Giáo án Hình học lớp 11: Chương 3 bài 1 - Vectơ trong không gian biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm được quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian; Khái niệm và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án.
TÊN BÀI (CHỦ ĐỀ): VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN I. Mục tiêu của bài (chủ đề) Kiến thức: Quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong khơng gian; Khái niệm và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong khơng gian Kỹ năng: Vận dụng được phép cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số, tích vơ hướng của hai vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong khơng gian để giải bài tập Biết cách xét sự đồng phẳng hoặc khơng đồng phẳng của ba vectơ trong khơng gian Thái độ: Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực họat động Đinh hướng phát triển năng lực: Phát triển năng lực tư duy trừu tượng, trí tưởng tưởng tượng khơng gian Biết quan sát và phán đốn chính xác II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: Mơ hình véctơ, thước kẻ, hình hộp mơ hình 2. Học sinh: Xem lại kiến thức vectơ trong mặt phẳng đã học ở lớp 10 Xem trước bài mới: Vectơ trong khơng gian III. Chuỗi các hoạt động học TIẾT 1 1. GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC) GV Chia lớp thành 4 nhóm mỗi nhóm 3 bàn trả lời vào các phiếu học tập sau: PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 1. Nêu định nghĩa vectơ trong mặt phẳng, nêu khái niệm hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng nhau trong mặt phẳng 2. Với ba điểm A, B, C tùy ý trong mặt phẳng. Em hãy nêu quy tắc cộng, trừ vectơ cho ba điểm đó ? PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 1. Trong mặt phẳng em hãy: a) Nêu quy tắc trung điểm I của đoạn thẳng AB b) Nêu quy tắc trọng tâm G của tam giác ABC 2. Trong mặt phẳng cho hình bình hành ABCD, hãy nêu quy tắc hình bình hành mà em đã học PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính các tổng sau: uuur uuur a) AB + AD = ? uuur uuur b) AC + AA ' = ? uuur uuur uuur Từ a) và b) hãy tính tổng AB + AD + AA ' = ? PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4 r 1. Nêu khái niệm phép nhân vectơ a với một số k trong mặt phẳng 2. Điền vào chỗ trống các tính chất cịn thiếu của phép nhân vectơ với một số rr trong mặt phẳng, với hai véc tơ a, b bất kỳ k, h là hai số tùy ý. r r r a. k (a + b) = …………… b. (h + k )a = …………… r r c. h(k a) = ……………… r d. 1a = ; − 1a = ……… 2. NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC) I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN VỀ VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN 2.1 Đơn vị kiến thức 1 (10 phút) a) Tiếp cận (khởi động) Từ phiếu học tập số 1, hãy nêu định nghĩa vectơ trong khơng gian b) Hình thành 1. Định nghĩa: Vectơ trong khơng gian là một đoạn thẳng có hướng uuur Ký hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B B a b A c Chú ý: r ur r r r ur + Vectơ còn được ký hiệu là : a, b, u, v, x, y + Các khái niệm có liên quan đến vec tơ như: giá, độ dài , cùng phương……… tương tự như trong mặt phẳng c) Củng cố Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD a) Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là các đỉnh cịn lại của tứ diện ? uuur uuur uuur b) Các vectơ đó AB, AC , AD cùng nằm trong một mặt phẳng khơng ? Giải uuur uuur uuur a) Có các vectơ sau : AB, AC , AD A b) Các vectơ ở câu a) khơng cùng nằm trên một mặt phẳng 2.2 Đơn vị kiến thức 2 (10 phút) C a) Tiếp cận (khởi động) Từ phiếu học tập số 2, hãy nêu định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai vectơ trong khơng gian D B b) Hình thành 