥ 44 b b c c 2    Suy ra:  + b + c   + c + a   + a + b  ≥ 64 ⇒ ( II ) a  b  c  Tương tự: Ta có: 3 abc ≤ a + b + c ≤ abc ⇔ ( abc ) ≥ ⇔ abc ≥ 3 ⇒ ( III ) sai Câu 29 Cho x, y, z > và xét ba bất đẳng thức(I) x3 + y + z ≥ xyz ; (II) x y z + + ≥ Bất đẳng thức nào đúng? y z x A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng C Chỉ III đúng Hướng dẫn giải Chọn B 1 + + ≤ ; (III) x y z x+ y+z D Cả ba đều đúng x3 + y + z ≥ 3 x3 y z 3= xyz ⇒ ( I ) đúng; 1 1  + + ≥ 33 1 1 xyz ⇒  + +  ( x + y + z ) ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ( II ) sai; x y z x y z x y z x + y + z     x + y + z ≥ xyz x y z x y z + + ≥ 3 =3 ⇒ ( III ) y z x y z x Câu 30 Cho a, b > và ab > a + b Mệnh đề nào sau đúng? A a + b = B a + b > Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: Do đó: (a + b) ab > a + b ⇔ C a + b < Hướng dẫn giải (a + b) ab ≤ D a + b ≤ > a + b ⇔ ( a + b ) − ( a + b ) > ⇔ ( a + b )( a + b − ) > ⇔ a + b − > (vì a + b > ) ⇔ a + b > Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 6/9 Website: tailieumontoan.com Câu 31 Cho a < b < c < d và x = ( a + b )( c + d ) , y = ( a + c )( b + d ) , z = ( a + d )( b + c ) Mệnh đề nào sau đúng? A x < y < z B y < x < z C z < x < y Hướng dẫn giải D x < z < y Chọn A Ta có: x − y = ( a + b )( c + d ) − ( a + c )( b + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) − a ( b + d ) − c ( b + d ) = a ( c − b ) + bd − cd = ( d − a )( b − c ) < Suy ra: x < y ( a − c )( d − b ) < ⇒ x < z ; y − z = ( a − b )( d − c ) < ⇒ y < z Với m , n > , bất đẳng thức: mn ( m + n ) < m3 + n3 tương đương với bất đẳng thức A ( m + n ) ( m + n ) ≥ B ( m + n ) ( m + n + mn ) ≥ C ( m + n )( m − n ) > D Tất sai Tương tự: x − z = Câu 32 Hướng dẫn giải Chọn C mn ( m + n ) < m3 + n3 ⇔ m n − m3 + mn − n3 < ⇔ −m2 ( m − n ) + n ( m − n ) < ⇔ ( m − n ) ( m + n ) > Câu 33 Bất đẳng thức: a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) , ∀ a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức sau đây? 2 2 2 2 2 2 b  c  d  e  A  a −  +  a −  +  a −  +  a −  ≥ 2  2  2  2  a  a  a  a  B  b −  +  c −  +  d −  +  e −  ≥ 2  2  2  2  a  a  a  a  C  b +  +  c +  +  d +  +  e +  ≥ 2  2  2  2  2 2 D ( a − b ) + ( a − c ) + ( a − d ) + ( a − d ) ≥ Chọn B a + b2 + c + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) Hướng dẫn giải 2  a2  2 a 2 a 2 a ⇔  − ab + b  +  − ac + c  +  − ad + d  +  − ae + e  ≥         2 2 a  a  a  a  ⇔ b −  + c −  + d −  + e −  ≥ 2  2  2  2  Câu 34 Cho x, y > Tìm bất đẳng thức sai? A ( x + y ) ≥ xy C ≥ xy ( x + y )2 1 B + < x y x+ y ( ) D ( x + y ) ≤ x + y Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 đẳng thức xảy ⇔ x = y ( x + y) +  ≥ ⇒ + ≥ x y x+ y x y Câu 35 Cho x + y = , gọi S= x + y Khi ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 7/9 Website: tailieumontoan.com B S ≥ A S ≤ Chọn C Ta có: = x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ C − ≤ S ≤ Hướng dẫn giải D −1 ≤ S ≤ Mặt khác: S = ( x + y ) = x + xy + y ≤ ⇒ − ≤ S ≤ 2 Gọi m Câu 36 Cho x, y hai số thực thay đổi cho x + y = = x + y Khi ta có: A giá trị nhỏ m C giá trị lớn m B.giá trị nhỏ m D.giá trị lớn m Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x + y = ⇒ y = − x Do đó: m= x + y = x + ( − x ) = x − x + 4= ( x − 1) + ≥ 2; ∀x ∈  Vậy giá trị nhỏ m Câu 37 Với x > , biểu thức: A x B x +1 Chọn B 2 2 x +1 x , , , , giá trị biểu thức nhỏ nhất? x x +1 x −1 2 x C D x −1 Hướng dẫn giải 2 x x +1 < < < 2 x +1 x x −1 x x x + x − ( x − )( x + ) + x Mặt khác: = − = > 0; ∀x > ⇒ > x + ( x + 1) ( x + 1) x +1 Ta có: Câu 38 Giá trị nhỏ hàm số f ( x )= B A  2 Chọn B x với x   + >1 là x −1 C 2 D Hướng dẫn giải x x −1 x −1 + = + + ≥2 + = x −1 x −1 2 x −1 2 Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ x−2 Câu 39 Cho x ≥ Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x Ta có: f ( x ) = A 2 B Chọn A Hướng dẫn giải x−2 Ta có f ( x ) ≥  f ( x )  = = − = x x x Vậy giá trị lớn hàm số 2 Câu 40 Giá trị nhỏ hàm số f ( x= ) x + với x A B 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C D 2 1 1 1 − 2 −  ≤ ⇒ ≤ f ( x) ≤ 2  x 4 x   0 > C D 2 Trang 8/9 Website: tailieumontoan.com Hướng dẫn giải Chọn D 1 ≥ 2 x = 2 x x Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ 2 Ta có: f ( x ) = x + a b c Mệnh đề nào sau đúng? + + b+c c+a a+b B < P C ≤ P D ≤ P Hướng dẫn giải Câu 41 Với a, b, c > Biểu thức P = A < P ≤ Chọn D Ta có: P + = ( a + b + c )  1  + +  b+c c+a a+b 1 1 + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức + + ≥ suy ra: b + c c + a a + b 2(a + b + c) x y z x+ y+z Do P + ≥ ⇒ P ≥ ; đẳng thức xảy a= b= c 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 9/9 ... tailieumontoan.com Chương BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Câu Cho bất đẳng thức a − b ≤ a + b Dấu đẳng thức xảy nào? A a = b Câu B ab ≤ D ab = Chọn B Tính chất bất đẳng thức Giá trị... chất bất đẳng thức Câu 11 Tìm mệnh đề mệnh đề sau? a < b 1 ⇒ ac < bd D Cả A, B, C sai A a < b ⇒ > B a < b ⇒ ac < bc C  a b c < d Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 12 Mệnh đề. .. hình học bất đẳng thức Cơ si Câu Tìm mệnh đề đúng? 1 A    B a < b ⇒ > a < b ⇒ ac < bc a b a < b ⇒ ac < bc, ( c > ) C a < b c < d ⇒ ac < bd D    Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu