Microsoft Word Bài 1 VECTO TRONG KHÔNG GIAN � HAI ÐU?NG TH?NG VUÔNG GÓC doc Trang 1 CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN HAI ĐƯỜNG THẲNG[.]
CHUN ĐỀ VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Mục tiêu Kiến thức + Trình bày tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ + Phát biểu tích vơ hướng hai vectơ, góc hai đường thẳng Kĩ + Chứng minh đẳng thức vectơ, biểu diễn vectơ theo vectơ khơng trùng phương với + Nắm phương pháp chứng minh phương hai vectơ, tìm điều kiện ba vectơ đồng phẳng + Tính góc hai đường thẳng Vận dụng tích vơ hướng hai vectơ để giải tốn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM A VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghĩa a) Vectơ đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu điểm cuối) +) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu A, điểm cuối B) hay a, x, y, +) Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ +) Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Sự phương hai vectơ a phương b0 trùng k : a k b Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng a hướng b0 Hai vectơ phương hướng ngược k : a k b hướng a b0 ngược hướng Hai vectơ hai vectơ hướng có k : a k b độ dài Ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai vectơ đối hai vectơ ngược hướng k : AB k AC có độ dài b) Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối c) d) e) f) Các quy tắc tính tốn với vectơ g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng) AB BC AC Quy tắc ba điểm (mở rộng) AX X X X X X n 1 X n X n B AB h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ) OB OA AB i) Quy tắc hình bình hành Nếu tứ giác ABCD hình bình hành AB AD AC j) Quy tắc hình hộp Nếu ABCD ABC D hình hộp AC AB AD AA k) Phép nhân số k với vectơ a Ta có k a vectơ xác định sau + hướng với a k TOANMATH.com Trang + ngược hướng với a k + có độ dài k a k a Một số hệ thức vectơ hay dùng l) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB OA OB 2OI (với O điểm bất kỳ) m) Hệ thức trọng tâm tam giác G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC OA OB OC 3OG (với O điểm bất kỳ) AG AM (với M trung điểm cạnh BC) n) Hệ thức trọng tâm tứ diện G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD OA OB OC OD 4OG (với điểm O bất kỳ) AG AA (với A trọng tâm BCD ) GM GN (với M, N trung điểm cặp cạnh đối diện) Sự đồng phẳng ba vectơ o) Định nghĩa Trong không gian, ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Hệ Nếu có mặt phẳng chứa vectơ đồng thời song song với giá hai vectơ ba vectơ đồng phẳng Ứng dụng: p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng Trong không gian cho hai vectơ a, b không phương AB, AC , AD vectơ c đồng phẳng AB m AC n AD Khi đó, a, b c đồng phẳng tồn cặp số m; n cho c ma nb (cặp số m; n nêu nhất) q) Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng Cho ba vectơ a, b c không đồng phẳng Với vectơ x , ta tìm số Chú ý: TOANMATH.com Trang m; n; p cho x m.a n.b p.c Tích vơ hướng hai vectơ a) Nếu a b a.b a b cos(a, b) Bình phương vơ hướng vectơ: 2 a a b) Nếu a b a.b Một số ứng dụng tích vơ hướng a) Nếu a b ta có a b a.b b) Cơng thức tính cơsin góc hợp hai vectơ khác a.b cos a, b a.b c) Công thức tính độ dài đoạn thẳng AB AB AB B HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Nhận xét: Góc hai vectơ không gian a) Nếu a vectơ phương đường Định nghĩa: Trong không gian, cho u v hai vectơ thẳng d vectơ k a với k khác Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm vectơ phương d cho AB u, AC v Khi ta gọi b) Một đường thẳng khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d 0 BAC 180 góc hai vectơ u v BAC vectơ phương a khơng gian, kí hiệu u , v c) Hai đường thẳng song song với Vectơ phương đường thẳng Vectơ a khác gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương Chú ý Giả sử u, v vectơ phương đường thẳng a b Đặt u , v 0 90 Khi a, b 180 90 180 a , b 0 +) Nếu a//b a b Góc hai đường thẳng TOANMATH.com +) 0 a, b 90 Trang Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm Nhận xét a) Nếu hai đường thẳng a, b có vectơ phương u, v a b u.v song song với a b a / / b b) cb c a Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90 Kí hiệu: Đường thẳng a b vng góc với kí hiệu a b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA a, b hướng a b ab Định nghĩa Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng a, b ngược hướng a b a, b đối Một số hệ thức vectơ trọng tâm Vectơ đoạn thẳng có hướng Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ AB AB Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng VECTƠ TRONG KHÔNG Các phép toán vectơ GIAN Quy tắc điểm: AB BC AC I trọng tâm hệ n điểm A1 ; A2 ; ; An IA1 IA2 IAn a, b không phương a, b c đồng phẳng