Chuyên đề phương trình logarit luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com DẠNG TỐN 50: PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: ⬥Phương trình logarit bản: log a x  b  a x  b với  a  II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  A B C D Vơ số Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn liên quan đến giải phương trình logarit …………………………………………………………………………………………………… HƯỚNG GIẢI: B1:Đặt log  x  y   log  x  y   t Điều kiện: x  y  B2:Tính tổng S  x  y tích P  xy Để tồn x, y S  P , suy điều kiện t B3: Với điều kiện đó, tìm giá trị x nguyên thỏa mãn Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Đặt log  x  y   log  x  y   t Điều kiện: x  y   x  y  3t  x  y  3t   x  y  3t 9t  4t   t t nên S  3t P  Suy     x  y  4t  x  y 2  xy  4t  xy      t  9t  4t    t t      2.4     Để tồn x, y S  P   x  y   xy nên       2 t Khi t  log Ta có: log  x  y   t  log  x  y  2 2 log  3, 27 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Mặt khác x số nguyên nên x  1; x  0, x  Thử lại: 3t + t ≥  y = Với x = −1 ta có  ⇒ ⇒ x + y ≥ Suy loại x = −1 t y ≥  y + = ≥  t  y 3= = t Với x = ta có  Suy nhận x = ⇒  t y =1  y = 3t − t =  y = Với x = ta có  Suy nhận x = ⇒ t  y= −  y = Vậy có hai giá trị nguyên x thỏa yêu cầu toán x = x = Bài tập tương tự phát triển: Câu  4a + 2b +  Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn log   =a + 3b − Tìm giá trị nhỏ  a+b  biểu thức T= a + b A B C D 2 Lời giải Chọn D  a + 2b +  log5   =a + 3b − ⇔ log5 ( 4a + 2b + 5) =log5 ( a + b ) + a + 3b −  a+b  ⇔ log5 ( 4a + 2b + 5) + ( 4a + 2b= + 5) log5 5 ( a + b )  + ( a + b ) (*) Xét hàm f ( x )= log5 x + x, x > Đạo hàm f ′ (= x) + > 0, ∀x > Suy hàm số f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) x.ln Phương trình (*) viết lại: f ( 4a + 2b + 5) = f ( ( a + b ) ) ⇔ 4a + 2b + = ( a + b ) ⇔ a + 3b = Mặt khác: 52 = ( a + 3b ) ≤ (12 + 32 ) ( a + b2 ) ⇒ T = a + b2 ≥ Dấu " = " xảy ⇔ a b a = ;b = ⇒= 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Câu Cho x; y số thực dương thỏa mãn log thức T= 2x + y +1 = x + y Tìm giá trị nhỏ biểu x+ y + x y A + B C + D Lời giải Chọn B Ta có log 2x + y +1 = x + y ⇔ log ( x + y + 1) − log ( x + y ) = x + y x+ y ⇔ log ( x + y= + 1) log ( x + y ) + x + y − ⇔ log ( x + y + 1) + x + = y + log ( x + y ) + x + y (*) Xét hàm số = f ( t ) log t + t với t > Khi f ′ (= t) + > 0, ∀t > , suy hàm số f ( t ) liên tục đồng biến ( 0; +∞ ) t ln Do (*) ⇔ x + y + = 3x + y ⇔ x + y = ⇔ x = − y 2 1 Xét T= + = + = + + x y 1− y y 1− y y y Vì x, y > ⇒ < y < = 3 = ≥ 3 y (1 − y ) y (1 − y ) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có T ≥ 3  x= 1− y  x =  Dấu " = " xảy ⇔ 1 − y = y ⇔  2 y = − y y =   Câu  x+ y+z  = x ( x − ) + y ( y − ) + z ( z − ) Tổng Cho số thực x, y, z thỏa mãn log16   x + y + z +    giá trị lớn nhỏ biểu thức F = A − B x+ y−z x+ y+z C 3 D − Lời giải Chọn A