2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong khơng gian Phép cộng và phép trừ vectơ trong khơng gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ trong mặt phẳng Khi thực hiện cộng vectơ trong khơng gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong hình phẳng c) Củng cố A uuur uuur uuur uuur Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh: AC + BD = AD + BC Giải: uuur uuur uuur Theo quy tắc ba điểm ta có: AC = AD + DC uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( C uuur uuur ) uuur uuur Do đó : AC + BD = AD + DC + BD = AD + BD + DC = AD + BC D B 2.3 Đơn vị kiến thức 3 (10 phút) a) Tiếp cận (khởi động) D' A' Từ phiếu học tập số 3, hãy nêu quy tắc hình hộp C' B' b) Hình thành D A C B Quy tắc hình hộp Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có uuur uuur uuuur uuuur đường chéo là AC’. Khi đó ta có quy tắc hình hộp: AB + AD + AA ' = AC ' c) Củng cố Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng : uuur uuur uuur uuur uuur a ) AB + AH + GC + FE = AD uuur uuur uuur uuur uuur r b) AB + AD + AE + GH + GB = H E G F Giải: D uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur a) Ta có: AB + AH + GC + FE = AB + FE + AH + GC = + AH + HD = AD ( b) Ta có: ) ( ) ( ) A C B uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AB + AD + AE + GH + GB = AB + AD + AE + GH + GB = AG + GA = AA = ( ) ( ) 2.4 Đơn vị kiến thức 4 (15 phút) a) Tiếp cận (khởi động) Từ phiếu học tập số 4, hãy nêu định nghĩa phép nhân của vectơ với một số trong khơng gian b) Hình thành 3. Phép nhân vectơ với một số Định nghĩa tích của một vectơ với một số giống như trong mặt phẳng. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số giống như trong hình học phẳng c) Củng cố Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm của tam giác BCD chứng minh rằng: uuuur uuur uuur a) MN = ( AB + DC ) uuur uuur uuur uuur b) AB + AC + AD = AG Giải: uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur a) Ta có: MN = ( MB + MC ) = ( MA + AB + MD + DC ) = (( AB + DC ) + ( MA + MD)) = ( AB + DC ) b) Ta có: uuur uuur uuur AB = AG + GB uuur uuur uuur AC = AG + GC uuur uuur uuur AD = AG + GD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cộng các đẳng thức theo vế ta có: AB + AC + AD + ( GB + GC + GD ) = AG uuur uuur uuur r Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GB + GC + GD = uuur uuur uuur uuur suy ra AB + AC + AD = AG TIẾT 2 II. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉCTƠ. ĐIỀU KIỆN ĐỂ BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG 2.5 Đơn vị kiến thức 5 (17 phút) a) Tiếp cận (khởi động) I HĐ1: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Chứng minh rằng đường thẳng IK và ED song song với mặt phẳng (AFC) r B K C E F b) Hình thành r r Cho a,b,c D A H G uuur r uuur r uuur r r Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a , OB = b , OC = c rrr Nếu OA, OB, OC khơng cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a,b,c khơng đồng phẳng rrr Nếu OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a,b,c đồng phẳng Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hay khơng đồng phẳng của ba vectơ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng a b c C A O B c) Củng cố Ví dụ 5: 1/ Cho hình hộp ABCD A1 B1C1D1 Chọn khẳng định đúng? uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B. CD1 , AD, A1B1 đồng phẳng uuuur uuur uuur uuur uuur uuur C. CD1 , AD, A1C đồng phẳng D. AB, AD, C1 A đồng phẳng 2/ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? rrr A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đơi một thì ba vectơ đó đồng phẳng rrr r B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ thì ba vectơ đó đồng phẳng rrr C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng rrr D. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng A Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng ba vectơ uuur uuur uuuur BC , AD, MN đồng phẳng Giải: M C B N D Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó, mp(MNI) chứa MN và song song với với các đường thẳng BC và AD. Ta suy ra ba đường thẳng BC, MN và AD cùng song song với một mặt phẳng. Khi đó ta nói ba vectơ uuur uuur uuuur A BC , AD, MN đồng phẳng 2.6 Đơn vị kiến thức 6 (28 phút) I M a) Tiếp cận (khởi động) HĐ: Nhắn lại định lý về sự phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương trong hình học phẳng? b) Hình thành Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: C B N D ur r r r ur Định lý 1: Cho ba vectơ a, b, c trong đó a b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ r r r ur r r để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là có các số m, n sao cho c = ma + nb Hơn nữa các số m, n là duy nhất C' c' A a O c = m.a + n.b C b B ur r r Định lý 2: Trong khơng gian cho ba vectơ a, b, c khơng đồng phẳng. Khi đó, với mọi r r r r r vectơ x , ta tìm được các số m, n, p sao cho x = ma + nb + pc Hơn nữa các số m, n, p là duy D x c D' a O b c) Củng cố Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy điểm P, Q lần lượt thuộc đường thẳng AB BC cho uuur uuur uuur uuur PA = PD, QB = QC Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. 2 Giải: P uuur uuur uuur uuur uuuur Từ hệ thức PA = PD ta được: MP = 2MA − MD uuuur uuur uuuur Tương tự, MQ = 2MB − MC A uuur uuuur uuuur Từ hai hệ thức trên suy ra: MP + MQ = −2MN uuur uuuur uuuur Vậy ba vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng hay các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng M Q D B N C Ví dụ 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường uuuur uuuur uuuur uuur r uuur r uuur r uuur thẳng A’C và C’D sao cho MA ' = −3MC , NC ' = − ND Đặt BA = a, BB ' = b, BC = c Hãy biểu rrr uuur uuuur thị các vectơ BM và BN qua các vectơ a, b, c D A Giải: a uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur MA ' = −3MC � MB + BA ' = −3 MB + BC uuur uuur uuur uuur � MB = − BA + BB ' − 3BC ( ( ) B ) M C N b uuuur r r r � BM = a + b + c 4 uuur c A' B' D' C' 1r 1r r 2 Tương tự, BN = a + b + c TIẾT 3 3. LUYỆN TẬP (10 phút) uuur r uuur r uuur r Bài tập 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 4. Đặt AB = a, AD = b, AA ' = c uuuur Gọi M, N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A ' N = x Hãy biểu thị vectơ MN qua rrr các vectơ a, b, c (hình bên) C B a A M N b D c C' B' A' D' Giải: Ta có: uuuur uuur uuur x uuur uuur uuuur x uuur uuur x uuuur uuur MN = MA + AN = − AC + AA ' + A ' N = − AC + AA ' + A ' A + AB 4 ( =− =− x r r r r r x a + b) + c + ( ( −c + a ) x r � x �r b+� 1− c � � 2� 4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG ) ( ) 4.1 Vận dụng vào thực tế (10 phút) Bài tập 2: Bên trong phịng khách một căn nhà có dạng hình lập phương, được ký hiệu ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 4(m). Người ta tiến hành trang trí ngơi nhà bằng cách gắn dây lụa nối từ điểm M đến N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A ' N = x Biết rằng chủ nhà muốn trang trí bằng dây lụa nhập khẩu giá 500.000 nghìn đồng 1m. Hỏi phải trang trí bằng cách nào cho đỡ tốn chi phí nhất? Chi phí mua dây là bao nhiêu? C B a A M N b D c C' B' D' A' Giải uuuur Theo kết quả của bài tập 1, ta có: MN = − r x r � x � b+� 1− c � � 2� x2 r 2 x � x �r r � x � r 1− b.c + � 1− Do đó, MN = b − � �c 32 � � 2� � 2� 2 = x2 � x � 16 + � 1− 16 = x − x + 16 � 32 � 2� MN = ( x − 2 ) + 8 Vậy để chi phí ít nhất thì MN = 2m