tồn cặp số m; n cho c ma nb Phép trừ: OB OA AB Sự đồng đẳng ba vectơ Nếu ABCD là hình bình hành AB AD AC Nếu ABCD ABC D hình hộp AC AB AD AA TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vectơ khơng gian Bài tốn Xác định vectơ chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Vận dụng kiến thức sau Định nghĩa khái niệm liên quan đến vectơ; Tính chất hình học đa giác học; Các quy tắc tính tốn với vectơ; Một số hệ thức vectơ hay dùng; Các tính chất hình hình học cụ thể Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh AC BD AD BC MN Hướng dẫn giải Ta có AC BD AD BC AC AD BC BD DC DC (đẳng thức đúng) Do M, N trung điểm cạnh AB CD AM BM nên NC ND Do AD BC AM MN NB BM MN ND AM BM NB ND MN MN Vậy AC BD AD BC MN Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D Sử dụng đỉnh hình hộp làm điểm đầu điểm cuối vectơ a) Hãy kể tên vectơ vectơ AB, AC , AD, AA b) Hãy kể tên vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC Hướng dẫn giải +) +) +) +) a) Ta có AB DC AB DC AC AC AD BC AD BC AA BB CC DD b) Từ tính chất hình bình hành, ta suy vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC BC , CB, AD, DA, AD, DA, BC , C B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành a) Chứng minh SA SC SB SD b) Nếu ABCD hình chữ nhật SA SC SB SD Hướng dẫn giải a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD O trung điểm đường chéo AC BD Do SA SC SO SB SD SO Vậy SA SC SB SD b) Ta có SA SO OA SO OA 2SO.OA , SC SO OC SO OC SO.OC Suy SA SC SO OA OC SO OA OC SO OA (vì OA OC hai vectơ đối nên OA OC ) SO OA2 Tương tự SB SD SO OB Mà ABCD hình chữ nhật nên OA OB Suy SA SC SB SD Bài toán Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng TOANMATH.com Trang Phương pháp giải Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng cách sau + Chứng minh ba vectơ có giá song song với mặt phẳng + Chứng minh hai vectơ có giá song song với mặt phẳng chứa giá vectơ lại + Biến đổi vectơ để đẳng thức dạng c m.a n.b Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng k : AB k AC k : k MA 1 k MB MC Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N điểm cạnh AD BC cho AM MD, BC NC Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải MN MA AB BN Ta có MN MD DC CN Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta 3MN MA MD BN 2CN AB DC Do MA MD 0, BN 2CN nên MN AB CD 3 Vậy AB, CD, MN đồng phẳng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AA a, AB b, AC c Hãy phân tích vectơ BC , BC qua vectơ a, b, c Hướng dẫn giải Ta có BC BB BC AA AC AB a b c BC BC CC AC AB AA a b c TOANMATH.com Trang Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M N cho MS 2 MA NC 2 NB Chứng minh ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có MS 2MA 0; CN BN MN MS SC CN Lại có 2MN MA AB BN Cộng vế theo vế ta 3MN MS 2MA CN BN SC AB SC AB Vậy AB, MN , SC đồng phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm A, B, C thuộc tia SA, SB, SC cho SA a.SA, SB b.SB, SC c.SC , a, b, c số thay đổi Chứng minh mặt phẳng ABC qua trọng tâm tam giác ABC a b c Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy SA a.SA, S B b.SB, SC c.SC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có SA SB SC 3SG G ABC SG x.SA y.SB z.SC với x y z 3SG 3x.SA y.SB z.SC với x y z a.SA b.SB c.SC 3x.SA y.SB z.SC a 3x SA b y SB c z SC a 3x b y c 3z (do SA, SB, SC không đồng phẳng) +) Nếu G ABC ta có a 3x b y c z (với x y z ) Do a b c +) Nếu a b c , ta đặt x x yz a b c , y , z 3 abc a 3x b y c 3z Do G ABC TOANMATH.com Trang Ví dụ Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc AB CD cho MA 2MB, ND 2 NC ; điểm I, J, K thuộc AD, MN , BC cho IA k ID, JM k JN , KB k KC Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng Hướng dẫn giải OA 2OB Ta có MA 2MB nên với điểm O OM Tương tự, ta OD 2.OC OA k OD OB k OC OM k ON , OI , OK , OJ ON 1 k 1 k 1 k 1 Ta có OJ OA 2OB k OD 2k OC 1 k 1 1 k OI 1 k OK 1 k OI 2OK OI OK 3 Suy OI OJ OK OJ JI JK IJ JK 3 3 Suy I , J , K thẳng hàng Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi G, G trọng tâm tam giác BDA, CBD Chứng minh điểm A, G, G, C thẳng hàng Hướng dẫn giải Đặt AB a, AD b, AA c Ta có AC a b c (quy tắc hình hộp) Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG AB AD AA a b c 3 TOANMATH.com Trang 10 ... Dạng Hai đường thẳng vuông góc Bài tốn Tính góc hai đường thẳng (chứng minh hai đường thẳng vng góc hình lăng trụ hình hộp) Phương pháp giải Để tính số đo góc hai đường thẳng d1 Ví dụ Cho hình. .. song với Vectơ phương đường thẳng Vectơ a khác gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương... hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm Nhận xét a) Nếu hai đường thẳng a, b có vectơ phương u, v a b u.v song song với a b a / / b b) cb c a Hai