Điều kiện: x + y + x > Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com    = x ( x − ) + y ( y − ) + z ( z − ) 2 2 x y z + + +   x+ y+z Ta có: log16   ⇔ 2log16  ( x + y + z )  +  ( x + = y + z )  2log16  x + y + z + 1 +  x + y + z + 1 (1)     f ( t ) log16 t + t ( 0; + ∞ ) Có: = Xét hàm số= f ′ (t ) + > 0; ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t ⋅ ln16 f ( t ) log16 t + t đồng biến ( 0; + ∞ ) Vậy hàm số= Từ suy ra: x + y + z + = ( x + y + z ) ⇔ ( S ) : x2 + y + z − x − y − z + = x− y−z F= ⇔ F ( x + y + z ) =x − y − z ⇔ ( P ) : ( F − 1) x + ( F + 1) y + ( F + 1) z =0 x+ y+z Mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) có điểm chung nên: 3F + d ( I ;( P )) ≤ R ⇔ ⇔ Câu ( F − 1) + ( F + 1) + ( F + 1) 2 ≤ ⇔ 3F + F − 13 ≤ −1 − 10 −1 + 10 ≤F≤ ⇒ F + max F = − 3 Có tất bao giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng (1999; 2050 ) để  a  2 + a    2017 a   ≤  22017 + 2017    A 29 B 33 C 34 D 32 Lời giải Chọn B   Ta có:  2a + a    2017   ≤  22017 + 2017    a ⇔ 2017 ln ( 2a + 2− a ) ≤ a ln ( 22017 + 2−2017 ) ⇔ ln ( 2a + 2− a ) a ≤ ln ( 22017 + 2−2017 ) Xét hàm số f ( x ) = f ′( x) = (2 x 2017 ln ( x + 2− x ) x Tập xác định D =  \ {0} − 2− x ) ln − ( x + 2− x ) ln ( x + 2− x ) x ( x + 2− x ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Vì : ln < ln ( x + 2− x ) < x − 2− x < x + 2− x ( Do x ∈ (1999; 2050 ) ) Suy f ' ( x ) < ⇒ f ( x ) nghịch biến ln ( 2a + 2− a ) Do đó: a ≤ ln ( 22017 + 2−2017 ) 2017 ⇔ a ≥ 2017 Vậy có: 33 giá trị a Câu Tìm tập S tất giá trị thực tham số m để tồn cặp số ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y + ( x + y − + m ) ≥ x + y + x − y + =0 A S ={−5; −1;1;5} C S = B S = {−5;5} {−1;1} D S = {−7 − 5; −1;1;5;7} Lời giải Chọn B y m I -3 J O -1 x Nhận thấy x + y + > với x, y ∈  nên: log x2 + y + ( x + y − + m ) ≥ ⇔ x + y − + m ≥ x + y + ⇔ x + y − x − y + − m ≤ ⇔ ( x − ) + ( y − ) ≤ m (*) 2 x = Khi m = (*) ⇔  Cặp ( 2; ) không nghiệm phương trình y = x2 + y + x − y + = Khi m ≠ , tập hợp điểm ( x; y ) thỏa mãn (*) hình trịn tâm J ( 2; ) , bán kính m Trường hợp này, yêu cầu toán trở thành tìm m để đường trịn tâm I ( −1; ) , bán kính hình trịn tâm J ( 2; ) , bán kính m có điểm chung (hình vẽ) ±1 (thỏa mãn m ≠ ) Điều xảy m = ⇔ m = Vậy S = {−1;1} Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Câu Giả sử a; b số thực cho: x3 + y = a ⋅103 z + b ⋅102 z với số thực dương z; y; z thỏa mãn: log ( x + y ) =z log ( x + y ) =z + Giá trị a + b là: A 31 B 29 C − 31 D − 25 Lời giải Chọn B Đặt t = 10 z Khi đó: x3 + y = a.t + b.t log ( x + y ) = z  x + y = 10 z = t t − 10.t Ta có:  ⇔ ⇒ xy = 2 z 2 z  x + y= 10.10= 10t log ( x + y ) =+ Khi đó: x + y = t ( x + y ) − 3xy ( x + y ) =− Suy ra: a = − 3 3t ( t − 10t ) = − t + 15t b = 15 29 Vậy a + b = Câu Có cặp số nguyên x ; y thỏa mãn ≤ x ≤ 2020 log ( 512 x + 768 ) + x − 1= y + 16 y ? A 2019 B C 2020 D Lời