PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIAO THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn Toán Lớp 6 Thời gian làm bài 120 phút (Đề khảo sát gồm 01 trang) Bài 1 (5,0 điểm) Câu 1 Tính a) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + +[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIAO THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn : Tốn Lớp Thời gian làm 120 phút (Đề khảo sát gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1.(5,0 điểm) Câu Tính a) A = + 22 + 222 + 2222 + + 22 50 chữ số b) B = + Câu Cho C = + + + + + + + + Chứng minh : C > Bài ( 3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết: a) + +3 +4 + + x = 820 b) x + 2x + 3x + + 99x + 100x = 15150 Bài 3.( 6,0 điểm) Câu 1: Chứng minh : a) A = 75.( 41975 + 1974 + + 42 +5 ) + 25 chia hết cho 41976 b) B = 10n + 72n – chia hết cho 81 với n số tự nhiên Câu Tìm số ngun n để phân số có giá trị số nguyên Bài 4.( 4,0 điểm ) a) Cho 2016 đường thẳng, hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng cắt điểm Em tính số giao điểm 2016 đường thẳng b) Cho n đường thẳng, hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng cắt điểm Biết số giao điểm đường thẳng 1128 Tính n Bài ( 2,0 điểm ) Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư PHÒNG GD&ĐT GIAO THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI Bài (5,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Đáp án Điểm a) (1,5 điểm) A = + 22 + 222 + 2222 + + 22 50 chữ số = ( + 11 + 111 + 1111 + + 11 ) 0,25 50 chữ số 9A = 2.( + 99 + 999 + 9999 + + 99 ) 0,25 50 chữ số 9A = 0,25 = 0,25 0,25 = ( 11 10 – 50) 50 chữ số 0,25 = 11 1060 = 22 2120 48 chữ số1 48 chữ số Suy A = 22 2120 : 48 chữ số b) ( 1,5 điểm ) B= + + + + + 2B = + + + + + 0,25 0, - = + - + - + + - + 0,25 - 0,25 = - 0,25 = Suy B = :2= Câu 2.( 2,0 điểm ) C=( + + + + + C C> C> + + + + + )+( + + + ) +( ) 25 + + > + 0,50 0,50 25 + + )+( =( + 25 + + + 25 + 0,50 0,50 = Bài 2: ( điểm ) a) (1,5 điểm) + +3 +4 + + x = 820 Tính tổng : + +3 +4 + + x Vì số hạng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến x nên số số hạng tổng là:( x – 1) : + = x ( số hạng ) Vậy tổng là: ( x + 1).x : 0,25 0,25 Theo ta có + +3 +4 + + x = 820 nên ( x + 1).x : = 820 ( x + ).x = 820 ( x + ).x = 23.5.41 ( x + ).x = 40.41 Vì x x + số tự nhiên liên tiếp mà x < x + nên x = 40 x + = 41 Vậy x = 40 0,50 0,25 0,25 b) (1,5 điểm) x + 2x + 3x + + 99x + 100x = 15150 ( + + + + 99 + 100).x = 15150 [ ( + 100) + ( + 99) + ( + 98) + ( 50 + 51) ].x = 15150 Có 50 cặp số hạng 0,50 0,25 ( 101 + 101 + 101 + + 101).x = 15150 Có 50 số hạng 0,25 101.50.x = 15150 5050x = 15150 x=3 Vậy x = Bài 3: ( 6,0 điểm) Câu ( 4,0 điểm ) a) (2,0 điểm) Đặt M = 41975 + 1974 + + 42 +5 = 41975 + 1974 + + 42 + + 4M = 4.( 41975 + 1974 + + 42 + + 1) = 41976 + 1975 + + 43 + 42 + 4M – M = ( 41976 + 1975 + + 43 + 42 + 4) – (41975 + 1974 + + 42 + + 1) 3M = 41976 – M = (41976 – 1): 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 => A = 75 (41976 – 1): + 25 0,25 = 25 (41976 – 1) + 25 0,25 = 25 41976 - 25 + 25 0,25 = 25 41976 chia hết cho 41976 b) (2,0 điểm) B = 10n + 72n – = 10n – – 9n + 81n = 99 – 9n + 81n n chữ số 0,25 0, 50 = ( 11 – n) + 81n 0,25 n chữ số Theo dấu hiệu chia hết cho có số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho Nên số n số có tổng chữ số n có số dư phép chia cho Suy ( 11 – n ) chia hết cho n chữ số 0,50 0,25 Suy ( 11 – n ) chia hết cho 81 0,25 n chữ số Mà 81n chia hết cho 81 Nên ( 11 – n) + 81n chia hết cho 81 n chữ số Do B = 10n + 72n – chia hết cho 81 0,25 Câu ( 2,0 điểm ) Điều kiện : n Ta có Để phân số Z = =2 - có giá trị số ngun 0,25 có giá trị số nguyên 0,25 Suy 3n + ước nên 3n + nhận giá trị : 1; -1; 5; -5 0,25 + Nếu 3n + = n = ( Thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + = - n = 0,25 ( Không thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + = n = (Khơng thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + = -5 n = -2 ( Thỏa mãn điều kiện) Thử lại với n = ta đươc phân số Thử lại với n = -2 ta đươc phân số Vậy n= n = -2 phân số = -3( số nguyên) 0,25 = 3( số nguyên) có giá trị số nguyên Bài 4: ( 4,0 điểm) a ( 1,5 điểm ) - Chọn đường thẳng kết hợp với 2015 đường thẳng lại ta 2015 giao điểm - Làm với 2016 đường thẳng ta có số giao điểm là: 2015.2016 giao điểm - Nhưng làm giao điểm tính hai lần nên thực tế số giao điểm có là: 2015.2016 : = 2031120 giao điểm 0,50 0,50 0,50 b (2,5 điểm ) - Chọn đường thẳng kết hợp với n-1 đường thẳng lại ta n-1 giao điểm 0,50 - Làm với n đường thẳng ta có số giao điểm là: n.(n-1) giao điểm - Nhưng làm giao điểm tính hai lần nên thực tế số giao điểm có là: n.( n-1) : giao điểm - Theo ta có : n.( n-1) : = 1128 n ( n- 1) = 1128 n (n-1) = 24.3.47 n (n-1) = 48.47 Vì n-1 n hai số tự nhiên liên tiếp n-1 < n nên n =48 n-1 = 47 Vậy n = 48 Bài 5: ( 2,0 điểm) - Vì a chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư nên ta có: a – 3, a – 5, a – 0,50 0,50 0, 50 0, 50 0,25 - Suy : a + 3, a + 5, a + 0,25 - Suy : a + 1+ 51 3, a + + 50 5, a + + 49 0,50 - Suy : a + 52 3, a + 52 0,25 Vậy a + 52 , a + 52 BC(3,5,7) Mà BC(3,5,7) = B(105) Nên a + 52 B(105) => a + 52 105 - Suy : a + 52 = 105k ( k = 1, 2, 3, ) a = 105k – 52 - Lần lượt thử k = 1, 2, 3, mà a số tự nhiên nhỏ nên với k = ta a = 105 – 52= 53 Vậy a = 53 0,25 0,25 0,25