Chi phí phải mua là 2 500.000 1.414.214 đồng 4.2 Mở rộng, tìm tịi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,…) (25 phút) rr Câu 1:Trong khơng gian cho hai véc tơ a, b đều khác vectơ – khơng. Hãy xác định ur rr r ur ur r m = 2a, n = −3b và p = m + n Câu 2: Tìm tập hợp các điểm M trong khơng gian thỏa mãn đẳng thức uuur uuur uuuur uuuur uuuur MA + MB + MC + MD = 4MG Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy điểm P, Q lần lượt thuộc đường thẳng AB BC cho uuur uuur uuur uuur PA = k PD, QB = kQC ( k 1) Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Giải: A uuur uuuur uuur MA − k MD uuur uuur Từ hệ thức PA = k PD ta được: MP = 1− k P M uuur uuuur uuuur MB − k MC Tương tự, MQ = 1− k B D Q N uuur uuuur 2k uuuur MN Từ hai hệ thức trên suy ra: MP + MQ = k −1 C uuur uuuur uuuur Vậy ba vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng hay các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng Trắc nghiệm r uuur ur uuur r uuur Câu 1: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD Đặt x = AB; y = AC ; z = AD Khẳng định nào sau đây đúng? uuur r ur r uuur r ur r A. AG = ( x + y + z ) B. AG = − ( x + y + z ) 3 uuur r ur r uuur r ur r C. AG = ( x + y + z ) D. AG = − ( x + y + z ) 3 Câu 2: Cho hình hộp ABCD A1B1C1 D1 với tâm O Chọn đẳng thức sai uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur A. AB + AA1 = AD + DD1 B. AC1 = AB + AD + AA1 uuur uuuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur C. AB + BC1 + CD + D1 A = D. AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 Câu 3: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn đẳng thức sai? uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur A. BC + BA = B1C1 + B1 A1 B. AD + D1C1 + D1 A1 = DC uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur C. BC + BA + BB1 = BD1 D. BA + DD1 + BD1 = BC Câu 4:Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. PQ = BC + AD B. PQ = BC + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. PQ = BC − AD D. PQ = BC + AD Câu 5: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1D1 Gọi M là trung điểm AD Chọn đẳng thức đúng uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur A. B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 B. C1M = C1C + C1 D1 + C1B1 uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur C. C1M = C1C + C1D1 + C1B1 D. BB1 + B1 A1 + B1C1 = B1 D 2 ( ( ) ) ( ) Câu 6: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? uuur uuur uuur uuur uur uuur A. BD, AK , GF đồng phẳng B. BD, IK , GF đồng phẳng uuur uuur uuur uuur uur uuur C. BD, EK , GF đồng phẳng D. BD, IK , GC đồng phẳng uuuur Câu 7: Cho hình hộp ABCD A B C D có tâm O Gọi I là tâm hình bình hành ABCD Đặt AC = ur , uuur r uuuur r uuuur r CA ' = v , BD = x , DB = y Khẳng định nào sau đây đúng? uur r r r r uur r r r r A. 2OI = ( u + v + x + y ) B. 2OI = − ( u + v + x + y ) 2 uur r r r r uur r r r r C. 2OI = ( u + v + x + y ) D. 2OI = − ( u + v + x + y ) 4 ... Câu 5: Cho? ?hình? ?hộp ABCD A1 B1C1D1 Gọi M là trung điểm AD Chọn đẳng thức đúng uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur A. B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 B. C1M = C1C + C1 D1 + C1B1 uuuur... uuuur C. C1M = C1C + C1D1 + C1B1 D. BB1 + B1 A1 + B1C1 = B1 D 2 ( ( ) ) ( ) Câu 6: Cho? ?hình? ?hộp ABCD.EFGH Gọi I là tâm? ?hình? ?bình hành ABEF và K là tâm? ?hình? ?bình hành BCGF ? ?Trong? ?các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?... AA1 = AD + DD1 B. AC1 = AB + AD + AA1 uuur uuuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur C. AB + BC1 + CD + D1 A = D. AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 Câu? ?3: Cho? ?hình? ?hộp ABCD A1