giải Chọn B Ta có: log ( 512 x + 768 ) + x − 1= y + 16 y ⇔ log 256 ( x + 3) + x − 1= y + 42 y ⇔ log ( x + 3) + ( x + 3) = y + 42 y Xét hàm số f ( t ) = t + 4t  f ' ( t ) = + 4t ln > 0, ∀x ∈  Suy hàm số đồng biến  Khi đó: log ( x + 3) = y ⇔ x + = 16 y ⇔ x = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 16 y − Trang Website: tailieumontoan.com Vì: ≤ x ≤ 2020 ⇔ ≤ 16 y − ≤ 2020 ⇔ ≤ 16 y ≤ 4043 ⇔ log16 ≤ y ≤ log16 4043 Mà y ∈  ⇒ y ∈ {1; 2} 13 Với y =1 ⇒ x = ( l ) Với y = ⇒ x = 253 (l ) Vậy khơng có cặp số ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu toán Câu Cho hai số thực a; b thỏa mãn: log a2 +b2 ( a + b ) ≥ a + b > Giá trị lớn biểu thức P = 2a + 4b − là: A 10 C B 10 10 D 10 Lời giải Chọn B Do a + b > nên log a2 +b2 ( a + b ) ≥ ⇔ a − a + b2 − b ≤ 2 1  1  ⇔ a −  + b +  ≤ 2  2  1 1   Ta có: P = 2a + 4b − =  a −  +  b −  2 2   2  1  1  ⇒ P ≤ ( 22 + 42 )  a −  +  b −   ≤ 10 2     Suy ra: − 10 ≤ P ≤ 10 Câu log8 y + log x = Tìm giá trị biểu thức P= x − y Cho log8 x + log y = A P = 56 B P = 16 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C P = D P = 64 Trang Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn A Ta có: 1 log8 x + log y = ⇔ log x + log y = ⇔ log x + log y = 5⇔ x y = 25 ⇔ x y = 215 (1) ( 25 ) = 3 Tương tự: log8 y + log x = 7⇔ y.x = 221 ( ) 236 ⇔ x y = 218 ( 3) Lấy (1) nhân ( ) x y = Lấy (1) chia ( ) y2 = ⇔ x = 26 y ( ) x ( ) Thay ( ) vào ( 3) 26 y = 218 ⇔ y = 212 = 23 ( ) Thay y = vào ( ) x = 26.64 = 26 ⇔ y = 23 = ⇔ x = 26 = 64 Do P = x − y = 56   x y  y  x  y   Câu 10 Cho hệ phương trình  x 1 , m tham số Gọi S tập giá trị    m  2.2 y 1 y    m nguyên để hệ 1 có nghiệm Tập S có phần tử? A C Lời giải B D Chọn B Điều kiện y   y  1;1 Từ phương trình thứ hệ 1 ta có x y   x  y   y  y 2 Xét hàm số y  f t   2t  t với t   Dễ thấy y   2t.ln   với t   nên hàm số y  f t  đồng biến  Do phương trình 2 tương đương với x  y  y  x  y Thay x  y vào phương trình thứ hai hệ 1 ta y   m  2.2 y 1 y 3 Để hệ cho có nghiệm phương trình 3 phải có nghiệm y  1;1 Giả sử y0  1;1 nghiệm 3 y0   m  2.2 y0 1 y02 Khi 4 y0   m  2.2 y0 1  y0   y0   m  2.2 y0 1 y02 nên  y0 nghiệm 3 Suy y0   y0  y0  Thay y  vào 3 ta m  Thử lại: với m  3 viết thành y   2.2 y 1 y  y    y  4 y  y  ; VP 4  , dấu y  2y Suy phương trình 4 có nghiệm y  Vậy m  thỏa mãn Ta có VT 4  , dấu y  Câu 11 Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + y (2 x + y ) ≥ Giá trị lớn biểu thức T = x + y bằng: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com A B C D.9 Lời giải Chọn B 2  x + y > Bất PT ⇔ log x2 + y (2 x + y ) ≥ ⇔  ( I ), 2 2 x + y ≥ x + y 2 0 < x + y < ( II )  2 0 < x + y ≤ x + y Xét T= 2x + y TH1: (x; y) thỏa mãn (II) < T = x + y ≤ x + y < TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x + y ≤ x + y ⇔ ( x − 1) + ( y − x + y = 2( x − 1) + ≤ ( 2y − 2 ) ≤ Khi 2  2 ≤ (22 + ) ( x − 1) + ( y − ) +  2  )+ 9 9 + = Suy : max T = (2; ) ⇔ ( x; y) = 2 BÌNH LUẬN - Sử dụng tính chất hàm số logarit y = log a b đồng biến a > nghịch biến < a <  a >   g ( x ) >   f ( x ) > g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔   0 < a <  f ( x ) >    f ( x ) < g ( x ) - Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai số ( a; b ) , ( x; y ) ax + by ≤ (a + b )( x + y ) a b >0 Dấu “=” xảy = x y Câu 12 Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số ( x; y ) thỏa mãn e3 x +5 y − e x +3 y +1 =− x − y , đồng thời thỏa mãn log 32 ( x + y − 1) − ( m + ) log x + m + = A B C Lời giải D Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang Website: tailieumontoan.com Ta có: e3 x +5 y − e x +3 y +1 =− x − y ⇔ e3 x +5 y + ( x + y= ) e x +3 y +1 + ( x + y + 1) Xét hàm số f ( t = ) et + t  Ta có f ′ ( t ) = et + > nên hàm số đồng biến  Do phương trình có dạng: f ( x + y )= f ( x + y + 1) ⇔ x + y =x + y + ⇔ y =− 2x Thế vào phương trình cịn lại ta được: log 32 x − ( m + ) log x + m + = Đặt t = log x , phương trình có dạng: t − ( m + ) t + m + = Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −3m + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Do có số nguyên m thỏa mãn Câu 13 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: 2016 y x2  x  2017 ; y  2017 3log ( x  y  6)  log ( x  y  2)  A B C D Lời giải Chọn A  2016 y x2  x  2017 1 y  2017 Ta có   3log ( x  y  6)  log ( x  y  2)  2  x  y   Điều kiện   x  y   1  log 2016 2016 y x  log 2016 2 x  2017 y  2017  y  x  log 2016  x  2017  log 2016  y  2017  y  log 2016  y  2017  x  log 2016  x  2017 3 Xét hàm số f t   t  log 2016 t  2017 0, Ta có f  t   2t  2t  0, t  0,  t  2017 ln 2016 Suy hàm số f t  đồng biến 0, y  x Do 3  y  x    y  x Với y  x thay vào phương trình 2 ta 3log 3x  6  log 2 x  2   1  log  x  2  1  log  x  1   3log  x  2  log  x  1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 10 Website: tailieumontoan.com t  x    t  3log  x  2  x   33     Đặt  t t  log  x  1     x   2  x      4   Lấy 5 thay vào 4 , ta t t    t          phương trình có       1    t t t nghiệm t  Suy phương trình có nghiệm x  Suy nghiệm hệ phương trình 7;7 Với y  x thay vào phương trình 2 ta 3log  y  6   log  y  6   y  3, x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 3; 3 , 7;7 Câu 14 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P= ( 2x A Pmax = + y )( y + x ) + xy 27 C Pmax = 27 B Pmax = 18 D Pmax = 12 Lời giải Chọn B Ta có = x + y ≥ 2 x + y ⇔ ≥ x + y ⇔ x + y ≤  x+ y Suy xy ≤   ≤   Khi P= ( 2x + y )( y + x ) + xy= ( x + y ) + x y + 10 xy 2 P = ( x + y ) ( x + y ) − xy  + ( xy ) + 10 xy   ≤ ( − xy ) + x y + 10 xy =+ 16 x y + xy ( xy − 1) ≤ 18 Vậy Pmax = 18 x= y= Câu 15 Xét số thực x , y ( x ≥ 0) thỏa mãn − y ( x + 3) 2018 x +3 y Gọi m giá trị nhỏ biểu thức T= x + y Mệnh đề sau ? 2018 x +3 y + 2018 xy +1 = + x + 2018− xy −1 + A m ∈ ( 0;1) B m ∈ (1; ) C m ∈ ( 2;3) D m ∈ ( −1;0 ) Lời giải Chọn D − y ( x + 3) 2018 x +3 y ⇔ 2018 x +3 y − 2018− x −3 y + x= + y 2018− xy −1 − 2018 xy +1 − xy − Ta có 2018 x +3 y + 2018 xy +1 = + x + 2018− xy −1 + Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 11 Website: tailieumontoan.com ⇔ f ( x + y ) = f ( − xy − 1) (1) Xét hàm số f ( t ) =2018t − 2018− t + t , với t ∈  ta có = f ′ ( t ) 2018t ln 2018 + 2018− t ln 2018 + > , ∀t ∈  Do f ( t ) đồng biến  nên (1) ⇔ x + y =− xy − ( x + 1) x +1 ⇒ T =x − x+3 x+3 ( x + 1) , với x ∈ [ 0; +∞ ) có Xét hàm số f ( x )= x − x+3 x2 + x + > , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) f ′ ( x ) = 1= − 2 ( x + 3) ( x + 3) ⇔ y ( x + 3) =− x − ⇒ y = − Do f ( x ) đồng biến [ 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) ≥ f ( ) = − Dấu “ = ” xảy ⇔ x = ⇒m= −  Mức độ Câu 1: Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn 22 x A B C Lời giải + y2 = 3x + y ? D Vô số Chọn B 2 x + y = log t Đặt = 3= t , suy  log t x + y = x2 + y x+ y   1  y)  x + y  ≤  + 1 ( x + y ) nên suy ra: Ta có ( x +=   2  3 log 32 t ≤ log t = log 3.log t ⇒ log t ≤ log ≈ 2, 74 2 2 Do x + y = log = t log 3.log t ≤ 3, Mà x ∈  nên x ∈ {−1;0;1} y = log 3.log t = =  y log 2t + Với x = , ta có  , suy= y y.log ⇔   y = log t  y = log t log 3.log t 2 + y = log = + với x = , ta có  , suy log t 1 + y = phương trình có nghiệm += y log (1 + y ) ⇔ y − log y + − log = t log 3.log t 2 + y = log = + Với x = −1 , ta có  , suy −1 + y =log t Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 12 Website: tailieumontoan.com phương trình vơ nghiệm + y log ( −1 + y ) ⇔ y − log y + + log = 2= Câu 2: Có số nguyên y để tồn số thực x thỏa mãn log ( x + = y ) log ( x + y ) ? A B C Lời giải D vô số Chọn B 3t  x + y = Đặt log ( x + y ) = (*) t⇔ log ( x + y ) = 2t  x + y = 2 t Ta có ( x + y ) ≤ (1 + ) ( x + y = ) ( x + y ) nên: 9t ≤ 5.2t ⇔  92  ≤ ⇔ t ≤ log Suy x + y = ≤ 2 t log ≈ 2.1 Vì y ∈  nên y ∈ {−1;0;1}  x − = 3t t +Với y = −1 , hệ (*) trở thành  ⇒ + + = 2t ⇔ 9t + 2.3t − 2t + = (**) ( ) t  x + =2 Nếu t < − 2t > ⇒ 9t + 2.3t − 2t + > Nếu t ≥ ⇒ 9t − 2t ≥ ⇒ 9t + 2.3t − 2t + > Vậy (**) vô nghiệm t t  x = 9 t t - Với y = hệ (*) trở thành  ⇒ = ⇔   = ⇔ t = ⇒ x = t 2  x =  x + = 3t t - Với y = hệ (*) trở thành  ⇒ − =2t − (***) ( ) t  x + =2 Dễ thấy (***) ln có nghiệm t = ⇒ x = y 0,= y Vậy có giá trị nguyên y thỏa mãn là= Câu 3: x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy x + y + xy + C D Lời giải Có cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn log A B Chọn D Điều kiện log x+ y > ⇔ x + y > x + y + xy + 2 x+ y = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy x + y + xy + 2 ⇔ log ( x + y ) − log ( x + y + xy + ) = x + y + xy − x − y Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 13 Website: tailieumontoan.com ⇔ log ( x + y ) + − log ( x + y + xy + ) = x + y + xy + − x − y y ) log ( x + y + xy + ) + x + y + xy + ⇔ log ( x + y ) + ( x += ′ (t ) f ( t ) log t + t , t ∈ ( 0; +∞ ) , ta có f= Xét hàm đặc trưng= + > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t.ln Suy hàm f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Phương trình ⇔ f ( x + y ) = f ( x + y + xy + ) ⇔ x + y + xy + = x + y ⇔ x2 + (3 − y ) x + y − y + = Điều kiện y để phương trình có nghiệm ( − y ) − ( y − y + ) ≥ ⇔ −3 y + y + ≥ ⇔ 3− 2 3+ 2 ≤ y≤ 3 Do y ∈  nên y ∈ {0;1; 2} x = + Với y = , ta x − x + = ⇔  x = x = + Với y = , ta x + x =0 ⇔   x = −2 x = + Với y = , ta x + x = ⇔   x = −1 Vậy có cặp số thỏa mãn đề Câu 4: Có giá trị nguyên dương tham số m để tồn số thực x, y thỏa mãn đồng thời e3 x +5 y −10 − e x +3 y −9 =− x − y log 52 ( x + y + ) − ( m + ) log ( x + ) + m + = A B C Lời giải D Chọn C Ta có e3 x +5 y −10 − e x +3 y −9 = − x − y ⇔ e3 x +5 y −10 − e x +3 y −9 = ( x + y − ) − ( 3x + y − 10 ) ⇔ e3 x +5 y −10 + ( x + y − 10 = ) e x +3 y −9 + ( x + y − )(1) Xét hàm số f ( t = ) et + t liên tục  , có f ′ ( t ) = et + > 0, ∀t ∈  nên hàm số f ( t=) et + t đồng biến ( −∞; +∞ ) Do (1) ⇔ 3x + y − 10 = x + y − ⇔ x + y = Khi phương trình Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 14 Website: tailieumontoan.com log 52 ( x + y + ) − ( m + ) log ( x + ) + m + = ⇔ log 52 ( x + ) − ( m + ) log ( x + ) + m + = Đặt = t log ( x + ) , t ∈  , ta t − ( m + ) t + m2 + = ( 2) ( ) có nghiệm ⇔ ∆ = ( m + ) − ( m + ) = −3m + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Vậy số giá trị nguyên dương tham số m thỏa mãn giá trị Câu 5: Cho ≤ x ≤ 2020 log (2 x + 2) + x − y = y Có cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa mãn điều kiện trên? A 2019 B 2018 C D Lời giải Chọn D Do ≤ x ≤ 2020 nên log (2 x + 2) ln có nghĩa Ta có log (2 x + 2) + x − y = 8y ⇔ log ( x + 1) + x + 1= y − 23 y ⇔ log ( x + 1) + 2log2 ( x +1) = y + 23 y (1) Xét hàm số f (t ) = t + 2t Tập xác định D =  f ′(t ) = + 2t ln ⇒ f ′(t ) > ∀t ∈  Suy hàm số f (t ) đồng biến  Do (1) ⇔ log ( x + 1) = y ⇔ x + =23 y ⇔= y log8 ( x + 1) Ta có ≤ x ≤ 2020 nên ≤ x + ≤ 2021 suy ≤ log8 ( x + 1) ≤ log8 2021 Lại có log8 2021 ≈ 3, 66 nên y ∈  y ∈ {0;1; 2;3} Vậy có cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa yêu cầu toán cặp (0;0) , (7;1) , (63; 2) , (511;3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 15 ...         phương trình có       1    t t t nghiệm t  Suy phương trình có nghiệm x  Suy nghiệm hệ phương trình 7;7 Với y  x thay vào phương trình 2 ta 3log ... tailieumontoan.com DẠNG TỐN 50: PHƯƠNG TRÌNH MŨ -LOGARIT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: ? ?Phương trình logarit bản: log a x  b  a x  b với  a  II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG... biến  Do phương trình có dạng: f ( x + y )= f ( x + y + 1) ⇔ x + y =x + y + ⇔ y =− 2x Thế vào phương trình cịn lại ta được: log 32 x − ( m + ) log x + m + = Đặt t = log x , phương trình có dạng: